湖北省鄂西南三校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省鄂西南三校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则( )
A.B.C.D.
2．已知数列为等比数列,若,,则的值为( )
A.B.8C.16D.±16
3．抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
4．已知向量,向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5．一条光线从点射出,经直线反射后经过点,则反射光线所在直线的方程为( )
A.B.C.D.
6．双曲线的虚轴长为4,离心率,,分别是它的左、右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且是,的等差中项,则等于( )
A.B.C.D.8
7．古代城池中的“瓮城”,又叫“曲池”,是加装在城门前面或里面的又一层门,若敌人攻入瓮城中,可形成“瓮中捉鳖”之势。如下图的“曲池”是上。下底面均为半圆形的柱体,若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,,,,E为弧的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
8．下列三个图中的多边形均为正多边形,是正多边形的顶点,椭圆过且均以图中的,为焦点,设图①,②,③中的椭圆的离心率分别为,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某数学兴趣小组的同学经研究发现,反比例函数的图象是双曲线,设其焦点为M,N,若P为其图象上任意一点,则( )
A.是它的一条对称轴B.它的离心率为
C.点是它的一个焦点D.
10．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且,,,下面说法正确的是( )
A.B.
C.是锐角三角形D.的最大内角是最小内角的2倍
11．已知函数,的定义域均为R,,是偶函数,且,若,则( )
A.B.的图象关于点中心对称
C.D.
三、填空题
12．甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度跑步速度均相同,则先到教室的是______________.
13．已知数列前n项之和,则数列的通项公式__________.
14．若A,B是平面内不同的两定点,动点P满足（且）,则点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆．已知点,,,动点P满足,则的最大值为___________．
四、解答题
15．已知正项数列满足.
（1）求的通项公式;
（2）记,数列的前n项和为,求.
16．来凤县第一中学从参加高中生创新能力大赛的1000同学中,随机抽取60名同学将其成绩（百分制,均为整数）分成,,,,,六组后得到部分频率分布直方图（如图）,观察图形中的信息,回答下列问题：
（1）补全频率分布直方图,并估计本次创新能力大赛成绩的众数;
（2）如果确定不低于88分的同学进入复赛,问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛;
（3）若从第一组,第二组和第六组三组学生中分层抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率.
17．如图,在中,,,.将绕OP旋转60°得到,D,E分别为线段OP,AP的中点.
(1)求点D到平面ABP的距离;
(2)求平面OBE与平面ABP夹角的余弦值,
18．如图,在圆上任取一点P,过点P作x轴的垂线段,D为垂足,且满足.当点P在圆上运动时,M的轨迹为.
（1）求曲线的方程;
（2）点,过点A作斜率为的直线l交曲线于点B,交y轴于点C.已知G为的中点,是否存在定点Q,对于任意都有,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
19．已知函数和的定义域分别为和,若对任意,恰好存在n个不同的实数,,使得（其中）,则称为的“n重覆盖函数”.
（1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由;
（2）若,为,的“2重覆盖函数”,求实数a的取值范围;
（3）函数表示不超过x最大整数,如,,.若为,的“2024重覆盖函数”请直接写出正实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：,
故选：D.
2．答案：B
解析：设数列的公比为q,则,
,,
故选：B.
3．答案：B
解析：抛物线的焦点坐标为：.
4．答案：A
解析：因为向量,,所以,
所以向量在向量上的投影向量为：,
5．答案：C
解析：设点关于直线的对称点为,
则,化简得,解得,
故反射光线过点与点
则反射光线所在直线的方程为 ,
故选：C.
6．答案：C
解析：由题意可知,于是,
,,
得.
7．答案：D
解析：在半圆柱下底面半圆所在平面内过A作直线的垂线,
由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,
则以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
于是,,,,,,,
又E为的中点,则,,,,
设平面的法向量,则,
令,得,设直线与平面所成角为,
则,
直线与平面所成角的正弦值为.
8．答案：B
解析：由图①知,,;
由图②知,点在椭圆上,
,则,整理得：,
即解得;
由图③知,在椭圆上,
,则,整理得：,即,解得．
．
故选：B．
9．答案：ABD
解析：反比例函数的图象为等轴双曲线,故离心率为,其中一个焦点坐标应为.
10．答案：AC
解析：
11．答案：ABC
解析：
12．答案：乙
解析：设从寝室到较室的路程为s,甲、乙两人的步行速度为,跑步的速度为,
且,
甲所用的时间,
乙所用的时间满足:,
则,
所以,
因为,,
所以,即乙先到教室.
故答穼为：乙先到教室.
13．答案：
解析：当时,,
当时,
,
经检验, 当时, 满足上述式子,故数列的通项公式 .
故答案为:.
14．答案：
解析：设,则,整理得,
则P是圆上一点,
由,得,如图所示
故,
当且仅当A,D,P三点共线,且A在DP之间时取得最大值．
又因为,
所以的最大值为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
当时,,
两式相减得,因为,可得,,
令,可得,满足,
所以的通项公式为;
（2）,
所以.
16．答案：（1）75
（2）100
（3）
解析：（1）组的频率为：.
所以补全频率分布直方图为：
因为组对应的小矩形最高,
所以估计本次知识竞赛成绩的众数为.
（2）由频率分布直方图得分数不低于分的频率为：
.
所以这1000名参赛同学中估计进入复赛的人数为：.
（3）从第一组,第二组和第六组三组同学中分层抽取6人,
因为第一、二、六组的频率之比为,
所以第一组抽取人,第二组抽取人,第六组抽取人.
设这6人分别为：,,,,,c
从这6人中任选2人的抽法有：,,,,,,,,,,,,,,
基本事件总数,
所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25包含的基本事件有：,,,,,,,,,
基本事件个数个数
所以所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）取AB的中点C,连接PC,OC,作,垂足为F.
因为，，C为AB的中点, 所以,.
又, 所以平面POC.因为平面POC,所以.
又,,所以平面PAB,即点D到平面ABP的距离为DF的长度.
易证平面OAB,所以.因为是边长为2的等边三角形，
所以,又,所以,所以.
（2）以C为坐标原点, CB, CO的方向分别为x, y轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，.
设平面OBE的法向量为, 可得 即
令,得.
取PC的中点G, 连接OG(图略)，在等腰中,易证,平面PAB,
所以为平面ABP的一个法向量.
设平面OBE与平面ABP的夹角为,则.
18．答案：（1）
（2）存在定点满足题意,理由见解析
解析：（1）设点、,则,
因为,所以,
则,则,所以,
因为点在圆,则,所以,整理可得,
因此曲线的方程为.
（2）存在定点满足题意,理由如下：
记,则直线l的方程为,
联立,得,
解得,则,
故点,所以点,则,
因为,则,
在直线中,令,可得,即点,
所以直线的方程为,
所以存在定点,使得.
19．答案：（1）不是的“2重覆盖函数”
（2）
（3）
解析：（1）由可知：,函数的图像如图所示：
当时,,
当时,解得,
所以不是的“2重覆盖函数”;
（2）可得的定义域为R,
即对任意,存在2个不同的实数,,使得（其中）,
,则,
,即,
即对任意,有个实根,
当时,已有一个根,故只需时,仅有1个根,
当时,,符合题意,
当时,,则需满足,解得,
当时,抛物线开口向下,,,若仅有1个根,由知,
当时,,所以无解,则只需,
解得,
综上,实数a的取值范围是;
（3）因为,,
当时,当时且,
当且仅当时取等号,所以,
综上可得,即,
则对于任意,,要有2024个根,
,作出函数的图象（部分）,如图：
要使,有2024个根,则,
又,则,
故正实数a的取值范围.