2023-2024学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜4B．x≥4C．x＞4D．x≥0
2．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝2B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝3，b＝4，c＝6D．a＝1，b＝1，c＝
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣＝B．＝2﹣
C．＝2D．
5．（3分）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为3cm，则菱形ABCD周长为（ ）
A．10cmB．12cmC．16 cmD．24 cm
6．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，则x1+x1x2+x2的值是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣2D．2
7．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．有一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
8．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ）
A．中位数，众数B．平均数，方差
C．平均数，众数D．众数，方差
9．（3分）随着“二胎政策”出生的孩子越来越多，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了8.5%，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了9.6%，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．2x＝8.5%+9.6%
B．2（1+x）＝（1+8.5%）（1+9.6%）
C．2（1+x）2＝（1+8.5%+9.6%）
D．（1+x）2＝（1+8.5%）（1+9.6%）
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为CD边的中点，F为线段AE上一点，若∠CFE＝∠DAE，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE＝ ．
13．（3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，那么可列方程 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝11，点D是AC的中点，DE∥BC，若∠AEB＝90°，则DE长的为 ．
15．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E是CD的中点，点M是AC上一动点，则MD+ME的最小值是 ．
16．（3分）已知：▱ABCD中，AB＝3，，点E为BC中点，AD＝2AE，则▱ABCD的面积为 ．
三、（本题共2小题，每题5分，满分10分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解方程：3x2+5x﹣2＝0．
四、（本题满分8分）
19．（8分）已知点M，N是▱ABCD的对边BC，AD上的点，且BM＝DN，连接AM，CN与BD相交于点E，F．
（1）如图1，求证：AM＝CN；
（2）如图2，若AB＝AD，连接AF，CE，求证：四边形AECF是菱形．
五、（本题满分10分）
20．（10分）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．滨湖区广大党员积极参与社区桶前职守活动．其中，A社区有500名党员，为了解本社区3月﹣4月期间党员参加桶前职守的情况，A社区针对桶前职守的时长随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．桶前职守时长的频数分布表
c．其中，时长在20≤x＜30这一组的数据是：20，20，20，21，21，21，22，23，24，24，25，26，26，27，28，29．请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）其中这50名党员桶前职守时长的中位数是 ；
（4）3月﹣4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的人数大约为 ．
六、（本题满分12分）
21．（12分）【过程学习】对于代数式x2+4x+3，我们可作如下变形：
x2+4x+3＝x2+4x+4﹣4+3＝（x+2）2﹣1，∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，代数式x2+4x+3的最小值为﹣1．这种方法叫做配方法求最值．
【初步应用】对于代数式2x2﹣4x+3可变形为＝2（x+ ）2+1，∴对于代数式2x2﹣4x+3，当x＝ 时，最小值为1．
【问题解决】某工业设备专卖店销售一种机床，四月份的售价2万元，共销售60台．根据市场销售经验知：当这种机床售价每增加0.1万元时，就会少售出1台．
①五月份该专卖店想将销售额提高25%，求这种机床每件的售价；
②求五月份销售额最大值是多少？
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且CE＜BC，连接DE．点F与点E关于直线DC对称，过点F作FH⊥DE于点H，直线FH与直线DB交于点M．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠EDC＝α，请直接写出∠DMF＝ （用含α的式子表示）；
（3）用等式表示BM与CF的数量关系，并证明．
七、（本题满分0分）
23．已知M是边长为1的正方形ABCD内一点，若，∠CMD＝90°，则MD＝ ．
2023-2024学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜4B．x≥4C．x＞4D．x≥0
【分析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数，求出答案即可．
【解答】解：在实数范围内有意义，
则x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数的符号分析是解题关键．
2．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D、＝10，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：A．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．
3．（3分）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝2B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝3，b＝4，c＝6D．a＝1，b＝1，c＝
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+22≠22，故不能构成直角三角形，不符合题意；
B、22+32≠42，故不能构成直角三角形，不符合题意；
C、32+42≠62，故不能构成直角三角形，不符合题意；
D、12+12＝（）2，故能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣＝B．＝2﹣
C．＝2D．
