江苏省如东高级中学2023-2024学年高一下学期6月期末模拟数学试卷(含答案)

这是一份江苏省如东高级中学2023-2024学年高一下学期6月期末模拟数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设i为虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知，，若，则实数t的值为( )
A.5B.2C.-1D.-3
3．在中，已知，，，则A角的度数为( )
A.B.C.或D.
4．正方体中，P为的中点，则直线与直线所成角为( )
A.B.C.D.
5．设样本数据,,,的均值和方差分别为1和2，若，则,,,的方差为( )
A.1B.3C.4D.8
6．袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，事件“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是( )
A.事件A与B是互斥事件B.事件A与B是对立事件
C.事件C与D相互独立D.事件C与D不是互斥事件
7．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为( )
A.B.C.D.2
8．在中，M是边的中点，N是线段的中点.若，的面积为，则取最小值时，则( )
A.2B.C.6D.4
二、多项选择题
9．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，，，则有两解
C.若为钝角三角形，则
D.若，，则面积没有最大值
10．2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌.为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分：100分），得到如下的频率分布直方图，则( )
注：同一组中的数据用该组区间中点值代表.
A.图中y的值为0.004
B.估计样本中竞赛成绩的众数为70
C.估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分
D.估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.75
11．在边长为2的正方形中，E，F分别为，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于点S，得到四面体，顶点S在底面上的射影为O，下列结论正确的是( )
A.
B.点O为的外心
C.点O到三个侧面距离的平方和等于
D.
三、填空题
12．已知，则________.
13．为获得某中学高一学生的身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的方差为________.
14．棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为________.
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，的面积为，求的周长
16．如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折成，使平面平面BCD，F为线段PC的中点.
(1)证明：平面PDE；
(2)已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值.
17．某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为,,,.
(1)试估计这1000名用户评分的平均分；
(2)若采用分层随机抽样的方法从评分在,内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在内的概率.
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)若边，边的中点为D，求中线长的最大值.
19．如图，在矩形ABCD中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.
(1)当点M与端点D重合时，证明：平面；
(2)求三棱锥的体积的最大值；
(3)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，
所以，所以，对应的点为，
所以在复平面内对应的点在第三象限.
故选：C
2．答案：D
解析：由，，可得，，
则由，可得，解之得
故选：D
3．答案：B
解析：因为，，即，所以，即，
由正弦定理，则，
.
故选：B.
4．答案：C
解析：
如上作图，Q为底面中心，P为上底面中心，易得，
所以异面直线与所成的角就是或其补角，
设正方体棱长为2，可得，，，
再由余弦定理得：，
由得：，
所以异面直线与所成的角是，
故选：C.
5．答案：D
解析：由.
故选：D
6．答案：C
解析：袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，
从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：，，，，，，，，，共10个，
其中事件A包含的样本点为：，，共3个，故，
事件B包含的样本点为：，，，，，，共7个，故；
事件C包含的样本点为：，，，共4个，故，
事件D包含的样本为：，，，，，共6个，故，
因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确；
因为,所以C与D不相互独立，故C错误.
因为,所以C与D不互斥，故D正确.
故选：C.
7．答案：B
解析：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，
因为圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，
可得，解得,，所以圆锥的高为.
故选：B.
8．答案：D
解析：在中，由，的面积为，得，则，
由M是边的中点，N是线段的中点，得，
，
则
，
当且仅当，即,时取等号，
在中，由余弦定理得：，
所以.
故选：D
9．答案：AB
解析：，A正确；
因为，，，由正弦定理得，，
故，因为，所以，故B有两角，B正确；
为钝角三角形，但不确定哪个角为钝角，
则不一定成立，C不符合题意；
因为，，由余弦定理得，，
当且仅当时取等号，故，
面积，即最大值为，D不正确.
故选：AB.
10．答案：ACD
解析：对于A：由题得，故A正确：
对于B：由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为75，则估计众数为75，故B错误：
对于C：样本中竞赛成绩超过80分的频率只有0.12，故平均成绩不可能超过80分，故C正确；
对于D：设样本中竞赛成绩的第75百分位数为x，
前2组频率之和为0.16，前3组频率之和为，故x位于第3组，
于是得，解得，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以，故A正确；
因为平面，平面，所以，
又，又，所以平面，又平面，所以.
同A证明过程及上述过程，可证，，所以点O为的垂心，故B错误；
如图以为体对角线构造长方体，其中平面，平面，平面，
又，所以点O到三个侧面距离的平方和等于，故C正确；
取的中点为M，连接，，则，，
，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：/
解析：
故答案为：.
13．答案：275
解析：记男生样本为,,,,均值为,方差为,女生样本为,,,,均值为,方差为,容量为50的样本均值为,方差为，
则,，
，，
，
则
.
故答案为：275.
14．答案：
解析：如图，当点H位于的中点时，取中点G，连接，，，
则由正方体性质有，，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又且都在面，所以平面平面，
又面，所以平面，
所以F的轨迹是以,的中点为端点的线段，
因为，
所以当F点离平面距离最远时三棱锥体积最大，
此时，点F与的中点H重合，
取中点O，连接，则由正方体性质可得平面，
所以三棱锥的外接球球心在所在直线上，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，球心为，
则，
于是，，
所以外接球半径为，
所以.
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由
又得
其中
化简得
又得.
即
因为A是三角形的内角，所以.
（2）由，得，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的周长为.
16．答案：(1)见解析；
(2)2
解析：（1）取PD的中点G,连接,，
F，G分别为PC，PD的中点，,
又E为AB的中点，,，
,，FGEB为平行四边形，，
又面PDE，面PDE，平面PDE.
（2）在平行四边形中，因为，所以，
又因为，可得即，
因为平面平面，平面平面，
所以平面平面，
由（1）可知，，所以平面，连接,
即为直线MF与平面PDE所成的角，
因为,，
所以，
即直线MF与平面PDE所成的角的正切值为2.
17．答案：(1)76.2分；
(2)
解析：（1）由，解得，
则平均评分分数为，
所以估计这1000名用户评分的平均分为76.2分.
（2）由频率分布直方图可知，评分在,内的人数分别为40，60.
若采用分层随机抽样的方法从评分在,内的用户中抽取5人，则
中选：（人），分别记作A，B；
中选：（人），分别记作a，b，c.
从这5人中任选2人的所有情况有：，，，，，，，，，，共10种情况.
其中至少有1人的评分在内的情况有：，，，，，，，共7种情况.
故所求概率
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为，
由正弦定理可得：，则，
即，
由余弦定理可得：，
因为，所以.
（2）因为D为的中点，所以，
则，
又由余弦定理得，，
即，所以.
由得，，
则，当且仅当取等号，
即，
所以，即中线长的最大值为.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)
解析：（1）当点M与端点D重合时，由可知，
由题意知上平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，可知
，平面，平面，
所以平面
（2）矩形中作，垂足为点O，折起后得，
由平面，平面，可得，所
平面，，所以平面，
平面，可得，所以A，O，E三点共线，
因此与相似，满足，
设，所以，，，
，，
要使点射影E落在线段上，则，所以，
所以，
当时，.
（3）过点E做交于Q，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，
由（2）可知平面，平面，所以平面平面，
作，垂足为H，平面平面，平面，可得平面，
连接，是直线与平面所成的角，即，
由题意可得，，
因为，，所以是二面角平面角，
即，，
，当且仅当时“＝”成立，
故的最大值为.