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人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题13实数、数轴、勾股定理结合(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题13实数、数轴、勾股定理结合(原卷版+解析)，共19页。
【例题讲解】
如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是_____．
解：∵Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，∴OB＝＝＝，
又∵BA＝BC，∴OC＝OB﹣BC＝﹣1＝OP，∵点D是OP的中点，
∴OD＝OP＝，即点D所表示的数为：，故答案为：．
【综合解答】
1．如图所示，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是( ).
A．B．C．D．
2．如图，已知，以点A为圆心，线段长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是_____．
4．正方形ABCD中，AB＝1，AB在数轴上，点A表示的数是﹣1，若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M表示的数是_____．
三、解答题
5．如图甲，这是由个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．
（1）当魔方体积时，求出这个魔方的棱长；
（2）①图甲中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分正方形的边长；
②把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数重合，求点在数轴上表示的数是多少．
6．学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数．
（1）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（开始滚动时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O′代表的实数就是 ，它是一个无理数．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，根据勾股定理可以求得AB＝ ．
（3）你能在6×5的网格图中（图3）（每个小正方形边长均为1），画出一条长为的格点线段吗？如果能，请在图中表示出来．
（4）请你在数轴上（图4）找到表示的点．
7．某课外学习小组在一次活动中．对如何画出在数轴上表示“的整数”一类实数点的方法进行如下探讨：
A同学说：按照下图可画出表示(第个数)(第个数)，（第个数），(第个数)的点；
B同学说：我找到了表示点的画法，如图2
C同学说：以上两位同学的方法都不能在数轴上画出，表示等无理数点来．我可以在同学的基础上完美地画出表示“的整数)”型实数的点
问题
按同学的画法，第个数应是 ．第个数是 ．
请你在图2上补画出表示的点；
C同学说的更完美的方法你能画出吗?若能使用直尺和圆规在同一数轴上画出表示：的点来表达其画法，若不能请说明理由，
8．如图是网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，利用这个网格作出面积为5个平方单位的正方形，然后在数轴上准确表示实数和．
9．作图：在数轴上作出表示﹣、3﹣的点（保留作图痕迹，不写作法）．
10．我们在学习“实数”时，画了这样一个图，以数轴上的单位长为1的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，请根据图形回答下列问题：
（1）线段OA的长度是___________
（2）这种研究和解决问题的方式，体现了的数学思想方法（ ）．
A．数形结合B．归纳C．换元D．消元
（3）计算：﹣．
11．甲同学用如图方法作出C点，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．
（1）请求出甲同学所做的点C表示的数；
（2）仿照小明同学的做法，请你在如下所给数轴上描出表示－的点D．
12．利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足，使其中a，b都为正整数.你取的正整数a=____，b=________；
第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，，则斜边OF的长即为.
请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：_______________________________________________________________.
13．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形进行拼接，可得到一个的大正方形．若将得到的直角三角形按如图2所示放置在数轴上，使直角顶点A与数轴上的原点重合，
（1）图1中大正方形的边长为_______．
（2）如图2，若将直角三角形绕顶点C按顺时针方向翻转，使顶点B落在数轴上，称为第1次翻转，将翻转所得到的的图形再绕顶点B按顺时针方向翻转，使顶点A落在数轴上，称为第2次翻转…．以此类推．
①第1次翻转后得到的三角形顶点B在数轴上对应的数是_______．
②第2010次翻转后得到的三角形顶点C在数轴上对应的数是____________．
专题13 实数、数轴、勾股定理结合
【例题讲解】
如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是_____．
解：∵Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，∴OB＝＝＝，
又∵BA＝BC，∴OC＝OB﹣BC＝﹣1＝OP，∵点D是OP的中点，
∴OD＝OP＝，即点D所表示的数为：，故答案为：．
【综合解答】
1．如图所示，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是( ).
