2023-2024学年福建省泉州市安溪一中高二（下）质检数学试卷（5月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市安溪一中高二（下）质检数学试卷（5月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.C52+A53=( )
A. 30B. 40C. 50D. 70
2.随机变量ξ的分布列为
则m=( )
A. 59B. 49C. 712D. 512
3.曲线f(x)=lnx−2x在x=1处切线的倾斜角为α，则csαsinα−4csα=( )
A. 15B. −15C. 1D. −1
4.从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
5.已知函数f(x)在定义域内可导，f(x)的大致图象如图所示，则其导函数f′(x)的大致图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
6.对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X(单位：min)，X～N(3,4)，对应的曲线为C1，B地员工的上班迟到时间为Y(单位：min)，Y～N(2,19)，对应的曲线为C2，则下列图象正确的是( )
A. B.
C. D.
7.将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为( )
A. 18B. 16C. 112D. 124
8.已知a，b，c均为正数，且a=1+4a−2a,b2=4+b(2−3b),4−c2c=lg4(c+3)，则a，b，c的大小关系为( )
A. b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在(2x−3x)8的展开式中( )
A. 所有奇数项的二项式系数的和为128B. 二项式系数最大的项为第5项
C. 有理项共有两项D. 所有项的系数的和为38
10.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量X～B(10,12)，则E(X)=5
B. 若随机变量X的方差D(X)=1，则D(3X+1)=10
C. 若P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(B|A)=0.4，则事件A与事件B独立
D. 若随机变量X服从正态分布N(6,σ2)，若P(X<10)=0.8，则P(211.已知x1为方程x3+x−1=0的根，x2为方程x5+x−1=0的根，则( )
A. 1+x1x2C. x1x1ex2
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，共有______种放法.(数字作答)
13.如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有∠AOB≤α成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：y=xex−1+1,x>0,116x2+1,x≤0(其中e是自然对数的底数)，O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，则csβ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题13分)
已知(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10．
(1)求a1+a2+…+a10的值；
(2)求a1+a3+a5+a7+a9的值.(参考数据：310=59049)
15.(本小题15分)
现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，
(1)在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率；
(2)求第二次取到2号球的概率．
16.(本小题15分)
不透明的袋子中装有6个红球，3个黄球，这些球除颜色外其他完全相同.从袋子中随机取出4个小球．
(1)求取出的红球个数大于黄球个数的概率；
(2)记取出的红球个数为X，求X的分布列与期望．
17.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，AD//BC，AB=AD=CD=2，BC=4．
(1)证明：AB⊥PC；
(2)若PA=PC=AC，求平面BPC与平面PCD的夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2+axlnx−x．
(1)当a=1时，求f(x)的零点；
(2)若f(x)恰有两个极值点，求a的取值范围．
答案
1.D
2.A
3.D
4.D
5.B
6.D
7.B
8.B
9.AB
10.ACD
11.BCD
12.35
13.0
14.解：(1)(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，
令x=1，
则a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a10=1①，
令x=0，
则a0=1，
故a1+a2+…+a10=0；
(2)令x=−1，
则a0−a1+a2−⋅⋅⋅+a10=310②，
①−②2可得，a1+a3+a5+a7+a9=−29524．
15.解：(1)记事件Ai，Bi分别表示第一次、第二次取到i号球，i=1，2，3，
则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率P(B1|A3)=36=12；
(2)依题意A1，A2，A3 两两互斥，其和为Ω，并且P(A1)=24=12，P(A2)=P(A3)=14，P(B2|A1)=14,P(B2|A2)=14,P(B2|A3)=26=13，
由全概率公式可得，P(B2)=P(B2|A1)P(A1)+P(B2|A2)P(A2)+P(B2|A3)P(A3)=14×12+14×14+13×14=1348．
16.解：(1)从袋子中随机取出4个小球，共有C94=126种不同的取法，
由取出的红球个数大于黄球个数，可知取出3个红球或4个红球，
取出3个红球的取法有C63C31=60种，取出4个红球的取法有C64=15种，
故所求的概率P=60+15126=2542；
(2)由题可知，X的取值可能为1，2，3，4，
则P(X=1)=C61C33C94=121，P(X=2)=C62C32C94=514，
P(X=3)=C63C31C94=1021，P(X=4)=C64C94=542，
所以X的分布列为：
则E(X)=1×121+2×514+3×1021+4×542=83．
17.解：(1)证明：如图，取BC的中点E，连接AE，
因为EC/​/AD，EC=AD，
所以四边形ADCE为平行四边形，
因为AD=DC，所以四边形ADCE为菱形，所以AE=BE=EC，所以AB⊥AC，
因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAC，
因为PC⊂平面PAC，
所以AB⊥PC．
(2)由(1)可知AB⊥平面PAC，
因为PA=PC，取AC中点为O，连PO，所以PO⊥AC，
分别以OE，OC，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(2,− 3,0)，C(0, 3,0)，D(−1,0,0)，P(0,0,3)，
所以CP=(0,− 3,3)，BC=(−2,2 3,0)，DC=(1, 3,0)，
设平面PBC的法向量为m=(x1,y1,z1)，
由CP⋅m=− 3y1+3z1=0BC⋅m=−2x1+2 3y1=0，
取z1=1，则y1= 3，x1=3，
所以m=(3, 3,1)，
设平面PCD的法向量为n=(x2,y2,z2)，
由DC⋅n=x2+ 3y2=0CP⋅n=− 3y2+3z2=0，
取z2=1，得y2= 3，x2=−3，
则n=(−3, 3,1)，
所以cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=−5 13× 13=−513，
设平面BPC与平面PCD的夹角为θ，
则csθ=|cs〈m,n〉|=513，
所以，平面BPC与平面PCD夹角的余弦值为513．
18.解：(1)当a=1时，f(x)=0⇒x+lnx−1=0，
令g(x)=x+lnx−1，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为g(1)=0，所以f(x)有且仅有一个零点x=1．
(2)由题意得f′(x)=2x+alnx+a−1，
令ℎ(x)=2x+alnx+a−1，则ℎ′(x)=2x+ax．
若a⩾0，则ℎ′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
ℎ(x)最多只有一个零点，则f(x)最多只有一个极值点，不符合题意．
若a<0，则当x∈(0,−a2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
当x∈(−a2,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
则ℎ(x)min=ℎ(−a2)=aln(−a2)−1．
令φ(x)=xln(−x2)−1，x<0，则φ′(x)=ln(−x2)+1，
当x∈(−∞,−2e)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，
当x∈(−2e,0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，
则φ(x)max=2e−1<0，则ℎ(−a2)<0．
当x→0时，∃x1∈(0,−a2)，ℎ(x1)=0．
令m(x)=ex−x22−x−1，则m′(x)=ex−x−1，
易得m′(x)⩾0恒成立，故m(x)单调递增．
当x>0时，m(x)>m(0)=0，即ex>x22+x+1，
则ℎ(e−a)=2e−a−1+a(−a)+a>2[1+(−a)+(−a)22]−1+a(−a)+a=1−a>0．
因为e−a>−a+1>−a2，所以∃x2∈(−a2,e−a)，ℎ(x2)=0，
当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时，ℎ′(x)>0，
当x∈(x1,x2)时，ℎ′(x)<0，则f(x)恰有两个极值点．
故当f(x)恰有两个极值点时，a的取值范围为(−∞,0)．
ξ
−1
1
3
P
m
13
2m−1
X
1
2
3
4
P
121
514
1021
542