2023-2024学年陕西省西安市部分校高一期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市部分校高一期末考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.总体由编号为01，02，⋯，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为( ) 66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 21 14 32 52 41 52 48
A. 54B. 14C. 21D. 32
2.已知a=(1,0,1)，b=(−2,−1,1)则|a−b|等于( )
A. 3 10B. 2 10C. 10D. 5
3.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A. m⊥n，m//α，n//βB. m⊥n，α∩β=m，n⊂α
C. m//n，n⊥β，m⊂αD. m/​/n，m⊥α，n⊥β
4.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2:3，则棱柱与棱锥的体积的比值为( )
A. 12B. 2C. 13D. 3
5.小明需要从甲城市编号为1−14的14个工厂或乙城市编号为15−32的18个工厂中选择一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B，则P(A+B)=( )
A. 332 B. 58 C. 916 D. 14
6.如图所示，在三棱锥P−ABC中，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，BO的延长线交AC于点D，则图中与AC垂直的直线有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
7.甲、乙两队进行友谊赛，采取三局两胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中甲队获胜的概率为35，设各局比赛相互间没有影响，则甲队战胜乙队的概率为( )
A. 925B. 36125C. 81125D. 63125
8.如图，四棱锥S−ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论：①AC⊥SB；②AB//平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角.其中正确的有个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 数据2，4，6，8的中位数是4，6
B. 数据1，2，3，4，4的众数是4
C. 一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D. 8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是8×5+7×311
10.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则下列说法正确的是( )
A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B. 甲的不同的选法种数为15
C. 已知乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是16
D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是949
11.如图所示，四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB=1，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A′的位置，此时A′C= 3，构成三棱锥A′−BCD，则( )
A. 平面A′BD⊥平面BDCB. 平面A′BD⊥平面A′BC
C. 平面A′DC⊥平面BDCD. 平面A′DC⊥平面A′BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a=(1,1,x)，b=(1,2,1)且满足条件a⋅2b=−2，则x=________．
13.为了节约用电，某市决定对电费进行调整，为了达到既不影响大多数居民用户的电费支出，又能节电的目的，该市政府对抽取的200户的8月份的用电量(单位：度)由小到大进行排列，其中第165到第175个数据依次是181，182，184，186，187，188，190，191，192，193，194，为了使85%的居民用电不受影响，则此次电费上调应从________度开始．
14.如图，在△ABC中，AB⊥BC，D，E分别为AB，AC边的中点，且AB=4，BC=2，现将△ADE沿DE折起，使得A到A1的位置，且∠A1DB=60°，则A1C=____.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．
(1)求x；
(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；
(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对一带一路的认知程度，并谈谈你的感想．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥CD，且AD=CD= 2，BC=2 2，PA=2．
(1)取PC的中点N，求证：DN//平面PAB；
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；
(3)在线段PD上有一点M，满足PM=23PD，求BM与平面MAC所成角的大小；
17.(本小题12分)
2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米.下表为2007～2016年中，某区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.(单位：平方米)
(1)现从上述表格中随机抽取一年数据，试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率；
(2)现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率；
(3)将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据.记2012～2016年中城镇人均住房面积的方差为S12，农村人均住房面积的方差为S22，判断S12与S22的大小．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为长方形，SB⊥底面ABCD，其中BS=2，BA=2，BC=λ，λ的可能取值为：①λ=14；②λ=12；③λ= 32；④λ=32；⑤λ=3．
(1)求直线AS与平面ABCD所成角的大小；
(2)若线段CD上能找到点E，满足AE⊥SE，则λ可能的取值有几种情况？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD上满足AE⊥SE的点有两个，分别记为E1，E2，求平面E1SB与平面E2SB的夹角的大小．
19.(本小题12分)
某游乐园为了吸引游客，推出了A，B两款不同的年票，游乐园每次进园门票原价为100元.A年票前12次进园门票每次费用为原价，从第13次起，每次费用为原价的一半，A年票不需交开卡工本费.B年票每次进园门票为原价的9.5折，B年票需交开卡工本费a元(a∈N).已知某市民每年至少去该游乐园11次，最多不超过14次.该市民多年来年进园记录如表：
(1)估计该市民年进园次数的众数；
(2)若该市民使用A年票，求该市民在进园门票上年花费的平均数；
(3)从该市民在进园门票上年花费的平均数来看，若选择A年票比选择B年票更优惠，求a的最小值．
答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.B
6.D
7.C
8.D
9.BCD
10.BD
11.AD
12.−4
13.189
14.2 2
15.解：(1)第一组的频率为0.01×5=0.05，
所以x=50.05=100．
(2)由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，
年龄低于35岁的所占比例为70%，
所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内，
由30+5×0.50−−0.40=953≈32，
所以抽取的x人的年龄的50%分位数约为32岁．
(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列，
得88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，
因为10×20%=2，
所以这10人成绩的20%分位数为90+922=91，
这10人成绩的平均数为110×(88+90+92+92+95+96+96+97+98+99)=94.3.
评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高．
16.证明：(1)取BC中点E，连结DN、DE、NE，
∵在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥CD，
AD=CD= 2，BC=2 2，PA=2，N是PC中点，
∴DE/​/AB，EN//PB，
∵EN∩DE=E，PB∩AB=B，EN、DE⊂平面DNE，PB、AB⊂平面PAB，
∴平面DEN//平面PAB，
∵DN⊂平面DEN，∴DN//平面PAB．
解：(2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A( 2,0,0)，C(0, 2,0)，P( 2,0,2)，D(0,0,0)，
AC=(− 2, 2,0)，PD=(− 2,0,−2)，
设直线AC与PD所成角为θ，
则csθ=AC·BDAC·BD=22 6= 66．
∴直线AC与PD所成角的余弦值为 66．
(3)解设平面ACM的法向量为m=(x,y,z)，且PM=23PD，则M 23,0,23，
BM=−5 23,− 2,23，
AC=(− 2, 2,0)， AM=(−2 23,0,23)
利用AC·m=0,AM·m=0,得平面ACD的一个法向量为m=1,1, 2.
设BM与平面MAC所成的角为φ，
则sin φ=|cs〈BM，m〉|=12，∴φ=30°．
17.解：(1)记事件A为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准，
则P(A)=25，
所以该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率为25．
(2)随机抽取连续两年数据，样本空间Ω={(18.66,20.25)，(20.25,22.79)，(22.79,25)，(25,27.1)，(27.1,28.3)，(28.3,31.6)，(31.6,32.9)，(32.9,34.6)，(34.6,36.6)}，共9个样本点．
设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件B，
则B={(20.25,22.79)，(22.79,25)，(25,27.1)，(28.3,31.6)，(34.6,36.6)}．
所以事件B共有5个样本点
因此P(B)=59．
(3)由题得

所以城镇人均住房建筑面积的平均数为28+32+33+35+375=33，
农村人均住房建筑面积的平均数为32+34+37+41+465=38，
所以s 12=15×[(28−33)2+(32−33)2+(33−33)2+(35−33)2+(37−33)2]=465，
s 22=15×[(32−38)2+(34−38)2+(37−38)2+(41−38)2+(46−38)2]=1265，
所以s 12