2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高一（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是( )
A. 圆柱B. 圆台C. 圆锥D. 两个圆锥
2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且满足m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是( )
A. 若m//β，则m/​/nB. 若m⊥β，则α⊥β
C. 若m/​/n，则α/​/βD. 若m⊥n，则m⊥β
3.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形(如图所示)，则原平面图形的周长为( )
A. 8
B. 2+2 2
C. 4
D. 8 2
4.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”
B. “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
C. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”
5.在△ABC中，a=3 2,c=3,∠A=45°，则△ABC的最大内角等于( )
A. 105°B. 120°C. 125°D. 150°
6.某试验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田(种植环境相同)连续5次的产量如下：
则下列说法错误的是( )
A. 甲种水稻产量的众数为250
B. 乙种水稻产量的极差为70
C. 甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数
D. 甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acsC=2ccsA，则bca2的最大值为( )
A. 3B. 32C. 32D. 3
8.已知|m|=|n|=1，p=m+xn(x∈R)，函数f(x)=|p|，当x= 34时，f(x)有最小值，则m在n上的投影向量为( )
A. 34nB. 32nC. − 34nD. − 32n
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1=2−i，z2=2+i，则( )
A. z1−z2为纯虚数
B. 复数z1z2在复平面内对应的点位于第四象限
C. z1⋅z2−=z1−⋅z2(注意：z−表示复数z的共轭复数)
D. 满足|z−z1|=|z−z2|的复数z在复平面内对应的点的轨迹为直线
10.已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，则下列条件能使△ABC只有一个解的是( )
A. a=1，b=2，c∈N+
B. a=1，b=2，acsB+bcsA=2ccsB
C. a=1,b=2,S= 32
D. a=1，b=2，A+B=2C
11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，且AB=BC=CC1=2，M为线段BC上的动点，则( )
A. AB1⊥A1M
B. 三棱锥C1−AMB1的体积不变
C. |A1M|+|C1M|的最小值为3+ 5
D. 当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC−A1B1C1外接球所得的截面面积为269π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=1−i，i为虚数单位，则|z|= ______．
13.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=λAE+μAF，其中λ、μ∈R，则λ+μ=______．
14.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12，该纸片，上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH使得点E，F，G，H重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a与b的夹角θ=3π4，且|a|=3，|b|=2 2．
(1)求a⋅b，|a+b|；
(2)求a与a+b的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求出a的值；
(2)求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
(3)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．
17.(本小题12分)
如图，在多面体PABCDE中，PA⊥平面ABCD，DE/​/PA，PA=2DE=2AD=4，四边形ABCD是正方形．
(1)求直线BE与平面ADEP所成角的余弦值；
(2)证明：PE⊥平面ABE；
(3)求平面BCE与平面ADEP所成的二面角的平面角的大小．
18.(本小题17分)
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价．
现设n=3，分别以a1，a2，a3表示第一次排序时被排为1，2，3的三种酒在第二次排序时的序号，并令X=|a1−1|+|a2−2|+|a3−3|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有X=0，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有X≤2，且至少有一轮测试出现X≠0，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号．
(1)用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的a1，a2，a3排序结果，并求出相应的X值；
(2)甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件D=“甲被授予一级品酒师称号”，求P(D)；
