2023-2024学年四川省眉山市东坡区部分学校高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省眉山市东坡区部分学校高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设平面向量a=(1,2)，b=(x,−3)，若a//b，则x=( )
A. −6B. −32C. −23D. 6
2.已知平行四边形ABCD中，AB=(1,2)，C(5,3)，则点D的坐标为( )
A. (2,−1)B. (−4,−1)C. (4,1)D. (6,5)
3.在△ABC中，已知A=120°，AB=5，BC=7，则AC为( )
A. 4B. 5C. 3D. 6
4.如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i,j}作为基底，若|a|= 2，θ=45°，则向量a的坐标为( )
A. (1,1)
B. (−1,−1)
C. ( 2, 2)
D. (− 2,− 2)
5.已知α∈(0,π4)，sin2α=35，则sin(α+π4)=( )
A. 525B. 55C. 2 55D. 45
6.若sinθ2−csθ2=12,π2<θ<π，则csθ=( )
A. − 74B. 74C. −34D. 34
7.在△ABC中，若2a−b=2ccsB，csA+csB=1，则△ABC一定是( )
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 无法确定
8.已知向量a,b，若|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°；若a+b与ta−b的夹角为钝角，则t取值范围为( )
A. (−∞,1)B. (1,+∞)
C. (−1,1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(−1,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.要得到函数y=cs(2x+π3)的图象，只需将函数y=csx图象上所有点的坐标( )
A. 向右平移π6个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)
B. 向左平移π3个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)
C. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π12个单位长度
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. ω=2
B. 函数y=f(x−π6)为偶函数
C. 函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称
D. 函数y=f(x)在[−π3,π12]上的最小值为− 3
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=b(2csA+1)，则下列结论正确的有( )
A. A=2B
B. 若a= 3b，则△ABC为直角三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，1tanB−1tanA的最小值为1
D. 若△ABC为锐角三角形，则ca的取值范围为( 22,2 33)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b满足|a|=6,|b|=4，且a与b的夹角为60°，则|a+b|= ______．
13.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m.
14.关于函数f(x)=|sinx|+sin|x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间(−π2,0)单调递减；
③f(x)在[−π,π]有4个零点；
④f(x)的最大值为2．
其中所有正确结论的编号是______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(1,m)，b=(3,4)，且满足|2a+b|=|b|．
(1)求实数m的值；
(2)设c⊥b，求非零向量c与a+b的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2csxsin(x+π3)− 32．
(1)求f(π6)的值；
(2)求函数f(x)在区间[0,π2]的最大值和最小值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsB−bcsA=−a−c．
(1)求B；
(2)若a=2,b=2 7，D为AC边的中点，求BD的长．
18.(本小题17分)
如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区(如矩形ABCD所示)，其中O为生活区入口.已知有三条路AB，BC，AD，路AD上有一个观赏塘T，其中AT=300m，路BC上有一个风雨走廊的入口L，其中BL=200m.现要修建两条路OT，OL，修建OT，OL费用成本分别为2λ/m，3λ/m.设∠TOA=α．
(1)当AO=600m，BO=200m时，求张角∠TOL的正切值；
(2)当OT⊥OL时，求当α取多少时，修建OT，OL的总费用最少，并求出此时总费用．
19.(本小题17分)
在① 3a−bsinC= 3ccsB，②cs2B2=2a−b+2c4c，③sin2A−cs2B+cs2C=sinAsinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知_____．
