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第12讲 乘法公式（二）-【暑假辅导】六升七暑假数学精品讲义（沪教版）
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这是一份第12讲 乘法公式（二）-【暑假辅导】六升七暑假数学精品讲义（沪教版），文件包含第12讲乘法公式二原卷版沪教版docx、第12讲乘法公式二解析版沪教版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。
沪教版数学教材主要有以下特点：
1. 立足实际，贴近生活。教材中的案例和题目都来源于学生生活实际。
2. 突出思维训练，注重创新能力。提高学生的解题、思维能力，够激发创新力和发散思维。
3. 知识与技能并重，注重应用。教材中既注重知识点的讲解和掌握，同时也重视技能的训练和应用，使学生能够在实际生活中运用数学知识。
4. 多元化评价，注重全面发展。教材中的评价方式不仅包括传统的考试、作业和口头表现，更加注重学生的多方面发展。
第12讲 乘法公式（二）
【学习目标】
平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识因式分解，分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位．两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想．它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作用．
【基础知识】
1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．．
（1）、可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）
（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：
如：
2、平方差公式的特征：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
（2）右边是乘式中两项的平方差．
3、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．．．
4、完全平方公式的特征：
（1）左边是两个相同的二项式相乘；
（2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；
（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．
【考点剖析】
考点一：选择题
例1．下列可以用平方差公式计算的是（）．
A．B．
C．D．
【难度】★
【答案】B
【解析】B选项可以变形为．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用，注意符号．
例2．若，括号内应填代数式（）．
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用，注意符号．
例3．下列各式中，计算正确的是（）．
A．B．
C．D．
【难度】★
【答案】C
【解析】A选项应为：；B选项应为：；
D选项应为：．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用．
例4．的运算结果是（）．
A．B．
C．D．
【难度】★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用．
例5．计算的结果是（）．
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】解析如下：
．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用，注意指数的变化．
例6．下列各式计算正确的是（）．
A．B．
C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查平方下的符号变化．
例7．等于（）．
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用，注意系数和指数的变化
例8．如果，那么M等于（）．
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用，注意合并同类项．
例9．运算结果为的是（）．
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】A
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式的逆用．
例10．已知是一个完全平方式，则等于（）．
A．8B．C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】理由如下：．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用，注意一个正数的平方根有两个．
例11．代数式可化为形式，其中为常数，则的值为（）．
A．B．C． D．
【难度】★★
【答案】A
【解析】因为，所以，所以．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用．
例12．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）．
A． B．
C． D．
【难度】★★
【答案】D
【解析】左图的计算方式为；右图的计算方式为．
【总结】面积割补法转换和公式转换之间的联系．
考点二：填空题
例1．填空：．
【难度】★
【答案】．
【解析】
【总结】本题主要考查平方差公式的运用．
例2．如图，从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________．
【难度】★
【答案】．
【解析】左图的计算方式为；右图的计算方式为．
【总结】本题主要考查面积公式和割补法求面积的表达形式．
例3．计算：___________________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
．
【总结】本题主要考查完全平方公式和平方差公式的综合运用．
例4．如果，那么的值是________．
【难度】★★
【答案】
【解析】因为，所以．
即，所以，所以．
【总结】本题主要考查完全平方公式和平方差公式的综合运用．
例5．已知，那么___________．
【难度】★★
【答案】±4
【解析】因为，所以，所以．
【总结】本题主要考查平方差公式与待定系数法．
例6．已知，，则的值是___________．
【难度】★★
【答案】-66．
【解析】．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的变形转换的能力．
例7．已知，求___________．
【难度】★★
【答案】2
【解析】∵，∴，即．