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定a的值．
【详解】
解：∵，
∴，
故选：．
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长．
2．如图，已知，以点A为圆心，线段长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
【详解】
解：∵点A，B的坐标分别为（-1，0），（0，2），
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==，
∴AC=AB=，
∴OC=AC-AO=-1，
∴点C的坐标为（-1，0），
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，实数与数轴，解此题的关键是求出OC的长．
4．正方形ABCD中，AB＝1，AB在数轴上，点A表示的数是﹣1，若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M表示的数是_____．
答案：﹣1
【解析】
分析：
根据正方形性质求出∠ABC＝90，AB＝BC＝1，根据勾股定理求出AC，根据图形即可求出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，
在△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝，
即AM＝AC＝，
∴点M所表示的数是AM﹣AB＝﹣1，
当正方形是四边形AB′C′D时，同样求出点M所表示的数是AM﹣AB＝﹣1，
在数轴的下方时，结果也是﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了实数在数轴上的表示，勾股定理等知识点，题目有一定的代表性，是一道比较好的题目．
三、解答题
5．如图甲，这是由个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．
（1）当魔方体积时，求出这个魔方的棱长；
（2）①图甲中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分正方形的边长；
②把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数重合，求点在数轴上表示的数是多少．
答案：（1）魔方的棱长为4cm；（2）①阴影部分正方形ABCD的边长为；②
【解析】
分析：
（1）由魔方体积V＝64cm3，开立方可求出魔方的棱长；
（2）①求出每个小立方体的棱长，再根据勾股定理可求出答案；②求出点D所表示数的绝对值，再得出点D所表示的数．
【详解】
解：（1）当魔方体积V＝64cm3时，
（1）∵43＝64，
∴，
所以这个魔方的棱长为4cm；
（2）①因为魔方的棱长为4cm；
所以每个小立方体的棱长为4÷2＝2（cm），
所以阴影部分正方形ABCD的边长为（cm），
S正方形ABCD＝＝8（cm2），
答：阴影部分正方形ABCD的边长为；
②点D到原点的距离为：，
又因为点D在原点的左侧，
所以点D所表示的数为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查认识立方体，利用数轴表示数，立方根，掌握立方根的意义以及数轴表示的方法是解决问题的关键．
6．学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数．
（1）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（开始滚动时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O′代表的实数就是 ，它是一个无理数．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，根据勾股定理可以求得AB＝ ．
（3）你能在6×5的网格图中（图3）（每个小正方形边长均为1），画出一条长为的格点线段吗？如果能，请在图中表示出来．
（4）请你在数轴上（图4）找到表示的点．
答案：（1）π；（2）；（3）见详解；（4）见详解．
【解析】
分析：
（1）由OO′的长度就等于圆的周长，即可得到数轴上点O’代表的实数就是无理数π；
（2）直接运用勾股定理求出AB即可；
（3）根据，结合勾股定理解决问题即可．
（4）在数轴上做一个两直角边分别为2，1的直角三角形；以原点为圆心，所画直角边的斜边为半径画弧，交数轴的正半轴于一点A，这点就是所求的表示的点．
【详解】
解：（1）OO’＝π•1＝π，
故答案为：π；
（2）∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝，
故答案为：；
（3）如图，线段AB就是长为的线段；
（4）如图，点A即为所求．
【点睛】
本题考查的知识点是实数与数轴，关键运用勾股定理求出所表示的无理数，无理数也可以在数轴上表示出来，一般应把它整理为直角边长为有理数的斜边的长．
7．某课外学习小组在一次活动中．对如何画出在数轴上表示“的整数”一类实数点的方法进行如下探讨：
A同学说：按照下图可画出表示(第个数)(第个数)，（第个数），(第个数)的点；
B同学说：我找到了表示点的画法，如图2
C同学说：以上两位同学的方法都不能在数轴上画出，表示等无理数点来．我可以在同学的基础上完美地画出表示“的整数)”型实数的点
问题
按同学的画法，第个数应是 ．第个数是 ．
请你在图2上补画出表示的点；
C同学说的更完美的方法你能画出吗?若能使用直尺和圆规在同一数轴上画出表示：的点来表达其画法，若不能请说明理由，
答案：（1）；；（2）见解析；（3）见解析；
【解析】
分析：
（1）由题意可得，第4个数是以4，1为直角边构成的直角三角形斜边长，根据勾股定理即可求解；第个数是以，1为直角边构成的直角三角形斜边长，勾股定理求解即可；
