高考数学二轮专题复习——概率与数列的结合问题

这是一份高考数学二轮专题复习——概率与数列的结合问题，共37页。试卷主要包含了已知等差数列的前项和为，公差.等内容，欢迎下载使用。

（2024·全国·模拟预测）
1．网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．
(1)封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望；
(2)封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求．
（2024·河北·校联考一模）
2．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为．
(1)证明：；
(2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．
（2023·广西·模拟预测）
3．篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动．
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上列联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关．
附：，．
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
①求（直接写出结果即可）；
②证明：数列为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
（2023·广东·校联考二模）
4．某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为.
(1)若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与期望；
(2)假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求.
（2023·上海长宁·统考一模）
5．已知等差数列的前项和为，公差.
(1)若，求的通项公式；
(2)从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率.
（2023·广东韶关·统考一模）
6．有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0，1，2，…，60依次标号.一个质点位于第0个方格中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1点或2点，则质点前进1格，否则质点前进2格，每次投掷的结果互不影响.
(1)求经过两次投掷后，质点位于第4个格子的概率；
(2)若质点移动到第59个格子或第60个格子时，游戏结束，设质点移动到第个格子的概率为，求和的值.
（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）
7．2023年10月5日晚，杭州亚运会女篮决赛的巅峰对决中，中国女篮以战胜日本女篮，成功卫冕亚运会冠军，大快人心，表现神勇，为国家和人民争了光．某校随即开展了“学习女篮精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次篮球训练课上，进行了一场、、3名女篮队员的传接球的训练，球从手中开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之前球在手中的概率为，易知，．
(1)①求第5次传球前，球恰好在手中的概率；
②第次传球前球在手中的概率为，试比较与的大小．
(2)训练结束，体育老师为了表扬队员们精彩的表现和取得的进步，组织了一场“摸球抽奖”活动，先在一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．若设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率，当取何值时，最大?
（2023·全国·模拟预测）
8．运动会期间，某班组织了一个传球游戏，甲、乙、丙三名同学参与游戏，规则如下：持球者每次将球传给另一个同学.已知，若甲持球，则他等可能的将球传给乙和丙；若乙持球，则他有的概率传给甲；若丙持球，则他有的概率传给甲，游戏开始时，由甲持球.记经过n次传球后甲持球的概率为.
(1)若三次传球为一轮游戏，并且每轮游戏开始都由甲持球，规定：在一轮游戏中，若在第3次传球后，持球者是甲，为甲胜利.记随机变量X为3轮游戏后甲胜利的次数，求X的分布列和数学期望；
(2)求.
（2023·浙江·模拟预测）
9．全民健身是全体人民增强体魄､健康生活的基础和保障，为了研究杭州市民健身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研，得到如下数据：
附：，
(1)如果认为每周健身4次及以上的用户为“喜欢健身”；请完成列联表，根据小概率值的独立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关？
(2)假设杭州市民小红第一次去健身房健身的概率为，去健身房健身的概率为，从第二次起，若前一次去健身房，则此次不去的概率为；若前一次去健身房，则此次仍不去的概率为.记第次去健身房健身的概率为，则第10次去哪一个健身房健身的概率更大？
（2023·浙江·模拟预测）
10．立德中学有甲､乙两家餐厅，如果赵同学上一天去甲餐厅用午餐，那么下一天去甲餐厅的概率为0.6，如果上一天去乙餐厅用午餐，那么下一天去甲餐厅的概率为0.8，已知赵同学第一天去甲餐厅用午餐的概率为0.5.
(1)求赵同学第二天去乙餐厅用午餐的概率；
(2)设赵同学第去甲餐厅用午餐的概率为，判断与的大小，并求.
（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）
11．在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为．
(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望；
(2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．
（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）
12．某学校三年级开学之初增加早自习，早饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率为，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是，选择餐厅甲就餐的概率也为，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择甲餐厅就餐的概率为.