∴．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的变形转换的能力．
例8．已知，，则___________．
【难度】★★
【答案】50
【解析】∵，∴，
∴．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的变形转换的能力．
例9．若，则__________；___________．
【难度】★★
【答案】14；194．
【解析】；．
【总结】本题主要考查完全平方公式的变形转换的能力以及注意积累的变化方式．
例10．如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于、的恒等式___________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】割补法和面积公式．
【总结】本题主要考查面积公式和割补法求面积的表达形式．
例11．如果多项式是一个完全平方式，那么的值为___________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式与待定系数法．
考点三：解答题
例1．计算：；
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用．
例2．计算：．
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用．
例3．．
【难度】★
【答案】0
【解析】．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用以及合并同类项．
例4．计算：（1）；（2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；（2）．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用．
例5．计算：．
【难度】★
【答案】．
【解析】
．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用，此题也可减号两边一起展开，但计算量较大．
例6．计算：（1）；（2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用．
例7．简便计算：（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）9996．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】本题主要考查平方差公式在实数运算中的运用．
例8．计算：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式
．
【总结】本题主要考查平方差公式在实数运算中的运用以及添项使其变成平方差公式．
例9．计算：（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）
．
【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用．
例10．计算：（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用．
例11．计算：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式．
【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用．
例12．利用乘法公式计算：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式在实数运算中的运用．
例13．计算：．
【难度】★★
【答案】100．
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式在实数运算中的运用．
例14．解方程：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】
．
【总结】本题主要考查如何利用乘法公式求解方程的解．
例15．解不等式：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】
．
【总结】本题主要考查如何利用乘法公式求解不等式．
例16．先化简，再求值：，其中．
【难度】★★
【答案】13
【解析】原式．
当时，原式．
【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用以及合并同类项，注意先化简会比直接展开简便．
例17．若是完全平方式，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由，可得
解得：．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用以及待定系数法．
【过关检测】
一、单选题
1．（2019·上海市久隆模范中学七年级期中）下列各式计算正确的是（ ）
A．-a（3a²+1）=-3a³+aB．（a+b）²=a²+b²
C．（2a-3）（-2a-3）=9-4a²D．（2a-b）²=4a²-2ab+b²
【答案】C
【分析】根据单项式乘多项式可对A进行判断；根据完全平方公式可对B、D进行判断；根据平方差公式可对C进行判断．
【详解】A. ，所以A选项不正确；
B. ，所以B选项不正确；
C. ，所以C选项正确；
D. ，所以D选项不正确.
故选：C.
【点睛】本题考查单项式乘多项式，完全平方公式以及平方差公式，熟记法则和公式是解题的关键.
2．（2019·上海华东师范大学附属进华中学七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】（A）原式＝a4＋8a2＋16，故A错误；
（B）原式＝−（x＋1）2＝−（x2＋2x＋1）＝−x2−2x−1，故B错误；
（C）原式＝4x2−4xy＋y2，故C错误；
（D），正确
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
3．（2019·上海七年级期中）下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平方差公式，判断是否具有使用公式得条件，即看乘积中是否能写成
的形式，是否可以整理或转化成这种形式，注意两个二次项中有一项完全相同，另一项互为相反数.
【详解】A选项出现的两个二次项中， 没有任何一项相同，所以不符合平方差公式的条件，所以错误.
B选项出现的两个二次项中， 与，与都互为相反数，不满足平方差公式的条件，所以错误.
C选项出现的两个二次项中，与，与都互为相反数，不满足平方差公式的条件，所以错误.
D选项出现的两个二次项中，与互为相反数，与相同，满足平方差公式的条件，所以正确.
故选D
【点睛】本题主要考查平方差公式，平方差公式的特点：等号左边是两个二次项相乘，并且这两个二次项中有一项完全相同，另一项互为相反数，运用平方差公式之前先判断是否具有使用公式的条件.
