江苏省兴化中学2023-2024学年高二下学期期末适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省兴化中学2023-2024学年高二下学期期末适应性考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．的值为( )
A.8B.9C.12D.15
2．已知随机变量，，则( )
A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8
3．已知，，且，则( )
A.2B.3C.D.
4．在的展开式中，的系数为( )
A.B.C.40D.80
5．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，若甲不站右端也不站左端，则不同站法数为( )
A.B.C.D.
6．一个不透明的袋子中有5个红球、4个黑球，从中随机地取出一个，观察颜色后再加上3个同色的球放回袋中，再次从袋子中取出一个球，则第二次取出的是红球的概率为( )
A.B.C.D.
7．从棱长为1的正方体的八个顶点中任意取四个点A，B，C，D，则值的不同种数为( )
A.4B.5C.8D.10
8．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中，正确的是( )
A.公式中的x和y具有相关关系
B.回归直线必定经过样本点的中心
C.相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强
D.对分类变量x与y的随机变量来说，越大，判断“x与y有关系”的把握越大
10．已知正方体的棱长为1，点E，F分别为，的中点，则下列说法正确的是( )
A.平面
B.与平面所成角的余弦值为
C.二面角的正弦值为
D.点B到平面的距离为
11．已知，则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．设随机变量的分布列为（，2，3，4，5），则实数a的值为_________.
13．由数据，，…，可得y关于x的线性回归方程为，若，则_________.
14．已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在，，上，并满足（），若G是的重心，且，则实数值为_________.
四、解答题
15．如图，正方体的棱长为2，E为的中点，点M在上，.
（1）求证：M为的中点；
（2）求直线与平面所成角的大小.
16．银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
17．为培养学生的阅读习惯，某学校规定所有学生每天在校阅读时长不得少于1小时.若认为每天在校阅读的时长不少于1小时为达标，达到2小时的学生为“阅读之星”.假设该校学生每天在校阅读时长（X的单位：小时），达标学生是“阅读之星”的概率为.
（1）从该校学生中随机选出1人，求达标的概率；
（2）为进一步了解该校学生不达标是否与性别有关，随机调查了90名学生，其中男生占，已知不达标的人数恰是期望值，且不达标的学生中男生占，是否有99%的把握认为不达标与性别有关？
附：参考公式：，其中.
参考数据：
18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设.
①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
②在线段上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
19．设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中i，，令，称（i，）是二维离散型随机变量的联合分布列.与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：
现有个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为Y.
（1）当时，求的联合分布列；
（2）设，且计算.
参考答案
1．答案：B
解析：.
故选：B.
2．答案：C
解析：由题意得，所以.
故选：C.
3．答案：D
解析：因为，，且，所以，
解得.
故选：D.
4．答案：A
解析：由二项式的通项为可得，
当，即时，展开式中含有项，
此时，
因此的系数为.
故选：A.
5．答案：C
解析：先安排甲从除左端和右端的三个位置中选一个站，有种站法；
将剩余的人任意排序，有种站法；
由分步乘法计数原理可得，不同站法数有：种.
故选：C.
6．答案：C
解析：设事件A表示第一次抽取的是红球，，，
事件B表示第二次抽取的是红球，因此有，
所以，
故选：C.
7．答案：B
解析：①当，为正方体的两条棱，且时，
或0，；
②当，为正方体的两条棱，且时，；
③当为正方体的一条棱，为与垂直的侧面的面对角线时，
，；
④当为正方体的一条棱，为与平行的侧面的面对角线时，
，，或，；
⑤当为正方体的一条棱，为正方体的体对角线时，
，，，；
⑥当，分别为同一侧面或两平行侧面的面对角线时，或，
若，则；
若，则或，，；
⑦当，分别为两相邻侧面的面对角线时，
，或，；
⑧当，为正方体两条体对角线时，
设，则，，
，；
综上所述：的值有，0，，共5种.
故选：B.