(1)记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求的分布列，并求；
(2)请写出的通项公式；
（2023·全国·统考高考真题）
13．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
（2019·全国·高考真题）
14．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
（2020·江苏·统考高考真题）
15．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用 n表示) ．
（2017·江苏·高考真题）
16．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n ,n 2）,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明
（2023·山东烟台·统考三模）
17．现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的个黑球和个红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出个球互相交换后放袋子中，重复进行次此操作．记第次操作后，甲袋子中红球的个数为．
(1)求的分布列和数学期望；
(2)求第次操作后，甲袋子中恰有个红球的概率．
（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）
18．在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，拥有强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．
(1)求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；
(2)当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设表示事件“第n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由．
（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）
19．2023年4月23日，是中国海军成立74周年74年向海图强，74年劈波斩浪．74年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发展，从“101南昌舰”到“108咸阳舰”，8艘055型驱逐舰列阵.我国自主研制的075型两栖攻击舰“31海南舰”“32广西舰”“33安徽舰”也相继正式入列．从小艇到大舰，从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平．为了庆祝中国海军成立74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型（分别为“31海南舰”､“32广西舰”“33安徽舰”），并限量发行若该公司每个月发行300件（三款各100件），一共持续12个月，采用摇号的方式进行销售．假设每个月都有3000人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款中的一款．小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣喜若狂．
(1)若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；
(2)若摇上号的人不再参加后面的摇号．已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在12个月的限量发行中成功摇到并获得了模型．设他第X个月摇到并获得了模型，求X的数学期望．
（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）
20．某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的种疫苗后，再为居民们接种，记第位居民（不包含张医生）接种四种疫苗的概率分别为.
(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；
(2)张医生认为，一段时间后接种四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种四种的概率，解释张医生观点的合理性.
参考数据：.
（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟竞赛）
21．长江十年禁渔计划全面施行，渔民老张积极配合政府工作，如期收到政府的补偿款.他决定拿出其中10万元进行投资，并看中了两种为期60天（视作2个月）的稳健型（不会亏损）理财方案.
方案一：年化率，且有的可能只收回本金；
方案二：年化率，且有的可能只收回本金；
已知老张对每期的投资本金固定（都为10万元），且第一次投资时选择了方案一，在每期结束后，老张不间断地进行下一期投资，并且他有的可能选择另一种理财方案进行投资.
(1)设第i次投资（）选择方案一的概率为，求；
(2)求一年后老张可获得总利润的期望（精确到1元）.
注：若拿1千元进行5个月年化率为的投资，则该次投资获利元.
（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考竞赛）
22．甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.
(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即.
(i)求的取值范围；
(ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.
（2023·山西晋中·统考竞赛）
23．晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文景观（如王家大院，常家庄园等），也有风景秀丽的自然景观（如介休绵山，石膏山等）．某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览．若每位游客选择人文景观的概率是，选择自然景观的概率为，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X，求X的均值与方差；
(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为n分的概率为，求．
（2023·江苏南京·统考竞赛）
24．进行独立重复试验，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，以表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为．
(1)若，求；
(2)若，，．
①求；
②要使得在次内结束试验的概率不小于，求的最小值．
（2023·海南海口·校考模拟竞赛）
25．某电视台综艺栏目拟组织如下一个活动：将全体演员分成甲、乙两组，各组每次表演一个节目（同一个节目可以由一个演员单独表演，也可以由几个演员合作表演），在一组表演完节目后，主持人将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，若所得两个点数之和为的倍数，则该组再继续表演一个节目：否则，由另一组表演一个节目．经抽签，第一次由甲组表演节目．
(1)设在前次表演中甲组表演的次数为，求的分布列和数学期望；
(2)求第次表演者是甲组的概率．
（2023·贵州毕节·统考竞赛）
26．某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若成等差数列，且成绩在区间内的人数为120．
(1)求a，b，c的值；
(2)估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(3)由成绩在区间[90，100]内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间[50，60）内的学生A，B，其中3人帮助A，余下的2人帮助B，求甲、乙都帮助A的概率．
喜爱篮球运动
不喜爱篮球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
每周健身次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及6次以上
男
4
6
5
3
4
28
女
7
5
8
7
6
17
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．(1)分布列见解析，2
(2)
【分析】（1）分别求出运动员第2天进行有氧训练与无氧训练的概率，判断服从二项分布并求概率，列分布列，求数学期望；
（2）求，的递推关系，构造数列并证其为等比数列，利用等比数列的通项公式求结果.
