第19讲 整式单元复习-【暑假辅导】六升七暑假数学精品讲义（沪教版）

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整式属于《数学课程标准》四大领域中“数与代数”中的内容，其核心知识是：整式四则运算和因式分解．在这一章中让学生了解了整式的概念，继而学会简单的整式加减乘除运算以及常见的四种分解因式的方法．这些知识是在以前学习了有理数运算、列简单的代数式和一次方程以及不等式的基础上引进的，也是以后学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位．
【基础知识】
一、整式的有关概念
1、单项式
（1）由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．
（2）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
2、多项式
（1）由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做这个多项式的项，不含字母的项叫做常数项．次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
3、整式：单项式和多项式统称整式．
4、同类项
（1）所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．几个常数项也是同类项．
（2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式．
（3）合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
5、代数式的值
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．
注意：
（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入．
（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入．
二、整式的运算
整式的运算规则：
1、整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项．
2、整式的乘法：
（1）同底数幂相乘：．(、都是正整数)；
（2）幂的乘方：．(、都是正整数)；
（3）积的乘方：．(为正整数)；
（4）单项式乘以单项式；
（5）单项式乘以多项式；
（6）多项式乘以多项式；
（7）平方差公式：；
（8）完全平方公式：，
．
3、因式分解：提公因式法；公式法；分组分解法；十字交叉法．
4、整式的除法：
（1）同底数幂相除：（、是正整数，且，）；
（2）单项式除以单项式；
（3）多项式除以单项式．
【考点剖析】
考点一：选择题
例1．下列各式中：，，，，，单项式的个数为（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
【难度】★
【答案】B
【解析】是单项式的是，．
【总结】本题主要考查单项式的概念．
例2．化简的结果是（）
A、B、C、D、
【难度】★
【答案】A
【解析】．
【总结】本题主要考查整式的加减运算．
例3．下列运算中结果正确的是（）
A、B、C、D、．
【难度】★
【答案】A
【解析】B正确答案为；C正确答案为；
D正确答案为．
【总结】本题主要考查整式的运算．
例4．下列各式的计算中不正确的个数是（）
（1）（2）
（3）（4）
A、4个B、3个C、2个D、1个
【难度】★★
【答案】B
【解析】（2）、（3）、（4）不正确．正确如下：
（2）；（3）；
（4）．
【总结】本题主要考查学生对幂运算的理解．
例5．不论，为何实数，的值必是（）
A、负数B、零C、正数D、非负数
【难度】★★
【答案】D
【解析】．
【总结】本题主要考查对配方思想的运用．
考点二：填空题
例1．____________．
【难度】★
【答案】1
【解析】．
【总结】本题主要考查对积的乘方法则的逆用．
例2．用科学计数法表示：___________．
【难度】★
【答案】
【解析】考察科学计数法，注意符号要随身携带．
例3．用代数式表示：与倒数的和的10倍：__________．
【难度】★
【答案】
【解析】代数式的书写，注意这题与下题的区别．
用代数式表示：与倒数的10倍的和：__________．（正确答案为）
【总结】在列代数式时注意“与”、“和”这些关键字眼．
例4．某小剧场第一排有个座位，后面每排比前一排多2个座位，用代数式表示：第排的座位数________．
【难度】★
【答案】
【解析】．
【总结】本题主要是对规律的总结和发现．
例5．单项式的系数是_________，次数是_________．
【难度】★
【答案】；3
【解析】考察单项式系数，次数等概念．注意次数是要各字母指数相加．
例6．一个多项式加上得，这个多项式应该是_________．
【难度】★
【答案】
【解析】．
【总结】本题主要考查整式的加减运算．
例7．若，，则_________．
【难度】★
【答案】
【解析】．
【总结】本题主要考查整式的加减运算．
例8．________________．
【难度】★
【答案】
【解析】．
【总结】本题主要考查整式的运算．
例9．________________．
【难度】★
【答案】
【解析】．
【总结】本题主要考查多项式乘以多项式法则的运用．
例10．若，则_________．
【难度】★★
【答案】27
【解析】．
【总结】本题主要考查幂的运算．
例11．已知，则=_________，=_________．
【难度】★★
【答案】，
【解析】由题意可得：，，
∴，．
【总结】本题主要考查整式的除法．
例12．已知，，求=_________．
【难度】★★
【答案】56
【解析】．
【总结】本题主要考查幂的运算．
例13．若，，则____________．
【难度】★★
【答案】52
【解析】．
【总结】本题主要考查完全平方公式的变形．
考点三：解答题
例1．在一次水灾中，大约有个人无家可归．假若一顶帐篷占地100，可以安置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约占多大地方？
【难度】★
【答案】需要6250顶帐篷；这些帐篷大约占625000平方米．
【解析】；．
【总结】本题是利用幂的运算解决实际问题．
例2．做两个长方形有盖纸盒，尺寸如右表：（单位：cm）
（1）大纸盒与小纸盒分别用料多少平方厘米？（结果用含，，的代数式表示）
（2）大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？（结果用含，，的代数式表示）
【难度】★
【解析】（1）小纸盒用料为：（平方厘米），
大纸盒用料为：（平方厘米）；
（2）大纸盒比小纸盒多：（平方厘米）．
【总结】本题主要考查整式的加减运算．
例3．计算：．
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查整式的乘除运算．
例4．解方程：．
【难度】★
【答案】．
【解析】，
，解得：．
【总结】利用整式的运算来解方程．
例5．解不等式：．
【难度】★
【答案】
【解析】，
，解得：．
【总结】本题主要考查整式的运算在解不等式中的应用．
例6．分解因式：
（1）；（2）；
；（4）．
【难度】★
