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第16讲 因式分解综合-【暑假辅导】六升七暑假数学精品讲义（沪教版）
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沪教版数学教材主要有以下特点：
1. 立足实际，贴近生活。教材中的案例和题目都来源于学生生活实际。
2. 突出思维训练，注重创新能力。提高学生的解题、思维能力，够激发创新力和发散思维。
3. 知识与技能并重，注重应用。教材中既注重知识点的讲解和掌握，同时也重视技能的训练和应用，使学生能够在实际生活中运用数学知识。
4. 多元化评价，注重全面发展。教材中的评价方式不仅包括传统的考试、作业和口头表现，更加注重学生的多方面发展。
第16讲 因式分解综合
【学习目标】
本部分内容包括因式分解的有关概念，因式分解的常用基本方法．因式分解在代数学习中具有基础作用，它在代数的恒等变换，分式的通分，约分以及解方程方面都起着重要作用．通过学习，可以培养学生的观察、分析、运算能力．
【基础知识】
一、因式分解基本概念
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也
可称为将这个多项式分解因式．
2、因式分解与整式乘法互为逆变形：
式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．
二、四种基本方法：
1、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，
将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．
提取公因式的步骤：
（1）找出多项式各项的公因式．
（2）提出公因式．
（3）写成与的乘积形式．
提取公因式法的几个技巧和注意点：
（1）一次提净．
（2）视“多”为“一”．
（3）切勿漏1．
（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变．
（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ．
（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．
2、逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．
（1）平方差公式：
由平方差公式反过来可得：，这个公式叫做因式分解的平方差公式；
（2）完全平方公式：
由完全平方公式反过来可得：和，这两个公式叫做因式分解的完全平方公式．
3、十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数, 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：．
这种利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
4、分组分解法：
将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．
【考点剖析】
考点一：选择题
例1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】B
【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断B正确．
【总结】本题主要考查因式分解的概念．
例2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】C
【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断C正确．
【总结】本题主要考查因式分解的概念．
例3．下列各式的分解因式：
；②；
③；④其中正确的个数有（）
A、0B、1C、2D、3
【难度】★
【答案】B
【解析】其中①应该为；②应该为；③不能因式分解．
【总结】本题主要考查因式分解的概念．
例4．多项式各项的公因式是（）
A、B、C、D、
【难度】★
【答案】D
【解析】根据公因式的定义．
【总结】本题主要考查公因式的概念．
例5．已知多项式分解因式为，则、的值为（）
A、B、C、D、
【难度】★
【答案】D
【解析】．
【总结】考查整式的乘法以及待定系数法．
例6．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）
A、B、C、D、
【难度】★
【答案】B
【解析】B选项变形可得．
【总结】考查平方差公式的定义．
例7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】D
【解析】D选项变形为．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解及运用．
例8．已知正方形的面积是（），则正方形的边长是（）
A、B、C、D、
【难度】★★
【答案】B
【解析】．
【总结】考查二次根式的非负性以及完全平方公式．
例9．分解因式得（）
A、B、
C、D、
【难度】★★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查利用平方差公式分解因式，注意一定要分解彻底．
例10．一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（）
A、B、C、D、
【难度】★★
【答案】B
【解析】．
【总结】本题主要考查整式的乘法与因式分解之间的关系．
考点二：填空题
例1．直接写出因式分解的结果：
（1）_____________；（2）_____________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解．
例2．填上适当的式子，使等式成立：．
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查通过提取公因式进行因式分解，注意不要遗漏提取因式后的1．
例3．的公因式是_____________．
【难度】★
【答案】
【解析】．
【总结】考查如何提取公因式．
例4．利用分解因式计算：
（1）=_____________；
（2）=_____________；
（3）=_____________．
【难度】★★
【答案】（1）7；（2）6.32；（3）5000．
【解析】（1）原式
（2）原式
；
（3）原式．
【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意进行巧算．
例5．利用因式分解简便计算：___________．
【难度】★★
【答案】45.8．
【解析】原式．
【总结】本题主要考查利用乘法公式进行简便运算．
例6．若，则=________，=________．
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查整式的乘法以及待定系数法．
例7．分解因式：=________________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式．
【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意分解要彻底．
例8．已知：若，则的值为________．
【难度】★★
【答案】4或-1．
【解析】∵，∴．
∴a = 4b或a = -b，∴的值为4或-1．
【总结】本题主要考查利用因式分解解二次方程．
例9．如果已知，，则的值为________．