8．答案：B
解析：由题意可知X，Y均服从超几何分布，且，，
由，得，
所以，，，
因为，
，
，
所以
，
故选：B.
9．答案：BCD
解析：对于A，公式中的x和y关系明确，属于函数关系，不是相关关系，相关关系是一种非确定的关系，故A错误；
对于B，回归直线恒过样本点的中心，故B正确；
对于C，相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强，则C正确；
对于D，对分类变量x与y的随机变量来说，越大，判断“x与y有关系”的把握越大，故D正确；
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：对于AB，以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：
正方体的边长为1，，，，，，，
，，所以，，，
因为，所以，即，
因为，所以，即，
又，，平面，所以平面，故A正确；
设平面的一个法向量为，，，
则，即，不妨令，得，，故，
又因为，
设直线与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，如图：
连接，交于O，连接，，，，，，，
因为，O为BD的中点，
所以，，平面，平面，
所以是二面角的平面角，
又，
故，
所以二面角的正弦值为，故C错误；
对于D，如图：
设点B到平面的距离为d，因为，
所以，，
因为，所以，
所以，即点B到平面的距离为，D正确.
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：选项A：由已知可得，所以，A说法正确；
选项B：由已知可得，
所以，B说法错误；
选项C：由已知得，所以，
当时，由已知得，
所以，C说法正确；
选项D：对两边求导可得，
所以当时，，
当时，，
所以，
所以，D说法错误；
故选：AC.
12．答案：15
解析：由概率的基本性质知：，解得.
故答案为：15.
13．答案：50
解析：依题意，设样本数据的中心点为，则，
由y关于x的线性回归方程为，得，而，
所以.
故答案为：50.
14．答案：
解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，故，，，，故，，，
而，且G是的重心，
故
，
，
而，故得，
而，解得（另一个根舍去），则实数值为.
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接，在正方体中，因为平面，
平面，所以.
因为，，所以，且，，均在同一平面内，
所以，因为E为的中点，所以M为的中点.
（2）在正方体中，，，两两互相垂直，
如图建立空间直角坐标系.
则，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则.于是.
设直线与平面所成的角为，则
因为，所以直线与平面所成角的大小为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）设“第i次按对密码”（，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为.
事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
.
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
（2）设“最后1位密码为偶数”，则.
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
17．答案：（1）
（2）有99%的把握认为不达标与性别有关
解析：（1）从该校学生随机选出1人，记其达标为事件A，是“阅读之星”为事件B.
则，.
因为，所以.
又因为达标学生是“阅读之星”的概率为，
所以，得，
即从该校学生中随机选出1人，达标的概率为.
（2）依题意，随机调查的90名学生中，男生人数为40，女生人数为50.
设这90名学生中，不达标学生人数为Y.
由（1）知，不达标的概率为，则.
所以数学期望，即不达标的人数为18.
因为不达标学生中有的是男生，所以不达标的男生人数为3，不达标的女生人数为15.
则达标的男生人数为37，达标的女生人数为35，得如下列联表.
所以.
因为，所以有99%的把握认为不达标与性别有关.
18．答案：（1）证明见解析
（2）①或；②不存在点G，理由见解析
解析：（1）在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）如图以A为原点，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由，，，，
则，，因，则，，
所以，
①设平面的法向量为，由，，得：
，可取，
设直线与平面所成角为，
则有：，，
即：，化简得：，
解得或，即或.
②如图，假设在线段上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，，
由得，即，
亦即（*），
因为，所以方程（*）无实数解，
所以线段上不存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）X可取0，1，2，Y可取0，1，2，则，，，
，，，
，故的联合分布列为：
（2）当时，，
故，
所以，设Z服从二项分布，由二项分布的期望公式可得.
3.841
5.024
6.635
10.828
0.050
0.025
0.010
0.001
…
…
…
·
…
…
…
…
…
…
男生
女生
合计
达标
37
35
72
不达标
3
15
18
合计
40
50
90
0
1
2
0
1
2