（2）在-2处，作垂直于x轴且长度为2的线段，再画弧即可，同理可求得；
（3）按照（1）中的方法，做出的点，过该点作垂直于x轴且长度为1的线段，然后画弧与x轴正半轴交点即表示，同理可求．
【详解】
解：（1）由题意可得，第4个数是以4，1为直角边构成的直角三角形斜边长，
由勾股定理得，斜边长为，即第四个数应是，
第个数是以，1为直角边构成的直角三角形斜边长，
由勾股定理得，斜边长为，第个数是，
故答案为；
（2）∵
∴为以2，2为直角边构成的直角三角形斜边长
同理可得：为以3，2为直角边构成的直角三角形的斜边边长，
为以4，2为直角边构成的直角三角形的斜边边长，
为以，2为直角边构成的直角三角形的斜边边长，
分别在-2、-3，-4，处，作垂直于x轴且长度为2的线段，原点为圆心，以对应的斜边长为半径，画弧，与负半轴的交点即表示，如下图：
（3）按照（1）中的方法做出表示的点，过该点作垂直于x轴且长度为1的线段，
以为直角边作直角三角形，此时斜边长为，以原点为圆心，以长画弧，与x轴正半轴交点即表示，
同理以过的点作垂直于x轴且长度为1的线段，
以为直角边作直角三角形，此时斜边长为，以原点为圆心，以长画弧，与x轴正半轴交点即表示，如下图：
【点睛】
此题考查了勾股定理在数轴上的应用，理解题意找到无理数的平方对应的整数平方和，构造直角三角形是解题的关键．
8．如图是网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，利用这个网格作出面积为5个平方单位的正方形，然后在数轴上准确表示实数和．
答案：见解析
【解析】
分析：
根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，再根据实数和在数轴上的位置即可画出图形．
【详解】
解：如图所示：
【点睛】
本题考查了三角形的面积，实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
9．作图：在数轴上作出表示﹣、3﹣的点（保留作图痕迹，不写作法）．
答案：见解析
【解析】
分析：
因为10＝9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．再以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点即可；
首先在数轴上利用勾股定理作出一条线段等于OB＝，再以O为圆心，BC的长为半径画弧交数轴于E即可，则点E为所求的点．
【详解】
解：因为10＝9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．再以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点，这点表示的数即为；
作出一条线段等于OB＝，再以O为圆心，BC的长为半径画弧交数轴于E即可，则点E为所求的点．
【点睛】
本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理．
10．我们在学习“实数”时，画了这样一个图，以数轴上的单位长为1的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，请根据图形回答下列问题：
（1）线段OA的长度是___________
（2）这种研究和解决问题的方式，体现了的数学思想方法（ ）．
A．数形结合B．归纳C．换元D．消元
（3）计算：﹣．
答案：（1）；（2）A；（3）
【解析】
分析：
（1）利用勾股定理求出OB，结合题意即可求出OA；
（2）根据常用的数学思想和题意即可得出结论；
（3）根据算术平方根的定义、绝对值的性质和立方根的定义计算即可．
【详解】
解：（1）∵正方形的边长为1
∴OB=
∵以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，
∴OA=OB=
故答案为：；
（2）利用勾股定理求出实数在数轴上的位置，
故体现了的数学思想方法为：数形结合
故选A．
（3）﹣
=4－
=
=
【点睛】
此题考查的是利用数轴表示实数、勾股定理和实数的混合运算，掌握勾股定理、数形结合思想、算术平方根的定义、绝对值的性质和立方根的定义是解决此题的关键．
11．甲同学用如图方法作出C点，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．
（1）请求出甲同学所做的点C表示的数；
（2）仿照小明同学的做法，请你在如下所给数轴上描出表示－的点D．
答案：（1）；（2）见解析
【解析】
分析：
（1）依据勾股定理求得OB的长，从而得到OC的长，故此可得点C表示的数；
（2）由17=16+1，依据勾股定理即可作出表示的点D.
【详解】
（1）解：由勾股定理得：
∴
∴点C表示的数是
（2）
【点睛】
本题为考查勾股定理、实数与数轴的综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理是解题关键.
12．利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足，使其中a，b都为正整数.你取的正整数a=____，b=________；
第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，，则斜边OF的长即为.
请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：_______________________________________________________________.
答案：第一步：4，2；第二步：画图见解析；第三步：以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为点M，画图见解析.