【难度】★★
【答案】24．
【解析】．
【总结】利用因式分解求解代数式的值．
例10．若，则=________，=________．
【难度】★★
【答案】30；74．
【解析】；．
【总结】本题主要考查利用因式分解求解代数式的值以及整体代入思想的运用．
例11．若时，=________．
【难度】★★
【答案】4．
【解析】∵，又，∴．
【总结】本题主要考查利用因式分解求解代数式的值以及整体代入思想的运用．
例12．已知两个正方形的周长差是96cm，面积差是960，则这两个正方形的边长分别是________________cm．
【难度】★★
【答案】32和8．
【解析】设较大的边长为，较小的边长为，由两个正方形的周长差是96cm，面积差是960，可得；由此变形可得，∴．
【总结】本题主要考查因式分解在有关正方形周长和面积求解中的运用．
例13．已知正方形的面积是（），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式________________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查因式分解在有关正方形面积求解中的运用．
例14．甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为．乙看错了，分解结果为，则=________，=________．
【难度】★★
【答案】6，9．
【解析】由可得：，再由可得：．
【总结】考查整式的乘法以及待定系数法，要认真理解题意．
考点三：解答题
例1．在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是．
【解析】（1）乘法公式；（3）没有表示成乘积的形式；（4）因式不是整式．
【总结】本题主要考查因式分解的概念．
例2．把下列各式因式分解：
（1）； （2）；（3）；
（4）； （5）；（6）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【解析】（1）原式；（2）原式；
（3）原式；（4）原式；
（5）原式；（6）原式．
【总结】本题主要考查如何选取适当的方法进行因式分解，注意分解时不要漏项．
例3．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）原式；（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】本题主要考查利用乘法公式进行因式分解，注意对公式的准确运用．
例4．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意分解一定要彻底．
例5．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意分解要彻底，分到不能再分解为止．
例6．把下列各式分解因式：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意分解要彻底，分到不能再分解为止．
例7．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】考查利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用．
例8．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意代数式系数的化简．
例9．运有简便的方法计算：．
【难度】★★
【答案】360．
【解析】原式
．
【总结】本题主要考查利用数的质因数分解以及平方差公式和提取公因式进行简便运算．
例10．利用简便方法计算下列各题：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）999919；（2）1．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】本题主要考查利用因式分解的思想进行简便运算．
例11．利用分解因式进行计算：．
【难度】★★
【答案】29.4．
【解析】原式．
【总结】本题主要考查利用因式分解的思想进行简便运算．
例11．已知：，求的值．
【难度】★★
【答案】2．
【解析】原式，把代入，得：．
【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用．
例12．已知：，，求的值．
【难度】★★
【答案】2．
【解析】．
【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用．
【过关检测】
一、单选题
1．（2020·上海七年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2x（x－1）＝2x2－2xB．x2－2x＋3＝x（x－2）＋3
C．（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2D．－x2＋2x＝－x（x－2）
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可得．
【详解】A、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
B、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，熟记定义是解题关键．
2．（2020·上海市卢湾中学七年级期末）将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式，又叫做因式分解,解答即可.
【详解】,A项正确；
，B项错误；
，C项错误；
，D项错误.
故答案选A
【点睛】本题考查因式分解的定义，熟练理解因式分解的定义是解决本题的关键.
3．（2020·上海七年级期末）下列多项式中，完全平方式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式：，逐一判断即可．
【详解】解：A、不符合完全平方式的特征，故不符合题意；
B、不符合完全平方式的特征，故不符合题意；
C、=，故本选项符合题意；
D、不符合完全平方式的特征，故不符合题意．
故选C．
【点睛】此题考查的是完全平方式的判断，掌握完全平方公式的特征是解题关键．
4．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）下列各式可以用完全平方公式因式分解的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由完全平方公式：的特点逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：由不符合公式特点，故错误；
也不符合公式特点，故错误；
不符合公式特点，故错误；
符合公式特点，故正确；
故选．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键．
二、填空题
5．（2019·上海七年级期末）分解因式：2a3﹣8a=________．
【答案】2a（a+2）（a﹣2）
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
．
6．（2019·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级月考）计算：0.6a2b•a2b2﹣（﹣10a）•a3b3＝_____．
【答案】a4b3；
【分析】根据单项式相乘的法则计算后合并同类项可得答案.
【详解】解：原式=
=.
