2023-2024学年湖南省永州市部分学校高二（下）段考数学试卷（5月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市部分学校高二（下）段考数学试卷（5月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若圆x2+y2−2ax+3by=0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b=0一定不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知抛物线的方程为y=2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为( )
A. (1,0)B. (116,0)C. (0,116)D. (0,1)
3.已知圆M：(x−a)2+y2=4(a>0)与圆N：x2+(y−1)2=1外切，则直线x−y− 2=0被圆M截得线段的长度为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
4.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A. x24+y23=1B. y26+x2=1C. x26+y2=1D. x28+y25=1
5.已知双曲线x2−y23=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1⋅PF2最小值为( )
A. −2B. −8116C. 1D. 0
6.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线与抛物线y=x2+116相切，则C的离心率为( )
A. 52B. 3C. 2D. 5
7.设P是双曲线x2a2−y29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x−2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|=3，则|PF2|=( )
A. 1或5B. 6C. 7D. 9
8.已知点E是抛物线C：y2=2px(P>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上，在△EFP中，若sin∠EFP=μ⋅sin∠FEP，则μ的最大值为( )
A. 22B. 32C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于双曲线C1：x24−y2=1与双曲线C2：y2−x24=1的下列说法正确的是( )
A. 它们的实轴长和虚轴长相同
B. 它们的焦距相同
C. 它们的渐近线相同
D. 若它们的离心率分别为e1，e2，那么1e12+1e22=1
10.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2，焦距为2 3，则双曲线的渐近线方程可以为( )
A. y= 2xB. y=− 2xC. y= 22xD. y=− 22x
11.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线C的离心率可以是( )
A. 12B. 23C. 32D. 2
12.已知双曲线C：x24−y29=1，则下列说法正确的是( )
A. 直线y=32x+1与双曲线有两个交点
B. 双曲线C与y29−x24=1有相同的渐近线
C. 双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D. 双曲线的焦点坐标为(−13,0)，(13,0)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l经过点A(5,10)，B(m,12)，且直线l的倾斜角是锐角，则实数m的取值范围是______．
14.若直线过点P(0,2)，且被圆x2+y2=4截得的弦长为2，则直线的斜率为______．
15.已知抛物线y2=4x上的任意一点P，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A(4,5)，则|PA|+d的最小值为______．
16.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
给定抛物线C：y2=4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点.若|FA|=2|BF|，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知圆C：x2+(y−a)2=4，点A(1,0)
(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；
(2)设AM、AN为圆C的两条切线，M、N为切点，当|MN|=4 55时，求MN所在直线的方程．
19.(本小题12分)
已知F1，F2为椭圆x2100+y2b2=1(00)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点，
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
21.(本小题12分)
设有三点A，B，P，其中点A，P在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，A (0,2)，B (2,0)，且OA+OB= 62OP．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°，直线l与椭圆C相交于E、F，求三角形OEF的面积．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，且其离心率为12．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问kMN⋅kOP(O为坐标原点)是否为定值？请说明理由．
答案
1.D
2.C
3.D
4.B
5.A
6.A
7.C
8.C
9.BCD
10.CD
11.AC
12.BC
13.(5,+∞)
14.± 33
15. 34−1
16. 2−1
17.解：显然直线l的斜率存在，故可设直线l：y=k(x−1)，
联立y=k(x−1)y2=4x，消去y得k2x2−(2k2+4)x+k2=0，
则x1x2=1，故x1=1x2①，
又|FA|=2|BF|，∴FA=2BF，则x1−1=2(1−x2) ②，
由①②得x2=12(x2=1舍去)，
所以B(12,± 2)，直线l的斜率为k=kBF=±2 2，
∴直线l的方程为y=±2 2(x−1)．
18.解：(1)∵过点A的切线存在，∴点A在圆外或圆上，
由点与圆的位置关系，得1+a2≥4，解之得a≥ 3或a≤− 3；
(2)如图，设MN与AC交于D点
由|MN|=4 55，得|DM|=12|MN|=2 55．
又∵|MC|=2，∴由垂径定理，得|CD|= 4−45=4 5，
∴Rt△MCD中，cs∠MCD=4 52=2 5，即cs∠MCA=2 5
∵Rt△MCA中，|AC|=|CM|cs∠MCA= 5，∴|OC|=2，|AM|=1
MN是以A为圆心、半径为AM的圆与圆C的公共弦，
∵圆A的方程为：(x−1)2+y2=1，圆C的方程的方程为：x2+(y−2)2=4或x2+(y+2)2=4，
∴MN所在直线方程为(x−1)2+y2−1−x2−(y−2)2+4=0即x−2y=0；
或(x−1)2+y2−1−x2−(y+2)2+4=0即x+2y=0，
综上所述，直线MN得方程为x−2y=0或x+2y=0．
19.解：(1)∵P点在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=|2a=20，
∵|PF1|>0，|PF2|>0，∴|PF1|⋅|PF2|≤(|PF1|+|PF2|)24=100，
∴|PF1|⋅|PF2|有最大值100．
(2)∵a=10，|F1F2|=2c．
设|PF1|=t1，|PF2|=t2，
则根据椭圆的定义可得：t1+t2=20①，
在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，
所以根据余弦定理可得：t12+t22−2t1t2⋅cs60°=4c2②，
由①2−②得3t1⋅t2=400−4c2，
所以由正弦定理可得：S△F1PF2=12t1t2⋅sin60°=12×13×(400−4c2)× 32=64 33．
所以c=6，
∴b=8．
20.解：(1)连接PF1，由△POF2为等边三角形，可知在△F1PF2中，
∠F1PF2=90°，|PF2|=c，|PF1|= 3c，于是2a=|PF1|+|PF2|=( 3+1)c，
故曲线C的离心率e=ca= 3−1．
(2)由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在，当且仅当：
12|y|·2c=16，yx+c·yx−c=−1，x2a2+y2b2=1，
即c|y|=16①，
x2+y2=c2②，
x2a2+y2b2=1③，
由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2，又由①知y2=162c2，故b=4，
由②③得x2=a2c2(c2−b2)，所以c2≥b2，
从而a2=b2+c2≥2b2=32，故a≥4 2，
当b=4，a≥4 2时，存在满足条件的点P．
所以b=4，a的取值范围为[4 2,+∞)．
21.解：(1)由题意知，b=2，设P(x,y)，
由OA+OB= 62OP，得(2,2)= 62(x,y)，则x=4 6y=4 6，
将点P代入椭圆方程x2a2+y24=1，可得166a2+1624=1，即a2=8．
∴椭圆方程为x28+y24=1；
(2)c= a2−b2=2．
∴直线l的方程为y=x−2，代入椭圆方程x28+y24=1，
整理得：3x2−8x=0，则x=0或x=83．
∴交点坐标为(0,−2)和(83,23)，
∴|EF|= (83)2+(23+2)2=83 2，
点O到直线l的距离d=|−2| 2= 2．
∴S△OEF=12× 2×83 2=83．
22.解：(1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，∴椭圆C的半焦距为c=1，
又椭圆的离心率e=ca=12，∴a=2，则b= a2−c2= 3．
∴椭圆C的方程为x24+y23=1；
(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，
联立y=kx+m3x2+4y2−12=0，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0．
△>0即只需n2