2023-2024学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）一元二次方程的根为
A．，B．C．D．
2．（2分）已知二次函数，则下列说法错误的是
A．图像与轴的交点坐标是
B．图像的顶点坐标是
C．图像与轴的交点坐标是，
D．当时，随增大而减小
3．（2分）已知一组数据26，36，36，2■，41，42，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是
A．平均数B．方差C．中位数D．众数
4．（2分）如图，在中，，，与相交于点．若，则
A．1B．1.5C．2D．3
5．（2分）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图像大致是
A B C D
6．（2分）如图，与的边相切于点．将绕点按顺时针方向旋转并以点为位似中心，按一定比例缩小得到△，且点，落在上．若，，则的半径为
A．B．2.5C．D．3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）如果，则的值是 ．
8．（2分）若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为 ．
9．（2分）设，是关于的方程的两个根，则 ．
10．（2分）已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为 ．
11．（2分）用一个半径为4，圆心角度数为的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
12．（2分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高 ．
13．（2分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，，则 ．
14．（2分）如图，已知正五边形，经过，两点的与，分别相切于点，，连接，，则 ．
15．（2分）如图，是半圆的直径，是半圆上的动点，过点作半圆的切线，过点作的垂线，垂足为，与的延长线交于点，若，，则 ．
16．（2分）已知二次函数，的部分对应值如表：
对于下列说法：①；②；③；④若的图像与轴交点的横坐标为，，的图像与轴交点的横坐标为，，则．其中正确的是 （填所有正确的序号）
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
18．（7分）有4个型号相同的杯子，其中，优等品3个，合格品1个．
（1）随机取出一个杯子，恰好是优等品的概率为 ；
（2）随机取出两个杯子，求都是优等品的概率．
19．（9分）某厂家打算从甲、乙两家快递公司中选择一家进行合作．厂家邀请了10位用户对两家快递公司进行满意度打分，甲、乙两家公司的得分折线统计图如下：
（1）根据以上信息，填空：
（2）如果你是厂家经理，你认为选哪一家快递公司更好？为什么？
20．（8分）如图，二次函数图像的顶点坐标为，与轴的交点坐标为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当时，的取值范围是 ；
（3）将该二次函数图像向下平移 个单位长度恰好经过点．
21．（7分）如图，，，是的弦，分别交，于点，，，．
（1）若，则的度数为 ；
（2）求证．
22．（7分）如图，在四边形中，点，在边上，连接，，，，．
（1）求证；
（2）若，，，则 ．
23．（7分）已知二次函数为常数）．
（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴必有两个公共点；
（2）若点，在二次函数的图像上，且，则的取值范围是 ．
24．（8分）如图，在中，，以为直径的与的平分线相交于点，过点作，分别交，的延长线于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
25．（7分）如图，点，分别是，△的外心，连接，，，，求证：△．
26．（10分）某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试飞机性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图①所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求飞机飞行的最大高度；
（3）如图②，由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点的上下平移而上下平移．在水平线轴上设置回收区域，，，要使飞机恰好降落到内（包括端点，，则发射台的高度的取值范围是 ．
27．（10分）【概念认识】
在中，，直线分别交边，于点，．若，则称直线为等腰三角形的“和谐分割线”．
【探索发现】
（1）在中，，直线为等腰三角形的“和谐分割线”．小美，小丽探索发现了下列结论．
小美的发现
如图1，作的中位线交直线于点，则是的中点．
小丽的发现
如图2，点为的外心，过点作，垂足为，则是的中点．
如图1，小美过点作，交于点．证明途径可以用下面的框图表示请填写其中的空格．
请证明小丽所发现的结论．
【解决问题】
（2）如图3，在中，，点为外一点，过点作一条直线，使直线是等腰的“和谐分割线”．（要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【拓展延伸】
（3）在中，，，点为的外心，为平面内一点，过点可作出等腰三角形的“和谐分割线”，则的最小值为 ．
图1 图2 图3
2023-2024学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
17．解：（1），
，
或，
，.
（2），
，
，
，
或，
，．
18.解：（1）
（2）将3个优等品分别记为甲、乙、丙，将1个合格品记为丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出两个杯子都是优等品的结果有：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙，共6种，
随机取出两个杯子，都是优等品的概率为．
19．解：（1）①8；②8；③3.4
（2）选择甲快递公司更好（答案不唯一），理由如下：
满意度得分甲和乙的平均数、中位数均相同，但是甲的方差小于乙的方差，
甲更稳定，选择甲快递公司更好．
20.解：（1）设抛物线的表达式为，
把代入得，解得，
所以抛物线的表达式为.
（2）
（3）18
21.（1）解：136
如图，连接，，，，.，．
（2）证明：如图，连接，，
，，.
由（1）知，
，，
，．
22.（1）证明：，.
又，.
（2）解：4
，，，，，，，，．
23.（1）证明：当时，，
解得，，
，方程有两个不相等的实数根，
不论为何值，函数图像与轴总有两个不同的公共点.
（2）解：
24.（1）证明：如图，连接.
，.
平分，，
，.
，，
，.
是的半径，是的切线.
（2）解：的半径为5，直径.
在中，，，
.
由（1）知，，
四边形是矩形，
，，，，
，.
，是的中位线，
，，
，，
，，
，，解得．
25．证明：如图，连接，，，.
点，分别是，△的外心，
，，
，，
△，.
，，
，
，△．
26.解：（1）设抛物线表达式为，
将，代入，得解得
抛物线的函数表达式为.
（2），
飞机飞行的最大高度为.
（3）
27.（1）证明：①；②
证明：如图，连接，，，，
是的外心，，.
，，
在和中，
，.
又，是的中点.
（2）解：作和的垂直平分线，找到外心以及中位线，连接，以为直径作圆与交于点，连接即为直线，如图，
（3）解：
由（2）可知，当以为直径的圆与中位线没有交点时，无法作出“和谐分割线”，如图，连接并延长，交与点，交于点，连接，.
，是的中位线，是的外心，，，，，，，是的中点，.
在中，，在中，，
解得.在中，，在中，，的最小值为．
3
4
3
0
0
公司
平均数分
中位数分
方差分
甲
8
①
1
乙
②
8
③
1
2
3
4
5
6
A
B
C
C
C
A
7. 8. 9. 10. 11. 12.6 13.60 14.36
15.或 16.①②④