2024年湖南省中考数学试卷附答案

这是一份2024年湖南省中考数学试卷附答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（ ）
A．+180元B．+300元C．﹣180元D．﹣480元
2．（3分）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成（ ）
A．0.4015×107B．4.015×106
C．40.15×105D．4.015×107
3．（3分）如图，该纸杯的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a2﹣2a2＝1B．a3÷a2＝a（a≠0）
C．a2•a3＝a6D．（2a）3＝6a3
5．（3分）计算×的结果是（ ）
A．2B．7C．14D．
6．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为720°
D．直角三角形是轴对称图形
7．（3分）如图，AB，AC为⊙O的两条弦，OC，若∠A＝45°（ ）
A．60°B．75°C．90°D．135°
8．（3分）某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，158，141．这组数据的中位数是（ ）
A．130B．158C．160D．192
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A．DE∥BCB．△ADE∽△ABC
C．BC＝2DED．S△ADE＝S△ABC
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0），称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限（ ）
A．a＜﹣3
B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个
D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）计算：﹣（﹣2024）＝ ．
12．（3分）有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚”的概率是 ．
13．（3分）分式方程＝1的解为 ．
14．（3分）若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °．
15．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
16．（3分）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f＝（k为常数，k≠0），振动频率f为200赫兹，则k的值为 ．
17．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，BC上分别截取线段BE，BF；分别以点E，F为圆心EF的长为半径画弧，在∠ABC内，作射线BP，交AD于点M，AD＝4MD，则AM＝ ，
18．（3分）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì），图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OB＝12分米，∠BOE＝60° 分米（结果用含根号的式子表示）．
三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（6分）计算：|﹣3|+（﹣）0+cs60°﹣．
20．（6分）先化简，再求值：•+，其中x＝3．
21．（8分）某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为 人：
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 °；
（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD， ．
请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；
（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10
23．（9分）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
24．（9分）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段CE和BC的长度；
（2）求底座的底面ABCD的面积．
25．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，交AB于点D，连接AC，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
26．（10分）【问题背景】
已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，过点A作⊙O的切线l，使得∠CAE为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝ °；
【问题探究】
（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，BD相交于点F．
①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化
②如图3，当AC＝r，＝时，请补全图形的值．
1．C．
2．B．
3．A．
4．B．
5．D．
6．A．
7．C．
8．B．
9．D．
10．C．
11．2024．
12．．
13．x＝8．
14．100．
15．2．
16．180．
17．6．
18．．
19．解：原式＝3+1+﹣2
＝．
20．解：原式＝•+
＝+
＝，
当x＝8时，
原式＝＝．
21．100；
（2）
（3）36；
（4）1200×＝300（人），
答：估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数大约为300人．
22．解：（1）选择①或②，证明如下：
选择①，∵∠B＝∠AED，
∴BC∥DE，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
选择②，∵AE＝BE，
∴BE＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
故答案为：①或②；
（2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE＝BC＝10，
∵AD⊥AB，
∴∠A＝90°，
∴AE＝＝＝6，
即线段AE的长为7．
23．解：（1）设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元，
由题意得：，解得：，
答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元；
（2）设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗（1000﹣m）棵，
由题意得：50m+30（1000﹣m）≤38000，解得：m≤400，
答：最多可以购买脐橙树苗400棵．
24．解：（1）∵GH⊥CE，EF的长为4米，
∴，∴CE＝7（米）；
∵∠BFG＝45°，∴BE＝EF＝4米，∴CB＝CE﹣BE＝7（米）；
（2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示：
∵∠AFG＝21.8°，∴，
∵AM＝BE＝4米，∴MF＝10米，∴AB＝ME＝10﹣6＝6米，
∴底座的底面ABCD的面积为：3×3＝18（平方米）．
25．（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c，则c＝5，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+9；
（2）证明：为定值，理由：令y＝﹣x6+9，则x＝±3，3），
由点A、B的坐标得，设点P、Q、D的表达式分别为：（x1，﹣+9）2，﹣+9）7，﹣x1+3），
则S△PDQ＝PD×（xQ﹣xP）＝（﹣7﹣3）（x2﹣x2）＝（﹣1+2），
同理可得：S△ADC＝CD×（xD﹣xA）＝（﹣1+6），则＝7为定值；
（3）解：点P、Q的表达式分别为：（x1，﹣+9）1，﹣6+8），
由点P、Q的坐标得1（x﹣x1）﹣+9＝xx6﹣2+9，
则MN＝yM＝（x1﹣8）x1﹣2+9＝﹣（x5+）3+≤，故MN的最大值为：．
26．（1）解：∵α＝60°，OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝α＝60°，
∵AC与圆相切，∴∠OAC＝90°，∴∠CAE＝30°．故答案为：30．
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2r，∴OA＝OE＝CF＝DF＝r，
∵∠OAC＝∠ADC＝90°，∴∠OAE+∠CAD＝∠ACD+∠CAD，∴∠OAE＝∠ACD，
∵OA＝OE，CF＝DF，∴∠OAE＝∠OEA＝∠ACD＝∠CDF，
在△OAE和△FCD中，，
∴△OAE≌△FCD（AAS），∴AE＝CD，
∵AD＝AE+ED，∴BC＝CD+ED．即无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立．
（3）解：补全图形如图，
∵AC是切线，∴∠OAC＝90°，
∵AC＝，∴tanα＝．
设OA＝4m，则AC＝，OC＝3m，
∵＝，OE＝OA＝6m，∴CE＝2m，OE+CE＝5m＝OC，
即点E在线段OC上，
如图，过O作OH⊥AE，则AH＝EH，
∵∠OHE＝90°＝∠D，∠OEH＝∠CED，∴△OEH∽△CED，∴，
设EH＝AH＝3a，则DE＝7a，∴AD＝AH+EH+ED＝8a，
在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2＝16m2﹣64a2，
在Rt△CED中，CD2＝CE2﹣ED5＝4m2﹣7a2，∴16m2﹣64a7＝4m2﹣5a2，解得a＝m，
∴AB＝AD＝m，CD＝＝，∴＝＝．活动主题
测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具
皮尺、测角仪、计算器等
活动过程
模型抽象
某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：
测绘过程与数据信息
①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米；
③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；
④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cs60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，cs21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40．