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【总结】本题主要考查因式分解的运用．
例7．在正常情况下，某出租车司机每天驾车行驶小时，且平均速度为千米/小时．已知他在A日比正常情况少行驶2小时，平均速度比正常情况慢5千米/小时，他在B日比正常情况多行驶2小时，平均速度比正常情况快5千米/小时，
（1）求A日出租车司机比正常情况少行驶多少千米？（用含，的代数式表示）
（2）已知A日出租车司机比正常情况少行驶120千米，求B日出租车司机比正常情况多行驶多少千米？
【难度】★★
【答案】（1）；（2）140．
【解析】（1）．
∵，∴．
∴．
【总结】本题考查整式的运算在实际问题中的应用．
例8．已知，，求当时，求的值．
【难度】★★
【答案】75
【解析】解：∵，
∴当，时，
原式．
当时，原式=75．
【总结】本题主要考查整式的加减运算．
例9．利用乘法公式计算：
（1）；
．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
【总结】本题主要考查对乘法公式的综合运用．
例10．分解因式：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【解析】（1）；
（2）；
（3）（4）
．
【总结】本题主要考查对因式分解的理解和运用．
例11．分解因式：
；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
【难度】★★
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【总结】本题主要考查对因式分解的理解和运用．
例12．已知关于的二次三项式因式分解的结果是，求m、n的值．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】∵，
∴，．
【总结】本题主要考查对因式分解的理解．
例13．已知、、是△ABC的三边，且满足关系式，试判断△ABC的形状．
【难度】★★
【答案】
【解析】∵，∴．
∴．∴．
∴，∴△ABC为等边三角形．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的综合运用．
例14．已知，，求的值．
【难度】★★
【答案】54或-36
【解析】∵，∴，∴．
代入表达式中得：的值为54或-36．
【总结】本题要注意有多解的情况．
【过关检测】
一、单选题
1．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）下列各式是单项式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接根据单项式的概念进行排除选项即可．
【详解】A、是多项式，故不符合题意；
B、是多项式，故不符合题意；
C、是单项式，故符合题意；
D、是多项式，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的概念是解题的关键．
2．（2019·上海七年级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据多项式的化简计算即可.
【详解】A错误，
B错误，
C正确;
D错误，
故选C.
【点睛】本题主要考查完全平方式，必须熟练掌握,不能忘记2ab.
3．（2019·上海市川沙中学南校七年级期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．，含y的项符号相反，含x的项符号相反，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
B．，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C．，含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D．，含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项不符合题意．
【点睛】本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用字母表示为：
4．（2019·上海市闵行区莘松中学七年级期中）下列代数式中：多项式的个数有（ ）
A．1个；B．2个；C．3个；D．4个.
【答案】C
【分析】根据多项式的定义对题目进行分析即可得到答案.
【详解】根据多项式的定义可知多项式有共有3个，故答案为C.
【点睛】本题考查多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的定义.
5．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）下列各组单项式中，不是同类项的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【答案】C
【分析】直接根据同类项的概念进行排除选项即可．
【详解】A、与是同类项，故不符合题意；
B、与是同类项，故不符合题意；
C、与不是同类项，因为没含有相同的字母，故符合题意；
D、与是同类项，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的概念是解题的关键．
6．（2019·上海七年级期中）在下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】解：A、左边不是多项式，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、是因式分解，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解的知识，解答本题的关键是掌握因式分解的定义．
7．（2019·上海市风华中学七年级期中）多项式4x3﹣3x2y4+2x﹣7的项数与次数分别是（ ）
A．4，9B．4，6C．3，9D．3，10
【答案】B
【解析】多项式有4个项，次数为6.
故选B.
8．（2017·华东师范大学第二附属中学附属初级中学七年级期中）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．
【详解】由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a−b，即平行四边形的高为a−b，
∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2−b2，乙的面积＝（a＋b）（a−b）．
即：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．
所以验证成立的公式为：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2−b2＝（a＋b）（a−b）．
9．（2020·上海市泾南中学七年级期中）下列去括号、添括号的结果中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用去括号、添括号法则求解．注意括号前面是“+”号的去添括号，符号不变，括号前面是“-”号的去添括号，括号里面的各项都要改变．
【详解】解： A.选项,根据去括号法则,,正确;
B选项,根据添括号法则判断不正确;
C选项,根据添括号法则判断 不正确;
D选项,根据去括号法则判断不正确;
故选A.
