湖北省襄阳四中、恩施高中、夷陵中学2024年6月高二联合测评数学试卷（含答案）

这是一份湖北省襄阳四中、恩施高中、夷陵中学2024年6月高二联合测评数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知(1+2x)n的展开式的各项系数之和为81，则n=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
2.学校要从8名候选人(其中3名来自甲班)中选4名同学组成学生会，则甲班恰有2名同学被选中的概率为( )
A. 14B. 23C. 37D. 415
3.设fx是可导函数，若limΔx→0f3−3Δx−f3Δx=3，则f′3=( )
A. −1B. −13C. 13D. 1
4.如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为0 , 1 , 2 , ⋯ , 10，用X表示小球最后落入格子的号码，若P(X=k)≤P(X=k0)，则k0=
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局将安排包括甲､乙在内的4名城区教师前往三所乡镇学校支教．若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则甲､乙不安排在同一个学校的概率为( )
A. 112B. 1112C. 16D. 56
6.把1，2，3，4，5这5个数排成一列，则满足先增后减(例如：1，3，5，4，2)的数列的个数是( )．
A. 6B. 10C. 14D. 20
7.不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为( )
A. 45B. 25C. 815D. 89
8.已知函数f(x)=2aex与g(x)=lnx+1存在公切线，则实数a的最小值为( )
A. 1eB. 12eC. 14eD. 16e
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. Anm=nAn−1m−1(m,n为正整数且n>m>1)
B. 满足方程C16x2−x=C165x−5的x值可能为x=1或x=3
C. 甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法
D. 把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有10种
10.下列命题中，正确的有( )
A. 若随机变量X∼N2,σ2，P(X>1)=0.68，则P(2≤X<3)=0.18
B. 若P(A)=0.6，P(B)=0.4，PBA=0.4，则事件A与事件B独立
C. 若随机变量X∼B6,13，则DX=43
D. 若A,B两组成对数据的样本相关系数分别为rA=0.97，rB=−0.99，则A组数据比B组数据的相关性强
11.函数fx=xex与gx=lnxx之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的是( )
A. 若∃x1∈R，∃x2∈0,+∞，使得a≤fx1+gx2成立，则a≤2e
B. fln2<4−ln4e2
C. 直线y=m(m<0)与两个函数图象交点的横坐标之积的范围是−∞,0
D. 若直线y=m过两个函数图象的公共点，则直线y=m与两个函数图象的所有交点横坐标从小到大排列依次构成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知变量x,y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为y=0.85x+a，据此模型预测，当x=10时y的值为_________．
13.若函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极小值，则实数c=____________________．
14.根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X(X为正整数)满足：对于任意的n∈N∗，X=n+1的样本在X>n的样本里的数量占比与X=1的样本在全体样本中的数量占比相同，且均等于15，即P(X=n+1|X>n)=P(X=1)=15，则P(X=n)=____________________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在 x+1a4x8的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1．
(1)求展开式中含x14的项；
(2)求展开式中所有项的二项式系数的和及二项式系数最大的项．
16.(本小题12分)
某工厂有10000名工人，想通过验血的方法筛查出某种细菌感染性疾病，抽样化验显示，当前携带该细菌的人约占0．9％，若逐个化验需要化验10000次．统计专家提出一种化验方法：随机按n人一组进行分组，将各组n人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性(未感染)，则这n人的血样全部阴性;若混合血样呈阳性(感染)，则说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．该疾病主要通过人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上人群．该细菌进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对已发现的90个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为7．2，方差为2．252．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
(1)依据α=0．05的独立性检验，能否认为“长潜伏期”与年龄有关;
(2)假设潜伏期X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．为了防止该疾病的传播，现要求感染者的密接者居家隔离14天，请用概率的知识解释其合理性．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
若ξ∼ N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x3−alnx(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数g(x)=f(x)−6x在区间[1,e]上是增函数，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
在信息理论中，X和Y是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：P(X=xi)=mi，P(Y=xi)=ni，mi>0，ni>0，i=1，2，⋯，n，i=1nmi=i=1nni=1．定义随机变量X的信息量H(X)=−i=1nmilg2mi，X和Y的“距离”KL(X||Y)=i=1nmilg2mini．
(1)若X∼B(3,12)，求X的分布列和H(X);
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为p(0(ⅰ)若p=12,q=23，求接收台收到信号为1的条件下，发报台发出信号为1的概率;
(ⅱ)记随机变量X和Y分别为发出信号和收到信号，证明：KL(X||Y)≥0．
19.(本小题12分)
若函数f(x)的定义域为I，有x0∈I，使f′(x0)=0且f(x0)=0，则对任意实数k，b，曲线y=f(x)+kx+b与直线y=kx+b总相切，称函数y=f(x)为恒切函数．
(1)判断函数f(x)=x⋅sinx是否为恒切函数，并说明理由;
(2)若函数g(x)=aex2−x−pa为恒切函数(a,p∈R)．
(ⅰ)求实数p的取值范围;
(ⅱ)当p取最大值时，若函数ℎ(x)=g(x)⋅ex+1+2m为恒切函数，记A=(−3e32,0]，证明：m∈A.
(注：e=2.71828⋯是自然对数的底数.参考数据：e3≈20)
答案
1.A
2.C
3.A
4.B
5.D
6.C
7.D
8.B
9.ABD
10.ABC
11.ABD

13.2
14.15×(45)n−1
15.解：(1)二项式( x+1a4x)8展开式的通项为Tr+1==C8r(1a)r(x12)8−r(x−14)r=C8r1arx16−3r4，
所以第一项的系数为C80(1a)0=1，
第二项的系数为：C81(1a)1=8a，
第三项的系数为：C82(1a)2=28a2，
由前三项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1，
则2×8a=1+28a2，
解得：a=2，或a=14(舍去)，
二项式( x+124x) 8通项公式为Tr+1=C8r(12)rx16−3r4，
根据题意，得16−3r4=14，
解得：r=5，
因此，展开式中含1x4的项为：T6=C85(12)5x14=74x14；
(2)因为n=8，所以二项式系数的和为28=256，
因为n=8，Tr+1=C8r(12)rx16−3r4，
所以二项式系数最大的项为T4+1=C84(12)4x16−3×44=358x.
