[数学]湖南省岳阳市岳汨联考2024届高三下学期5月月考模拟试题(解析版)

这是一份[数学]湖南省岳阳市岳汨联考2024届高三下学期5月月考模拟试题(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 若集合，则的元素个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】由题意得，，
故，即共有4个元素，
故选：C．
2. 已知复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
对应点，
由于点第一象限，
所以，解得.
故选：A
3. 设，则“”是“为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若为奇函数，
则，
，
解得，经检验，符合题意，
“”是“为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A．
4. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，根据抛物线的标准方程可得，，所以，
又因为焦点坐标为，所以所求焦点坐标为，
故选：C.
5. 如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，则①；
，则②；
①②两式相加，，即，
故选：C.
6. 某工艺品修复工作分为两道工序，第一道工序是复型，第二道工序是上漆.现甲，乙两位工匠要完成A，B，C三件工艺品的修复工作，每件工艺品先由甲复型，再由乙上漆.每道工序所需的时间（单位：h）如下：
则完成这三件工艺品的修复工作最少需要（ ）
A. 43 hB. 46 hC. 47 hD. 49 h
【答案】B
【解析】由题意，甲工匠按A，C，B的顺序工作，乙工匠空闲时间最短，此时完成修复工作所需时间最短，最短时间为.
故选：B.
7. 已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，，
令，解得．
，
，
函数在上恰有4个不同的零点，
则，
，解得．
故选：D．
8. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 的最小正周期为
C. 的最大值为D. 在区间上单调递减
【答案】D
【解析】因为，定义域为R，
所以是偶函数，故A不正确；
因为，
所以的最小正周期不是，故B不正确；
因为 ，
令 ，则 ，
所以当时，取得最大值，最大值为，故C不正确；
当，，
则，
当时，，，
所以，所以在区间上单调递减，故D正确.
故选：D.
二、多选题
9. 大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一
B. 若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个
C. 可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元
D. 可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元
【答案】ABD
【解析】由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，故A正确；
若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，故B正确；
平均数为（元），故C错误；
中位数为（元），故D正确．
故选：ABD．
10. 已知圆锥的顶点为S，高为1，底面圆的直径，B为圆周上不与A重合的动点，F为线段AB上的动点，则（ ）
A. 圆锥的侧面积为
B. 面积的最大值为
C. 直线SB与平面SAC所成角的最大值为
D. 若B是的中点，则的最小值为
【答案】AC
【解析】圆锥的底面圆的半径，
圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，故A正确；
如图，平面为圆锥的轴截面，为底面圆心，则，
，，，，
设，
则，故B不正确；
根据圆锥的结构特征可知，点在平面上的投影在上，
又为定值，则当点到直线的距离最大时，直线SB与平面SAC所成角的最大，
所以当B是弧AC的中点时，直线SB与平面SAC所成角的最大，
由知，此时B到平面SAC距离为，
又因为高为1，所以直线SB与平面SAC所成角的最大值为，故C正确；
当B是弧AC的中点时，，
此时为等腰三角形，为等腰直角三角形，
将、沿AB展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形，
取AB的中点D，连接SC、SD，
则，，
，
，
，
当且仅当S，F，C三点共线时等号成立，故D错误．
故选：AC．
11. 已知抛物线（）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线相交于，两点（其中），则下面说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】若，则抛物线的焦点坐标为，
且直线的方程为，即
联立直线与抛物线方程消去可得，
且直线l与该抛物线相交于，两点，，
则，，故A正确；
且，，
则，原点到直线的距离，
则，故C错误；
且，故D正确；
设直线的方程为，代入抛物线中可得，
则，则，故B正确；
故选：ABD
12. 已知矩形ABCD中，，沿着BD折起使得形成二面角，设二面角的平面角为，则下面说法正确的是（ ）
A. 在翻折的过程中，、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为
B. 存在，使得
C. 当时，
D. 当时，直线与直线BD的夹角为
【答案】BCD
【解析】如图，在矩形中，过分别作的垂线，
因为，所以，，
A，在翻折的过程中，，始终成立，则BD为外接球的一条直径，所以，
所以、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球表面积为，故A错误；
B，因为，所以若，只需要面，即即可，
则即可，此时二面角是存在的，即存在，使得，故B正确；
C，易知，因为，所以，
因为，所以平方得
，所以，故C正确；
D，由C知，，
所以，
所以，
所以直线与直线BD的夹角为，故D正确，
故选：BCD.
三、填空题
13. 曲线在点处的切线方程是__________（结果用一般式表示）.
【答案】
【解析】,所以，所以由点斜式可得切线方程为，即，
故答案为：
14. 已知病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，已知只要该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物死亡的概率为______ ．
【答案】
【解析】根据题意，病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，
则，
若该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，
则该溶液能够导致生物死亡的概率．
故答案为：．
15. 近两年来，多个省份公布新高考改革方案，其中部分省份实行“”的高考模式，“3”为全国统一高考的语文､数学､外语3门必考科目，“1”由考生在物理､历史两门科目中选考1门科目，“2”由考生在思想政治､地理､化学､生物4门科目中选考2门科目，则甲，乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率为__________.