【解析】
【详解】
解：第一步： ,
∴a=4,b=2；
第二步，画图如下：
第三步，作图如上，以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为点M．
13．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形进行拼接，可得到一个的大正方形．若将得到的直角三角形按如图2所示放置在数轴上，使直角顶点A与数轴上的原点重合，
（1）图1中大正方形的边长为_______．
（2）如图2，若将直角三角形绕顶点C按顺时针方向翻转，使顶点B落在数轴上，称为第1次翻转，将翻转所得到的的图形再绕顶点B按顺时针方向翻转，使顶点A落在数轴上，称为第2次翻转…．以此类推．
①第1次翻转后得到的三角形顶点B在数轴上对应的数是_______．
②第2010次翻转后得到的三角形顶点C在数轴上对应的数是____________．
答案：（1）（2）①②
【解析】
分析：
（1）根据勾股定理求出的长即为大正方形的边长；
（2）①根据旋转以后点B的位置可判断B代表的数即为的长度，据此计算即可；
②根据翻转规律可知每翻转三次为一个循环，每个循环点C代表的数都增加个单位，据此解答即可．
【详解】
解：（1）∵小正方形的边长为1，即,
∴,
则大正方形的边长为；
（2）①∵直角顶点A与数轴上的原点重合，,
∴点A表示的数为0，点C表示的数为1，
第一次翻转以后点B表示的数为的长度，
即为，
故答案为：；
②根据图形翻转规律，每翻转三次为一个循环，
每一个循环，点C代表的数增加个单位，
个循环，
∵点C的初始位置为1，
∴经过2010次翻转后点C代表的数为：，
即，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、实数与数轴、以及结合数轴的规律探索问题，结合图形找出翻转的规律是解题的关键．
【例题讲解】
如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是_____．
解：∵Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，∴OB＝＝＝，
又∵BA＝BC，∴OC＝OB﹣BC＝﹣1＝OP，∵点D是OP的中点，
∴OD＝OP＝，即点D所表示的数为：，故答案为：．
【综合解答】
1．如图所示，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是( ).
A．B．C．D．
2．如图，已知，以点A为圆心，线段长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是_____．
4．正方形ABCD中，AB＝1，AB在数轴上，点A表示的数是﹣1，若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M表示的数是_____．
三、解答题
5．如图甲，这是由个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．
（1）当魔方体积时，求出这个魔方的棱长；
（2）①图甲中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分正方形的边长；
②把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数重合，求点在数轴上表示的数是多少．
6．学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数．
（1）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（开始滚动时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O′代表的实数就是 ，它是一个无理数．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，根据勾股定理可以求得AB＝ ．
（3）你能在6×5的网格图中（图3）（每个小正方形边长均为1），画出一条长为的格点线段吗？如果能，请在图中表示出来．
（4）请你在数轴上（图4）找到表示的点．
7．某课外学习小组在一次活动中．对如何画出在数轴上表示“的整数”一类实数点的方法进行如下探讨：
A同学说：按照下图可画出表示(第个数)(第个数)，（第个数），(第个数)的点；
B同学说：我找到了表示点的画法，如图2
C同学说：以上两位同学的方法都不能在数轴上画出，表示等无理数点来．我可以在同学的基础上完美地画出表示“的整数)”型实数的点
问题
按同学的画法，第个数应是 ．第个数是 ．
请你在图2上补画出表示的点；
C同学说的更完美的方法你能画出吗?若能使用直尺和圆规在同一数轴上画出表示：的点来表达其画法，若不能请说明理由，
8．如图是网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，利用这个网格作出面积为5个平方单位的正方形，然后在数轴上准确表示实数和．
9．作图：在数轴上作出表示﹣、3﹣的点（保留作图痕迹，不写作法）．
10．我们在学习“实数”时，画了这样一个图，以数轴上的单位长为1的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，请根据图形回答下列问题：
（1）线段OA的长度是___________
（2）这种研究和解决问题的方式，体现了的数学思想方法（ ）．
A．数形结合B．归纳C．换元D．消元
（3）计算：﹣．
11．甲同学用如图方法作出C点，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．
（1）请求出甲同学所做的点C表示的数；
（2）仿照小明同学的做法，请你在如下所给数轴上描出表示－的点D．
12．利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足，使其中a，b都为正整数.你取的正整数a=____，b=________；
第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，，则斜边OF的长即为.
请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：_______________________________________________________________.
