2023-2024学年北京理工大附中高一（下）月考数学试卷（6月份）(含答案)

这是一份2023-2024学年北京理工大附中高一（下）月考数学试卷（6月份）(含答案)，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(3,4)，则下列向量中与a垂直的是( )
A. (−3,4)B. (−4,3)C. (4,3)D. (3,−4)
2.已知复数z满足zi=1−i，则z对应的点位于复平面的( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知向量a=(1, 3)，向量b=(−12, 32)，则向量a与向量b的夹角为( )
A. 60°B. 30°C. 120°D. 150°
4.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，则“acsB=bcsA”是“△ABC是等腰三角形”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.在△ABC中，a=1，b= 3，A=30°，则c=( )
A. 1B. 2C. 1或2D. 无解
6.如图，△ABC中，AB=a，AC=b，D为BC中点，E为AD中点，CE用a和b表示为CE=λa+μb，则λμ=( )
A. 3
B. −3
C. 13
D. −13
7.将函数y=sin(2x+π3)的图象平移后所得的图象对应的函数为y=cs2x，则进行的平移是( )
A. 向右平移π12个单位B. 向左平移π12个单位C. 向右平移π6个单位D. 向左平移π6个单位
8.已知函数f(x)=cs(ωx+2π3)(ω>0)的最小正周期为4π，则下列叙述中正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于直线x=−π3对称
B. 函数f(x)在区间(0,π)上单调递增
C. 函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后关于原点对称
D. 函数f(x)在区间[0,π]上的最大值为− 32
9.已知△ABC中，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，且△ABD面积是△ADC面积的2倍．若AD=1，DC= 22，则AC的长为( )
A. 12B. 1C. 2D. 3
10.函数f(x)=cs(x+a)+sin(x+b)，则( )
A. 若a+b=0，则f(x)为奇函数B. 若a+b=π2，则f(x)为偶函数
C. 若b−a=π2，则f(x)为偶函数D. 若a−b=π，则f(x)为奇函数
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知复数z=2i−1i+1，则|z|=______．
12.能说明“在△ABC中，若sin2A=sin2B，则A=B”为假命题的一组A，B的值是______．
13.已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为BC边的中点，F为CD边上的动点(可以与端点重合)，则AE⋅ED= ______，AF⋅AE的最大值为______．
14.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像如图所示．
(1)函数f(x)的最小正周期为______．
(2)将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为偶函数，则t的最小值是______．
15.关于函数f(x)=esinx+ecsx，下列说法中正确的有______．
①f(x)的最小正周期是π；②y=f(x+π4)是偶函数；
③f(x)=4在区间[0,π]上恰有三个解；④f(x)的最小值为2e− 22．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知函数f(x)=csx(2 3sinx+csx)−sin2x．
(Ⅰ)判断函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，关于x的不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．
17.(本小题10分)
如图，CM，CN为某公园景观湖畔的两条木栈道，∠MCN=120°，现拟在两条木栈道的A，B处设置观景台，设BC=a，AC=b，AB=c(单位：百米)．
(1)若b−a=c−b=4，求b的值；
(2)已知AB=12，记∠ABC=θ，试用θ表示路线A−C−B的长，并观察A−C−B长的最大值．
18.(本小题10分)
在△ABC中，∠A=60°，c=37a.
