2023-2024学年河北省石家庄九中九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年河北省石家庄九中九年级（上）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程中，为一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．3x2﹣x＝10C．x2−1x=4D．x2+y2＝5．
2．（3分）已知xy=23，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x＝2，y＝3B．2x＝3yC．xx+y=35D．x+yy=53
3．（3分）若反比例函数y=kx的图像经过点（2，3），则它的图像也一定经过的点是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（﹣2，3）
4．（3分）如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC=3，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为（ ）
A．3B．55C．30°D．60°
5．（3分）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（ ）
A．2B．3C．2D．3
6．（3分）方程2x2﹣8x﹣1＝0的解的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有一个实数根
7．（3分）已知线段a＝2，b＝23，线段b是a、c的比例中项，则线段c的值为（ ）
A．2B．4C．6D．12
8．（3分）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32D．10×6﹣4x2＝32
9．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．BC＝2DE
B．C△ADEC四边形BDEC=12
C．S△ADES△ABC=14
D．CE＝2AE
10．（3分）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（ ）
A．四边形NPMQB．四边形NPMR
C．四边形NHMQD．四边形NHMR
11．（2分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2分）在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在点A，B的右侧圆弧上取一点C，连接AC，BC，则sinC的值为（ ）
A．32B．12C．1D．22
13．（2分）如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．πcmB．2πcmC．3πcmD．5πcm
14．（2分）如图，Rt△AOB的直角顶点O与坐标原点重合，∠OAB＝30°，若A点在反比例函数y=6x(x＞0)的图像上，则过B点的反比例函数的比例系数为（ ）
A．2B．4C．﹣2D．﹣4
15．（2分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（ ）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．4cm
16．（2分）如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（ ）
A．0＜CP≤1B．0＜CP≤2C．1≤CP＜8D．2≤CP＜8
二、填空题（17、18每题3分，19题每空2分，共6分，合计12分）
17．（3分）sin30°+2cs45°＝ ．
18．（3分）如图，将长为8cm的铁丝尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形＝ cm2．
19．（6分）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y=kx(x＜0)的图像为曲线L．
（1）T1的坐标为 ；
（2）若L过点T3，则它必定还过另一点Tm，则m＝ ；
（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，其中一侧有2个点，则k的整数值有 个．
三、解答题
20．（8分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．则：
（1）用含x的代数式表示m＝ ；
（2）当y＝﹣1时，求n的值．
21．（8分）如图，△ABC中∠A＝60°，∠B＝40°，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠ADE＝80°．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）若AD＝4，AB＝8，AE＝5，求CE的长．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若DE＝4，求AD的长．
23．（8分）景泰特产专卖店销售杏脯，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种杏脯要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克杏脯应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
24．（10分）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．
参考数据：3≈1.732，sin75°≈0.966，cs75°≈0.259．
（1）B处离岛C 海里．
（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
（3）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由．
25．（12分）如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于A（2，1），B（﹣1，n）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围 ；
（4）将直线AB沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度，使直线AB、平移后的直线和双曲线围成的封闭区域（不包含边界）包含5个整点（横、纵坐标都为整数的点称为整点），求m的取值范围 ．
26．（12分）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝12，tanB=34，P为边AB上一动点．
（1）BC的长为 ；
（2）若动点P满足∠PCB＝45°时，求tan∠ACP的值；
（3）如图2，若D为BC的中点，连接PD，以PD为折痕，在平面内将△APD折叠，点A的对应点为A′，当A′P⊥AB时，求AP的长；
（4）如图3，若E为AC边上一点，且AE=12CE，连接EP，将线段EP绕点E沿逆时针方向旋转60°得到线段EQ，连接CQ，直接写出CQ的最小值．
参考答案与解析
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
16.B 如图所示，过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E，则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA，此时0＜PC＜8；
如图所示，过P作∠BPF＝∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC，此时0≤PC＜8；
如图所示，过P作∠CPG＝∠A交AC于G，则△CPG∽△CAB，当点G与点A重合时，CA2＝CP×CB，即42＝CP×8，∴CP＝2，∴此时，0＜CP≤2；
综上所述，CP长的取值范围是0＜CP≤2．
19．（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8）.（2）∵L过点T3，∴k＝﹣12×3＝﹣36，∴反比例函数表达式为：y=−36x，当x＝﹣6时，y＝6，∴T6在反比例函数图像上，∴m＝6.（3）由于T1和T8，T2和T7，T3和T6，T4和T5，分别在同一条反比例函数图像上，要使两点在图像一侧，只能是T4和T5在同一侧或T1和T8在同一侧，当T4和T5在同一侧时，﹣40＜k＜﹣36，k取整数为﹣37，﹣38，﹣39，
当T1和T8在同一侧时﹣28＜k＜﹣16，k取整数为﹣27，﹣26，﹣25，﹣24，﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17.综上分析满足条件的k值共有12或3，
20.解：（1）x2+2x；
（2）由题意得：m＝x2+2x，n＝2x+3，
∵m+n＝﹣1，
∴x2+2x+2x+3＝﹣1，
整理得：x2+4x+4＝0，
∴（x+2）2＝0，
解得x＝﹣2，
∴n＝2x+3＝2×（﹣2）+3＝﹣1，
∴n的值为﹣1．
21.（1）证明：∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠C＝80°，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，
∴△AED∽△ABC.
