高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理导学案

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知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.
知识点2：空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
【题型归纳目录】
题型一：基底的判断
题型二：基底的运用
题型三：正交分解
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
【典型例题】
题型一：基底的判断
例1．（2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1B．2C．3D．4
例3．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
例4．（多选题）（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【方法技巧与总结】
空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底.
题型二：基底的运用
例5．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A．B．=
C．=D．=
例6．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2022·江苏南通·高二期中）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
题型三：正交分解
例9．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.
例10．（2021·江苏镇江·高二期中）若是一个单位正交基底，且向量，，______．
例11．（2021·广东·广州市培英中学高二阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底下的坐标为，则在基底的坐标为__________．
例12．（2022·全国·高一专题练习）向量正交分解中，两基底的夹角等于（ ）
A．45°B．90°C．180°D．不确定
【方法技巧与总结】
正交基底的三个向量共起点
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
例13．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：
(1)的值.
(2)线段AC1 的长
例14．（2021·全国·高二课时练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
例15．（2021·全国·高二专题练习）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
例16．（2022·福建宁德·高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为与的交点，设，，．
(1)用，，表示并求BM的长；
(2)求点A到直线BM的距离．
【方法技巧与总结】
应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．1B．2C．3D．4
6．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2021·安徽池州·高二期中）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
8．（2022·广东·高二阶段练习）在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2022·福建福州·高二期中）如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ）
A．B．
C．A，P，三点共线D．A，P，M，D四点共面
10．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（ ）
A．，B．，C．，D．，
11．（2022·浙江宁波·高二期末）若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（ ）
A．的取值范围是
B．能构成空间的一个基底
C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件
D．
12．（2022·全国·高二课时练习）已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题中，真命题有（ ）
A．已知，，则
B．已知，，其中，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值
C．已知，，则
D．已知，，，则三棱锥的表面积
三、填空题
13．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，若是棱的中点，是面对角线与的交点，则向量与、___________.（填“共面”或“不共面”）
14．（2022·全国·高二课时练习）正方体中，点是上底面的中心，若，则___________.
15．（2022·全国·高二课时练习）四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则___________.
16．（2021·湖北孝感·高二期中）如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________.
四、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记，，．试用，，表示．
18．（2022·全国·高二课时练习）已知A､B､C三点不共线，O为平面ABC外一点.
(1)若，判断､､三个向量是否共面，以及M是否在平面ABC上；
(2)若，判断M是否在平面ABC上；
(3)请给出空间某点在某一平面上的一个充要条件（不必证明）.
19．（2022·浙江·於潜中学高二期中）如图所示，在四棱锥中，，且，底面为正方形.
(1)设试用表示向量；
(2)求的长.
20．（2022·湖南·高二课时练习）平行六面体中，，，．
(1)用，，表示向量；
(2)设G，H分别是侧面和对角线的交点，用，，表示．
21．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．
22．（2022·全国·高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．