+河南省平顶山市宝丰县五校联盟2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份+河南省平顶山市宝丰县五校联盟2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列条件中，使△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．a＝5，b＝12，c＝13B．
C．a2+b2＝c2D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．（3分）根据分式的性质，分式可以变形为（ ）
A．B．C．D．1﹣
4．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，若∠A＝60°，∠ABD＝24°（ ）
A．48°B．50°C．55°D．60°
5．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+9＝（x+3）2B．a2+2a+4＝（a+2）2
C．a3﹣4a2＝a2（a﹣4）D．1﹣4x2＝（1+4x）（1﹣x）
7．（3分）若，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）化简﹣a的结果是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
9．（3分）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为5500元，八年级同学捐款总额为6000元，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为x人，则所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）不等式组的解集是关于x的不等式解集的一部分（ ）
A．m≤3B．m≥3C．m＜3D．m＞3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）使式子有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝8 ．
13．（3分）将一个三角尺和一把直尺按如图所示的方式摆放．若△ABC是等腰三角形，则∠1的度数是 ．
14．（3分）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，则∠A+∠B+∠D+∠E＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点 ．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（12分）（1）因式分解：ma2+2ma+m；
（2）解方程：；
（3）解不等式组．
17．（8分）先化简（1﹣）÷，再从0，1，2中选择一个合适的x值代入求值．
18．（8分）一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的
19．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，EC，CF
20．（9分）△ABC在网格图中的位置如图所示，三个顶点都在格点上．（1）画出将△ABC向右平移6个单位长度得到的△A1B1C1．
（2）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A2B2C2．
（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A3B3C3．
21．（9分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
22．（10分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元
23．（11分）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，直线m经过点A，BD⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
2023-2024学年河南省平顶山市宝丰县五校联盟八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A．图形是中心对称图形，不符合题意；
B．图形是轴对称图形，不符合题意；
C．图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
D．图形是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形和轴对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．
2．（3分）下列条件中，使△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．a＝5，b＝12，c＝13B．
C．a2+b2＝c2D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
【解答】解：A、由a＝5，c＝13得c2＝a2+b2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c＝1：2+b2＝c3，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、a2+b2＝c7符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
D、由∠A：∠B：∠C＝3：4：2，故不是直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．（3分）根据分式的性质，分式可以变形为（ ）
A．B．C．D．1﹣
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：分式可以变形为﹣；
故选：B．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
4．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，若∠A＝60°，∠ABD＝24°（ ）
A．48°B．50°C．55°D．60°
【分析】根据角平分线的定义求出∠ABC、∠CBD，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，证明∠ECB＝∠CBD＝24°，计算即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠CBD＝∠ABD＝24°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣48°＝72°，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠CBD＝24°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝72°﹣24°＝48°，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180•（n﹣2）＝3×360，
解得n＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
6．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+9＝（x+3）2B．a2+2a+4＝（a+2）2
C．a3﹣4a2＝a2（a﹣4）D．1﹣4x2＝（1+4x）（1﹣x）
【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
【解答】解：A．x2+9≠x8+6x+9＝（x+2）2，故选项A分解错误；
B．a2+6a+4≠a2+2a+4＝（x+2）5，故选项B解错误；
C．a3﹣4a5＝a2（a﹣4），故选项C分解正确；
D．4﹣4x2＝（4+2x）（1﹣2x）≠（1+4x）（3﹣4x），故选项D分解错误．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
7．（3分）若，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】先用b把a表示出来，再代入进行化简求值即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的变形和化简求值，准确运用分式的性质进行化简求值是解题的关键．
8．（3分）化简﹣a的结果是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵≥0，
∴a＞7，
∴﹣a＜0，
∴﹣a＝﹣，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，能够正确化简二次根式是解题的关键．
9．（3分）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为5500元，八年级同学捐款总额为6000元，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为x人，则所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据两个年级捐款人数间的关系，可得出八年级捐款人数为（x+30）人，利用人均捐款金额＝捐款总金额÷捐款人数，结合两个年级人均捐金额相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵八年级捐款人数比七年级多30人，七年级捐款人数为x人，
∴八年级捐款人数为（x+30）人．
依题意得：
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．（3分）不等式组的解集是关于x的不等式解集的一部分（ ）
A．m≤3B．m≥3C．m＜3D．m＞3
【分析】先求出不等式组的解集，再解出一元一次不等式的解集，然后列不等式求解可得答案．
【解答】解：，
解得：4＜x≤6，
∵，
解得：x＞3m﹣2，
∵不等式组的解集为不等式解集的一部分，
∴2m﹣3≤4，
