人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题02求二次根式中的字母的值四类型(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题02求二次根式中的字母的值四类型(原卷版+解析)，共18页。
1．已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．3B．5C．15D．45
4．已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．若是整数，则a能取的最小整数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．当_________时，二次根式取最小值，其最小值为_________．
类型二 根据根式的非负性求字母
7．若|3﹣a|＋＝0，则a＋b的立方根是_____．
8．若a，b为实数，且满足，则的值为________．
9．若为实数，且满足，则的值是________．
10．已知，则在______象限．
11．若a、b、c是△ABC的三边长，且a、b、c满足等式+｜b-12｜+（c-13）2＝0．
（1）求出a、b、c的值．
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
12．已知a，b满足
（1）a=_______， b=______
（2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程
类型三 两根式中的式子互为相反数题型
13．若，则的取值范围是______．
14．若，求的算术平方根________．
15．已知a，b都是实数，，则的值为___________．
16．已知，则的值为______．
17．若y＝，则的平方根为 _____．
18．若＝b+6，则a﹣b的立方根是_____．
19．已知y=++2，那么xy=______．
类型四 有理数无理数综合求字母
20．阅读材料并解决下列问题：
已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值．
解：∵5﹣﹣a
即5﹣
∴2b﹣a＝5，﹣a＝
解得：a＝﹣
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝ ，b＝ ．
（2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根．
21．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题．
（1）已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值．
解：因为
所以
所以 解得
（2）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值．
22．先阅读下面材料，再解答问题：
材料：已知，是有理数，并且满足等式，求，的值．
解：∵
∴
∵，是有理数
∴解得
问题：（1）已知，是有理数，，则________，________．
（2）已知，是有理数，并且满足等式，求，的值．
23．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题．
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式求a、b的值．
解：因为． 即
所以， 解得：
（2）设x、y是有理数，并且满足求x+y的值．
24．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题．
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式5-a=2b+-a，求a、b的值．
解：因为5-a=2b+． 即5-a=（2b-a）+．
所以2b-a=5，-a=． 解得：a=-，b=．
（2）设x、y是有理数，并且满足x2+y+2y=-4+17，求x+y的值．
25．先阅读（1）的解法，再解答第（2）题：
（1）已知a，b是有理数，并且满足等式2b＋a＝a＋5－2，求a，b的值；
解：∵2b＋a＝a＋5－2，∴2b－a＋a＝5－2，
即（2b－a）＋a＝5－2．
又∵a，b为有理数，∴2b－a也为有理数，
∴解得
（2）已知m，n是有理数，且m，n满足等式m＋2n＋（2－n）＝（＋6）＋15，求的立方根．
专题02 求二次根式中的字母的值四类型
类型一 根式是整数求字母
1．已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
分析：先把二次根式进行化简，然后由算术平方根的定义，即可求出答案．
【详解】解：∵，
又∵是整数，
∴是完全平方数，
∴正整数n的最小值为3；
故选：C．
【点睛】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
2．已知是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案：C
分析：因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．
【详解】解：，且是整数，
∴是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答
3．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．3B．5C．15D．45
答案：B
分析：由题意可知45n是一个完全平方数，从而可求得答案．
【详解】解：，
∵n是正整数，也是一个正整数，
∴n的最小值为5．
故选：B．
【点睛】此题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．
4．已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：A
分析：根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2．
【详解】∵是整数，且，
∴是完全平方数，
设（m是正整数），
则，
∵与同奇同偶，
∴，或，
∴，或，
∴，
∴n的最小正整数值是2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组．
5．若是整数，则a能取的最小整数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：A
分析：首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数．
【详解】解：成立，
，解得，
又是整数，
a能取的最小整数为0，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键．
6．当_________时，二次根式取最小值，其最小值为_________．
答案： 6 0
分析：根据被开方数为非负数可得．
【详解】∵当时，的最小值为0，
∴当，即时，二次根式取最小值，其最小值为0．
故答案为：6， 0．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的被开方数是非负数解题．
类型二 根据根式的非负性求字母
7．若|3﹣a|＋＝0，则a＋b的立方根是_____．
答案：
分析：先根据非负数的性质求出a、b，进而可得a+b的值，再根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：因为|3﹣a|＋＝0，
所以，
所以a=3，b=2，
所以a+b=5，
所以a＋b的立方根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质和立方根的定义，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握非负数的性质是解题关键．
8．若a，b为实数，且满足，则的值为________．
答案：
分析：由绝对值和算术平方根的非负性可求出a和b的值，再代入中求值即可．
【详解】∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．
9．若为实数，且满足，则的值是________．
答案：-1
分析：根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y，代入求值即可；
【详解】∵，
∴，
解得：，
∴；
故答案是-1．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解和代数式求值，准确利用绝对值和二次根式的非负性求解是解题的关键．
10．已知，则在______象限．
答案：二
分析：根据非负数的性质得到，的值，得到点的坐标，即可知道点所在的象限．
【详解】解：根据题意得，
，，
，，
，
点在第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查了非负数的性质，点的坐标，掌握两个非负数的和为，则这两个非负数分别等于是解题的关键．
11．若a、b、c是△ABC的三边长，且a、b、c满足等式+｜b-12｜+（c-13）2＝0．
（1）求出a、b、c的值．
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
答案：（1）；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析．