【详解】（1）设运动员第2天进行有氧训练为事件M，第2天进行无氧训练为事件N，
则，，
所以3名运动员第2天进行有氧训练的人数，可知，
则，，
，，
所以的分布列为
所以．
（2）依题意可得，即（，且）．
则（，且），且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
所以．
2．(1)证明见解析；
(2)应该投资，理由见解析
【分析】（1）由题意，，，列出分布列，列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明；
（2）由（1）可得，分析即得解
【详解】（1）由题意，
故
分布列如下：
所以的数学期望，
记，
，
作差可得，，
则；
（2）由（1）可知，则试验成本的期望小于元，
试验成功则获利元，且，则该公司应该投资该产品
3．(1)有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关．
(2)①；②证明见解析，第9次触球者是甲的概率大．
【分析】（1）根据题意，由的计算公式，代入计算，即可判断；
（2）根据题意，由等比数列的定义即可得到数列为等比数列，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关．
（2）①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的一人，
故传给甲的概率为，故．
②第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，
第次触球者不是甲的概率为，
则，
从而，又，
∴是以为首项，公比为的等比数列，
∴，
∴，，
故第9次触球者是甲的概率大．
4．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得分布列并求得数学期望.
（2）根据已知条件列出递推关系，利用构造等比数列、累加法等知识求得.
【详解】（1）的可能取值为，则：，
则的分布列为
故.
（2）当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分，
所以，
则.
因为，所以，
所以为等比数列，且首项为，公比为，
则
，
则，故当时，.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程，求得，进而求得数列的通项公式；
（2）根据题意，得到所有的不同取法有20种，再利用列举法求得事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：由等差数列的前项和为，公差，
因为，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为.
（2）解：由题意，从集合中任取3个元素，共有种不同的取法，
其中这3个元素能成等差数列有
，有6种不同的取法，
所以事件的概率为.
6．(1)
(2)，.
【分析】（1）分别求出质点前进1格、前进2格的概率，再利用相互独立事件的概率公式求解即得.
（2）求出，当时，探求的关系，利用构造法、累加法求出，进而求出即得.
【详解】（1）设事件为质点前进1格，事件为质点前进2格，则，
设事件为质点经过两次投掷后位于第4个格子，所以.
（2）质点移动到第个格子的情况可分为两种：
由第个格子移动至第个格子；由第个格子移动至第个格子，
则，
，因此，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是，
因此
，
所以，.
7．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用树状图列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得；
②依题意第次传球前在乙、丙手中的概率均为，则，从而得到为等比数列，即可求出的通项公式，求出与，即可判断；
（3）首先求出一次摸奖中奖的概率，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率，，再利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极大值点，再求出即可.
【详解】（1）①记三个人分别为、、，则4次传球的所有可能可用树状图列出，如图．

每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到手中的事件个数为6，
根据古典概型的概率公式得．
②第次传球前在乙、丙手中的概率均为，
故，
为等比数列，首项为，公比为，
，
所以，
，
，
.
（2）一次摸奖从个球中任选两个，有种，它们等可能，其中两球不同色有种，一次摸奖中奖的概率
三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率
，，
则，
所以当时，当时，
所以在上为增函数，在上为减函数，当时，取得最大值，
又，得时，最大.
8．(1)分布列见解析，；
(2).
【分析】（1）求出每一轮常游戏甲胜的概率，再利用二项分布的概率公式求出分布列及期望.
（2）利用全概率公式求出与的关系式，再利用构造法求出.
【详解】（1）据题意只需关注前3次球由谁持球即可，则持球的所有可能情况为甲乙丙甲，甲丙乙甲，
，
因此一轮游戏甲胜利的概率为，随机变量的可能取值为，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
（2）设事件表示次传球后，球在甲同学手上，事件表示次传球后，球在乙同学手上，
事件表示次传球后，球在丙同学手上，设次传球后，乙持球的概率为，
则，由全概率公式知：
，
整理得，于是，而，即，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，即有，
所以.
9．(1)列联表见解析，“喜欢健身”与“性别”无关
(2)第10次去健身房健身的概率更大
【分析】（1）先绘制列联表，计算的值，从而确定正确答案.
（2）根据全概率公式、递推关系求得，从而求得，由此确定正确答案.
【详解】（1）依题意，列联表如下：
，
所以“喜欢健身”与“性别”无关.
（2）依题意，，当时，，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
所以第10次去健身房健身的概率更大.
