2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）一元二次方程的解是
A．B．C．，D．，
2．（2分）如图，转盘中各个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向白色区域的概率为
A．B．C．D．
3．（2分）若一组数据1、3、5、7、的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则不可以是
A．10B．8C．6D．4
4．（2分）如图，内接于，若，，则的半径为
A．1B．2C．D．
5．（2分）如图，在中，点，，分别在，，上．若，，则下列式子正确的是
A．B．C．D．
6．（2分）二次函数的图像如图所示．下列结论：
①；
②；
③方程有两个不相等的实数根；
④不等式的解集是．
其中所有正确结论的序号是
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上）
7．（2分）若，则 ．
8．（2分）二次函数的图像的顶点坐标是 ．
9．（2分）已知点是线段的黄金分割点，且，，那么 ．
10．（2分）设，是方程的两个根，且，则的值为 ．
11．（2分）一个扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的弧长为 ．
12．（2分）已知，与面积的比为．若，则的长为 ．
13．（2分）如图，，与相交于点．若，，，则的长为 ．
14．（2分）已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
15．（2分）如图，过四边形的顶点，，的圆，分别交，于点，．若，的度数为，则 ．
16．（2分）如图，在中，，过点作，交的平分线于点，与相交于点．若，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
18．（8分）甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如下：
甲：5，6，7，6，6；
乙：3，6，6，7，8；
（1）根据所给数据填写下表：
（2）利用方差判断这5次射靶是甲的成绩波动大还是乙的成绩波动大．
19．（8分）某校开设了插花、烹饪、种植3个劳动课程，每位同学可以随机选择其中一个课程参加学习．
（1）甲同学选择插花课程的概率是 ；
（2）求甲、乙两名同学选择同一个课程的概率．
20．（7分）如图，在菱形中，过作交的延长线于点，过作交于点．
（1）求证；
（2）若，，求的长．
21．（7分）已知是的二次函数，与的部分对应值如下表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）将该函数图像沿直线翻折，所得图像的函数表达式为 ．
22．（8分）如图，是的弦，是的中点．
（1）连接，求证：垂直平分.
（2）若，，求的半径．
23．（8分）如图，，相交于点，，，，在一条直线上．，．
（1）求的值；
（2）求的长．
24．（8分）某游乐城销售一种玩具，当售价为50元件时，每天可以销售40件．现游乐城对该玩具开展酬谢促销活动，通过市场调研发现，该玩具单价每降1元，销量增加4件．若该玩具进价为30元件．
（1）售价为多少元时，每天的利润为864元？
（2）售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润为多少元？
25．（8分）已知二次函数为常数）．
（1）求证：该函数的图像与轴总有两个公共点.
（2）该函数图像必过两个定点，它们的坐标分别为 、 ；
（3）当时，，直接写出的取值范围．
26．（9分）如图，是的外接圆，，点在上，，连接并延长交于点，点在的延长线上，且．
（1）连接，求证；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，则的长为 ．
27．（9分）【经验积累】
如图1，在正方形中，是上任意一点，连接，，过点作，垂足为．
（1）求证．
（2）（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）若，则的值为 ．
【方法迁移】
（3）如图2，是平分线上的一点，过点作，垂足为，是直线上的一个动点．若，，则的最大值为 ．
图1 图2 备用图
2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
17.解：（1），
，
或，
解得，.
（2），
，
或，
解得，．
18.解：（1）6 6 6
（2），
，
因为，所以乙的成绩波动大．
19.解：（1）
（2）把插花、烹饪、种植3个劳动课程分别记为，，，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择同一个课程的结果有3种，
甲、乙两名同学选择同一个课程的概率为．
20．（1）证明：四边形是菱形，
，.
交的延长线于点，于点，
，．
（2）解：，，
，，
，，
，
.
21.解：（1）由表格，得抛物线的顶点为，
设函数关系式为，
则，解得，
，
该二次函数的表达式为.
（2）
22.（1）证明：如图，连接，，.
由是的中点，
，.
，垂直平分.
（2）解：由（1）知，垂直平分，
，，，
.
设的半径为，则，，
在中，，
即，解得．
23．解：（1），.
又，.
（2），.
又，，
．
24.解：（1）设售价为元时，每天的利润为864元，
由题意，得，
解得，.
答：售价为48或42元时，每天的利润为864元.
（2）设售价为元时，每天的利润为元，
由题意，得，
当时，有最大值，最大值为900元.
答：售价为45元时，每天的利润最大，最大利润为900元．
25.（1）证明：由题，知，
因为，所以，
故该函数的图像与轴总有两个公共点．
（2）解：
（3）解：抛物线过定点和，
若，时，
此时抛物线都在轴下方，满足．
若，时，
当时的函数值小于4，
即，解得，所以．
综上所述，或．
26.（1）证明：，.
，.
，，
.
（2）证明：如图1，连接，
，.
，
，.
是的直径，，
，，
，，
是的切线.
（3）解：
如图2，作于，，，，，.，，，，，，，，，，，，.

27．（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，．
（2）（Ⅰ）四边形是正方形，.
由（1）知，.
，.
（Ⅱ）
，，，，.
（3）
如图，截取，延长至点，使，在上取点使得.，.，，
，，.，，点在圆上.当经过圆心时最大，，，的最大值为，的最大值为．
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中位数
众数
甲
6

6
乙

6

0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
1
2
3
4
5
6
C
D
A
B
D
C
7. 8.（-1，2） 9. 10.4 11. 12.4 13. 14.-3