13．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形进行拼接，可得到一个的大正方形．若将得到的直角三角形按如图2所示放置在数轴上，使直角顶点A与数轴上的原点重合，
（1）图1中大正方形的边长为_______．
（2）如图2，若将直角三角形绕顶点C按顺时针方向翻转，使顶点B落在数轴上，称为第1次翻转，将翻转所得到的的图形再绕顶点B按顺时针方向翻转，使顶点A落在数轴上，称为第2次翻转…．以此类推．
①第1次翻转后得到的三角形顶点B在数轴上对应的数是_______．
②第2010次翻转后得到的三角形顶点C在数轴上对应的数是____________．
专题13 实数、数轴、勾股定理结合
【例题讲解】
如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是_____．
解：∵Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，∴OB＝＝＝，
又∵BA＝BC，∴OC＝OB﹣BC＝﹣1＝OP，∵点D是OP的中点，
∴OD＝OP＝，即点D所表示的数为：，故答案为：．
【综合解答】
1．如图所示，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是( ).
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定a的值．
【详解】
解：∵，
∴，
故选：．
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长．
2．如图，已知，以点A为圆心，线段长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
【详解】
解：∵点A，B的坐标分别为（-1，0），（0，2），
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==，
∴AC=AB=，
∴OC=AC-AO=-1，
∴点C的坐标为（-1，0），
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，实数与数轴，解此题的关键是求出OC的长．
4．正方形ABCD中，AB＝1，AB在数轴上，点A表示的数是﹣1，若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M表示的数是_____．
答案：﹣1
【解析】
分析：
根据正方形性质求出∠ABC＝90，AB＝BC＝1，根据勾股定理求出AC，根据图形即可求出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，
在△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝，
即AM＝AC＝，
∴点M所表示的数是AM﹣AB＝﹣1，
当正方形是四边形AB′C′D时，同样求出点M所表示的数是AM﹣AB＝﹣1，
在数轴的下方时，结果也是﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了实数在数轴上的表示，勾股定理等知识点，题目有一定的代表性，是一道比较好的题目．
三、解答题
5．如图甲，这是由个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．
（1）当魔方体积时，求出这个魔方的棱长；
（2）①图甲中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分正方形的边长；
②把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数重合，求点在数轴上表示的数是多少．
答案：（1）魔方的棱长为4cm；（2）①阴影部分正方形ABCD的边长为；②
【解析】
分析：
（1）由魔方体积V＝64cm3，开立方可求出魔方的棱长；
（2）①求出每个小立方体的棱长，再根据勾股定理可求出答案；②求出点D所表示数的绝对值，再得出点D所表示的数．
【详解】
解：（1）当魔方体积V＝64cm3时，
（1）∵43＝64，
∴，
所以这个魔方的棱长为4cm；
（2）①因为魔方的棱长为4cm；
所以每个小立方体的棱长为4÷2＝2（cm），
所以阴影部分正方形ABCD的边长为（cm），
S正方形ABCD＝＝8（cm2），
答：阴影部分正方形ABCD的边长为；
②点D到原点的距离为：，
又因为点D在原点的左侧，
所以点D所表示的数为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查认识立方体，利用数轴表示数，立方根，掌握立方根的意义以及数轴表示的方法是解决问题的关键．
6．学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数．
（1）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（开始滚动时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O′代表的实数就是 ，它是一个无理数．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，根据勾股定理可以求得AB＝ ．
（3）你能在6×5的网格图中（图3）（每个小正方形边长均为1），画出一条长为的格点线段吗？如果能，请在图中表示出来．
（4）请你在数轴上（图4）找到表示的点．
答案：（1）π；（2）；（3）见详解；（4）见详解．
