2023-2024学年河北省石家庄二十七中九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年河北省石家庄二十七中九年级（上）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若ab=34，则a−ba+b=（ ）
A．17B．−17C．7D．﹣7
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝7，则csB等于（ ）
A．724B．3124C．2425D．725
5．（3分）如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）在△ABC中，若sinA=22，csB=12，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A．105°B．90°C．75°D．120°
7．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D、E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD＝1cm，则AD的长为（ ）
A．13cmB．12cmC．1cmD．32cm
8．（2分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BPAP=APAB，则称点P是AB的黄金分割点，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，若图中AB＝8，则BP的长度是（ ）
A．12−45B．4+45C．45−4D．2
9．（2分）如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（ ）
A．x（81﹣4x）＝440B．x（78﹣2x）＝440
C．x（81﹣2x）＝440D．x（84﹣4x）＝440
10．（2分）燕燕超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比值计入总成绩，则该应聘者的总成绩是（ ）分．
A．77.4B．80.4
C．92D．以上都不对
11．（2分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣4，﹣21
12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，D，C，E三点在一条直线上，AB＝6，BC＝8，CE＝2，则CF的长为（ ）
A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8
13．（2分）如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（ ）
A．AO：AA'＝1：2
B．点A，O，A'三点在同一条直线上
C．S△ABC：S△A′B′C′＝1：4
D．BC∥B'C'
14．（2分）如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝6，DC＝8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
15．（2分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论中正确的结论有（ ）
①CFDF=13；②AE2＝AD•AF；③△ADF≌△ABE；④图中有3对相似三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2022的长为（ ）
A．5×(52)2022B．2×(52)2021
C．5×22022D．5×(52)2021
二.填空题（共4小题，每空2分，共10分）
17．（2分）若m、n是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则代数式m2+3m+n＝ ．
18．（2分）如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝90mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为 ．
19．（2分）如图，斜坡AB的坡度i1＝1：3，现需要在不改变坡高AH的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC的坡度i2＝1：2.4，已知斜坡AB＝10米，那么斜坡AC＝ 米．
20．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′C′D′，B′C与AD交于点E，AD的延长线与A′D′交于点F．当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，则EF＝ ．
三、解答题：（共6小题，共72分）
21．（12分）（1）解方程：x2﹣2x﹣4＝0；
（2）解方程：x2﹣1＝3（x+1）；
（3）计算：cs260°−1sin30°+tan45°+(1−tan60°)2．
22．（10分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70，B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级中，哪个年级校园安全知识掌握更好，请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．
23．（12分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价1元，其销售量增加12个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
24．（12分）如图所示，点P是▱ABCD的边DC的延长线上一点，连结AP分别交BD、BC于点M、N．
（1）图中有 对相似三角形，请写出其中任意三对相似三角形．
（2）求证：AM2＝MN•MP．
25．（12分）三亚南山海上观音圣像是世界上最高的观音像，某数学实践小组利用所学的数学知识测量观音圣像的高度AB，如图，该数学实践小组在点C处测得观音圣像顶端A的仰角为45°，然后沿斜坡CD行走40m到点D处，在点D处测得观音圣像顶端A的仰角为32°，已知∠ACD＝105°．（点A，B，C，D在同一平面内）
（1）过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DCE＝ °；
（2）填空：DE＝ m，CE＝ m；（结果精确到1m，参考数据：2≈1.4，3≈1.7）
（3）求三亚南山海上观音圣像的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，tan32°≈0.62）
26．（14分）问题提出：
（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°．求证：△BDA∽△CED；
问题探究
（2）如图2，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处，若AB＝3，AD＝5，求DE的长；
问题解决
（3）如图3，菱形ABCD是一座避暑山庄的平面示意图，其中∠BAD＝60°，AB＝120米，现计划在山庄内修建一个三角形花园AP，点P、Q分别在线段BC、CD上，根据设计要求要使∠APQ＝120°，且AP＝3PQ，问能否建造出符合要求的三角形花园APQ，若能，请找出点P、Q的位置（即求出DQ与BP的长），若不能，请说明理由．
参考答案与解析
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
16.A∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，∴AC=AB2+BC2=1+4=5，∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形ACC1B1，∴矩形ACC1B1的边长和矩形ABCD的相似比为5：2，∴矩形ACC1B1的对角线和矩形ABCD的对角线的比5：2，∵矩形ABCD的对角线为5，∴矩形AB1C1C的对角线AC1=5×52=52，依此类推，矩形AB2C2C1的对角线和矩形AB1C1C的对角线的比为5：2，∴矩形AB2C2C1的对角线AC2=5×(52)2，∴矩形AB3C3C2的对角线AC3=5×（52）3,按此规律第n个矩形的对角线A∁n=5×（52）n，∴AC2022的长为5×（52）2022.