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式的加减法则分别进行判断即可．
【解答】解：中，没有同类二次根式，不能合并，
故A选项不符合题意；
＝﹣2，
故B选项不符合题意；
＝，
故C选项不符合题意；
＝＝，
故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的性质以及加减法则是解题的关键．
5．（3分）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为3cm，则菱形ABCD周长为（ ）
A．10cmB．12cmC．16 cmD．24 cm
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝CD＝BC，BO＝DO，由三角形的中位线定理可得AD＝2OM＝6cm，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，BO＝DO，
又∵点M是AB的中点，
∴AD＝2OM＝6cm，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24cm，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的的对角线互相平分是解题的关键．
6．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，则x1+x1x2+x2的值是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣2D．2
【分析】把方程化为一般形式，利用根与系数的关系可求得x1+x2和x1x2的值代入即可求得答案．
【解答】解：把方程化为一般形式可得x2﹣3x﹣1＝0，
∵x1，x2是方程的两个根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
∴x1+x1x2+x2＝3+（﹣1）＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程两根和、两根积与方程系数的关系是解题的关键．
7．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．有一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、有一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，本选项说法错误，不符合题意；
B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形，本选项说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项说法错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理是解题的关键．
8．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ）
A．中位数，众数B．平均数，方差
C．平均数，众数D．众数，方差
【分析】平均数的求解是先求和再除以个数，方差由平均数得来，中位数由数据排序得到，众数则反映原数据中最多的数值．
【解答】解：∵共有30名学生报名这3个项目，
把这些数从小到大排列，中位数是第15、16个数的平均数，
则不报的和报1个的就有19人了，
所以中位数不会发生改变，
因为报2个项目和3个项目的一共有11人，
而报1个项目的就有14人，
所以众数也不会发生改变．
故选：A．
【点评】本题考查平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的概念及运算是解题的关键．
9．（3分）随着“二胎政策”出生的孩子越来越多，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了8.5%，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了9.6%，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．2x＝8.5%+9.6%
B．2（1+x）＝（1+8.5%）（1+9.6%）
C．2（1+x）2＝（1+8.5%+9.6%）
D．（1+x）2＝（1+8.5%）（1+9.6%）
【分析】设该校2020年学生数为1，则该校2021年学生数为（1+8.5%），2022年学生数为（1+8.5%）（1+9.6%），利用该校2022年学生数＝该校2020年学生数×（1+2021、2022这两年该校学生数平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该校2020年学生数为1，则该校2021年学生数为（1+8.5%），2022年学生数为（1+8.5%）（1+9.6%），
根据题意得：（1+x）2＝（1+8.5%）（1+9.6%）．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为CD边的中点，F为线段AE上一点，若∠CFE＝∠DAE，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】延长AE与BC的延长线交于点M，过点C作CN⊥AM于点N，先证△ADE和△MCE全等，得出AD＝CM＝4，AE＝ME，再证△CMF是等腰三角形，得出MF＝2MN，再利用勾股定理求出AE的长，即可得出ME的长，利用直角三角形的面积公式求出CN的长，利用勾股定理求出MN的长，即可得出MF的长，最后根据EF＝MF﹣ME即可求解．
【解答】解：延长AE与BC的延长线交于点M，过点C作CN⊥AM于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°，AD∥BC，
∴∠MCE＝90°，
∴∠ADE＝∠MCE＝90°，
∵E为CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△MCE中，
，
∴△ADE≌△MCE（ASA），
∴AD＝CM＝4，AE＝ME，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CME，
∵∠CFE＝∠DAE，
∴∠CFE＝∠CME，
∴CF＝CM，
在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为CD边的中点，
∴DE＝CE＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
∴ME＝5，
在Rt△MCE中，，
∴3×4＝5CN，
∴，
在Rt△MCN中，由勾股定理得，
∵CM＝CF，CN⊥MF，
∴MF＝2MN＝，
∴EF＝MF＝ME＝，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的面积，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 6 ．
【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n﹣2），难度适中．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE＝ 20° ．
【分析】由平行四边形ABCD中，易得∠BCD＝∠A＝70°，又因为DB＝DC，所以∠DBC＝∠DCB＝70°；再根据CE⊥BD，可得∠BCE＝20°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝70°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠BCD＝70°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝20°．