4．（2018·上海七年级期中）如图所示，在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的 小正方形 (a b) ，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（）
A．a2 b2 (a b)(a b)B．(a b) 2 a2 2ab b2
C．(a b) 2 a2 2ab b2D．(a 2b)(a b) a2 ab 2b2
【答案】A
【分析】利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为a2-b2，根据矩形面积公式可知阴影部分面积为（a+b）（a-b），二者相等，即可解答．
【详解】解：由题可知a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了乘法的平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
5．（2019·上海市嘉定区华江中学）在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2；因为拼成的长方形的长为a+b，宽为a-b，根据“长方形的面积=长×宽”可得：(a+b)(a-b)，因为面积相等，进而得出结论．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2；
拼成的长方形的面积：(a+b)(a-b)，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
二、填空题
6．（2020·上海文来实验学校）=_______________
【答案】
【分析】利用完全平方公式、积的乘方进行计算即可得．
【详解】原式，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式、积的乘方，熟记乘法公式是解题关键．
7．（2020·上海南洋中学七年级期中）计算：________________．
【答案】
【分析】直接根据平方差公式计算即可．
【详解】解：12-(2y)2=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．
8．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）________= (2a2+______)2．
【答案】
【分析】根据完全平方公式的特点即可求解
【详解】∵== (2a2+)2．
故答案为：；．
【点睛】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知公式的特点．
9．（2020·上海市川沙中学南校七年级期末）若，则__________．
【答案】21
【分析】根据完全平方公式把变形，然后把代入计算即可．
【详解】∵，
∴25-4=21．
故答案为：21．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键．
三、解答题
10．（2021·上海七年级期末）计算：
【答案】
【分析】先将(2x－1)看作一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】解：
=
=
=．
【点睛】此题考查的是整式的乘法，解题关键是将(2x－1)看作一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算．
11．（2021·上海）计算：．
【答案】
【分析】利用乘法公式和整式的运算法则进行计算．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的运算法则．
12．（2020·上海南洋中学七年级期中）计算：；
【答案】
【分析】将视为整体，运用平方差公式、完全平方公式解题，注意负号的作用．
【详解】解：原式＝
【点睛】本题考查多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】利用完全平方公式、多项式乘以多项式的运算法则、合并同类项进行化简计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查完全平方公式、多项式乘以多项式、合并同类项，熟记公式和运算法则是解答的关键．
14．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】根据平方差公式和完全平方公式化简即可；
【详解】原式；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，准确分析化简是解题的关键．
15．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）已知ab＝9，a－b＝－3，求a2＋3ab＋b2的值．
【答案】54
【分析】根据a2+b2=（a-b）2+2ab，利用整体思想代入计算．
【详解】∵ab＝9，a－b＝－3，
∵(a－b)2＝a2－2ab＋b2，
∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab
＝(－3)2＋2×9
＝9＋18＝27，
∴a2＋3ab＋b2＝27＋3×9
＝54.
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握（a±b）2=a2±2ab+b2是解题的关键．
16．（2019·上海华东师范大学附属进华中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】根据完全平方公式及整式的乘法法则即可求解.
【详解】
=
=
=
【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式的乘法运算法则.
17．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．
画出拼好的长方形，并标注相应的数据；
求拼好后长方形的周长；
若，，求拼好后长方形的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）72.