解得：m≤3，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）使式子有意义的x的取值范围是 x≥﹣1且x≠1 ．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件，即可得出x的取值范围．
【解答】解：∵式子有意义，
∴，
解得：x≥﹣1且x≠1．
故答案为：x≥﹣8且x≠1．
【点评】本题考查了二次根式有意义及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，分式有意义分母不为零．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝8 16 ．
【分析】根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC＝4；最后由等腰三角形ABC的两腰AB＝AC，求得AB＝4．
【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形；
∵E是AC的中点．
∴DE＝AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；
又∵DE＝3，AB＝AC，
∴AB＝16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质．此题是一道基础题，只要同学们在做题过程中多一份细心，就会多一份收获的．
13．（3分）将一个三角尺和一把直尺按如图所示的方式摆放．若△ABC是等腰三角形，则∠1的度数是 30° ．
【分析】根据三角形中角的关系，平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠C＝∠CAB＝30°，
如图所示，三角尺与直尺的交点为D，
∵∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD﹣∠CAB＝60°﹣30°＝30°，
∵AB∥DE，
∴∠BAD＝∠1＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查三角板中角度的计算与平行线的性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．
14．（3分）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，则∠A+∠B+∠D+∠E＝ 260° ．
【分析】根据周角的定义求出∠1的度数，用五边形的内角和减去∠1的度数即可得出答案．
【解答】解：如图，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∵∠BCD＝80°，
∴∠6＝360°﹣80°＝280°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E＝540°﹣280°＝260°．
故答案为：260°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和＝（n﹣2）•180°是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点 15 ．
【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论．
【解答】解：如图，连接PC．
∵EF垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴PA+PB＝PA+PC≥AC＝9，
∴PA+PB的最小值为9，
∴△ABP的周长的最小值为2+9＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（12分）（1）因式分解：ma2+2ma+m；
（2）解方程：；
（3）解不等式组．
【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
（3）解各不等式求得解集后即可求得不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝m（a2+2a+4）
＝m（a+1）2；
（2）原方程去分母得：7x+3＝2x8﹣2﹣2x8+2x，
整理得：3x﹣4x＝﹣3﹣2，
解得：x＝﹣4，
检验：当x＝﹣5时，（x+1）（x﹣3）≠0，
故原方程的解为：x＝﹣5；
（3）解第一个不等式得：x≥﹣4，
解第一个不等式得：x＜2，
故不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
【点评】本题考查提公因式法及公式法因式分解，解分式方程及一元一次不等式组，熟练掌握因式分解，解方程及不等式组的方法是解题的关键．
17．（8分）先化简（1﹣）÷，再从0，1，2中选择一个合适的x值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝0时，原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的
【分析】根据题意得出内角的度数，进而得出边长，即可得出答案．
【解答】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，
由x＝（180°﹣x）
解得：x＝36°，
360÷36＝10，
（10﹣7）×180°＝1440°，
此多边形为十边形，内角和为1440°．
【点评】此题主要考查了多边形内角与外角，正确得出内角的度数是解题关键．
19．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，EC，CF
【分析】根据平行四边形的性质可得AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，结合条件可证明△ABE≌△CDF；可知AE＝CF，且可得∠AEF＝∠CFE，可得AE∥CF，可证得四边形AECF为平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，且AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①平行四边形⇔两组对边分别平行，②平行四边形⇔两组对边分别相等，③平行四边形⇔一组对边平行且相等，④平行四边形⇔两组对角分别相等，⑤平行四边形⇔对角线互相平分的四边形是平行四边形．
20．（9分）△ABC在网格图中的位置如图所示，三个顶点都在格点上．（1）画出将△ABC向右平移6个单位长度得到的△A1B1C1．
（2）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A2B2C2．
（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A3B3C3．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A3，B3，C3即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C6即为所求；
（2）如图，△A2B2C3即为所求；
（3）如图，△A3B3C6即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
21．（9分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）首先将a2﹣4a+4三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解答】解：（1）a2﹣4a﹣b2+4
＝a2﹣7a+4﹣b2
＝（a﹣5）2﹣b2
＝（a+b﹣7）（a﹣b﹣2）；
（2）a2﹣ab﹣ac+bc＝8，
∴a2﹣ab﹣（ac﹣bc）＝0，
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝5，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0，或者a﹣c＝8，
即：a＝b，或者a＝c
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
22．（10分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤4320列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．
【解答】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元
，
 解之得：，
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；
由题意得：
解之得：8≤m≤10
因为m取整数，所以m可以取的值为：6，9
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜7个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
23．（11分）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，直线m经过点A，BD⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，
则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）与（1）的证明方法一样；
（3）由前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF＝∠CAF＝60°，则∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，则∠DBF＝∠FAE，
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，于是∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）成立．
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）△DEF是等边三角形．
由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵BF＝AF
在△DBF和△EAF中
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
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