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    2023-2024学年北京市第五十七中学高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

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    2023-2024学年北京市第五十七中学高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

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    这是一份2023-2024学年北京市第五十七中学高一下学期期中考试数学试卷(含答案),共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.已知抛物线方程为x2=2y,则其准线方程为( )
    A. y=−1B. x=−1C. x=−12D. y=−12
    2.已知角a的终边在第三象限,且tanα=2,则sinα−csα=( )
    A. −1B. 1C. − 55D. 55
    3.已知P为椭圆C:x24+y2b2=1上的动点.A(−1,0),B(1,0),且|PA|+|PB|=4,则b2=( )
    A. 1B. 2C. 3D. 4
    4.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的渐近线经过点1,2,则双曲线的离心率为( )
    A. 2B. 3C. 2D. 5
    5.已知x,y∈R,且x+y>0,则( )
    A. 1x+1y>0B. x3+y3>0C. lg(x+y)>0D. sin(x+y)>0
    6.已知F为抛物线y2=4x的焦点,点Pnxn,ynn=1,2,3,⋯在抛物线上.若Pn+1F−PnF=1,则( )
    A. xn是等差数列B. xn是等比数列C. yn是等差数列D. yn是等比数列
    7.已知圆C过点A−1,2,B1,0,则圆心C到原点距离的最小值为( )
    A. 12B. 22C. 1D. 2
    8.已知函数fx=sin2x+π4,则“α=π8+kπk∈Z”是“fx+α是偶函数,且fx−α是奇函数”的( )
    A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
    C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
    9.在平面直角坐标系xOy中,点A(1,1),B(2,1),C(2,2),P是圆M:x2+(y−4)2=2上一点,Q是▵ABC边上一点,则OP⋅OQ的最大值是( )
    A. 8+2 2B. 12C. 8+4 2D. 16
    10.已知动直线l与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,且∠AOB=120∘.若l与圆(x−2)2+y2=25相交所得的弦长为t,则t的最大值与最小值之差为( )
    A. 10−4 6B. 1C. 4 6−8D. 2
    二、填空题(每小题5分,共25分)
    11.已知a,b均为实数.若b+i=ia+i,则a+b= .
    12.已知圆C:x2+y2+2x=0,则圆C的半径为 ;若直线y=kx被圆C截得的弦长为1,则k= .
    13.已知抛物线C:y2=4x与椭圆D:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)有一个公共焦点F,则点F的坐标是 ;若抛物线的准线与椭圆交于A,B两点,O是坐标原点,且▵AOB是直角三角形,则椭圆D的离心率e= .
    14.已知fx=sinx+csx的图象向右平移aa>0个单位后得到gx的图象,则函数gx的最大值为 ;若fx+gx的值域为0,则a的最小值为 .
    15.已知四边形ABCD是椭圆M:x22+y2=1的内接四边形,其对角线AC和BD交于原点O,且斜率之积为−13.给出下列四个结论:
    ①四边形ABCD是平行四边形;
    ②存在四边形ABCD是菱形;
    ③存在四边形ABCD使得∠AOD=91∘;
    ④存在四边形ABCD使得|AC|2+|BD|2=645.
    其中所有正确结论的序号为 .
    三、解答题(共75分)
    16.已知函数f(x)=4sinωx2cs(ωx2−π3)+m (ω>0).在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中,选择可以确定ω和m值的两个条件作为已知.
    (1)求f(π3)的值;
    (2)若函数f(x)在区间[0, a]上是增函数,求实数a的最大值.
    条件①:f(x)最小正周期为π;条件②:f(x)最大值与最小值之和为0;条件③:f(0)=2.
    注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.
    17.在ΔABC中,点D是边AB上一点,且ADDB=13.记∠ACD=α,∠BCD=β.
    (1)求证:ACBC=sinβ3sinα;
    (2)若α=π6,β=π2,AB= 19,求BC的长.
    18.如图,在四棱锥P−ABCD中,AD⊥平面PAB,AB//DC,E为棱PB的中点,平面DCE与棱PA相交于点F,且PA=AB=AD=2CD=2,再从下列两个条件中选择一个作为已知.
    条件①:PB=BD;条件②:PA⊥BC.
    (1)求证:AB//EF;
    (2)求点P到平面DCEF的距离;
    (3)已知点M在棱PC上,直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23,求PMPC的值.
    19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0,离心率为 22,直线l过点F且不平行于坐标轴,l与C有两交点A,B,线段AB的中点为M.
    (1)求椭圆C的方程:
    (2)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
    (3)延长线段OM与椭圆C交于点P,若四边形OAPB为平行四边形,求此时直线l的斜率.