20. 154 在Rt△A′CD′中，∠D′＝90°，∴A′C2＝A′D′2+CD′2，∴A′C＝5，A′D＝2，∵∠DA′F＝∠CA′D′，∠A′DF＝∠D′＝90°，∴△A′DF∽△A′D′C，
∴A′DA′D′=DFCD′，∴24=DF3，∴DF=32，同理可得△CDE∽△CB′A′，∴CDCB′=EDA′B′，
∴34=ED3，∴ED=94，∴EF＝ED+DF=154．
解答题解法提示
21.解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，
移项得，x2﹣2x＝4，
等式两边同时加上1得，x2﹣2x+1＝5，
配方得，（x﹣1）2＝5，
直接开方得，x−1=±5，
移项得，x=1±5，
∴x1=1−5，x2=1+5；
（2）x2﹣1＝3（x+1），
等式坐标因式分解得，（x+1）（x﹣1）＝3（x+1），
移项得，（x+1）（x﹣1）﹣3（x+1）＝0，
提取公因式得，（x+1）（x﹣1﹣3）＝0，整理得，（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝4；
（3）cs260°−1sin30°+tan45°+(1−tan60°)2
=(12)2−112+1+(1−3)2
=14−2+1+(3−1)
=14−2+1+3−1
=3−74．
22.解：（1）根据题意，将八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84，
因此中位数是84，即a＝84；
九年级抽取的学生竞赛成绩出现次数最多的是100，共出现3次，
因此众数是100，即b＝100；
九年级抽取的学生竞赛成绩中80分及以上的共有12人，
因此优秀率为1215×100%＝80%，即c＝80%；
故答案为：84；100；80%；
（2）九年级校园安全知识掌握更好，理由如下：
因为九年级学生竞赛成绩的中位数、众数和优秀率均高于八年级，所以九年级校园安全知识掌握更好；
（3）500×6+615+15=200（人）.
答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数200人．
23.解：（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，
根据题意，得400（1+x）2＝576，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为20%；
（2）设这种台灯售价应定为m元，
根据题意，得（m﹣30）[576+60.5（40﹣m）]＝4800，
解得m1＝38，m2＝80，
∵售价在35元至40元范围内，
∴m＝38，
答：这种台灯售价应定为38元．
（1）解：6
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴△PCN∽△ABN，△PDM∽△ABM，△BMN∽△DMA，△PCN∽△PDA，△ABN∽△PDA，△ABD≌△CDB，∴共6对相似三角形.
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠NBM＝∠MDA，
又∠NMB＝∠AMD，
∴△NMB∽△AMD，
∴AMMN=DMBM，
∵CD∥AB，
∴∠MDP＝∠ABM，
又∠DMP＝∠BMA，
∴△DMP∽△BMA，
∴DMBM=PMAM，
∴AMMN=PMAM，
∴AM2＝MN•MP．
解：（1）30
由题意得∠ACB＝45°，∵∠ACD＝105°，∴∠DCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝30°.
（2）20 34
∵DE⊥CE，∴∠DCE＝90°，在Rt△DCE中，∠DCE＝30°，CD＝40m，∴DE=12CD＝20（m），CE=3DE＝203≈34（m）.
（3）过点D作DF⊥AB于点F，
由题意得：BF＝DE＝20m，DF＝BE，
设AB＝xm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴BC=ABtan45°=x（m），
∴AF＝AB﹣BF＝（x﹣20）m，
DF＝BE＝BC+CE＝（x+34）m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝32°，
∴AF＝DF•tan32°≈0.62（x+34）m，
∴x﹣20＝0.62（x+34），
解得：x≈108，
∴AB＝108m.
答：三亚南山海上观音圣像的高度AB约为108m．
26.（1）证明：∵在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°＝∠ADE，
∴∠ADB+∠EDC＝135°，∠DEC+∠EDC＝135°，
∴∠ADB＝∠DEC，
∴△ABD∽△DCE.
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
由折叠的性质可得：AD＝AF＝5，∠AFE＝∠D＝90°，
∴BF=AF2−AB2=52−32=4，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
∵∠BAF+∠AFB＝90°，∠AFB+∠EFC＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴△ABF∽△FCE，
∴ABFC=BFCE，即31=4CE，
∴CE=43，
∴DE=CD−CE=3−43=53．
（3）解：能建造出符合要求的三角形花园APQ，
理由如下：
在CB上截取CE，使得CE＝CQ，连接QE，如图，
在菱形ABCD中，
∵∠BAD＝60°，
∴∠B＝120°，∠C＝60°，
∴△CQE是等边三角形，
∴CQ＝CE＝QE，∠QEC＝∠C＝60°，
∴∠PEQ＝120°＝∠B，
∵∠APQ＝120°，
∴∠QPE+∠APB＝60°，
∵∠B＝120°，
∴∠PAB+∠APB＝60°，
∴∠QPE＝∠PAB，
∴△ABP∽△PEQ，
∴BPEQ=ABPE=APPQ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AB＝120米，
∵AP＝3PQ，
∴PE＝40米，BP＝3EQ＝3EC，
∴3EC+40+EC＝120，
∴CQ＝EC＝20米，
∴BP＝3EC＝60米，DQ＝CD﹣CQ＝120﹣20＝100（米），
综上所述，能建造出符合要求的三角形花园APQ，此时BP、DQ的长分别为60米、100米．
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩（分数）
70
80
92
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
87
a
98
60%
九
87
86
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
C
C
C
C
B
A
9
10
11
12
13
14
15
16
D
A
A
B
A
B
C
A
17.1 18.72mm 19. 13 20.154