2023-2024学年北京市怀柔区青苗学校普高部高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市怀柔区青苗学校普高部高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知某天从北京到上海的高铁有43班，动车有2班，其他列车有3班，小张想这一天坐火车从北京到上海去旅游，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择？( )
A. 48B. 49C. 258D. 89
2.A93等于( )
A. 9×3B. 93
C. 9×8×7D. 9×8×7×6×5×4×3
3.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )
A. 110B. 210C. 810D. 910
4.已知某地区内狗的寿命超过15岁的概率为0.8，超过20岁的概率为0.2，那么该地区内，一只寿命超过15岁的狗，寿命超过20岁的概率为( )
A. 0.16B. 0.25C. 0.6D. 0.4
5.若−1，x，3成等差数列，则x的值为( )
A. 1.5B. 1C. 2D. ± 2
6.数列an满足an+1=4an+3，且a1=0，则a3=( )
A. 15B. 3C. 12D. 4
7.在等差数列an中，已知a1，a2014为方程x2−7x+6=0的两根，则a2+a2013等于( )
A. 6B. 13C. 7D. 42
8.从集合1,2,3,4,5中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为( )
A. 10B. 15C. 20D. 25
9.某一批种子的发芽率为23.从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为( )
A. 29B. 827C. 49D. 23
10.若Sn是等差数列an的前n项和，S9>Snn∈N∗，则( )
A. a9≥0，a10<0B. a9>0，a10<0C. a9=0，a10<0D. a9>0，a10=0
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知数列an是等差数列，a6=5，a3+a8=15，则a5的值为 ．
12.(2+x)6的展开式中x3的系数是 .(用数字作答)
13.将序号分别为1,2,3,4的4张参观券全部分给3人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
14.已知1−2xn的展开式的二项式系数之和为32，则n= ；各项系数之和为 .(用数字作答)
15.已知无穷等差数列an为递增数列，Sn为数列an前n项和，则以下结论正确的是
①an+1>an
②Sn+1>Sn
③数列Sn有最小项
④数列Snn为递增数列
⑤存在正整数N0，当n>N0时，an>0
则以下结论正确的是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知等差数列an中，a3=4，a7=−8．
(1)求这个数列的第10项；
(2)−56和−40是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．
17.(本小题12分)
已知某种药物对某种疾病地治愈率为34，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈．
(1)求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率；
(2)设有X人被治愈，求X的分布列和数学期望．
18.(本小题12分)
现有10件产品(除了2件一等品外，其余都是二等品)，任意从中抽取3件：
(1)一共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰有1件一等品的抽法共有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件一等品的抽法共有多少种？
19.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn=2n2−18n
(1)求数列an的通项公式an
(2)判断数列an是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由；
(3)求Sn的最小值，并求Sn取最小值时n的值．
20.(本小题12分)
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.52,9.50,9.40,9.35,9.30,9.25；
乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；
丙：9.85,9.65,9.20,9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求X的分布列和数学期望EX；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)
21.(本小题12分)
在数列an中，已知a1=5，且an=2an−1+2n−1n≥2,n∈N+
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在实数λ，使得数列an+λ2n为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
答案
1.A
2.C
3.A
4.B
5.B
6.A
7.C
8.C
9.C
10.B
11.10
12.160
13.18
14.5；−1．
15.①③④⑤
16.(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，
则a3=a1+2d=4a7=a1+6d=−8，解得a1=10，d=−3，所以an=10+(n−1)×(−3)=13−3n，
故a10=13−30=−17．
(2)由(1)知an=13−3n，由−56=13−3n，得到n=23∈N∗，由−40=13−3n，得到n=533∉N∗，
所以−56是这个数列中的项，是第23项，−40不是这个数列中的项．
17.(1)设甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率为P1，
因为每名患者被治愈的概率不会互相影响，所以构成独立重复实验．
则P1=34×34×34×(1−34)=27256
(2)根据题意可知X=0,1,2,3,4.则X∼B(4,34).
P(X=0)=C40(34)0(14)4=1256，
P(X=1)=C41(34)1(14)3=364，
P(X=2)=C42(34)2(14)2=27128，
P(X=3)=C43(34)3(14)1=2764，
P(X=4)=C44(34)4(14)0=81256．
则X分布列为：
数学期望为：E(X)=np=4×34=3．
18.(1)从10件产品中任意抽取3件，共有C103=10×9×83×2×1=120种不同抽法；
(2)从10件产品中任意抽取3件恰有1件一等品，这件事可分两步完成：
第一步，从2件一等品中抽取1件一等品，共有C21种抽法；
第二步，从8件二等品中抽取2件二等品，共有C82种抽法，
根据乘法原理，不同的抽法种数为C21C82=56种.
(3)从10件产品中任意抽取3件至少有1件一等品，这件事可分两类：
第一类，抽取的3件产品中有1件一等品的抽法有C21C82种；
第二类，抽取的3件产品中有2件一等品的抽法有C22C81种；
由加法原理得，不同的抽法共有C21C82+C22C81=64种.
19.(1)当n=1时，a1=S1=−16，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n2−18n−2n−12−18n−1=4n−20，
又4×1−20=−16，
所以n=1时，an=4n−20也成立，
所以数列an的通项公式为an=4n−20，n∈N∗．
(2)数列an为等差数列，证明如下：
因为an+1−an=4n+1−20−4n−20=4，
所以数列an是等差数列．
(3)因为Sn=2n2−18n=2n−922−812，又n∈N∗，
所以当n=4或5时，Sn最小，最小值为S4=S5=−40．
20.(1)由题知，甲以往10次比赛，其中成绩在9.50m以上(含9.50m)共有6次，
所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为610=35．
(2)记事件A：甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖，事件B：乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖，
事件C：丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖，
则P(A)=35，P(B)=12，P(C)=12，
X的可能取值为0,1,2,3，
P(X=0)=(1−35)(1−12)(1−12)=110，
P(X=1)=35(1−12)(1−12)+25×12×12×2=720，
P(X=2)=35×12×12×2+25×12×12=25，
P(X=3)=35×12×12=320，
所以X的分布列为
E(X)=0×110+1×720+2×25+3×320=85．
(3)丙夺冠概率估计值最大．
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85m的概率为14，
甲获得9.80m的概率为110，乙获得9.78m的概率为16，
并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利．
21.(1)因为a1=5，且an=2an−1+2n−1n≥2,n∈N+，
所以a2=2a1+2=2×5+2=12，a3=2a2+22=2×12+22=28．
(2)假设数列an+λ2n为等差数列，
因为an=2an−1+2n−1，所以an+λ2n−an−1+λ2n−1=an+λ−2an−1−2λ2n=2an−1+2n−1+λ−2an−1−2λ2n=2n−1−λ2n=12−λ2n，
当λ=0，得到an+λ2n−an−1+λ2n−1=12为常数，
故存在实数λ，使得数列an+λ2n为等差数列，λ=0．
X
0
1
2
3
4
P
1256
364
27128
2764
81256
X
0
1
2
3
P
110
720
25
320