10．(1)0.3
(2)；．
【分析】（1）分类，按赵同学第一天去甲、乙餐厅分两类计算后相加可得；
（2）求出与的关系：，然后凑配出等比数列，利用等比数列通项公式求解．
【详解】（1）因为赵同学第一天去甲餐厅用午餐的概率为0.5，,那么他去乙餐厅用午餐的概率也为0.5，则他第二天去乙餐厅用午餐的概率为；
（2）由已知，，，
，即，
因此，
，又，∴数列是等比数列，公比是，
∴，从而．
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据游戏规则得到甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，第三轮有可能对打，从而得到的可能值为或，其中第三轮对打为甲乙胜者组对打或甲乙败者组对打，再结合条件即可求解；
（2）设在第n轮中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为，根据题目条件求得，和，再分类讨论甲丙在胜者组对打或甲丙在败者组对打，从而求得，再由结合数列通项公式的求法，求得，即可求出.
【详解】（1）由题可知，甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，所以的可取值为1，2，
，
则，
所以X的数学期望.
（2）设在第轮中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为，
易知，，，
且，
又，所以，
整理得，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，
即，所以，则，
故在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为．
12．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）先求某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得概率分布，利用二项分布期望公式可得期望；
（2）根据题意先求与的关系，然后利用构造法可得通项.
【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，
所以位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.
的分布列为
故
（2）依题意，，即.
由（1）知，则
当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列.
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．
14．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.
【分析】（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.
15．（1）（2）
【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；
（2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得，最后根据数学期望公式求结果.
【详解】（1），
，
.
（2），
，
因此，
从而，
即.
又的分布列为
故.
【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.
16．（1）（2）见解析
【详解】试题分析：（1）根据条件先确定总事件数为，而编号为2的抽屉内放的是黑球的事件数为，最后根据古典概型的概率公式即可求概率；（2）先确定最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数为，所对应的概率，再根据数学期望公式得，利用性质，进行放缩变形：，最后利用组合数性质化简，可得结论．
试题解析：解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: .
(2) 随机变量 X 的概率分布为:
随机变量 X 的期望为：
.
所以
.
点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．
17．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）由题意可知，的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（2）由已知条件推导得出，可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得的表达式，即的表达式.
【详解】（1）由题知，的所有可能取值为、、，
，，，
所以，的分布列为
所以，的数学期望．
（2）由题知，
又，
所以，，
整理得，，
所以，，
又因为，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，
所以，，即.
18．(1)答案见解析
(2)可以；理由见解析
【分析】（1）根据题意，由条件可得的可能取值为，然后分别求出其所对应的概率，即可得到分布列.
（2）根据题意，由条件可得是以为首项，为公比的等比数列，然后结合等比数列的通项公式即可得到结果.
【详解】（1）设计算机4次生成的数字之和为，则，
则，
，
的可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列为
（2）设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，
表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，
由全概率公式可知
则，，
即，，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以恒成立，
所以该企业具有一定的智能化管理水平，能拿到奖金.
19．(1)
(2)
【分析】（1）分别分析小周连续3个月摇上号的概率和集齐三款模型的概率，即可求出他在这三个月集齐三款模型的概率；
（2）根据题意得出和，得出的表达式，根据错位相减即可求出．
【详解】（1）由题可知，小周第1个月摇上号的概率为，所以小周连续三个月摇上号的概率为，
小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型共有种情况，三个月获得模型共有种情况，
所以在小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型的概率为,
设事件为“小周在这三个月集齐三款模型”，则．
（2）由题意得，，
则，
两边同乘得，
两式相减得
，
所以．
20．(1)疫苗
(2)答案见解析
【分析】（1）分类讨论，根据全概率公式计算；
（2）根据（1）的逻辑，讨论的通项公式，运用等比数列求出第10为居民使用A，B，C，D疫苗的概率即可.
【详解】（1）第1位居民接种疫苗的概率分别为，
若第2位居民接种疫苗，则第1位居民接种B，C，D疫苗，，
第2位居民接种疫苗，则第1位居民接种C，D疫苗，
同理，第2位居民接种疫苗的概率也等于，
故第2位居民接种疫苗的概率最大；
（2）因为，
所以，
故数列是公比为的等比数列.
又，所以
即，
从而，
同理，
，
所以，
第10位居民接种疫苗概率应该相差无几.
