2023-2024学年河南省郑州市高一下学期6月期末数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省郑州市高一下学期6月期末数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=(1+i)(1−i3)，化简得z=( )
A. 2iB. −2iC. 2+iD. 2−i
2.用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD的直观图为菱形A1B1C1D1，已知A1C1=5，B1D1=4，则四边形ABCD的面积为( )
A. 20B. 5 2C. 10D. 20 2
3.端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件A=“甲端午节吃甜粽子”，记事件B=“乙端午节吃咸粽子”，且P(A)=23，P(B)=34，事件A与事件B相互独立，则P(A∪B)=( )
A. 56B. 1112C. 34D. 14
4.已知不同平面α，β，γ，不同直线m和n，则下列命题中正确的是( )
A. 若m⊥α，m⊥β，则α/​/βB. 若m/​/α，n/​/α，则m/​/n
C. 若m⊥n，m⊥α，则n/​/αD. 若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
5.已知圆柱的底面直径和球的直径相等，圆柱的高是球的直径的2倍，则圆柱的体积与球的体积的比值为( )
A. 2B. 43C. 32D. 3
6.已知点A(1,0)，B(0,2)，C(3,2)，则AB在AC上的投影向量的坐标为( )
A. (−12,12)B. (12,−12)C. (12,12)D. (−12,−12)
7.已知圆锥的表面积为9π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为( )
A. 3πB. 9πC. 3πD. 3
8.现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第k (k=1,2,3⋯6)个盒子中有k张龙形图案的卡片，6−k张兔形图案的卡片.现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为23，则k=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=m−2+(m−1)i(m∈R)，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是( )
A. 若z∈R，则m=1
B. 若z为纯虚数，则m=2
C. 若点M在第一象限，则m>2
D. 若z为z的共轭复数，且z=z，则m=2
10.人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018∼2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则( )
A. 2018∼2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
B. 2018∼2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
C. 2018∼2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小
D. 2018∼2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元
11.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，则( )
A. EF⊥BD1B. EF//面A1B1C1D1
C. 直线BD1与平面ABCD所成的角为π4D. 四面体B1C1EF的体积为23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设z=21−2i+i，则|z|= ．
13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=5π6，b=6，a2+c2=2 3ac，则△ABC的面积为 ．
14.如图，在四边形ABCD中，AB/​/CD，AB= 4，CD=3，AD= 5，∠DAB=π2，若P为线段AB上一动点(包含端点)，则PC⋅PD的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a，b满足|a|=4，b=(−1,2)．
(Ⅰ)若a/​/b，求向量a的坐标;
(Ⅱ)若(a−b)⊥b，求a与b夹角θ的余弦值．
16.(本小题12分)
如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．
(Ⅰ)证明：OA⊥平面BCD;
(Ⅱ)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且三棱锥E−BCD的体积为 39，求侧面ACD与底面BCD所成二面角的余弦值．
17.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB−csinC+(c−a)sinA=0．
(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)若b=2，求△ABC面积的最大值．
18.(本小题12分)
2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间站实施水生生态项目，即要实现“太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新的生态环境和生态系统.郑州航天电子技术有限公司为此次任务提供了科技产品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分120分，100分及以上为“航天达人”，结果航天达人有t人，这t人按年龄分成了5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到的频率分布直方图如下图，已知第一组有10个人．
(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计这t人年龄的第80百分位数;
(Ⅱ)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航天工程”的宣传大使.若第四组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这t人中35∼45岁所有人的年龄的平均数和方差.(分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x，s12;n，y，s22.记总体的样本平均数为w，样本方差为s2，则w=mm+nx+nm+ny，s2=1m+n{m[s12+(x−w)2]+n[s22+(y−w)2]})
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，利用公式x′=ax+by,y′=cx+dy, ①(其中a，b，c，d为实数)，将点P(x,y)的坐标变换为点P′(x′,y′)，我们称该变换为线性变换，也称 ①为坐标变换公式，该变换公式 ①可由a，b，c，d组成的正方形数表abcd唯一确定，我们将abcd称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，⋯表示．
(Ⅰ)在平面直角坐标系xOy中，已知P(3,1)，按照二阶矩阵T=11−11变换得到点P′，求点P′的坐标;
(Ⅱ)如图，在平面直角坐标系xOy中，将点P(x,y)绕原点O按逆时针旋转α角得到点P′(x′,y′)(到原点距离不变)，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵;
(Ⅲ)向量OP=(x,y) (称为行向量形式)，也可以写成OP=xy，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式 ①可以表示为：x′y′=abcdxy，则称x′y′是二阶矩阵abcd与向量xy的乘积，设二阶矩阵A=abcd，m=x1y1，n=x2y2是任意两个向量，求证：A(m+n)=Am+An．
答案
1.A
2.D
3.B
4.A
5.D
6.C
7.A
8.A
9.ABC
10.BD
11.ABD
12. 855
13. 3
14.114,9
15.解：(1)∵a//b，
∴可设a=λb=(−λ,2λ)，
∵|a|=4，
∴ λ2+4λ2=4，∴λ=±4 55，
∴a=(−4 55,8 55)或a=(4 55,−8 55)；
(2)∵(a−b)⊥b，
∴(a−b)⋅b=0即a⋅b−b 2=0，
∴|a||b|csθ=5，
∴csθ=54× 5= 54．
16.解：(1)在三棱锥A−BCD中，因为O为BD的中点，且AB=AD，则OA⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，OA⊂平面ABD，所以OA⊥平面BCD．
(2)由题意可得三棱锥A−BCD与三棱锥E−BCD底面积相同，高之比等于32，所以体积之比也为32，
∴VA−BCD=32VE−BCD= 36．
因OA⊥平面BCD，所以OA为三棱锥A−BCD的高，又因为△OCD是边长为1的等边三角形，
所以S△OCD= 34，则S△BCD= 32，
所以VA−BCD=13S△BCD⋅OA= 36，∴OA=1．
作OM⊥CD，连AM，则∠AMO即为平面ACD与面BCD所成二面角的平面角．
∵OA=1，OM= 32，OA⊥OM，∴AM= 72．∴cs∠AMO= 3 7= 217．
17.解：(1)因为bsinB−csinC+(c−a)sinA=0，
所以由正弦定理得b2−c2+(c−a)a=0，整理得a2+c2−b2=ac，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=12，
因为0