第6讲 整式的加减运算-【暑假辅导】六升七暑假数学精品讲义（沪教版）

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第6讲 整式的加减运算
【学习目标】
整式的加减运算是学生完成有理数学习和字母表示数后整式运算的第一章，主要研究整式的加减运算．整式的加减运算是学习下一章“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习分式和根式运算、方程以及一次函数、二次函数的基础.由于用字母表示数，能更一般地表示数量关系，因而本章学习程度直接影响学生运用方程、不等式建摸解决实际应用问题能力．
【基础知识】
1、去括号法则：
括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项不变号；
括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号，括号里的各项都变号．
括号前有系数，应先进行乘法分配律，再去括号．
去括号法则可简记为：“负”变“正”不变．
2、添括号法则：
括号前面添上“＋”号，括号里各项都不变号；
括号前面添上“－”号，括号里各项都要变号．
添括号法则可简记为：“－”变“＋”不变．
3、整式的加减
一般步骤是：①如果有括号，先去括号；②合并同类项．
【考点剖析】
例1．先去括号，再合并同类项：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）原式=；
原式=；
（3）原式=；
（4）原式=．
【总结】本题主要考查整式的加减运算，注意去括号法则，括号前面是“”号的，去括号时，括号里面各项都要变号，括号前面有系数的，应先进行乘法分配律运算，再去括号．
例2．计算：
（1）求整式与的和．
（2）求代数式与的和与差．
（3）求整式与的差．
【难度】★
【答案】（1）；
两式和为，两式差为；
．
【解析】；
，
；
（3）．
【总结】本题主要考查读文字题，进行整式的加减运算，要把式子当作整体括起来进行运算，然后再去括号，注意去括号原则．
例3．化简：．
【难度】★
【答案】．
【解析】原式=．
【总结】本题主要考查整式的加减运算及去括号法则的运用．
例4．先化简，再求代数式的值：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中．
【难度】★★
【答案】（1）化简结果，代入数值计算结果是；
化简结果，代入数值计算结果是；
化简结果，代入数值计算结果是9；
化简结果，代入数值计算结果是．
【解析】（1）原式=；
原式=，
当时，原式；
原式=，
当时，原式；
原式=，
当时，原式．
【总结】本题一方面考查整式的加减运算，另一方面考查代数式的化简求值．
例5．代数式的值与字母取值无关，求的值．
【难度】★★
【答案】11．
【解析】原式=，
代数式取值与字母无关，则有，，可求得，，
代入可得：．
【总结】当代数式的值与某个字母无关时，则包含该字母的所有项的系数为零．
例6．一个多项式减去多项式，马虎同学将减号抄成了加号，运算结果是，求多项式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】，
．
【总结】本题主要考查对题意的理解，注意正确列出算式，根据整式加减运算法则计算．
例7．已知关于的多项式，相加后，不含二次项，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】，
多项式相加后不含二次项，即，可得．
【总结】当代数式化简后的结果不含有二次项时，则说明二次项的系数为零．
1、整式加减法与合并同类项的关系是什么？
2、括号在整式加减法中的应用是什么？
师生总结
【过关检测】
一、单选题
1．（2020·上海七年级月考）如果，那么与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】将M与N代入M−N中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断．
【详解】∵M−N＝（x2＋6x＋22）−（−x2＋6x−3）
＝x2＋6x＋22＋x2−6x＋3
＝2x2＋25＞0，
∴M＞N，
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2019·上海七年级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长 为acm，宽为bcm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是（ ）
A．4acmB．4bcmC．2（a+b）cmD．4（a-b）cm
【答案】B
【分析】设图①中小长方形的长为x，宽为y，然后根据图②可建立关系式进行求解．
【详解】解：设图①中小长方形的长为x，宽为y，由图②得：
阴影部分的周长为：（cm）；
故选B．
【点睛】本题主要考查整式与图形，熟练掌握整式的加减是解题的关键．
3．（2019·上海华东师范大学附属进华中学七年级期中）若A与B均是三次多项式，则A+B一定是（ ）
A．六次多项式B．次数低于三次的多项式
C．三次多项式D．次数不高于三次的多项式或单项式
【答案】D
【分析】根据多项式的次数和合并同类项法则进行判断即可．
【详解】∵A，B都是三次多项式，
∴A＋B一定是3次或比次数3小的多项式或单项式，
故选：D．
【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．
4．（2019·上海市洋泾中学南校七年级月考）若代数式是六次单项式，则m的值为（ ）
A．5B．4C．3D．7
【答案】C
【分析】根据单项式次数的定义求解即可.
【详解】若代数式是六次单项式，
则，
∴
故选：C.
【点睛】本题考查了单项式，解题的关键是熟记单项式次数的定义.
5．（2019·上海市风华初级中学七年级月考）如果A、B都是关于x的单项式，且A·B是一个七次单项式，A+B是一个四次多项式，那么A-B的次数（ ）.
A．一定是七次B．一定是四次C．一定是三次D．无法确定
【答案】B
【分析】由A、B都是关于x的单项式，且A·B是一个七次单项式，可得出：A、B中可能有一个是0次单项式，那么另一个是7次单项式；或有一个是1次单项式，那么另一个是6次单项式；或有一个是2次单项式，那么另一个是5次单项式；或有一个是4次单项式，那么另一个是3次单项式；再通过A+B是一个四次多项式，可得出结论.