(Ⅰ)求sinC的值；
(Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件①：c= 2b；
条件②：b−c=5；
条件③：AC边上的中线长为 13．
19.(本小题10分)
对n∈N∗，定义an(x)=1n(sin2x−csnx)．
(1)求a2(x)−a1(x)的最小值；
(2)∀n∈N∗，有an(x)≥A恒成立，求A的最大值；
(3)求证：不存在m，n∈N∗，且m>n，使得am(x)−an(x)为恒定常数．
答案
1.B
2.C
3.A
4.A
5.C
6.D
7.B
8.C
9.B
10.B
11. 102
12.A=60°，B=30°
13.0 12
14.3π2 π2
15.②④
16.解：(Ⅰ)∵f(x)=2 3sinxcsx+cs2x−sin2x= 3sin2x+cs2x=2( 32sin2x+12cs2x)=2sin(2x+π6)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，
由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，
因此，函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)；
(Ⅱ)由题意可知：m≤f(x)在[0,π2]上有解，
所以m≤f(x)max，x∈[0,π2]，
因为x∈[0,π2]，
所以2x+π6∈[π6,7π6]，
故当2x+π6=π2，即x=π6时，
f(x)取得最大值，且最大值f(π6)=2，
∴m≤2，
即实数m的取值范围为(−∞,2]．
17.解：(1)因为b−a=c−b=4，可得：a=b−4，c=b+4，
∠MCN=∠ACB=120°，在△ABC中，由余弦定理可得：c2=a2+b2−2abcs∠ACB，
所以可得：(b+4)2=(b−4)2+b2−2(b−4)⋅b⋅(−12)，
整理可得：b2−10b=0，解得b=10；
(2)在△ABC中，θ∈(0,π3)，
由正弦定理可得：csinC=12sin120∘=bsinθ=asin(60∘−θ)，
所以a=8 3sin(60°−θ)，b=8 3sinθ，
所以a+b=8 3[sin(π3−θ)+sinθ]=8 3( 32csθ+12sinθ)=8 3sin(θ+π3)，
因为θ∈(0,π3)，所以θ+π3∈(π3,2π3)，
所以sin(θ+π3)≤1，
所以a+b≤8 3，
所以A−C−B长的最大值为8 3．
18.解：(Ⅰ)因为在△ABC中，∠A=60°，c=37a，
由正弦定理可得sinC=37sinA=37× 32=3 314；
(Ⅱ)若选条件①：c= 2b，又∠A=60°，c=37a，
由余弦定理得a2=c2+b2−bc，所以a2=(37a)2+b2−b×(37a)，解得b=87a，∴c=38b，与c= 2b矛盾，故△ABC不存在；
若选条件②：b−c=5；
由余弦定理得a2=c2+b2−bc，所以a2=(37a)2+b2−b×(37a)，解得b=87a，可得87a−37a=5，所以a=7，b=8，c=3，
故△ABC的面积为=12bcinA=12×3×8× 32=6 3．
若选条件③：AC边上的中线长为 13，
由余弦定理得a2=c2+b2−bc，所以a2=(37a)2+b2−b×(37a)，解得b=87a，
AC边上的中线长为 13.则由余弦定理可得13=(37a)2+(47a)2−2×37a×47a×12，解得a=7，所以b=8，c=3，
故△ABC的面积为=12bcinA=12×3×8× 32=6 3．
19.解：(1)a2(x)−a1(x)=12(sin2x−cs2x)−(sin2x−csx)=−12sin2x−12cs2x+csx
=−12sin2x−12(1−2sin2x)+csx
=−12sin2x−12+sin2x+csx
=12sin2x+csx−12
=12(1−cs2x)+csx−12
=−12cs2x+csx，
令t=csx，t∈[−1,1]，
则y=−12t2+t，对称轴t=−12(−12)=1，
所以ymax=−12×12+1=12．
(2)an=1n(sin2x−csnx)，
因为∀n∈N∗，−1≤csnx≤1，
所以an=1n(sin2x−csnx)≥sin2x−1n=−cs2xn≥1n>0，
所以A≤0，
所以A的最大值为0．
(3)证明：令g(x)=fm(x)−fn(x)，下面比较g(x)在x=0，π，π2处的函数值，
有g(0)=1n−1mg(π)=1ncs(nπ)−1mcs(mπ)g(π2)=1m−1n+1ncs(nπ2)−1mcs(mπ2)，
由1n−1m=1ncs(nπ)−1mcs(mπ)，
可得m，n均为偶数，进而cs(nπ2)，cs(mπ2)∈{−1,1}，
于是g(π2)∈{0,2m,−2n,2m,−2n}，
考虑到1n−1m>0，
于是g(π2)=2m，
此时n2为偶数且m2为奇数，进而2m=1n−1m，
即m2=3⋅n2，矛盾，
综上所述，不存在符合题意的m，n．