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据矩形的周长公式计算即可；
（3）根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图所示；
拼好后长方形的周长；
拼好后长方形的面积，
当，，．
【点睛】本题考查平方差公式，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．
18．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级月考）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：
（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m-n）2，mn．
（4）根据第（3）问题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a-b）2的值是多少？
【答案】（1）m-n；（2）（m-n）（m-n）=（m-n）2，(m+n)2-4mn=（m-n）2；（3）(m+n)2-4mn=（m-n）2；（4）29
【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；
（3）利用（2）中图2中的阴影部分的正方形面积得到（m+n）2-4mn=（m-n）2；
（4）根据（3）的结论得到（a-b）2=（a+b）2-4ab，然后把a+b=7，ab=5代入计算．
【详解】解：（1）观察图形可得正方形的边长=m-n；
（2）方法一：（m-n）（m-n）=（m-n）2 ；
方法二：(m+n)2-4mn=（m-n）2 ；
（3）利用（2）中的方法二可得：(m+n)2-4mn=（m-n）2 ；
（4）根据（3）的结论可得：(a-b)2=(a+b)2-4ab=．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形之间的关系，从几何的图形来解释完全平方公式的意义．解此类题目的关键是正确的分析图列，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
沪教版数学教材主要有以下特点：
1. 立足实际，贴近生活。教材中的案例和题目都来源于学生生活实际。
2. 突出思维训练，注重创新能力。提高学生的解题、思维能力，够激发创新力和发散思维。
3. 知识与技能并重，注重应用。教材中既注重知识点的讲解和掌握，同时也重视技能的训练和应用，使学生能够在实际生活中运用数学知识。
4. 多元化评价，注重全面发展。教材中的评价方式不仅包括传统的考试、作业和口头表现，更加注重学生的多方面发展。
第12讲 乘法公式（二）
【学习目标】
平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识因式分解，分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位．两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想．它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作用．
【基础知识】
1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．．
（1）、可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）
（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：
如：
2、平方差公式的特征：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
（2）右边是乘式中两项的平方差．
3、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．．．
4、完全平方公式的特征：
（1）左边是两个相同的二项式相乘；
（2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；
（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．
【考点剖析】
考点一：选择题
例1．下列可以用平方差公式计算的是（）．
A．B．
C．D．
【难度】★
【答案】B
【解析】B选项可以变形为．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用，注意符号．
例2．若，括号内应填代数式（）．
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用，注意符号．
例3．下列各式中，计算正确的是（）．
A．B．
C．D．
【难度】★
【答案】C
【解析】A选项应为：；B选项应为：；
D选项应为：．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用．
例4．的运算结果是（）．
A．B．
C．D．
【难度】★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用．
例5．计算的结果是（）．
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】解析如下：
．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用，注意指数的变化．
例6．下列各式计算正确的是（）．
A．B．
C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查平方下的符号变化．
例7．等于（）．
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用，注意系数和指数的变化
例8．如果，那么M等于（）．
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用，注意合并同类项．
例9．运算结果为的是（）．
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】A
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式的逆用．
例10．已知是一个完全平方式，则等于（）．
A．8B．C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】理由如下：．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用，注意一个正数的平方根有两个．
例11．代数式可化为形式，其中为常数，则的值为（）．
A．B．C． D．
【难度】★★
【答案】A
【解析】因为，所以，所以．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用．
例12．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）．
A． B．
C． D．
【难度】★★
【答案】D
【解析】左图的计算方式为；右图的计算方式为．
【总结】面积割补法转换和公式转换之间的联系．
考点二：填空题
例1．填空：．
【难度】★
【答案】．
【解析】
【总结】本题主要考查平方差公式的运用．
例2．如图，从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________．
【难度】★
【答案】．
【解析】左图的计算方式为；右图的计算方式为．
【总结】本题主要考查面积公式和割补法求面积的表达形式．