（2）解：由（1）得△AED∽△ABC，
∴ADAC=AEAB，
∵AD＝4，AB＝8，AE＝5，
∴AC=325，
∵CE＝AC﹣AE，
∴CE=325−5=75．
22.1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD.
（2）∵AB＝AC＝5，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C，
∴DE＝DC，
∵DE＝4，
∴DC＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AD=AC2−CD2=52−42=3．
23.解：（1）设每千克杏脯应降价x元，则每天销售可增加10x千克，
由题意得，（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得：x1＝4，x2＝6．
答：每千克杏脯应降价4元或6元；
（2）每千克杏脯降价6元，此时每千克54元，
54÷60＝0.9．
答：该店应按原售价的9折出售．
24.解：（1）10
如图，过C作CO⊥AB于O，
由题意得，∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBO＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CAB＝30°，∴BC=AB=30×2060=10（海里）.
（2）由（1）知，CO为渔船向东航行到C的最短距离，∠CBO＝60°，
∵CO⊥AB，∠CBO＝60°，BC＝10，
∴CO=53≈8.66＜9，
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；
（3）过C作CD⊥BF交BF于D，交BO于E，
在Rt△BCD中，∠CBD＝∠CBO+∠DBO＝60°+15°＝75°，BC＝10，
∴CD＝sin75°⋅BC≈9.66＞9，
∴没有触礁的危险．
25.解：（1）∵点A（2，1）在反比例函数y=kx图像上，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数的关系式为y=2x，
把点B（﹣1，n）代入反比例函数y=2x得，n=2−1=−2，
∴点B（﹣1，﹣2），
设直线AB的关系式为y＝ax+b，
∴2a+b=1−a+b=−2，解得a=1b=−1，
∴直线AB的关系式为y＝x﹣1，
即反比例函数的关系式为y=2x，一次函数的关系式为y＝x﹣1.
（2）当y＝0时，即x﹣1＝0，解得x＝1，即直线AB与x轴的交点坐标为（1，0），
∴S△AOB=12×1×1+12×1×2=32；
（3）﹣1＜x＜0或x＞2
（4）2≤m＜3
由题意可知，直线AB、平移后的直线和双曲线围成的封闭区域（不包含边界）包含的5个整点为（1，1），（﹣1，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），∴m的取值范围是2≤m＜3.
26.解：（1）20
∵tanB=34，∠A＝90°，∴ACAB=12AB=34，∴AB＝16，∴BC=AB2+AC2=162+122=20.
（2）过点P作PD⊥PC，交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠PCB＝45°，
∴∠PCD＝∠CDP，
∴PC＝PD，
∵∠APC+∠DPE＝90°，∠DPE+∠PDE＝90°，
∴∠APC＝∠PDE，
∵∠CAP＝∠PED＝90°，
∴△CAP≌△PED（AAS），
∴AC＝PE＝12，AP＝DE，
设AP＝DE＝m，则BE＝AB﹣AP﹣PE＝4﹣m，
∵tanB=34，
∴DEBE=m4−m=34，
∴m=127，
∴AP=127，
∴tan∠ACP=APAC=12712=17；
（3）如图2，AB与A'D交于点O，
∵D为BC的中点，
∴AD＝CD＝BD=12AB＝10，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵将△APD折叠，点A的对应点为A′，
∴∠DAP＝∠DA'P，AD＝A'D＝10，
∵∠A'OP＝∠BOD，
∴∠A'PB＝∠BDA'，
∵A'P⊥AB，
∴∠A'PB＝∠BDA'＝90°，
∴A'B=A′D2+BD2=102，
设AP＝x，则A'P＝x，PB＝16﹣x，
∵PA'2+PB2＝A'B2，
∴x2+(16−x)2=(102)2，
∴x＝2或x＝14，
∴AP＝2或14；
（4）以CE为边作等边三角形CEM，连接MP，CQ，
∵将线段EP绕点E沿逆时针方向旋转60°得到线段EQ，
∴EP＝EQ，∠CEM＝60°，
∵△CEM是等边三角形，
∴CE＝EM，∠CEM＝60°，
∴∠CEQ＝∠MEP，
∴△CEQ≌△MEP（SAS），
∴CQ＝MP，
∴当MP有最小值时，CQ最小，
∵P为AB上一动点，
∴当MP⊥AB时，MP最小，
过点M作MH⊥AB于点H，MD⊥CA于点D，则四边形MDAH为矩形，
∴MH＝AD，
∵AE=12EC，AC＝12，
∴AE＝4，CE＝8，
∴DE＝4，
∴AD＝8，
∴MH＝8，
即CQ的最小值为8．
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
A
A
A
A
C
B
9
10
11
12
13
14
15
16
D
A
B
D
C
C
B
B
17.32 18.4 19. （1）（﹣16，1）； （2）6；（3）11或3