(3)甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件E=“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求P(E)．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积记为S，且满足b2+4 3S=(a+c)2．
(1)求角B；
(2)D为AC边上一点，BD=2，且BABC=ADDC，求S的最小值．
(3)圆O是△ABC外接圆，P是圆O外一点，PM，PN分别切圆O于点M，N，若b=1，求PM⋅PN的最小值．
答案
1.C
2.B
3.A
4.B
5.A
6.D
7.C
8.C
9.AD
10.ABD
11.ABD
12. 2
13.43
14.100π3
15.解：(1)a⋅b=|a|⋅|b|cs=3×2 2×cs3π4=−6，
|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 9+2×(−6)+8= 5．
(2)由题意知，a⋅(a+b)=a2+a⋅b=9+(−6)=3，
设a与a+b的夹角为θ，则csθ=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|=33× 5= 55，
故a与a+b的夹角的余弦值为 55．
16.解：(1)由频率分布直方图的性质得：
10×(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1，得a=0.035；
(2)平均数为20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1=41.5岁；
设中位数为m，则10×0.010+10×0.015+(m−35)×0.035=0.5，∴m≈42.1岁；
(3)第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，
则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3，
从5人中随机抽取2人，所出现的可能的结果为：
{a1,a2}，{a1,b1}，{a1,b2}，{a1,b3}，{a2,b1}，{a2,b2}，{a2,b3}，{b1,b2}，{b1,b3}，{b2,b3}共10个基本事件，
这2人恰好在同一组的可能结果为：
{a1,a2}，{b1,b2}，{b1,b3}，{b2,b3}共4个，
所以这2人恰好在同一组的概率P=410=25．
17.解：(1)因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，
因为ABCD为正方形，所以AB⊥AD，
又AP∩AD=A，AP，AD⊂平面ADEP，
所以AB⊥平面ADEP，
故∠BEA就是直线BE与平面ADEP所成角，
在Rt△ABE中，易得AB=2，AE=2 2，
所以BE=2 3，
cs∠BEA= 63，
所以直线BE与平面ADEP所成角的余弦值为 63；
(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AD，
因为DE/​/PA，PA=2DE=2AD=4，
所以四边形ADEP为直角梯形，
所以PE=2 2，EA=2 2，
在△PEA中，PE2+EA2=PA2，则PE⊥EA，
故∠PEA=90°，
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，
在Rt△PAB中，PB= PA2+AB2=2 5，
在△PEB中，BE=2 3，PE2+BE2=PB2，
所以PE⊥EB，
由(1)知PE⊥EA，又EA∩EB=E，EA，EB⊂平面ABE，
所以PE⊥平面ABE；
(3)由(1)知AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(0,2,2)，
可得BC=(0,2,0)，BE=(−2,2,2)，
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BC=2y=0n⋅BE=−2x+2y+2z=0，
令x=1，则z=1，y=0，
设平面BCE的法向量为n=(1,0,1)，
易知AB⊥平面ADEP，
所以平面ADEP的一个法向量为AB=(2,0,0)，
设平面BCE与平面ADEP所成的二面角的平面角为θ，
则|csθ|=|cs|=|n⋅AB||n||AB|=2 2×2= 22，
结合图像，易知平面BCE与平面ADEP所成的二面角为锐角，
所以θ=45°．
18.解：(1)第二次排序时所有可能的a1，a2，a3排序及相应的X值列表如下：
(2)令A表示事件“X=0“，B表示事件“X=2“，C表示事件“X=4“．
由(1)知道P(A)=16,P(B)=13,P(C)=12．
甲参加第一轮测试X值记为X1，参加第二轮测试X值记为X2，设事件D1=“X1=0，X2=2“，D2=“X1=2，X2=0“，D3=“X1=2，X2=2“，
可得D=D1∪D2∪D3，
∵两轮测试结果相互独立，
∴(D1)=P(″X1=0 ″)⋅P(″X2=2 ″)=16×13=118，
P(D2)=P(″X1=2 ″)⋅P(″X2=0 ″)=13×16=118，
P(D3)=P(″X1=2 ″)⋅P(″X2=2 ″)=13×13=19，
∵D1，D2，D3互斥，
∴P(D)=P(D1∪D2∪D3)=P(D1)+P(D2)+P(D3)=118+118+19=29．
(3)设事件Ei=“甲在第i年测试中被授予特级品酒师称号”，i=1，2，
可得E=E1∪E2．
∴P(E1)= P(E2)= P(″X=0″)⋅P(″X=0″)=136，
∴E1，E2相互独立，
∴P(E)=P(E1∪E2)=P(E1)+P(E2)−P(E1∩E2)
=P(E1)+P(E2)−P(E1)P(E2)=118−(136)2=711296．
19.解：(1)由b2+4 3S=(a+c)2及S=12a⋅csinB，
可得b2+2 3acsinB=a2+c2+2ac，
所以 3sinB=a2+c2−b22ac+1，
由三角形余弦定理可得：csB=a2+c2−b22ac，
所以 3sinB=csB+1，
也即 3sinB−csB=1⇒sin(B−π6)=12，
因为0