【点睛】本题主要考查单项式的乘法及合并同类项.
7．（2019·上海市培佳双语学校）分解因式 ________．
【答案】
【分析】首先把式子进行变形，变为：x（2−x）＋6（2−x），在提取公因式（2−x）即可.
【详解】x（2−x）−6（x−2），
＝x（2−x）＋6（2−x），
＝（2−x）（x＋6），
故答案为：（2−x）（x＋6）
【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题时一定要首先注意观察，注意分解要彻底．
8．（2019·上海市实验学校西校）因式分解：2-32=_______
【答案】
【分析】先提公因数2，再用平方差公式分解因式，即可得出答案.
【详解】，故答案为：.
【点睛】本题考查的是因式分解，因式分解的方法有：①提公因式；②公式法；③分组分解；④十字相乘.
9．（2019·上海市民办尚德实验学校七年级月考）分解因式4x2﹣4x+1＝_____．
【答案】（2x﹣1）2．
【分析】直接利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2分解即可．
【详解】解：4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2．
【点睛】本题考查用公式法进行因式分解的能力，要会熟练运用完全平方公式分解因式．
10．（2019·上海外国语大学尚阳外国语学校）分解因式：_________________.
【答案】
【分析】观察等式的右边，提取公因式即可求得答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了提取公因式法分解因式．解题的关键是注意找准公因式．
11．（2019·上海七年级期中）因式分解：=____．
【答案】
【分析】根据平方差公式：因式分解即可．
【详解】解：==
故答案为：．
【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用平方差公式因式分解是解决此题的关键．
12．（2019·上海市长宁中学）分解因式：__________．
【答案】
【分析】利用完全平方公式分解因式的知识求解即可求得答案．
【详解】＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式．此题比较简单，注意完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．
13．（2019·上海七年级期中）因式分解：＝________________．
【答案】xy（y-x）
【分析】观察发现有公因式xy，直接提取公因式可得．
【详解】解：xy2-x2y=xy（y-x）．
故答案为：xy（y-x）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
14．（2019·上海七年级期末）分解因式：________．
【答案】
【分析】利用完全平方公式即可直接分解．
【详解】原式
．
故答案为．
【点睛】本题考查运用完全平方公式分解因式，熟记其公式是解题关键．
15．（2020·上海嘉烁教育培训有限公司七年级期末）因式分解：____________.
【答案】
【分析】根据提公因式法分解因式即可.
【详解】；故答案为.
【点睛】本题考查了提公因式法，解题的关键是公因式的确定.
16．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）分解因式： ____________．
【答案】
【分析】直接提取公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，掌握知识点是解题关键．
17．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）分解因式：______．
【答案】
【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式和平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法进行化简．
三、解答题
18．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）因式分解：
【答案】
【分析】根据平方差公式得到，再由根据平方差公式得到，即可得到答案.
【详解】==.
【点睛】本题考查用平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握用平方差公式进行因式分解.
19．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）因式分解：a3b-2a2b+ab
【答案】ab(a-1)2
【分析】先提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式得出即可.
【详解】原式=ab(a2-2a+1)=ab(a-1)2
【点睛】本题考查提取公因式法以及完全平方公式分解因式，熟练掌握提取公因式法以及完全平方公式分解因式是解题关键．
20．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）分解因式：
【答案】
【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：
=
．
【点睛】本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
21．（2019·上海市实验学校西校）阅读材料:对于任何实数，我们规定符号的意义是
(1)按照这个规定请你计算 的值
(2)按照这个规定化简 ，并将结果因式分解
【答案】（1）-2；（2）化简：，因式分解：
【分析】（1）根据定义计算即可得出答案；
（2）先根据定义展开成代数式，再因式分解即可得出答案.
【详解】解：（1）=5×8-6×7=40-42=-2
（2）
【点睛】本题考查的是新定义，运用到的知识点有整式的四则混合运算以及因式分解，需要熟练掌握整式的四则混合运算法则以及因式分解的方法.