故答案为：20°．
【点评】此题主要考查了是平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．
13．（3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，那么可列方程 x2+（x+6）2＝102 ．
【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．
【解答】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：
x2+（x+6）2＝102．
故答案为：x2+（x+6）2＝102．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝11，点D是AC的中点，DE∥BC，若∠AEB＝90°，则DE长的为 2 ．
【分析】延长AE，交BC于点F，证明△AEB≌△AEF，根据全等三角形的性质得到BF＝AB＝7，进而求出FC，再根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：如图，延长AE，交BC于点F，
∵点D是AC的中点，DE∥BC，
∴AE＝EF，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（SAS），
∴BF＝AB＝7，
∴FC＝BC﹣BF＝11﹣7＝4，
∵AD＝DC，AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E是CD的中点，点M是AC上一动点，则MD+ME的最小值是 ．
【分析】连接BD，BE，BE与AC交点即为M点，过点E作EG⊥BC，交BC延长线于G，则MD+ME＝BM+ME＝BE，在Rt△CEG中，求出CG＝1，EG＝，在Rt△BEG中，求出BE＝2，则可求MD+ME的最小值．
【解答】解：连接BD，BE，BE与AC交点即为M点，过点E作EG⊥BC，交BC延长线于G，
∵菱形ABCD，
∴B与D关于AC对称，
∴BM＝DM，
∴MD+ME＝BM+ME＝BE，
∵BC＝4，点E是CD的中点，
∴CE＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ECG＝60°，
在Rt△CEG中，CE＝2，∠ECG＝60°，
∴CG＝1，EG＝，
在Rt△BEG中，BG＝5，EG＝，
∴BE＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，灵活运用菱形的对称性，将所求MD+ME的最小值转化为求ME的长是解题的关键．
16．（3分）已知：▱ABCD中，AB＝3，，点E为BC中点，AD＝2AE，则▱ABCD的面积为 12 ．
【分析】先证得AE＝BE＝CE，即可得出∠BAC＝90°，再根据平行四边形对角线互相平分及勾股定理求出OA的长，即可得出AC的长，最后根据平行四边形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，连接AC与BD相交于点O，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AD＝2AE，
∴AE＝BE＝CE，
∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠3，
又∵∠1+∠ABE+∠2+∠3＝180°，
∴2（∠1+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
即∠BAC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝，OB＝OD＝，
在Rt△ABO中，由勾股定理得，
∴AC＝2OA＝4，
∴▱ABCD的面积为AB•AC＝3×4＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
三、（本题共2小题，每题5分，满分10分）
17．（5分）计算：．
【分析】先化简二次根式，再算加减法即可．
【解答】解：原式＝2﹣+2×
＝+
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的加减法运算，熟练掌握二次根式的化简是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
18．（5分）解方程：3x2+5x﹣2＝0．
【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，分别求出两个一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：3x2+5x﹣2＝0，
因式分解得：（3x﹣1）（x+2）＝0，
可化为3x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣2．
【点评】此题考查了利用因式分解法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，方程左边的多项式分解因式，然后根据a•b＝0，得到a＝0或b＝0转化为两个一次方程来求解．
四、（本题满分8分）
19．（8分）已知点M，N是▱ABCD的对边BC，AD上的点，且BM＝DN，连接AM，CN与BD相交于点E，F．
（1）如图1，求证：AM＝CN；
（2）如图2，若AB＝AD，连接AF，CE，求证：四边形AECF是菱形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠AMB＝∠CDN，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论；
（2）连接AC交BD于O，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形，求得AO＝CO，AC⊥BD，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝CF，AE＝CE，根据全等三角形的性质得到∠BAM＝∠DCN，求得AE＝AF，根据菱形的判定定理得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠AMB＝∠CDN，
在△ABM与△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（SAS），
∴AM＝CN；
（2）连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AC⊥BD，
∴AF＝CF，AE＝CE，
由（1）知，△ABM≌△CDN，
∴∠BAM＝∠DCN，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠EAC＝∠ACF，
∵AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴∠EAO＝∠FAO，
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
五、（本题满分10分）
20．（10分）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．滨湖区广大党员积极参与社区桶前职守活动．其中，A社区有500名党员，为了解本社区3月﹣4月期间党员参加桶前职守的情况，A社区针对桶前职守的时长随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．桶前职守时长的频数分布表
