内蒙古名校联盟2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份内蒙古名校联盟2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若X服从分布，且，则( )
D.0.5
2．某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有( )
A.17种B.34种C.35种D.70种
3．已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则( )
A.B.6C.D.8
4．某公司选择甲、乙两部门提供的方案的概率分别为0.45，0.55，且甲、乙两部门提供的方案的优秀率分别为0.6，0.8.现从甲、乙两部门中任选一方案，则该方案是优秀方案的概率为( )
B.0.7
5．曲线在点处的切线方程为( )
A.B.
C.D.
6．在立体图形中，与某顶点相连的边的数量，称为该顶点的度数.从五棱锥的6个顶点中任取3个顶点，则度数为5的顶点被取到的概率为( )
A.B.C.D.
7．已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
8．有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天.这8人中甲、乙、丙三人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为( )
A.32B.36C.48D.56
二、多项选择题
9．若，则下列说法正确的是( )
A.的展开式中奇数项的二项式系数之和为
B.
C.
D.除以10的余数为9
10．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，则( )
A.可能为等差数列B.不可能为等比数列
C.是等差数列D.是等比数列
11．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.存在，使得在R上单调递减
B.对任意，在R上单调递增
C.对任意，在上恒成立
D.存在，使得在R上恒成立
三、填空题
12．若数列的前n项和为，且，则_________.
13．用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有_________种.
四、双空题
14．设随机变量，若，则_________，_________.
五、解答题
15．为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：
（1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？
（2）按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，求至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率.
附：，其中.
16．为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91.
（1）计算样本平均数和样本方差；
（2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据）
附：若随机变量X服从正态分布，则，，.
17．在数列中，，，且.
（1）证明：是等差数列.
（2）求的通项公式.
（3）求数列的前n项和.
18．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，恒成立，求a的取值范围.
19．在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为.
（1）求的分布列与期望；
（2）证明为等比数列，并求关于n的表达式.
参考答案
1．答案：C
解析：因为X服从分布，所以，因为，
所以，，故.
故选：C.
2．答案：A
解析：由分类加法计数原理得，甲作出的不同的选择情况共有种，故A正确.
故选：A.
3．答案：C
解析：样本点的观测值为，预测值为，
则残差为，解得.
故选：C.
4．答案：C
解析：用，分别表示选到的方案来自甲部门、乙部门，用B表示选到的方案是优秀方案.
由题意得，，，，
所以由全概率公式得
.
故选：C.
5．答案：B
解析：，，则所求切线切点坐标为，
，有，则所求切线斜率为，
所求的切线方程为，即.
故选：B.
6．答案：C
解析：由题意可知，在五棱锥的6个顶点中，1个顶点的度数为5，其他5个顶点的度数均为3，
所以度数为5的顶点被取到的概率为.
故选：C.
7．答案：D
解析：设，，
所以函数单调递增，
，
即，得，所以，
所以不等式的解集为.
故选：D.
8．答案：B
解析：周六分配一名精通日语的志愿者有种不同方法，
周六分配两名精通日语的志愿者有种不同方法，
所以分配方法的总数为36.
故选：B.
9．答案：BC
解析：的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误；
令，可得，令，，
则，故B正确；
，故C正确；
，故除以10的余数为1，故D错误.
故选：BC.
10．答案：AC
解析：对于A，当为常数列时，因为为等差数列，所以为等差数列，所以A正确.
对于B，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以B错误.
对于C，设的公差为d，则，得，
因为，所以数列是等差数列，所以C正确.
对于D，设的公比为q，则，
当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误.
故选：AC.
11．答案：BCD
解析：，因为，所以不存在，使得在R上单调递减，故A错误；
，因为，，所以，即，故B正确；
当，时，，
设，，则，
所以在上单调递增，所以，即，故C正确；
当时，令，
则，令，
则，又，
所以在上单调递减，在上单调递增，即，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：/
解析：因为数列的前n项和为，且，
所以.
故答案为：.
13．答案：72
解析：先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法，
当1和5区域同色时，有种涂法；
当1和5区域不同色时，有种涂法；
综上所述：共有种涂法.
故答案为：72.
14．答案：；5
解析：，
则，因为，所以，
故，.
故答案为：；.
15．答案：（1）学生的性别与是否喜欢运动有关
（2）
解析：（1）零假设为：学生的性别与是否喜欢运动无关，
根据列联表中的数据，计算得到，
根据的独立性检验，我们推断不成立，即学生的性别与是否喜欢运动有关.
（2）由题意得选取的喜欢运动的男学生人数为，则不喜欢运动的男学生、喜欢运动的女学生、不喜欢运动的女学生的人数之和为，
则至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率为.
16．答案：（1）；
（2）分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖.
解析：（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式得：
数据的平均数为，
数据的方差为.
（2）该市所有参赛者的成绩X近似服从正态分布，
设竞赛成绩达到a及以上为特等奖，成绩达到b但小于a为一等奖，
成绩达到c但小于b为二等奖，成绩未达到c为参与奖，
则，，，.
因为，所以.
因为，
所以，
因为，所以.
综上可得，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）因为在数列中，，，且，
所以，
所以是首项为，公差为2的等差数列.
（2）由（1）得，
则，
得，即.
又符合，
所以（或）.
（3）由（2）知，
所以.
18．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）由题意知函数的定义域为，.
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，由，得，
由，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，时，，
则不一定成立，故不满足题意.
当时，.
令，则，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而
所以时，，且.
所以的解集为，
所以，
即，故a的取值范围为.
19．答案：（1）分布列见解析，
（2）证明见解析，
解析：（1）的可能取值为2，3，4.
，
，
，
则的分布列为
故.
（2）①若第次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5，
则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为；
②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是，
此时红球的个数为.
故，
，
则，所以是公比为的等比数列.
故，
即.
男学生
女学生
合计
喜欢运动
40
20
60
不喜欢运动
20
20
40
合计
60
40
100
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
2
3
4
P