例3．计算：___________________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
．
【总结】本题主要考查完全平方公式和平方差公式的综合运用．
例4．如果，那么的值是________．
【难度】★★
【答案】
【解析】因为，所以．
即，所以，所以．
【总结】本题主要考查完全平方公式和平方差公式的综合运用．
例5．已知，那么___________．
【难度】★★
【答案】±4
【解析】因为，所以，所以．
【总结】本题主要考查平方差公式与待定系数法．
例6．已知，，则的值是___________．
【难度】★★
【答案】-66．
【解析】．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的变形转换的能力．
例7．已知，求___________．
【难度】★★
【答案】2
【解析】∵，∴，即．
∴．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的变形转换的能力．
例8．已知，，则___________．
【难度】★★
【答案】50
【解析】∵，∴，
∴．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的变形转换的能力．
例9．若，则__________；___________．
【难度】★★
【答案】14；194．
【解析】；．
【总结】本题主要考查完全平方公式的变形转换的能力以及注意积累的变化方式．
例10．如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于、的恒等式___________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】割补法和面积公式．
【总结】本题主要考查面积公式和割补法求面积的表达形式．
例11．如果多项式是一个完全平方式，那么的值为___________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式与待定系数法．
考点三：解答题
例1．计算：；
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用．
例2．计算：．
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用．
例3．．
【难度】★
【答案】0
【解析】．
【总结】本题主要考查平方差公式的运用以及合并同类项．
例4．计算：（1）；（2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；（2）．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用．
例5．计算：．
【难度】★
【答案】．
【解析】
．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用，此题也可减号两边一起展开，但计算量较大．
例6．计算：（1）；（2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用．
例7．简便计算：（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）9996．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】本题主要考查平方差公式在实数运算中的运用．
例8．计算：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式
．
【总结】本题主要考查平方差公式在实数运算中的运用以及添项使其变成平方差公式．
例9．计算：（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）
．
【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用．
例10．计算：（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用．
例11．计算：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式．
【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用．
例12．利用乘法公式计算：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式在实数运算中的运用．
例13．计算：．
【难度】★★
【答案】100．
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式在实数运算中的运用．
例14．解方程：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】
．
【总结】本题主要考查如何利用乘法公式求解方程的解．
例15．解不等式：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】
．
【总结】本题主要考查如何利用乘法公式求解不等式．
例16．先化简，再求值：，其中．
【难度】★★
【答案】13
【解析】原式．
当时，原式．
【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用以及合并同类项，注意先化简会比直接展开简便．
例17．若是完全平方式，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由，可得
解得：．
【总结】本题主要考查完全平方公式的运用以及待定系数法．
【过关检测】
一、单选题
1．（2019·上海市久隆模范中学七年级期中）下列各式计算正确的是（ ）
A．-a（3a²+1）=-3a³+aB．（a+b）²=a²+b²
C．（2a-3）（-2a-3）=9-4a²D．（2a-b）²=4a²-2ab+b²
【答案】C
【分析】根据单项式乘多项式可对A进行判断；根据完全平方公式可对B、D进行判断；根据平方差公式可对C进行判断．
【详解】A. ，所以A选项不正确；
B. ，所以B选项不正确；
C. ，所以C选项正确；
D. ，所以D选项不正确.
故选：C.
【点睛】本题考查单项式乘多项式，完全平方公式以及平方差公式，熟记法则和公式是解题的关键.
2．（2019·上海华东师范大学附属进华中学七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】（A）原式＝a4＋8a2＋16，故A错误；
（B）原式＝−（x＋1）2＝−（x2＋2x＋1）＝−x2−2x−1，故B错误；
（C）原式＝4x2−4xy＋y2，故C错误；
（D），正确
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
3．（2019·上海七年级期中）下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平方差公式，判断是否具有使用公式得条件，即看乘积中是否能写成
的形式，是否可以整理或转化成这种形式，注意两个二次项中有一项完全相同，另一项互为相反数.
【详解】A选项出现的两个二次项中， 没有任何一项相同，所以不符合平方差公式的条件，所以错误.
B选项出现的两个二次项中， 与，与都互为相反数，不满足平方差公式的条件，所以错误.
C选项出现的两个二次项中，与，与都互为相反数，不满足平方差公式的条件，所以错误.
D选项出现的两个二次项中，与互为相反数，与相同，满足平方差公式的条件，所以正确.
故选D
【点睛】本题主要考查平方差公式，平方差公式的特点：等号左边是两个二次项相乘，并且这两个二次项中有一项完全相同，另一项互为相反数，运用平方差公式之前先判断是否具有使用公式的条件.