22．（2019·上海市嘉定区华江中学七年级月考）已知正方形的面积是（，）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式
【答案】3x＋y
【详解】9x2+6xy+y2=（3x+y）2．
故该正方形的边长为3x+y．
23．（2019·上海七年级期中）因式分解：
【答案】
【分析】直接提取公因式3ab，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
=
=
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
24．（2019·上海七年级期末）分解因式：．
【答案】．
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解：
=
=．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法进行解题．
沪教版数学教材主要有以下特点：
1. 立足实际，贴近生活。教材中的案例和题目都来源于学生生活实际。
2. 突出思维训练，注重创新能力。提高学生的解题、思维能力，够激发创新力和发散思维。
3. 知识与技能并重，注重应用。教材中既注重知识点的讲解和掌握，同时也重视技能的训练和应用，使学生能够在实际生活中运用数学知识。
4. 多元化评价，注重全面发展。教材中的评价方式不仅包括传统的考试、作业和口头表现，更加注重学生的多方面发展。
第16讲 因式分解综合
【学习目标】
本部分内容包括因式分解的有关概念，因式分解的常用基本方法．因式分解在代数学习中具有基础作用，它在代数的恒等变换，分式的通分，约分以及解方程方面都起着重要作用．通过学习，可以培养学生的观察、分析、运算能力．
【基础知识】
一、因式分解基本概念
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也
可称为将这个多项式分解因式．
2、因式分解与整式乘法互为逆变形：
式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．
二、四种基本方法：
1、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，
将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．
提取公因式的步骤：
（1）找出多项式各项的公因式．
（2）提出公因式．
（3）写成与的乘积形式．
提取公因式法的几个技巧和注意点：
（1）一次提净．
（2）视“多”为“一”．
（3）切勿漏1．
（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变．
（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ．
（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．
2、逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．
（1）平方差公式：
由平方差公式反过来可得：，这个公式叫做因式分解的平方差公式；
（2）完全平方公式：
由完全平方公式反过来可得：和，这两个公式叫做因式分解的完全平方公式．
3、十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数, 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：．
这种利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
4、分组分解法：
将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．
【考点剖析】
考点一：选择题
例1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】B
【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断B正确．
【总结】本题主要考查因式分解的概念．
例2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】C
【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断C正确．
【总结】本题主要考查因式分解的概念．
例3．下列各式的分解因式：
；②；
③；④其中正确的个数有（）
A、0B、1C、2D、3
【难度】★
【答案】B
【解析】其中①应该为；②应该为；③不能因式分解．
【总结】本题主要考查因式分解的概念．
例4．多项式各项的公因式是（）
A、B、C、D、
【难度】★
【答案】D
【解析】根据公因式的定义．
【总结】本题主要考查公因式的概念．
例5．已知多项式分解因式为，则、的值为（）
A、B、C、D、
【难度】★
【答案】D
【解析】．
【总结】考查整式的乘法以及待定系数法．
例6．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）
A、B、C、D、
【难度】★
【答案】B
【解析】B选项变形可得．
【总结】考查平方差公式的定义．
例7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】D
【解析】D选项变形为．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解及运用．
例8．已知正方形的面积是（），则正方形的边长是（）
A、B、C、D、
【难度】★★
【答案】B
【解析】．
【总结】考查二次根式的非负性以及完全平方公式．
例9．分解因式得（）
A、B、
C、D、
【难度】★★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查利用平方差公式分解因式，注意一定要分解彻底．
例10．一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（）
A、B、C、D、
【难度】★★
【答案】B
【解析】．
【总结】本题主要考查整式的乘法与因式分解之间的关系．
考点二：填空题
例1．直接写出因式分解的结果：
（1）_____________；（2）_____________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解．
例2．填上适当的式子，使等式成立：．
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查通过提取公因式进行因式分解，注意不要遗漏提取因式后的1．
例3．的公因式是_____________．
【难度】★
【答案】
【解析】．
【总结】考查如何提取公因式．
例4．利用分解因式计算：
（1）=_____________；
（2）=_____________；
（3）=_____________．
【难度】★★
【答案】（1）7；（2）6.32；（3）5000．
【解析】（1）原式
（2）原式
；
（3）原式．
【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意进行巧算．
例5．利用因式分解简便计算：___________．
【难度】★★
【答案】45.8．
【解析】原式．
【总结】本题主要考查利用乘法公式进行简便运算．
例6．若，则=________，=________．
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查整式的乘法以及待定系数法．
例7．分解因式：=________________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式．
【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意分解要彻底．
