[数学]河南省南阳市名校联考2024年高三第三次模拟考试试题(解析版)

这是一份[数学]河南省南阳市名校联考2024年高三第三次模拟考试试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 8的相反数是（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】A
【解析】8的相反数是，
故选A．
2. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高，
故选A．
3. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
4. 如图，街道与平行，拐角，则拐角（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴；
故选D．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
6. 如图，是的直径，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选B．
7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A．
8. 1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花牌有1张，方片牌有2张，
∴抽到的花色是黑桃的概率为，抽到的花色是红桃的概率为，抽到的花色是梅花的概率为，抽到的花色是方片的概率为，∴抽到的花色可能性最大的是红桃，故选B．
9. 如图，抛物线经过正方形三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货5件应记作___________．
【答案】
【解析】∵“正”和“负”相对，
∴进货10件记作，那么出货5件应记作．
故答案为：．
12. 计算：（a+1）2﹣a2=_____．
【答案】2a+1
【解析】（a+1）2﹣a2=a2+2a+1﹣a2=2a+1，
故答案为2a+1.
13. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只．
【答案】460
【解析】估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为（只），
故答案为：460．
14. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______．

【答案】15
【解析】如图，

由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为15．
15. 如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________．

【答案】
【解析】是等边三角形，
，
∵折叠得到，
，
，，
平分等边的面积，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
故答案为：．
三、解答题（共75分）
16. 回答下列问题
（1）已知，求代数式的值；
（2）解不等式组：．
解：（1），
，
，
原式；
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
17. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中作锐角，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段上作点Q，使最短．
解：（1）如图，即为所求作的三角形；

（2）如图，即为所求作的点；

18. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．

（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？
解：（1）由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分；
∴客户所评分数的中位数为：(分)
由统计图可知，客户所评分数的平均数为：(分)
∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，
∴该部门不需要整改．
（2）设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有：，
解得：，
∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档，
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，∵，
∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分，
即加入这个数据之后，中位数是4分．
∴与（1）相比，中位数发生了变化，由分变成4分．
19. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．
（1）求k的值；
（2）求扇形的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
解：（1）将代入中，得，
解得：；
（2）过点作的垂线，垂足为，如下图：

，
，
，
半径为2；
，
∴，
，
由菱形的性质知：，
，扇形的圆心角的度数：；
（3），
，
，
如下图：由菱形知，，

，
，
．
20. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）

（1）连接，求证：；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据：）
解：（1）∵，
∴
∵
即
∴
即
∴；
（2）如图所示，过点作，交的延长线于点，

在中，
∴，
∴
∴
在中，，
∴
（米）．
答：雕塑的高约为米．
21. 建设美丽城市，改造老旧小区，某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2022年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2023年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区？
解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
（2）设该市在2023年可以改造y个老旧小区，
依题意得：，
解得：，
又∵y为整数，
∴y的最大值为17．
答：该市在2023年最多可以改造17个老旧小区．
22. 已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若，且，求证：三点共线；
（3）小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
解：（1）因为抛物线经过点，
所以解得
所以抛物线的函数表达式为；
（2）设直线对应的函数表达式为，
因为为中点，所以．
又因为，所以，解得，
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在抛物线上，所以．
解得，或．
又因为，所以．
所以．
因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线；
（3）的面积为定值，其面积为2．理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．

如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值．
又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．
在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2．
23. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．

（1）如图1，连接，求的度数和的值；
（2）如图2，当点在射线上时，求线段的长；
（3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求最小值．
解：（1）∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
由矩形和矩形可得，，
∴，即，
∴，
∴；
（2）如答案图1，过点作于点，
由矩形和矩形可得，，
，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）如答案图2，连接，
∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，
∴，，，
∴，
∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为．
使用寿命
灯泡只数
5
10
12
17
6