分析：（1）根据二次根式的非负性、绝对值的非负性、平方的非负性解题即可；
（2）由（1）中a、b、c的值，结合勾股定理逆定理解题．
【详解】解：（1）
；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查二次根式的非负性、绝对值的非负性、平方的非负性、勾股定理的逆定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12．已知a，b满足
（1）a=_______， b=______
（2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程
答案：（1）-4，；（2）
分析：（1）结合题意，根据二次根式和绝对值的性质，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，通过求解一元一次方程方程，即可完成求解．
【详解】（1）∵
∴
∴
∴
故答案为：-4，；
（2）根据（1）的结论，得：
∴
∴．
【点睛】本题考查了一元一次方程、二次根式、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值的性质，并通过求解一元一次方程，从而完成求解．
类型三 两根式中的式子互为相反数题型
13．若，则的取值范围是______．
答案：
分析：根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．
【详解】根据题意得，
解①得，；
解②得，；
∴
所以，的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
14．若，求的算术平方根________．
答案：6
分析：根据被开方数是非负数，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
【详解】解： ∵，
∴，即；
当时，，
＝（－6）2＝36．
所以的算术平方根为6．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式组是解题关键．
15．已知a，b都是实数，，则的值为___________．
答案：4
分析：直接利用二次根式有意义条件求出a，b的值代入求解即可．
【详解】解：由题意可得，
，，
解得，
∴ ，
∴ ，
故答案为4．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，正确得出a的值，再代入求出b的值是解题的关键．
16．已知，则的值为______．
答案：1
分析：由根式及分式的意义，可求得，进而可求得m的值，代入即可求得结果．
【详解】解：，
，
，
，
当时，，不符合题意，舍去，
，
，
．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了根式和分式的意义，解题的关键是能依据根式的意义列式求解，并注意要使分式有意义．
17．若y＝，则的平方根为 _____．
答案：
【详解】由二次根式有意义可得，代入得，再求出即可得出的平方根．
【解答】解：由二次根式有意义可得，，，
解得，
∴，
把代入得，，
所以的平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件及平方根，解题的关键是利用二次根式有意义求出x的值．
18．若＝b+6，则a﹣b的立方根是_____．
答案：
分析：由二次根式的性质，先求出a、b的值，然后求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴a﹣b的立方根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，以及立方根的定义，解题的关键是正确求出a、b的值，从而进行解题．
19．已知y=++2，那么xy=______．
答案：
分析：先根据二次根式的定义求出x的值，继而可得出y的值，再代入求解即可．
【详解】解：由题意得出：，
解得：，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义，比较基础，熟记定义内容即可．
类型四 有理数无理数综合求字母
20．阅读材料并解决下列问题：
已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值．
解：∵5﹣﹣a
即5﹣
∴2b﹣a＝5，﹣a＝
解得：a＝﹣
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝ ，b＝ ．
（2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根．
答案：（1）4，1；（2）±
分析：（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可．
（2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴b=1，a-b=3，
∴a=4；
（2），
∴，
∴，
解得：，
∴xy=21，
∴xy的平方根为±．
【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．
21．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题．
（1）已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值．
解：因为
所以
所以 解得
（2）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值．
答案：（1）；（2）－1或9
分析：（1）代入消元法求解方程组即可；
（2）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程组，然后解方程即可．
【详解】解：（1）
由②得，将代入①式得解得
∴
（2）∵，
∴，
所以，将代入得，解得
∴或，
所以或
【点睛】此题考查了二元一次方程组和平方根的求解，理解题意列出方程组是解题的关键．
22．先阅读下面材料，再解答问题：
材料：已知，是有理数，并且满足等式，求，的值．
解：∵
∴
∵，是有理数
∴解得
问题：（1）已知，是有理数，，则________，________．
（2）已知，是有理数，并且满足等式，求，的值．
答案：（1），；（2）
分析：（1）根据阅读材料中的方法确定出a与b的值即可；
（2）根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值．
【详解】（1），得到a=5，b=3；
故答案为：5；3
（2）∵
∴
∵，是有理数
∴
解得
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及实数的运算，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
23．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题．
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式求a、b的值．
解：因为． 即
所以， 解得：
（2）设x、y是有理数，并且满足求x+y的值．
答案：x+y=1或x+y=-9．
分析：利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程组，然后解方程组即可．
【详解】∵x2+y+2y=-4+17，
∴（x2+2y）+y=17-4，
∴x2+2y=17，y=-4，
解得x=5，y=-4或x=-5，y=-4，
∴x+y=1或x+y=-9．
【点睛】本题是阅读理解题，主要考查了实数的运算，其中关键是根据题意列出方程组．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．
24．先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题．
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式5-a=2b+-a，求a、b的值．
解：因为5-a=2b+． 即5-a=（2b-a）+．
所以2b-a=5，-a=． 解得：a=-，b=．
（2）设x、y是有理数，并且满足x2+y+2y=-4+17，求x+y的值．
答案：1或-9
【详解】根据规律：等式左右两边的有理数部分和二次根式分别相同，建立方程，然后解方程即可.
解：因为x2+y+2y=-4+17，
所以（x2+2y）+y=17-4，
所以x2+2y=17，y=-4，
解得x=5，y=-4或x=-5，y=-4．
所以x+y=1或x+y=-9．
25．先阅读（1）的解法，再解答第（2）题：
（1）已知a，b是有理数，并且满足等式2b＋a＝a＋5－2，求a，b的值；
解：∵2b＋a＝a＋5－2，∴2b－a＋a＝5－2，
即（2b－a）＋a＝5－2．
又∵a，b为有理数，∴2b－a也为有理数，
∴解得
（2）已知m，n是有理数，且m，n满足等式m＋2n＋（2－n）＝（＋6）＋15，求的立方根．
答案：1
分析：仿照题意进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵m，n是有理数，
∴、都是有理数，
∴是无理数，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解二元一次方程组，代数式求值，求一个数的算术平方根，正确理解题意得到关于m、n的二元一次方程组是解题的关键．