人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案

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知识点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径．
知识点诠释：
（1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：
（2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．
（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．
知识点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
（1）若点在圆上
（2）若点在圆外
（3）若点在圆内
知识点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．
知识点诠释：
由方程得
（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．
（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．
（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．
（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
知识点五：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
【题型归纳目录】
题型一：圆的标准方程
题型二：圆的一般方程
题型三：点与圆的位置关系
题型四：二元二次曲线与圆的关系
题型五：圆过定点问题
题型六：轨迹问题
【典型例题】
题型一：圆的标准方程
例1．（2022·重庆南开中学高一期末）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A．B．9C．4D．8
例3．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
例4．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2022·全国·高二专题练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．
例6．（2022·全国·高二课时练习）圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点的圆的方程是______．
例7．（2022·江苏·高二）已知，则以为直径的圆的方程为________．
例8．（2022·天津·二模）过点，且与直线相切于点的圆的方程为__________．
例9．（2022·江苏·高二）圆关于直线的对称圆的标准方程为_______．
例10．（2022·全国·高三专题练习）圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．
，
例11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆过点，．
（1）求圆心所在直线的方程；
（2）求周长最小的圆的标准方程；
（3）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
（4）若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
例12．（2022·江苏·高二专题练习）求下列圆的方程
（1）若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
（2）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
【方法技巧与总结】
确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：
（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．
题型二：圆的一般方程
例13．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是､，求它的外接圆的方程．
例14．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
例15．（2022·全国·高三专题练习）若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（ ）
A．B．C．D．
例16．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
例17．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为__________．
【方法技巧与总结】
（1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件．
（2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．
题型三：点与圆的位置关系
例18．（2022·全国·高二课时练习）若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例19．（2022·河南·油田一中高二阶段练习（文））已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
（1）若点在圆上
（2）若点在圆外
（3）若点在圆内
题型四：二元二次曲线与圆的关系
例20．（2022·全国·高一）画出方程表示的曲线．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示一个圆．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求圆的周长的最大值．
例22．（2022·全国·高二课时练习）已知圆N的标准方程为．
（1）若点M（6，9）在圆N上，求半径a；
（2）若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
例23．（多选题）（2022·江苏·高二专题练习）方程（，不全为零），下列说法中正确的是（ ）
A．当时为圆
B．当时不可能为直线
C．当方程为圆时，，满足
D．当方程为直线时，直线方程
例24．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）关于曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．曲线围成图形的面积为
B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴
C．曲线所表示的图形是中心对称图形
D．曲线是以为圆心，为半径的圆
例25．（2022·江苏·高二）方程表示圆，则的取值范围为______．
例26．（2022·山东济宁·高二期中）若某圆的方程为，则a的值为______．
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
待定系数法
题型五：圆过定点问题
例28．（2022·全国·高三专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和B．和C．和D．和
例29．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
例30．（2022·全国·高三专题练习）判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标．
例31．（2022·全国·高三专题练习）求证：对任意实数，动圆恒过两定点．
例32．（2022·全国·高二专题练习）已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上．
（1）求半径最小时的圆的方程；
（2）求证：动圆恒过一个异于点的定点．
例33．（2022·全国·高二专题练习）已知点和以为圆心的圆．
（1）求证：圆心在过点的定直线上，
（2）当为何值时，以为直径的圆过原点．
【方法技巧与总结】
合并参数，另参数的系数为零解方程即可．
题型六：轨迹问题
例34．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．
，
例35．（2022·全国·高二期中）当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为______．
例36．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）圆内有一点，设过点的弦的中点为，则点的轨迹方程为______．
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
（1）求线段AB的中点P的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
（3）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
例38．（2022·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
例39．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
例40．（2022·全国·高二单元测试）已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求l的方程及的面积
例41．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点．求点的轨迹方程；
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；
例43．（2022·全国·高二课时练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知圆E经过点，且______．
（1）求圆E的一般方程；
（2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
例44．（2022·江苏·高二）已知圆过三个点．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹．
例45．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B是平面内的两点，且，用坐标法判断平面内满足下列条件的动点P是否存在．如果存在，求出轨迹方程；如果不存在，说明理由．
（1）；
（2）．
例46．（2022·全国·高二课时练习）已知点和点，以为斜边，求直角顶点A的轨迹方程．
例47．（2022·西藏·拉萨中学高一期中）已知圆上的一定点，点为圆内一点，，为圆上的动点．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）若，求线段中点的轨迹方程．
例48．（2022·全国·高一课时练习）设定点，动点在圆上运动，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程．
例49．（2022·北京十五中高二期中）已知圆，则圆C的坐标为____，圆C的半径为_______．
【方法技巧与总结】
用直接法求曲线方程的步骤如下：
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为；
（2）几何点集：写出满足题设的点的集合；
（3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程；
（4）化简方程：通过同解变形化简方程；
（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．
求轨迹时常用的方法：代入法
对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．
【同步练习】
一．单选题
1．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为
A．B．C．D．
2．过点且与直线相切的半径最小的圆方程是
A．B．
C．D．
3．已知点在圆的外部，则的取值范围是
A．，B．，，
C．，，D．，，
4．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知圆方程的圆心为
A．B．C．D．
6．某圆经过，两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为
A．B．
C．D．
7．已知直线，，若圆的圆心在轴上，且圆与、都相切，则圆的半径为
A．B．C．或D．或
8．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点、是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点．的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当最大时，点的横坐标为
A．1B．C．D．2
二．多选题
9．已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有
A．B．C．D．
10．若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是
A．
B．圆关于直线对称
C．圆与轴相切
D．的最大值为9
11．已知圆在曲线的内部，则实数的值可以是
A．0B．1C．2D．3
12．已知的三个顶点坐标分别为，，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为
A．B．C．D．
三．填空题
13．设点在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
14．过点，且与直线相切于点的圆的方程为 ．
15．如图，点，，那么在轴正半轴上存在点，使得最大，这就是著名的米勒问题．那么当取得最大时，外接圆的标准方程是 ．
16．已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，则和的交点的轨迹方程为 ．（化为标准形式）
四．解答题
17．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若，点是圆上的动点，求线段中点的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
18．已知圆经过点，，．
（1）求圆的方程；
（2）求直线截圆所得两段弧长之比．
19．求满足下列条件的圆的方程：
（1）经过点，，圆心在轴上；
（2）经过直线与的交点，圆心为点．
20．1765年瑞士数学家莱昂哈德欧拉在他的著作《三角形的几何学》中首次提出著名的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心位于同一直线上（这条直线称之为三角形的欧拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．已知中，，，的欧拉线方程为．
（1）求外接圆的标准方程；
（2）求点到直线的距离．
注：重心是三角形三条中线的交点，若的顶点为，，，，，，则的重心是．
21．已知方程．
（1）若此方程表示圆，求实数的取值范围；
（2）若的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆，若圆与圆关于轴对称，求圆的一般方程．
22．设圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相交于点，且直线被圆截得的弦长为．
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆交于，两点，那么以为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由．