【点睛】本题主要考查去括号和添括号法则,解决本题的关键是要熟练掌握去括号法则和添括号法则.
二、填空题
10．（2020·上海南洋中学七年级期中）当时，代数式的值等于________________．
【答案】0
【分析】根据代数式求值的方法，把代入代数式求值即可．
【详解】解：当时，
．
故答案为：0
【点睛】本题考查了代数式求值，运用代入法是解题关键．
11．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）单项式的系数是_________．
【答案】
【分析】根据单项式的性质回答即可．
【详解】解：单项式的系数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式，掌握知识点是解题关键．
12．（2019·上海七年级期中）若，则=_________．
【答案】-10
【分析】根据同底数幂的乘法法则把所求代数式化为已知的形式，再把已知代入求解即可．
【详解】解：∵am=-2，an=5，
∴am+n=aman=-2×5=-10．
故答案为：-10．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加．
13．（2019·上海七年级期中）计算： =__________________．
【答案】x2-6xy+9y2
【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．
【详解】解：原式=x2-6xy+9y2．
故答案为：x2-6xy+9y2．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．（2019·上海七年级期中）计算： =________________．
【答案】x2+4x+3
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式=x2+4x+3．
故答案为：x2+4x+3．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）将多项式按字母降幂排列是_____________.
【答案】
【分析】根据降幂排列的定义，将多项式按照的指数从高到低排列即可.
【详解】多项式按字母降幂排列是:
.
【点睛】本题考查了多项式的降幂排列，把多项式按照某个字母的指数从大到小或从小到大排列，称为按照这个字母的降幂或升幂排列，排列的时候需要注意符号.
16．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）因式分解：____；
【答案】
【分析】利用提公因式法分解因式即可得出答案．
【详解】解：．
故答案为．
【点睛】本题考查提公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
17．（2020·上海文来实验学校）若是完全平方式，则常数=__________
【答案】或
【分析】根据完全平方公式得到： ，便可求解
【详解】解：由于是完全平方式，故可能为完全平方和或者差公式
∴
∴k=或
【点睛】本题考查完全平方和或者差公式，掌握好公式才是解题关键．
18．（2020·上海市泾南中学七年级期中）计算：_________．
【答案】
【分析】根据单项式乘以单项式的运算法则,数字与数字相乘做为积的因数,相同字母与相同字母相乘做为积的因式.
【详解】,
故答案为: .
【点睛】本题主要考查单项式乘以单项式的运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握单项式乘以单项式的法则.
19．（2020·上海市泾南中学七年级期中）计算：_________．
【答案】
【分析】根据积的乘方法则计算,再去括号即可求解.
【详解】,
故答案为: .
【点睛】本题主要考查积的乘方运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握积的乘方运算法则.
20．（2020·上海市第十中学七年级期中）计算：＝_____．
【答案】3﹣2．
【分析】利用完全平方公式即可解答.
【详解】原式＝1+2﹣2
＝3﹣2．
故答案是：3﹣2．
【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于掌握运算法则.
21．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）计算：_____________.
【答案】
【分析】先将0.8化为，再根据同底数幂的乘法公式逆运用将变形为，然后根据积的乘方公式的逆运用进行计算.
【详解】原式=
【点睛】本题考查同底数幂的乘法公式和积的乘方公式的逆运用，观察出底数的关系，再根据公式变形是解题的关键.
三、解答题
22．（2020·上海南洋中学七年级期中）用代数式表示图中阴影部分的面积，并求出当时这个代数式的值．
【答案】，25
【分析】根据阴影部分的面积＝大正方形的面积－四个直角三角形的面积求解即可．
【详解】解：
，
当时，
．
【点睛】本题考查了整式混合运算的应用，根据题意正确列出算式是解答本题的关键．
23．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）求不等式的负整数解.
【答案】和
【分析】先利用乘法公式将不等号两边进行计算，然后移项，合并同类项，系数化成1，解出x的取值范围，最后找出负数解.
【详解】解：
∴不等式的负整数解为：和.
【点睛】本题考查整式的乘法和解不等式，熟练掌握乘法公式进行计算是解题的关键.
24．（2020·上海市泾南中学七年级期中）因式分解：．
【答案】
【分析】先提公因式2a，再用完全平方公式进一步分解.
【详解】原式＝
＝.
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
25．（2020·上海市建平中学西校七年级期中）先化简，再求值：其中，．
【答案】，-1
【分析】直接利用乘法公式化简，进而合并同类项，再把，的值代入得出答案．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．