16.解:
(1) 零假设H0: “长潜伏期”与年龄无关.
根据列联表中的数据得χ​2=90×(15×15−50×10)265×25×25×65=2178845≈2.58<3.841,
故依据α=0.05的独立性检验,认为“长潜伏期”与年龄无关.
(2) 因为潜伏期X~N(7.2，2.252),
由P(X≥13.95)=1−0.99742=0.0013,
得知潜伏期超过14天的概率很低,因此隔离14天是合理的.
17.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=x2−ax=x3−ax，
①当a≤0时，f′(x)>0，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a>0时，令f′(x)>0，可得x>3a;
令f′(x)<0，可得0所以函数f(x)在(3a,+∞)上单调递增，在(0,3a)上单调递减．
综上知， ①当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a>0时，函数f(x)在(3a,+∞)上单调递增，在(0,3a)上单调递减．
(2)由g′(x)=f′(x)−6=3x2−ax−18=x3−6x−ax，
若函数g(x)=f(x)−6x在区间[1,e]上是增函数，
则x∈[1,e]时，a≤x3−6x恒成立，
令ℎ(x)=x3−6x(1≤x≤e)，则ℎ′(x)=3x2−6=3(x2−2)，
令ℎ′(x)>0，解得 2令ℎ′(x)<0，解得1所以ℎ(x)min=ℎ( 2)=2 2−6 2=−4 2，
所以a≤−4 2，
故实数a的取值范围为(−∞,−4 2].
18.解：(1)因为X∼B(3,12)，pX=k=C3k123,k=0,1,2,3，
所以X的分布列为：
H(X)=−(18lg218+38lg238+38lg238+18lg218)=3−34lg23;
(2)(i)记发出信号0和1分别为事件Ai，
接受信号0和1分别为事件Bi，
则P(A0)=p，P(A1)=1−p，
P(B0|A0)=P(B1|A1)=q，
P(B1|A0)=P(B0|A1)=1−q，
所以P(B1)=P(A0)P(B1|A0)+P(A1)P(B1|A1)
=p(1−q)+(1−p)q=p+q−2pq，
所以P(A1|B1)=P(A1)P(B1|A1)P(B1)=(1−p)qp+q−2pq=23．
(ii)由(i)知，P(B1)=1−P(B0)=p+q−2pq，
所以P(B0)=1−p−q+2pq，
所以KL(X||Y)=plg2p1−p−q+2pq+(1−p)lg21−pp+q−2pq，
设f(x)=1−1x−lnx，则f′(x)=1−xx2，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)递增递增;
当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减;
所以f(x)≤f(1)=0，即lnx≥1−1x，
所以lg2x=lnxln2≥1ln2(1−1x)，
所以KL(X||Y)≥p⋅1ln2(1−1−p−q+2pqp)+(1−p)⋅1ln2(1−p+q−2pq1−p)=0，
当且仅当p1−p−q+2pq=1−pp+q−2pq=1，
即p=12，019.解：(1)函数f(x)=x⋅sinx是恒切函数，理由如下：
设函数f(x)=x⋅sinx为恒切函数，则有x0∈I，使f′(x0)=0且f(x0)=0，
即sinx0+x0csx0=0x0sinx0=0,
解得x0=0，
故函数f(x)=x⋅sinx是恒切函数．
(2)(i)由函数g(x)=aex2−x−pa为恒切函数可知，
存在x0，使得g′(x0)=0且g(x0)=0，
即aex02−x0−pa=0aex02−1=0解得a=2ex0，p=ex0(1−x0)2，
设Q(x)=ex(1−x)2，∴Q′(x)=−xex2，
当x∈(−∞,0)时，Q′(x)>0,Q(x)递增;当x∈(0,+∞)时，Q′(x)<0,Q(x)递减．
∴Q(x)≤Q(0)=12，即实数p的取值范围是(−∞,12].
(ii)证明：当p=12时，a=2，函数ℎ(x)=(ex−x−1)ex+1+2m为恒切函数．
又ℎ′(x)=(2ex−x−2)ex+1，
所以存在x0，使得ℎ′(x0)=0，即2ex0−x0−2=0．
令T(x)=2ex−x−2，则T′(x)=2ex−1，
当x∈(−∞,−ln2)时，T(x)递减;当x∈(−ln2,+∞)时，T(x)递增．
所以当x∈(−∞,−ln2)时，
T(−2)=2e−2>0，T(−32)=2e−32+32−2=2⋅1 e3−12<0，
故在(−2,−32)上存在唯一x0，
使得2ex0−x0−2=0，即ex0=x0+22．
又由ℎ(x0)=(ex0−x0−1)ex0+1+2m=0
得−2m=(ex0−x0−1)ex0+1=−e4x0(x0+2)
由x0∈(−2,−32)得x0(x0+2)∈(−34,0)，所以−3e32又T(0)=0，所以当x∈(−ln2,+∞)时，有唯一零点x1=0，
故由ℎ(x1)=0得2m=0，即m=0．
∴m∈A. x
1
2
3
4
5
y
3
4.5
4.8
6.4
6.3
年龄/人数
长期潜伏
非长期潜伏
40岁以上
15
50
40岁及40岁以下
10
15
α
0.1
0.05
0.010
xα
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
3
P
18
38
38
18