内蒙古包头市2024届高三上学期开学调研考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份内蒙古包头市2024届高三上学期开学调研考试数学（理）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.ZB.QC.PD.
2．设，是z的共轭复数，则复数( )
A.B.C.D.
3．已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是( )
A.B.C.D.
4．下列函数中的奇函数是( )
A.B.C.D.
5．在正方体中，直线与平面所成角为( )
A.B.C.D.
6．将3名优秀教师分配到2个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有( )
A.3种B.4种C.5种D.6种
7．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A.B.C.D.
8．在区间和中各随机取1个数x和y，则用几何概型可求得的概率为( )
A.B.C.D.
9．抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若，则C的方程为( )
A.B.C.D.
10．若，，，则( )
A.B.C.D.
11．已知为数列的前n项积，若，则数列的前n项和( )
A.B.C.D.
12．设是定义域为R的奇函数，且为偶函数，则( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知向量，，若，则______.
14．已知双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为______.
15．记为各项均为正数的数列的前n项和，若，，则______.
16．在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥.所得多面体的三视图中，以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成这个多面体的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.
三、解答题
17．A，B两台机器生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机器产品的质量，分别用两台机器各生产了100件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）A，B两台机器生产的产品中二级品的频率分别是多少？
（2）能否有90%的把握认为A机器的产品质量与B机器的产品质量有差异？
附：，
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，且.
（1）求b；
（2）求.
19．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．设函数，已知是函数的极值点.
（1）求a；
（2）设函数，证明：.
21．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，轴，垂足为D，连结并延长交曲线C于点H.
（ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值；
（ⅱ）求面积的最大值.
22．在直角坐标系中，的圆心为，半径为4.
（1）写出的一个参数方程；
（2）直线l与相切，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，若，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l的极坐标方程.
23．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由题可知，任取，因为，所以，即，
所以，故，
故选：B.
2．答案：A
解析：设，则，
由可得，即，
所以，可得，，
所以.
故选：A.
3．答案：C
解析：对于命题p，当时，，故命题p为真命题；
对于命题q，当时，，所以命题q为假命题.
所以，为真命题，，，为假命题.
故选：C.
4．答案：B
解析：A选项，对于函数，由解得，
所以的定义域是，所以是非奇非偶函数.
B选项，对于函数，由解得，
所以的定义域是，
，所以是奇函数，B选项正确.
C选项，对于函数，的定义域是R，
，所以是偶函数.
D选项，对于函数，所以的定义域是R，
，所以是偶函数.
故选：B.
5．答案：A
解析：如图，连接交于O，连接，
因为平面，在平面内，
所以，又，，，平面，
所以平面，
所以为直线和平面所成的角，
设正方体的棱长为1，则，，，又平面，故，
所以，
因为，所以，
所以直线和平面所成的角为，
故选：A.
6．答案：D
解析：将3名教师分组，有种方法，
再分配到2个不同的学校得，即不同的分配方案共有6种.
故选：D.
7．答案：C
解析：由题意可知，将函数的图象先向左平移个单位长度，得到函数的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得到函数的图象.
故选：C.
8．答案：D
解析：在区间和中各随机取1个数x和y，所有可能性在正方形中，
令，即，
当时，，当时，，
所以，，
因为满足的点在如图所示的阴影部分，
所以所求概率为.
故选：D.
9．答案：C
解析：由题可设抛物线的方程为，则准线方程为，
当时，可得，
可得，，又，，
所以，即，
解得，
所以C的方程为.
故选：C.
10．答案：B
解析：因为，
，
所以，
故选：B.
11．答案：A
解析：因为为数列的前n项积，所以可得，
因为，所以，
即，所以，
又，得，所以，
故是以3为首项，2为公差的等差数列；
，
故选：A.
12．答案：D
解析：由于是定义域为R的奇函数，所以的图象关于原点对称，且，
由于为偶函数，所以图象关于直线对称，
所以，
令得，
所以，D选项正确.
令得，而，
根据已知条件无法确定的值，所以ABC选项错误.
故选：D.
13．答案：4
解析：，
由于，
所以.
故答案为：4.
14．答案：
解析：双曲线的一条渐近线方程为，即，
所以有，故双曲线，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
15．答案：30
解析：因为，，，
所以，，由，可得，
所以，
所以.
故答案为：30.
16．答案：④⑤
解析：根据题意，在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥，如果图①是正视图，则几何体若如图下图（1）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次④⑤；
几何体若如图下图（2）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次⑤④；
图（1）图（2）
故答案为：④⑤（或⑤④）.
17．答案：（1）0.3；0.2；
（2）没有90%的把握认为A机器的产品质量与B机器的产品质量有差异.
解析：（1）根据题表中数据知，
A机器生产的产品中二级品的频率是，
B机器生产的产品中二级品的频率是；
（2）根据题表中数据可得，
因为，
所以没有90%的把握认为A机器的产品质量与B机器的产品质量有差异.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为的面积为，且，
可得，所以，
又因为，所以，
由余弦定理可得，所以.
（2）由（1）可得，则，
又由，
因为，则，联立方程组，解得，，
根据正弦定理，即，
所以，
同理得，
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为平面，又平面，
所以，又，且，，平面SAC，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）连接，由（1）可知，平面，
又平面，故，
又是矩形，所以是正方形，
所以.
因为底面，
所以，，且，
以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，所以
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．答案：（1）2
（2）证明见解析.
解析：（1）由题意可知，，则，
因为是函数的极值点，
所以，解得，
经检验满足题意，故；
（2）由（1）得，，
设，则，
当时，，即，所以在区间单调递增；
当时，，即，所以在区间单调递减，
因此当时，，
因为的定义域要求有意义，即，同时还要求，即要求，所以的定义域为且，
要证，因为，
所以需证，
即需证，
令，则且，则只需证，
令，则，令，可得，
所以，；，；
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即成立.
21．答案：（1），C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
解析：（1）因为，，，
所以，，
所以，化解得，
所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点；
（2）（ⅰ）设直线的斜率为k，则其方程为，
由，得，记，则，，，
于是直线的斜率为，方程为，
由，得①，
设，则和是方程①的解，
故，由此得，
从而直线的斜率，
所以，即直线与的斜率之积为定值；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，，，
所以
，
当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.
22．答案：（1）（为参数）；
（2），或.
解析：（1）由题意可知，的标准方程为，
所以的参数方程为（为参数）；
（2）由题意可知，直线l的斜率为，设其方程为，即，
因为圆心到直线l的距离为4，所以，
化解得，解得，或，
所以直线l的直角坐标方程为，或，
所以直线l的极坐标方程为，或.
23．答案：（1）或
（2）
解析：（1）当时，，
由，得，
当时，得，解得，又，所以；
当时，得，不成立；
当时，得，解得，又，所以.
综上，原不等式的解集为或.
（2）根据绝对值不等式性质，
，
当x的值在a与之间（包括两个端点）时取等号，
若，则只需，当时，，恒成立；
当时，等价于，或，解得，
综上，a的取值范围为.
一级品
二级品
合计
A机器
70
30
100
B机器
80
20
100
合计
150
50
200
0.15
0.10
0.05
2.072
2.706
3.841