第位居民接种疫苗概率应该相差将会更小，所以张医生的话合理.
21．(1)
(2)2255元
【分析】（1）根据互斥加法概率公式求出选择方案一的概率递推式，变形，根据等比数列通项公式求出概率通项公式，代入计算即可；
（2）先求出每一个方案的获利期望，然后再利用期望公式求出一年的总获利期望.
【详解】（1）由题意知，，
整理得，，其中，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
即，那么；
（2）当某期选择方案一时，获利期望值为元；
当某期选择方案二时，获利期望值为元；
那么，在一年间，老张共投资了6次，获得的总利润的期望为
元，
即一年后老张可获得的利润的期望约为2255元.
22．(1)分布列见解析，
(2)（i）；（ii）证明见解析，比赛局数越多，对实力较强者越有利
【分析】
（1）先写出离散型随机变量的分布列，再求出数学期望即可；
（2）先根据已知不等式列式求解，再根据单调性定义作差证明单调递增说明结论.
【详解】（1），即采用3局2胜制，所有可能取值为，
，
的分布列如下表：
所以的数学期望为.
（2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：
，
采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：
，
，
得.
（ii）由（i）知.
局比赛中恰好甲赢了局的概率为，
局比赛中恰好甲赢了局的概率为，
则局比赛中甲至少赢局的概率为.
考虑局比赛的前局：
如果这局比赛甲至少赢局，则无论后面结果如何都胜利，其概率为，
如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场至少赢一局，其概率为，
如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场都赢，其概率为，
因此局里甲最终获胜的概率为：，
因此，即数列单调递增.
该结论的实际意义是：比赛局数越多，对实力较强者越有利.
23．(1)，
(2)
【分析】（1）由题意可知X服从二项分布，利用，求解即可；
（2）由题意可推出时，，
方法一：构造出为常数数列，进而构造出是以为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可；
方法二：构造出是以为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出其通项，再根据累加法即可求解.
【详解】（1）由题可知，（或者列出分布列）
于是，．
（2）法一：由题可知，．
时，，也即，
∴为常数数列，且，
∴，∴是以为首项、为公比的等比数列，
∴，∴．
法二：由题可知，．
时，，也即，
∴是以为首项、为公比的等比数列，
∴，
，
……
，
相加得：，
∴,又也满足，
所以.
24．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算可得；
（2）①依题意可得，，再利用裂项相消法求和即可；
②①可知，即，令，判断的单调性，再由特殊值即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】（1）因为，所以.
（2）①因为，，，
所以，，
所以
；
②由①可知，所以，
令，则，
所以单调递减，又，，
所以当时，则的最小值为.
25．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）首先求出某组表演一次节目后仍然是该组表演的概率，依题意可得的可能取值为、、，求出所对应的概率，从而得到其分布列与数学期望；
（2）设在第次表演表演者是甲组的概率为，显然，当时，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项，再代入计算可得.
【详解】（1）依题意某组表演一次节目后仍然是该组表演的概率为，
则为另外一组表演的概率为，
则的可能取值为、、，
所以，，，
所以的分布列为：
所以.
（2）设在第次表演表演者是甲组的概率为，显然，
当时，即，所以，
即是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
所以，即第次表演者是甲组的概率为.
26．(1)，
(2)中位数估计为73，平均数73.8
(3)
【分析】（1）根据的人数先求出，再利用其成等差数列，以及所有小矩形面积为1得到方程，解出即可.
（2）设估计中位数为t，列出方程，解出即可，再利用频率分布直方图求出平均值即可.
（3）列出所有情况，找到满足题意得情况，即可得到概率.
【详解】（1）依题意可得：
又∵成等差数列，
∴且，
解得：
（2）估计中位数设为t，而的频率为0.41，的频率为0.71,则，
∴，
解得：，即中位数估计为73，
估计平均数为：
．
（3）5人中，将甲、乙分别编号为1,2，其余3人编号，
从这5人中选3人帮助A的所以可能结果有：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），
（1，3，4），（1，3，5）（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共10个基本事件，
其中满足条件的有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），共3个，
故满足条件的概率为.
0
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
X
0
1
2
3
P
喜欢健身
不喜欢健身
合计
男
女
合计
0
1
2
3

0
1
2




X
…
…
P
…
…
1
2
3
2
3