例8．已知：若，则的值为________．
【难度】★★
【答案】4或-1．
【解析】∵，∴．
∴a = 4b或a = -b，∴的值为4或-1．
【总结】本题主要考查利用因式分解解二次方程．
例9．如果已知，，则的值为________．
【难度】★★
【答案】24．
【解析】．
【总结】利用因式分解求解代数式的值．
例10．若，则=________，=________．
【难度】★★
【答案】30；74．
【解析】；．
【总结】本题主要考查利用因式分解求解代数式的值以及整体代入思想的运用．
例11．若时，=________．
【难度】★★
【答案】4．
【解析】∵，又，∴．
【总结】本题主要考查利用因式分解求解代数式的值以及整体代入思想的运用．
例12．已知两个正方形的周长差是96cm，面积差是960，则这两个正方形的边长分别是________________cm．
【难度】★★
【答案】32和8．
【解析】设较大的边长为，较小的边长为，由两个正方形的周长差是96cm，面积差是960，可得；由此变形可得，∴．
【总结】本题主要考查因式分解在有关正方形周长和面积求解中的运用．
例13．已知正方形的面积是（），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式________________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查因式分解在有关正方形面积求解中的运用．
例14．甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为．乙看错了，分解结果为，则=________，=________．
【难度】★★
【答案】6，9．
【解析】由可得：，再由可得：．
【总结】考查整式的乘法以及待定系数法，要认真理解题意．
考点三：解答题
例1．在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是．
【解析】（1）乘法公式；（3）没有表示成乘积的形式；（4）因式不是整式．
【总结】本题主要考查因式分解的概念．
例2．把下列各式因式分解：
（1）； （2）；（3）；
（4）； （5）；（6）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【解析】（1）原式；（2）原式；
（3）原式；（4）原式；
（5）原式；（6）原式．
【总结】本题主要考查如何选取适当的方法进行因式分解，注意分解时不要漏项．
例3．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）原式；（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】本题主要考查利用乘法公式进行因式分解，注意对公式的准确运用．
例4．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意分解一定要彻底．
例5．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意分解要彻底，分到不能再分解为止．
例6．把下列各式分解因式：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意分解要彻底，分到不能再分解为止．
例7．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】考查利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用．
例8．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意代数式系数的化简．
例9．运有简便的方法计算：．
【难度】★★
【答案】360．
【解析】原式
．
【总结】本题主要考查利用数的质因数分解以及平方差公式和提取公因式进行简便运算．
例10．利用简便方法计算下列各题：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）999919；（2）1．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】本题主要考查利用因式分解的思想进行简便运算．
例11．利用分解因式进行计算：．
【难度】★★
【答案】29.4．
【解析】原式．
【总结】本题主要考查利用因式分解的思想进行简便运算．
例11．已知：，求的值．
【难度】★★
【答案】2．
【解析】原式，把代入，得：．
【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用．
例12．已知：，，求的值．
【难度】★★
【答案】2．
【解析】．
【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用．
【过关检测】
一、单选题
1．（2020·上海七年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2x（x－1）＝2x2－2xB．x2－2x＋3＝x（x－2）＋3
C．（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2D．－x2＋2x＝－x（x－2）
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可得．
【详解】A、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
B、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，熟记定义是解题关键．
2．（2020·上海市卢湾中学七年级期末）将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式，又叫做因式分解,解答即可.
【详解】,A项正确；
，B项错误；
，C项错误；
，D项错误.
故答案选A
【点睛】本题考查因式分解的定义，熟练理解因式分解的定义是解决本题的关键.
3．（2020·上海七年级期末）下列多项式中，完全平方式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式：，逐一判断即可．
【详解】解：A、不符合完全平方式的特征，故不符合题意；
B、不符合完全平方式的特征，故不符合题意；
C、=，故本选项符合题意；
D、不符合完全平方式的特征，故不符合题意．
故选C．
【点睛】此题考查的是完全平方式的判断，掌握完全平方公式的特征是解题关键．
4．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）下列各式可以用完全平方公式因式分解的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由完全平方公式：的特点逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：由不符合公式特点，故错误；
也不符合公式特点，故错误；
不符合公式特点，故错误；
符合公式特点，故正确；
故选．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键．
二、填空题
5．（2019·上海七年级期末）分解因式：2a3﹣8a=________．
【答案】2a（a+2）（a﹣2）
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
．
6．（2019·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级月考）计算：0.6a2b•a2b2﹣（﹣10a）•a3b3＝_____．
【答案】a4b3；
【分析】根据单项式相乘的法则计算后合并同类项可得答案.
【详解】解：原式=
=.
【点睛】本题主要考查单项式的乘法及合并同类项.
