2023-2024学年湖南省岳阳一中等多校高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳一中等多校高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=(1−i)2，则|z+2iz|=( )
A. 5B. 52C. 4D. 2
2.已知集合A={x|x2+2x−80)相切，则圆M的半径为( )
A. 2B. 4C. 2 2D. 8
5.已知向量a=(2,y),b=(x−1,1),a⊥b,x>0,y>0，则2x2+yxy的最小值为( )
A. 2+2B. 2 2−1C. 3D. 2−1
6.从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则P(B|A)=( )
A. 34B. 56C. 67D. 78
7.已知函数f(x)在R上单调递增，且f(x+1)是奇函数，则满足(x2−4)f(x)>0的x的取值范围是( )
A. (0,1)∪(2,+∞)B. (−∞,0)∪(2,+∞)
C. (−2,1)∪(2,+∞)D. (0,2)
8.若不等式lnx−ax2+x+lna≤0在[1,+∞)上恒成立，则a的最小值为( )
A. 1eB. 1 eC. 1D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(00)的右支上存在两点A，B，使得∠AOB=60°，则C的离心率的取值范围是______．
14.已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在数列{an}中，已知a1=1,1an+1=2an+1．
(1)求证：数列{1an+1}为等比数列；
(2)求满足不等式1a1+1a2+1a3+⋯+1anb>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点P(0,1)，且△PF1F2为等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点Q为C上的一个动点，求△PF2Q面积的最大值；
(3)若直线l与C交于A，B两点，且∠PF2A=∠PF2B，证明：直线l过定点．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln(ex2+e−x2)+x2+4b4有两个零点．
(1)求b的取值范围；
(2)函数g(x)=|x|3+2|x|+ln2−2，若f(x)与g(x)有相同的值域，求b的值，并证明：∀x∈(0,+∞)，f(x)+x2+2>exex+1+lnx2恒成立．
答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.C
6.A
7.C
8.C
9.BD
10.ABD
11.BCD
12.112
13.(2 33,+∞)
14.(3+2 2)π
15.(1)证明：由1an+1=2an+1，得1an+1+1=2(1an+1)，
又∵1a1+1=2≠0，
∴数列{1an+1}是首项为2，公比为2的等比数列；
(2)解：由(1)知数列{1an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴1an+1=2⋅2n−1，即1an=2n−1．
设数列{1an}的前n项和为Sn，
则Sn=1a1+1a2+⋯+1an=(21+22+23+⋯+2n)−n
=2(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2．
∵Sn+1−Sn=2n+2−(n+1)−2−[2n+1−n−2]=2n+1−1>0，
∴数列{Sn}单调递增．
又∵S7=247，S8=502，
∴Sn10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，没有充分证据推断出H0成立，
因此可以认为H0不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关；
(2)X的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C43C123=155，P(X=1)=C42C81C123=1255，
P(X=2)=C41C82C123=2855，
P(X=3)=1−P(X=0)−P(X=1)−P(X=2)=1455，
所以X的分布列为：
E(X)=0×155+1×1255+2×2855+3×1455=2．
17.解：(1)证明：由于△ADP是等边三角形，E为DP的中点，
故AE是等边△ADP的中线，则AE⊥PD，
又因为CD⊥平面ADP，AE⊂平面ADP内，可得CD⊥AE，
且CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PDC，可得AE⊥平面PDC，
由PC⊂平面PDC，所以AE⊥PC．
(2)取PC的中点F，连接EF，BF，
因为E是PD的中点，可知EF是三角形PCD的中位线，故EF//CD，
因为CD⊥平面ADP，EF//CD，
所以EF⊥平面ADP，即EA，EF，EP三线两两垂直，
以E为坐标原点，EP,EA,EF的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，

则由CD=4，AB=2，EF=12CD=2，EP=ED=12PD=12PA=3，
则EA= PA2−EP2= 36−9=3 3，
可得P(3,0,0)，B(0,3 3,2)，C(−3,0,4)，
则PB=(−3,3 3,2)，PC=(−6,0,4)，
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅PB=−3x+3 3y+2z=0m⋅PC=−6x+4z=0，
令x=2，则y=0，z=3，故m=(2,0,3)，
由题意可知：平面ABE的一个法向量为n=(1,0,0)，
可得cs=m⋅n|m||n|=2 13×1=2 1313，
所以平面PBC与平面ABE夹角的余弦值为3 1313．
18.解：(1)设椭圆C的焦距为2c，
因为椭圆C的离心率为12，点P(0,1)，且△PF1F2为等腰直角三角形，
所以c=1ca=12a2=b2+c2，
解得a=2，b= 3，c=1，
则椭圆C的标准方程为x24+y23=1；
(2)易知F2(1,0)，直线PF2的斜率为−1，且|PF2|= 2，
设直线PF2的方程为y=−x+m，
联立y=−x+mx24+y23=1，消去y并整理得7x2−8mx+4m2−12=0，
令Δ=64m2−4×7×(4m2−12)=0，
解得m2=7，
当m= 7时，直线y=−x+ 7与直线PF2：y=−x+1的距离为 7−1 2，
所以△PF2Q的面积为12× 2× 7−1 2= 7−12，
当m=− 7时，直线y=−x− 7与直线PF2：y=−x+1的距离为 7+1 2，
所以△PF2Q的面积为12× 2× 7+1 2= 7+12，
因为 7+12> 7−12，
所以△PF2Q面积的最大值为 7+12；
(3)证明：易知直线l的斜率存在，
设直线l得方程为y=kx+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
易知cs∠PF2A=cs∠PF2B，
即F2P⋅F2A|F2P|⋅|F2A|=F2P⋅F2B|F2P|⋅|F2B|，
因为点A在椭圆C上，
所以x124+y123=1，
即y12=3−34x12，
所以|F2A|= (x1−1)2+y12= (x1−1)2+3−3x124=2−x12，
同理得|F2B|=2−x22，
又F2P=(−1,1),F2A=(x1−1,y1)，F2B=(x2−1,y2)，|PF2|= 2，
此时1−x1+y12−x12=1−x2+y22−x22，
即1−x1+kx1+t2−x12=1−x2+kx2+t2−x22，
整理得(4k+t−3)(x1−x2)=0，
易知x1−x2≠0，
所以4k+t−3=0，
解得t=3−4k，
所以直线l得方程为y=kx+3−4k=k(x−4)+3．
故直线l过定点(4,3)．
19.解：(1)∵f(x)=ln(ex2+e−x2)+x2+4b4，定义域为R，
又f(−x)=ln(e−x2+e−−x2)+(−x)2+4b4=ln(ex2+e−x2)+x2+4b4=f(x)，
∴函数f(x)=ln(ex2+e−x2)+x2+4b4为偶函数，
当x≥0时，令g(x)=ex2+e−x2，可得g′(x)=12ex2−12e−x2为增函数，且g′(0)=12e0−12e−0=0，
∴g(x)=ex2+e−x2在[0,+∞)上的增函数，又y=x2+4b4在[0,+∞)上的增函数，
∴f(x)=ln(ex2+e−x2)+x2+4b4在[0,+∞)上的增函数，
∴f(x)min=ln(e0+e0)+02+4b4=ln2+b，
要使函数f(x)=ln(ex2+e−x2)+x2+4b4有两个零点，则ln2+bx①，
当x∈(0,+∞)时，令ℎ(x)=lnx−x+1，可得ℎ′(x)=1x−1，
令ℎ′(x)=0，解得x=1，
当x∈(0,1)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=lnx−x+1为增函数，
当x∈(1,+∞)，ℎ′(x)