【详解】∵A、B都是关于x的单项式，且A·B是一个七次单项式，A+B是一个四次多项式，
∴A、B中必有一个是4次单项式，那么另一个是3次单项式，
∴A-B的次数一定是4次，
故选B．
【点睛】此题考查的单项式的积，和，差，掌握单项式的积，和，差与它的次数关系是解决此题的关键.
二、填空题
6．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）整式减去的差为_____________．
【答案】
【分析】根据题意可直接列式进行求解．
【详解】解：由题意得：
；
故答案为．
【点睛】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．
7．（2020·上海市进才中学北校七年级月考）已知，，那么___________．
【答案】－7
【分析】先通过合并同类项化简，在代入求值即可；
【详解】，
把，代入，
原式．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，准确计算是解题的关键．
8．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）在括号内填上适当的项：_____ ；_____；[_____+8]-[________ -6x+_______]；
【答案】 12
【分析】由加法的意义可得第一空为：化简后的结果，第二空为：化简后的结果，可设第三空为，第四空为，第五空为，去括号后得： 从而可得答案．
【详解】解：
，

故答案为：，，，，
【点睛】本题考查的是整式的加减以及去括号，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2020·上海市泾南中学七年级期中）计算：________．
【答案】
【分析】整式的加减法法则实质是合并同类项的过程,根据合并同类项的法则计算即可.
【详解】,
故答案为: .
【点睛】本题主要考查整式的减法法则,解决本题的关键是要熟练掌握整式减法法则.
10．（2020·上海七年级月考）化简，结果是__________．
【答案】
【分析】根据整式的加减及去括号的相关运算法则即可求解.
【详解】化简得：，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了整式的加减，熟练运用去括号，合并同类项等运算知识是解决本题的关键.
11．（2020·上海七年级月考）如图，四张大小不一的四方形纸片分别放置于矩形的四个角落，其中①和②纸片既不重叠也无空隙.已知矩形的周长为，阴影部分的周长为那么以下四个正方形中__________号正方形的边长可以直接用、表示，结果为__________.
【答案】②
【分析】先表示出阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，再表示出阴影部分的周长，然后进行整理即可得出答案．
【详解】根据题意得：
阴影部分所有竖直的边长之和＝AB＋CD，
所有水平的边长之和＝（AD−②的边长）＋（BC−②的边长），
则阴影部分的周长＝（AB＋CD＋BC＋AD）−②的边长×2
＝矩形ABCD的周长−②的边长×2=b
即a-②的边长×2=b
故②的边长=
故填：②，.
【点睛】此题考查了整式的加减和长方形的周长公式，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．
12．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）多项式减去的差是____________.
【答案】
【分析】用括号将两个多项式括起来相减，然后再去括号，合并同类项.
【详解】
=
=
故答案为.
【点睛】本题考查多项式的加减法，关键是掌握去括号与合并同类项法则，需要注意用括号将多项式括起来.
三、解答题
13．（2020·上海文来实验学校）已知，，求B的值
【答案】
【分析】由题干可知，，代入A进行去括号，合并同类项即可.
【详解】因为，所以有
故答案为
【点睛】本题考查了多项式的加减混合运算，注意的是去括号时，括号前面是负号，则括号里面要变号；再就是同类项是指，字母相同，字母的指数也相同的单项式，合并同类项时，只把系数相加减.
14．（2020·上海七年级期末）计算：．
【答案】
【分析】先去括号，再合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，掌握去括号、合并同类项等运算法则是解题关键．
15．（2020·上海市进才中学北校七年级月考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，1
【分析】先去括号，再合并同类项，注意括号前面负号的作用．
【详解】
当，时，
原式
【点睛】本题考查整式的化简求值，其中涉及去括号，合并同类项等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．（2020·上海市进才中学北校七年级月考）已知，
（1）求；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据题意把A这个多项式代入A-B中进行求解即可；
（2）由（1）可先求A+B，然后再代值求解即可．
【详解】解：（1），，
；
（2）由（1）得：
，
把代入得：
原式=．
【点睛】本题主要考查整式的加减运算及化简求值，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．
17．（2020·上海七年级月考）计算：
【答案】
【分析】先去括号，再合并同类项．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查整式的加减，注意括号前面是负号，去掉括号各项都要变号．
18．（2020·上海七年级月考）化简求值，其中x＝2，y＝﹣0.5．
【答案】x﹣8y，６．
【分析】先化简整式，在代入求解即可；
【详解】解：原式＝4x﹣6y﹣2﹣3x﹣2y+2
＝x﹣8y，
当x＝2，y＝﹣0.5时，原式＝2+4＝6．
【点睛】本题主要考查了整式化简求值，准确计算是解题的关键．
19．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）已知，.求.
【答案】
【分析】将两个多项式用括号括起来，列出代数式，然后去括号，合并同类项即可.
【详解】解：
=
=
=
【点睛】本题考查整式的加减，需要掌握去括号和合并同类项法则，同时需要注意用括号将多项式括起来再计算.