    20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为 32,椭圆C与y轴交于A,B两点,且AB=2.
    (1)求椭圆C的方程.
    (2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及EF的最大值.
    21.设m为正整数,若无穷数列an满足aik+i=aik+i (i=1,2,⋯,m;k=1,2,⋯),则称an为Pm数列.
    (1)数列n是否为P1数列?说明理由;
    (2)已知an=s,n=2k1+1,k1∈Zt,n=2k2,k2∈Z其中s,t为常数.若数列an为P2数列,求s,t;
    (3)已知P3数列an满足a10,所以ω=2,
    由③知,f(0)=2sin(−π3)+ 3+m=2,所以m=2,
    则f(x)=2sin(2x−π3)+ 3+2,所以f(π3)=2sinπ3+ 3+2=2 3+2;
    (2)令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ(k∈Z),所以−π12+kπ≤x≤5π12+kπ(k∈Z),
    所以函数f(x)的单调增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ](k∈Z),
    因为函数f(x)在[0,a]上单调递增,且0∈[−π12,5π12],此时k=0,
    所以a≤5π12,故实数a的最大值为5π12.
    说明:不可以选择条件②③:
    由②知,(2+ 3+m)+(−2+ 3+m)=0,所以m=− 3;
    由③知,f(0)=2sin(−π3)+ 3+m=2,所以m=2;矛盾.
    所以函数f(x)不能同时满足条件②和③.
    17.(1)由正弦定理,在ΔACD中ACsin∠ADC=ADsinα,在ΔBCD中BCsin∠BDC=BDsinβ,因为∠ADC+∠BDC=π,所以sin∠ADC=sin∠BDC,因为ADDB=13,所以ACBC=sinβ3sinα.
    (2)因为α=π6,β=π2,由(1)得ACBC=sinπ23sinπ6=32,设AC=2k,BC=3k,k>0,由余弦定理AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cs∠ACB得到19=4k2+9k2−2⋅2k⋅3k⋅cs2π3,解得k=1,所以BC=3.
    18.(1)选择条件①:
    (1)因为AB//DC,AB⊄平面DCEF,DC⊂平面DCEF,
    所以AB//平面DCEF.
    又因为AB⊂平面PAB,平面PAB∩平面DCEF=EF,
    所以AB//EF.
    选择条件②:解法同上
    (2)选择条件①:
    因为AD⊥平面PAB,PA,AB⊂平面PAB,
    所以AD⊥PA,AD⊥AB.
    又因为PB=BD,PA=AB=AD=2CD=2,
    所以▵PAB≌▵DAB.
    因此∠PAB=∠DAB=90∘,即AB,AD,AP两两垂直.
    如图,以A为原点,AB,AD,AP的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系,
    所以D0,2,0,C1,2,0,P0,0,2,B2,0,0.
    由(1),得AB//EF,且E为棱PB的中点,
    所以点F为棱PA的中点.E1,0,1,F0,0,1,
    故FP=0,0,1,DF=0,−2,1,CD=−1,0,0.
    设平面DCEF的一个法向量为n=x,y,z,
    则DF⋅n=−2y+z=0CD⋅n=−x=0,
    取y=1,则x=0,z=2,即n=0,1,2.
    所以点P到平面DCEF的距离d=FP⋅nn=2 55.
    选择条件②:
    因为AD⊥平面PAB,PA,AB⊂平面PAB
    所以AD⊥PA,AD⊥AB,
    又因为PA⊥BC,BC与AD相交,BC,AD⊂平面ABCD,
    所以PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
    所以PA⊥AB,
    即AB,AD,AP两两垂直.
    以A为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上;
    (3)选择条件①:
    设PMPC=λ,λ∈0,1,
    则PM=λPC=λ1,2,−2=λ,2λ,−2λ.
    所以BM=BP+PM=λ−2,2λ,2−2λ.
    设直线BM与平面DCEF所成角为θ,
    所以sinθ=csBM,n=BM⋅nBMn=0+2λ+4−4λ (λ−2)2+(2λ)2+(2−2λ)2⋅ 5=23;
    化简得9λ2−6λ+1=0,解得λ=13,
    即PMPC=13.
    选择条件②:解法同上
    19.(1)由题意可知,c=1,e=ca= 22,
    ∵a2=b2+c2,
    ∴a= 2,b=1,
    ∴椭圆的方程为x22+y2=1.
    (2)设直线l的方程为y=kx−1k≠0,Ax1,y1,Bx2,y2,
    联立y=kx−1x22+y2=1,消去y得,2k2+1x2−4k2x+2k2−2=0,
    则x1+x2=4k22k2+1,
    ∵M为线段AB的中点,
    ∴xM=x1+x22=2k22k2+1,yM=kxM−1=−k2k2+1,
    ∴kOM=yMxM=−12k,
    ∴kOM⋅k=−12k×k=−12为定值.
    (3)若四边形OAPB为平行四边形,则OA+OB=OP,设P(x3,y3)
    ∴x3=x1+x2=4k22k2+1,y3=y1+y2=kx1+x2−2k=−2k2k2+1,
    ∵点P在椭圆上,
    ∴4k22k2+12+2×−2k2k2+12=2,
    解得k2=12,即k=± 22,
    ∴当四边形OAPB为平行四边形时,直线l的斜率为k=± 22.

    20.(1)由题意,可得b=1,e=ca= 32,得a2−1a2=34,解得:a2=4.
    椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
    (2)解法1:设点P的坐标为x0,y000,解得x0∈85,2.
    设交点坐标分别为x1,0,x2,0,则x1−x2=2 5−8x085

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