7．（2019·上海市培佳双语学校）分解因式 ________．
【答案】
【分析】首先把式子进行变形，变为：x（2−x）＋6（2−x），在提取公因式（2−x）即可.
【详解】x（2−x）−6（x−2），
＝x（2−x）＋6（2−x），
＝（2−x）（x＋6），
故答案为：（2−x）（x＋6）
【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题时一定要首先注意观察，注意分解要彻底．
8．（2019·上海市实验学校西校）因式分解：2-32=_______
【答案】
【分析】先提公因数2，再用平方差公式分解因式，即可得出答案.
【详解】，故答案为：.
【点睛】本题考查的是因式分解，因式分解的方法有：①提公因式；②公式法；③分组分解；④十字相乘.
9．（2019·上海市民办尚德实验学校七年级月考）分解因式4x2﹣4x+1＝_____．
【答案】（2x﹣1）2．
【分析】直接利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2分解即可．
【详解】解：4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2．
【点睛】本题考查用公式法进行因式分解的能力，要会熟练运用完全平方公式分解因式．
10．（2019·上海外国语大学尚阳外国语学校）分解因式：_________________.
【答案】
【分析】观察等式的右边，提取公因式即可求得答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了提取公因式法分解因式．解题的关键是注意找准公因式．
11．（2019·上海七年级期中）因式分解：=____．
【答案】
【分析】根据平方差公式：因式分解即可．
【详解】解：==
故答案为：．
【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用平方差公式因式分解是解决此题的关键．
12．（2019·上海市长宁中学）分解因式：__________．
【答案】
【分析】利用完全平方公式分解因式的知识求解即可求得答案．
【详解】＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式．此题比较简单，注意完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．
13．（2019·上海七年级期中）因式分解：＝________________．
【答案】xy（y-x）
【分析】观察发现有公因式xy，直接提取公因式可得．
【详解】解：xy2-x2y=xy（y-x）．
故答案为：xy（y-x）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
14．（2019·上海七年级期末）分解因式：________．
【答案】
【分析】利用完全平方公式即可直接分解．
【详解】原式
．
故答案为．
【点睛】本题考查运用完全平方公式分解因式，熟记其公式是解题关键．
15．（2020·上海嘉烁教育培训有限公司七年级期末）因式分解：____________.
【答案】
【分析】根据提公因式法分解因式即可.
【详解】；故答案为.
【点睛】本题考查了提公因式法，解题的关键是公因式的确定.
16．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）分解因式： ____________．
【答案】
【分析】直接提取公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，掌握知识点是解题关键．
17．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）分解因式：______．
【答案】
【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式和平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法进行化简．
三、解答题
18．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）因式分解：
【答案】
【分析】根据平方差公式得到，再由根据平方差公式得到，即可得到答案.
【详解】==.
【点睛】本题考查用平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握用平方差公式进行因式分解.
19．（2019·上海市育鹰学校七年级期中）因式分解：a3b-2a2b+ab
【答案】ab(a-1)2
【分析】先提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式得出即可.
【详解】原式=ab(a2-2a+1)=ab(a-1)2
【点睛】本题考查提取公因式法以及完全平方公式分解因式，熟练掌握提取公因式法以及完全平方公式分解因式是解题关键．
20．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）分解因式：
【答案】
【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：
=
．
【点睛】本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
21．（2019·上海市实验学校西校）阅读材料:对于任何实数，我们规定符号的意义是
(1)按照这个规定请你计算 的值
(2)按照这个规定化简 ，并将结果因式分解
【答案】（1）-2；（2）化简：，因式分解：
【分析】（1）根据定义计算即可得出答案；
（2）先根据定义展开成代数式，再因式分解即可得出答案.
【详解】解：（1）=5×8-6×7=40-42=-2
（2）
【点睛】本题考查的是新定义，运用到的知识点有整式的四则混合运算以及因式分解，需要熟练掌握整式的四则混合运算法则以及因式分解的方法.
22．（2019·上海市嘉定区华江中学七年级月考）已知正方形的面积是（，）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式
【答案】3x＋y
【详解】9x2+6xy+y2=（3x+y）2．
故该正方形的边长为3x+y．
23．（2019·上海七年级期中）因式分解：
【答案】
【分析】直接提取公因式3ab，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
=
=
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
24．（2019·上海七年级期末）分解因式：．
【答案】．
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解：
=
=．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法进行解题．
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