【答案】
【解析】甲、乙两名考生选科的总情况有，其中恰有两门选考科目相同的情况有以下两种：
①在物理、历史两科中选科相同：；
②在物理、历史两科中选科不同：，
因此甲、乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率.
故答案为：
16. 已知函数在上恒成立，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为，，
所以，，设，
所以，
所以在上单调递增，
所以在上的最小值为，
①当时，即时，在上单调递增，
又，所以函数在上恒成立，
所以满足题意；
②当时，即时，又在上单调递增，
所以，使得时，
所以在上单调递减，又，
所以当时，不满足恒成立，
综合①②可得实数a的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足.
（1）求角A的大小；
（2）若，的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求的面积．
解：（1）∵，∴由正弦定理可得，
∴，
整理得：，
∴，
由于，
所以；
（2）∵的角平分线AD与边BC相交于点D，
∴，∴，
∴，
在中，由余弦定理可得，
∴，解得或（舍去）．
∴的面积．
18. 已知等差数列满足（），数列是公比为3的等比数列，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）数列和中的项由小到大组成新的数列，记数列的前n项和为，求．
解：（1），①，（），②，
得：，
∵为等差数列，∴，，
，即，
∴，
数列是公比为3的等比数列，，
，，；
（2）由（1）可知，，，
且数列和中的项由小到大组成新的数列，
其中，，此时，
所以数列中数列有项，数列有项，
．
19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为，过的直线与椭圆相交于两点，且的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的动直线与椭圆相交于两点，直线的方程为.过点作于点，过点作于点.记的面积分别为，，.问是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）设椭圆的焦距为，则，所以，
由椭圆的定义可得的周长为，
所以，所以，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知，直线n的斜率不为0，其方程可设为，
设，，则，，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
因为
.
因为，
，
所以
，
所以，故，即，
所以存在实数，使得成立.
20. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上有零点，且，求实数m的取值范围．
解：（1）已知，函数定义域为R，
可得，
当时，，所以在R上单调递减；
当时，因为是开口向上的二次函数，且，
若，即时，，所以；所以在R上单调递减；
若，即时，此时方程有两个根，
所以当或者时，即，
当时，即，
所以在和上为减函数，
在上为增函数；
当时，因为是开口向下的二次函数，且，
此时方程有两个根，
所以当或者时，即，
当时，即，
所以在和上为增函数，
在上为减函数；
综上所述，当时，函数在R上单调递减；
当时，函数在和上为减函数，
在上为增函数；
当时，函数在和上为增函数，
在上为减函数；
（2）令，解得，
不妨设，函数定义域为，则在内有零点；
不妨设为在内的一个零点，因为，，
所以在区间和上不可能单调；
不妨设，函数定义域为，
此时在区间和上均存在零点，即在上至少有两个零点，
易知， ，
当时，，在上单调递增，不可能有两个及以上零点；
当时，，在上单调递减，不可能有两个及以上零点；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得最小值，
若有两个零点，需满足，，，
不妨设，函数定义域为 ，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，此时恒成立，
又，，可得，
当时，不妨设的两个零点分别为，（），
可得在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，
所以， 则在区间内有零点，
综上所述，实数m的取值范围为．
21. 旅游承载着人们对美好生活的向往.随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代.某旅游景区为吸引旅客，提供了､两条路线方案.该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名的旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：
（1）填补上面的统计表中的空缺数据，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对，两条路线的选择与性别有关？
（2）某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考），若评价为“好”的计5分，评价为“一般”的计2分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路.请用计算说明理由.
附：，其中.
解：（1）补全统计表如下：
零假设：对于、两条路线的选择与性别无关，
将所给数据整理，得到如下列联表：
所以，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为对、两条路线的选择与性别有关.
（2）设为选择路线好评率，则，
设为选择路线好评率，则，
设路线和路线累计分数分别为，，则，的可能取值都为、、、，
则，，
，，
所以，
，，
，，
所以，
所以，所以选择路线.
22. 已知在三棱锥中，，为以AC为斜边的等腰直角三角形．
（1）证明：平面平面；
（2）设，存在该几何体外的一点D，使得为等边三角形，平面BCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为，求AD的长．
（1）证明：取AC中点O，连接OB，OP，
∵为等边三角形，O为AC的中点，
∴．
设，
∴，，
在中，则，即．
又，平面，
∴平面ABC．
∵平面PAC，
∴平面平面ABC．
（2）解：∵为等边三角形，取BC的中点E，则，
∵，∴，∴，
则，，则D的轨迹是以E为圆心，半径为的圆上，且圆所在平面与BC垂直，
建立以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴的坐标系如图：
则，设，
则，
易知平面ABC的一个法向量为，
设平面BCD的法向量为，，，
则，即，得，，
设，则，即，
设平面BCD与平面ABC所成的锐二面角为，则，
因为，，
所以，解得，，即，
易知，点在线段OP上，不满足题意，
所以或，
所以，或.
原料 时间 工序
A
B
C
复型
9
16
10
上漆
15
8
14
路线
路线
合计
好
一般
好
一般
男
20
55
120
女
90
40
180
合计
50
75
300
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
路线
路线
合计
好
一般
好
一般
男
10
20
55
35
120
女
90
30
20
40
180
合计
100
50
75
75
300
性别
路线
合计
男
30
90
120
女
120
60
180
合计
150
150
300