(1)求角C；
(2)若c=1，△ABC的面积S∈(0, 312)，求△ABC的周长l的取值范围；
(3)若 2c= 3b，CA= 3CD，求tan∠ABD．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案
1.B
2.C
3.C
4.A
5.C
6.A
7.A
8.D
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.2 19
13.100 6
14.①②④
15.解：(1)因为a=(1,m)，b=(3,4)，且|2a+b|=|b|，
所以|(5,2m+4)|= 25+(2m+4)2=5，
所以2m+4=0，所以m=−2；
(2)设c=(x,y), x2+y2≠0，因为c⊥b，所以3x+4y=0，所以x，y都不等于0，
设c与a+b的夹角为θ，a+b=(4,2)，
则csθ=c⋅(a+b)|c||a+b|=4x+2y2 5× x2+y2=52x2 5×|5x4|=± 55．
16.解：(1)因为f(x)=2csxsin(x+π3)− 32，
所以f(π6)=2csπ6sinπ2− 32= 3− 32= 32；
(2)因为f(x)=2csxsin(x+π3)− 32=2csx(12sinx+ 32csx)− 32
=12sin2x+ 32(1+cs2x)− 32=sin(2x+π3)，
因为x∈[0,π2]，令z=2x+π3，则π3≤z≤4π3，
而y=sinz在[π3,π2]上单调递增，在[π2,4π3]上上单调递减，
所以当z=π2时，即x=π12时，f(x)max=1；当z=4π3时，即x=π2时，f(x)min=− 32．
17.解：(1)因为acsB−bcsA=−a−c，
所以sinAcsB−csAsinB=−sinA−(sinAcsB+csAsinB)，
化简得2sinAcsB=−sinA，因为sinA>0，所以csB=−12，
因为B∈(0,π)，
所以B=2π3；
(2)因为(2 7)2=22+c2−2×2ccs2π3，
所以c2+2c−24=0，解得c=4，
因为BD为△ABC的中线，所以2BD=BA+BC，
所以4|BD|2=BA2+BC2+2BA⋅BC=|BA|2+|BC|2+2|BA|⋅|BC|csB=c2+a2+2accs2π3，
因为a=2，c=4，所以4|BD|2=12．
解得|BD|= 3．
所以BD的长为 3．
18.解：(1)设∠LOB=β，β为锐角，则tanβ=LBOB=1，
设∠TOA=α，则tanα=TAOA=12，
故tan∠TOL=tan[π−(α+β)]=−tan(α+β)=−tanα+tanβ1−tanαtanβ=−12+11−12×1=−3；
(2)当OT⊥OL时，∠LOB=π2−α，α∈(0,π2)，
故OT=300sinα，OL=200sin(π2−α)=200csα，
设修建OT，OL的总费用为y，
则y=300sinα×2λ+200csα×3λ=600λ⋅(1sinα+1csα)=600λ⋅sinα+csαsinαcsα，
设t=sinα+csα，则t= 2sin(α+π4)∈(1, 2],
则sinαcsα=t2−12，
所以y=600λ⋅sinα+csαsinαcsα=600λ⋅2tt2−1=1200λ⋅1t−1t，
因为y=t−1t在(1, 2]上单调递增，所以0所以y=1200λ⋅1t−1t的最小值为1200λ⋅1 22=1200 2λ，此时t= 2，即α=π4，
故当α=π4时，修建OT，OL的总费用最少，最少为1200 2λ．
19.解：(1)若选①： 3a−bsinC= 3ccsB，
由正弦定理得 3sinA−sinBsinC= 3sinCcsB，又sin(B+C)=sinA，
所以 3sinBcsC=sinBsinC，又sinB>0，所以 3csC=sinC，即tanC= 3，
又0若选②：因为cs2B2=2a−b+2c4c，所以1+csB2=2a−b+2c4c=2a−b4c+12，
所以csB=2a−b2c，所以a2+c2−b22ac=2a−b2c，所以a2+b2−c2=ab，
所以csC=a2+b2−c22ab=12，又0若选③：因为sin2A−cs2B+cs2C=sin2A−(1−sin2B)+(1−sin2C)=sinAsinB，
即sin2A+sin2B−sin2C=sinAsinB，所以由正弦定理得a2+b2−c2=ab，
所以csC=a2+b2−c22ab=12，又0(2)因为△ABC的面积S=12absinπ3= 34ab∈(0, 312)，所以ab∈(0,13)，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsπ3，即1=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，
所以a+b= 1+3ab，因为ab∈(0,13)，所以a+b∈(1, 2)，又c=1，
所以△ABC的周长l的取值范围为(2,1+ 2)；
(3)因为 2c= 3b，所以 2sinC= 3sinB，所以sinB= 2 3sinC= 2 3× 32= 22，
又bsin5π12=sin(π4+π6)=sinπ4csπ6+sinπ6csπ4= 6+ 24，
又CA= 3CD，所以CD= 33b,DA=(1− 33)b，
记∠ABD=θ，在△BCD中，由正弦定理得：CDsin(π4−θ)=BDsinπ3，
所以BD= 33b× 32sin(π4−θ)=b2sin(π4−θ)，
在△ABD中，由正弦定理得：ADsinθ=BDsin5π12，所以BD=(1− 33)b× 6+ 24sinθ=b 6sinθ，
所以b2sin(π4−θ)=b 6sinθ，所以2sin(π4−θ)= 6sinθ，整理化简得(1+ 3)sinθ=csθ，
所以tanθ=11+ 3= 3−12，即tan∠ABD= 3−12．