[数学][三模]甘肃省兰州市2024届高三下学期试题(解析版)

这是一份[数学][三模]甘肃省兰州市2024届高三下学期试题(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】，
故.
故选：D.
2. 设集合，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因集合，若，则，
即集合，所以
故选：A
3. 已知向量，设与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，，
所以，
因为为与的夹角，所以.
故选：D
4. 在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A. -280B. 280C. 560D. -560
【答案】B
【解析】的二项式展开式通项公式为，,
令，可得，
所以，
故含的项的系数为.
故选：B.
5. 已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，解得，
，故渐近线方程为.
故选：C.
6. 已知a，b均为正实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】a，b均为正实数，，故，
，
充分性，，，故，充分性成立，
必要性，，不妨设，满足，
但不满足，必要性不成立，
则“”是“”充分不必要条件.
故选：A
7. 孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，年英国数学家马西森指出此法符合年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.现有这样一个整除问题：将至这个整数中能被除余且被除余的数，按从小到大的顺序排成一列，把这列数记为数列.设，则（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 64
【答案】A
【解析】被除余且被除余的数，按从小到大的顺序排成一列，把这列数记为数列，
则数列是一个以5为首项，以6为公差的等差数列；
所以，
故；
.
故选：A.
8. 已知函数,对于任意的,不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，易知在上单调递减，
所以，
所以，所以，
又因为对于任意的，不等式恒成立，
即对于任意的，不等式恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
由，知，，
所以当，上式等价于恒成立．
设，，
，开口向上，对称轴为，
当时，，所以在内单调递减，而，
所以，所以，即．
故选：C.
二、选择题
9. 在圆O的内接四边形中，，，，则（ ）
A. B. 四边形的面积为
C. D.
【答案】ABD
【解析】由题意，，故，
在中，由余弦定理，
在中，由余弦定理，
故，解得，又，故
故，解得，A正确；
，B正确；在中，，
在中，，
，C错误；
，
又
，故，D正确.故选：ABD.
10. 已知函数（，）的部分图象如图，则（ ）
A.
B. 函数的图象关于轴对称
C. 函数在上单调递减
D. 函数在有4个极值点
【答案】BD
【解析】A:由图可知的周期为：，又，所以；
由，，且，所以；
由，所以，故A错误；
B：由A的分析知，所以
因为为偶函数，故B正确；
C：由，得，故在上单调递增，故C错误；
D：因为，，，，故D正确.
故选：BD.
11. 已知正方体的棱长为1，，分别为棱，上的动点，则（ ）
A. 四面体的体积为定值B. 四面体的体积为定值
C. 四面体的体积最大值为D. 四面体的体积最大值为
【答案】BCD
【解析】A：因为的面积为，到平面的距离不是定值，
所以四面体的体积不是定值，故A错误；
B：因为的面积为，P到矩形的距离为定值，
所以到平面的距离为，则四面体的体积为，故B正确；
C：当Q与重合时，取得最大值，为，
当与重合时，到平面的距离d取得最大值，
在正中，其外接圆的半径为，则，
故四面体的体积最大值为，故C正确；
D：过点作，，，
设，，则，，
，，，，
故四面体的体积为，其最大值为，故D正确．故选：BCD.
三、填空题
12. 一组样本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位数是________．
【答案】37.5
【解析】从小到大排序为：10，12，14，16，20，24，30，35，40，43；
，故第80百分位数是．
故答案为：37.5
13. 已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为________，的面积为________（为坐标原点）．
【答案】
【解析】因为抛物线过点A，所以，解得，所以抛物线的方程为，
则，得直线的方程为，与联立整理得，
设，故，，
故的面积为．
故答案为：；
14. 已知函数，当时的最大值与最小值的和为________．
【答案】
【解析】，
当时，，递增；当时，，递减；
，，，
故最大值与最小值的和为：．
故答案为：
四、解答题
15. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点．

（1）求证：平面；
（2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小．
（1）证明：因为为正三角形，是中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
，
又在平面内且相交，故平面
（2）解：分别为的中点，，
又平面过且不过，平面．
又平面交平面于，故，进而，
因为是中点，所以是的中点．
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，

设平面法向量为，
则，即，取，得，
则，
因为，所以.
16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
解：（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率
即可得，
故，．
（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以的所有可能取值为；
且服从超几何分布：
故所求分布列为
可得
17. 已知各项均不为0的数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若对于任意成立，求实数的取值范围．
（1）解：因为数列的前项和为，且，即，
当时，可得，两式相减得，
因为，故，
所以及均为公差为4的等差数列：
当时，由及，解得，
所以，，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
因为对于任意成立，所以恒成立，
设，则，
当，即时，
当，即时，
所以，故，所以，
即实数的取值范围为.
18. 如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．

（1）若直线与轴的交点为，求证：；
（2）过点作的垂线与直线交于点，求证：．
证明：（1）易知抛物线焦点，准线方程为；
设直线的方程为
联立得，
可得，所以；
不妨设在第一象限，在第四象限，对于；
可得的斜率为
所以的方程为，即为
令得，直线的方程为，
令得．
又，所以
即得证．
（2）方法1：由（1）中的斜率为可得过点的的垂线斜率为，
所以过点的的垂线的方程为，即，
如下图所示：
联立，解得的纵坐标为
要证明，因为四点共线，
只需证明（*）．
，
．
所以（*）成立，得证.
方法2：
由知与轴平行，
①
又的斜率为的斜率也为，所以与平行，
②，由①②得，即得证.
19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．
（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
（2）已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
（1）解：在曲线取一点．
过点作切线分别交于，
因为，
可得，即．
（2）①证明：由函数，可得，
不妨设，曲线在处的切线方程为
，即
同理曲线在处的切线方程为，
假设与重合，则，
代入化简可得，
两式消去，可得，整理得，
由（1）的结论知，与上式矛盾
即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合．
②解：当时，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以，
下证：当时，恒成立．
因为，所以
设
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，可得，
由知恒成立，即在为增函数．
所以，即在为减函数，所以成立，
综上所述，实数的取值范围是一周参加体育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
0
1
2
3