c．其中，时长在20≤x＜30这一组的数据是：20，20，20，21，21，21，22，23，24，24，25，26，26，27，28，29．请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ 4 ，b＝ 0.32 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）其中这50名党员桶前职守时长的中位数是 22.5 ；
（4）3月﹣4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的人数大约为 160人 ．
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解可得；
（2）根据（1）中a的值，即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据中位数的概念找到第25、26个数据，再取其平均数即可得；
（4）用总人数乘以样本中参加桶前职守的时长不低于30小时的人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）a＝0.08×50＝4，b＝16÷50＝0.32，
故答案为：4，0.32；
（2）补全直方图如下：
（3）随机抽取的50名党员桶前职守的时长的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为23、23，
所以随机抽取的50名党员桶前职守的时长的中位数是＝22.5；
故答案为：22.5；
（4）估计3月—4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的约有500×＝160（人），
故答案为：160人．
【点评】本题主要考查频数（率）分布直方图，解题的关键是掌握频率＝频数÷总数、中位数的概念及利用样本估计总体思想的运用．
六、（本题满分12分）
21．（12分）【过程学习】对于代数式x2+4x+3，我们可作如下变形：
x2+4x+3＝x2+4x+4﹣4+3＝（x+2）2﹣1，∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，代数式x2+4x+3的最小值为﹣1．这种方法叫做配方法求最值．
【初步应用】对于代数式2x2﹣4x+3可变形为＝2（x+ ﹣1 ）2+1，∴对于代数式2x2﹣4x+3，当x＝ 1 时，最小值为1．
【问题解决】某工业设备专卖店销售一种机床，四月份的售价2万元，共销售60台．根据市场销售经验知：当这种机床售价每增加0.1万元时，就会少售出1台．
①五月份该专卖店想将销售额提高25%，求这种机床每件的售价；
②求五月份销售额最大值是多少？
【分析】【初步应用】把代数式2x2﹣4x+3进行配方，然后根据偶次方的非负性进行解答即可；
【问题解决】】①设这种机床每件的售价为x万元，根据销售额＝售价×台数，列出方程，求出答案即可；
②根据销售额＝售价×台数，列出代数式，进行配方，求出最大值即可．
【解答】解：【初步应用】
2x2﹣4x+3
＝2（x2﹣2x+1﹣1）+3
＝2（x2﹣2x+1）﹣2+3
＝2（x﹣1）2+1，
∵2（x﹣1）2≥0，
∴对于代数式2x2﹣4x+3，当x＝1时，最小值为1，
故答案为：﹣1，1；
【问题解决】①设这种机床每件的售价为x万元，由题意得：
，
x（80﹣10x）＝150，80x﹣10x2﹣150＝0，
x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
x﹣3＝0或x﹣5＝0，
x1＝3，x2＝5，
答：这种机床每件的售价为3万元或5万元；
②由①得：销售额为：
＝x（80﹣10x）
＝﹣10x2+80x
＝﹣10（x2﹣8x）
＝﹣10（x2﹣8x+16﹣16）
＝﹣10（x﹣4）2+160，
∴当x＝4时，销售额最大，为160万元，
答：五月份销售额最大值是160万元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程和配方法的应用，解题关键是理解题意，找出相等关系和利用配方法求最值．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且CE＜BC，连接DE．点F与点E关于直线DC对称，过点F作FH⊥DE于点H，直线FH与直线DB交于点M．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠EDC＝α，请直接写出∠DMF＝ 45°﹣α （用含α的式子表示）；
（3）用等式表示BM与CF的数量关系，并证明．
【分析】（1）由题意补全图形即可；
（2）由正方形的性质得出∠BDC＝45°，由直角三角形的性质可得出答案；
（3）在CD上取点G，使得CG＝CE，连接GE，由正方形的性质得出∠DBC＝∠BDC＝45°，∠DCB＝90°，BC＝DC，证明△BMF≌△GED（ASA），由全等三角形的性质得出MB＝EG，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）补全图形如图1，
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
∵FH⊥DE，
∴∠MHD＝90°，
∴∠DMF+∠MDH＝90°，
∴∠DMF+∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠DMF+45°+α＝90°，
∴∠DMF＝45°﹣α．
故答案为45°﹣α．
（3）BM与CF的数量关系为BM＝CF．
证明：如图2，在CD上取点G，使得CG＝CE，连接GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠BDC＝45°，∠DCB＝90°，BC＝DC，
∵CG＝CE，
∴∠CGE＝∠CEG＝45°，
∴∠DGE＝∠MBF＝135°，
∴BF＝GD，
∵点F与点E关于直线DC对称，
∴CF＝CE＝CG，且点F在BC上，
∵MH⊥DE于点H，
∴∠MHD＝∠BCD＝90°，
∴∠BFM＝∠HFE＝∠CDE，
∴△BMF≌△GED（ASA），
∴MB＝EG，
∵GE＝CE＝CF，
∴BM＝CF．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
七、（本题满分0分）
23．已知M是边长为1的正方形ABCD内一点，若，∠CMD＝90°，则MD＝ ．
【分析】如图，作MF⊥AB于F，交DC于E．则四边形ADEF，四边形BCEF都是矩形，则DE＝AF，CE＝BF，设DE＝x，EC＝y，构建方程组求出x，y再利用相似三角形的性质求出EM，利用三角函数解决问题即可．
【解答】解：如图，作MF⊥AB于F，交DC于E．则四边形ADEF，四边形BCEF都是矩形，
∴DE＝AF，CE＝BF，设DE＝x，EC＝y，
∵AM2＝AF2+MF2，BM2＝BF2+BM2，AM2﹣BM2＝，
∴AF2﹣BF2＝，
∴x2﹣y2＝，
∵x+y＝1，
∴x＝，y＝，
∴ME⊥CD，∠CMD＝90°，
∴△MED∽△CEM，
∴DE：EM＝EM：CE，
∴EM2＝DE•EC＝，
∴EM＝，
∴tan∠ECM＝＝，
∴∠ECM＝60°，
∴DM＝sin60°•CD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/29 13:18:38；用户：王立研；邮箱：rFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@；学号：25840186报名项目个数
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频数
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