4．（2018·上海七年级期中）如图所示，在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的 小正方形 (a b) ，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（）
A．a2 b2 (a b)(a b)B．(a b) 2 a2 2ab b2
C．(a b) 2 a2 2ab b2D．(a 2b)(a b) a2 ab 2b2
【答案】A
【分析】利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为a2-b2，根据矩形面积公式可知阴影部分面积为（a+b）（a-b），二者相等，即可解答．
【详解】解：由题可知a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了乘法的平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
5．（2019·上海市嘉定区华江中学）在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2；因为拼成的长方形的长为a+b，宽为a-b，根据“长方形的面积=长×宽”可得：(a+b)(a-b)，因为面积相等，进而得出结论．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2；
拼成的长方形的面积：(a+b)(a-b)，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
二、填空题
6．（2020·上海文来实验学校）=_______________
【答案】
【分析】利用完全平方公式、积的乘方进行计算即可得．
【详解】原式，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式、积的乘方，熟记乘法公式是解题关键．
7．（2020·上海南洋中学七年级期中）计算：________________．
【答案】
【分析】直接根据平方差公式计算即可．
【详解】解：12-(2y)2=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．
8．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）________= (2a2+______)2．
【答案】
【分析】根据完全平方公式的特点即可求解
【详解】∵== (2a2+)2．
故答案为：；．
【点睛】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知公式的特点．
9．（2020·上海市川沙中学南校七年级期末）若，则__________．
【答案】21
【分析】根据完全平方公式把变形，然后把代入计算即可．
【详解】∵，
∴25-4=21．
故答案为：21．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键．
三、解答题
10．（2021·上海七年级期末）计算：
【答案】
【分析】先将(2x－1)看作一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】解：
=
=
=．
【点睛】此题考查的是整式的乘法，解题关键是将(2x－1)看作一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算．
11．（2021·上海）计算：．
【答案】
【分析】利用乘法公式和整式的运算法则进行计算．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的运算法则．
12．（2020·上海南洋中学七年级期中）计算：；
【答案】
【分析】将视为整体，运用平方差公式、完全平方公式解题，注意负号的作用．
【详解】解：原式＝
【点睛】本题考查多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】利用完全平方公式、多项式乘以多项式的运算法则、合并同类项进行化简计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查完全平方公式、多项式乘以多项式、合并同类项，熟记公式和运算法则是解答的关键．
14．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】根据平方差公式和完全平方公式化简即可；
【详解】原式；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，准确分析化简是解题的关键．
15．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）已知ab＝9，a－b＝－3，求a2＋3ab＋b2的值．
【答案】54
【分析】根据a2+b2=（a-b）2+2ab，利用整体思想代入计算．
【详解】∵ab＝9，a－b＝－3，
∵(a－b)2＝a2－2ab＋b2，
∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab
＝(－3)2＋2×9
＝9＋18＝27，
∴a2＋3ab＋b2＝27＋3×9
＝54.
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握（a±b）2=a2±2ab+b2是解题的关键．
16．（2019·上海华东师范大学附属进华中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】根据完全平方公式及整式的乘法法则即可求解.
【详解】
=
=
=
【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式的乘法运算法则.
17．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．
画出拼好的长方形，并标注相应的数据；
求拼好后长方形的周长；
若，，求拼好后长方形的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）72.
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据矩形的周长公式计算即可；
（3）根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图所示；
拼好后长方形的周长；
拼好后长方形的面积，
当，，．
【点睛】本题考查平方差公式，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．
18．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级月考）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：
（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m-n）2，mn．
（4）根据第（3）问题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a-b）2的值是多少？
【答案】（1）m-n；（2）（m-n）（m-n）=（m-n）2，(m+n)2-4mn=（m-n）2；（3）(m+n)2-4mn=（m-n）2；（4）29
【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；
（3）利用（2）中图2中的阴影部分的正方形面积得到（m+n）2-4mn=（m-n）2；
（4）根据（3）的结论得到（a-b）2=（a+b）2-4ab，然后把a+b=7，ab=5代入计算．
【详解】解：（1）观察图形可得正方形的边长=m-n；
（2）方法一：（m-n）（m-n）=（m-n）2 ；
方法二：(m+n)2-4mn=（m-n）2 ；
（3）利用（2）中的方法二可得：(m+n)2-4mn=（m-n）2 ；
（4）根据（3）的结论可得：(a-b)2=(a+b)2-4ab=．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形之间的关系，从几何的图形来解释完全平方公式的意义．解此类题目的关键是正确的分析图列，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
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