【解析】
分析：
（1）由OO′的长度就等于圆的周长，即可得到数轴上点O’代表的实数就是无理数π；
（2）直接运用勾股定理求出AB即可；
（3）根据，结合勾股定理解决问题即可．
（4）在数轴上做一个两直角边分别为2，1的直角三角形；以原点为圆心，所画直角边的斜边为半径画弧，交数轴的正半轴于一点A，这点就是所求的表示的点．
【详解】
解：（1）OO’＝π•1＝π，
故答案为：π；
（2）∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝，
故答案为：；
（3）如图，线段AB就是长为的线段；
（4）如图，点A即为所求．
【点睛】
本题考查的知识点是实数与数轴，关键运用勾股定理求出所表示的无理数，无理数也可以在数轴上表示出来，一般应把它整理为直角边长为有理数的斜边的长．
7．某课外学习小组在一次活动中．对如何画出在数轴上表示“的整数”一类实数点的方法进行如下探讨：
A同学说：按照下图可画出表示(第个数)(第个数)，（第个数），(第个数)的点；
B同学说：我找到了表示点的画法，如图2
C同学说：以上两位同学的方法都不能在数轴上画出，表示等无理数点来．我可以在同学的基础上完美地画出表示“的整数)”型实数的点
问题
按同学的画法，第个数应是 ．第个数是 ．
请你在图2上补画出表示的点；
C同学说的更完美的方法你能画出吗?若能使用直尺和圆规在同一数轴上画出表示：的点来表达其画法，若不能请说明理由，
答案：（1）；；（2）见解析；（3）见解析；
【解析】
分析：
（1）由题意可得，第4个数是以4，1为直角边构成的直角三角形斜边长，根据勾股定理即可求解；第个数是以，1为直角边构成的直角三角形斜边长，勾股定理求解即可；
（2）在-2处，作垂直于x轴且长度为2的线段，再画弧即可，同理可求得；
（3）按照（1）中的方法，做出的点，过该点作垂直于x轴且长度为1的线段，然后画弧与x轴正半轴交点即表示，同理可求．
【详解】
解：（1）由题意可得，第4个数是以4，1为直角边构成的直角三角形斜边长，
由勾股定理得，斜边长为，即第四个数应是，
第个数是以，1为直角边构成的直角三角形斜边长，
由勾股定理得，斜边长为，第个数是，
故答案为；
（2）∵
∴为以2，2为直角边构成的直角三角形斜边长
同理可得：为以3，2为直角边构成的直角三角形的斜边边长，
为以4，2为直角边构成的直角三角形的斜边边长，
为以，2为直角边构成的直角三角形的斜边边长，
分别在-2、-3，-4，处，作垂直于x轴且长度为2的线段，原点为圆心，以对应的斜边长为半径，画弧，与负半轴的交点即表示，如下图：
（3）按照（1）中的方法做出表示的点，过该点作垂直于x轴且长度为1的线段，
以为直角边作直角三角形，此时斜边长为，以原点为圆心，以长画弧，与x轴正半轴交点即表示，
同理以过的点作垂直于x轴且长度为1的线段，
以为直角边作直角三角形，此时斜边长为，以原点为圆心，以长画弧，与x轴正半轴交点即表示，如下图：
【点睛】
此题考查了勾股定理在数轴上的应用，理解题意找到无理数的平方对应的整数平方和，构造直角三角形是解题的关键．
8．如图是网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，利用这个网格作出面积为5个平方单位的正方形，然后在数轴上准确表示实数和．
答案：见解析
【解析】
分析：
根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，再根据实数和在数轴上的位置即可画出图形．
【详解】
解：如图所示：
【点睛】
本题考查了三角形的面积，实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
9．作图：在数轴上作出表示﹣、3﹣的点（保留作图痕迹，不写作法）．
答案：见解析
【解析】
分析：
因为10＝9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．再以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点即可；
首先在数轴上利用勾股定理作出一条线段等于OB＝，再以O为圆心，BC的长为半径画弧交数轴于E即可，则点E为所求的点．
【详解】
解：因为10＝9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．再以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点，这点表示的数即为；
作出一条线段等于OB＝，再以O为圆心，BC的长为半径画弧交数轴于E即可，则点E为所求的点．
【点睛】
本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理．
10．我们在学习“实数”时，画了这样一个图，以数轴上的单位长为1的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，请根据图形回答下列问题：
（1）线段OA的长度是___________
（2）这种研究和解决问题的方式，体现了的数学思想方法（ ）．
A．数形结合B．归纳C．换元D．消元
（3）计算：﹣．
答案：（1）；（2）A；（3）
【解析】
分析：
（1）利用勾股定理求出OB，结合题意即可求出OA；
（2）根据常用的数学思想和题意即可得出结论；
（3）根据算术平方根的定义、绝对值的性质和立方根的定义计算即可．
【详解】
解：（1）∵正方形的边长为1
∴OB=
∵以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，
∴OA=OB=
故答案为：；
（2）利用勾股定理求出实数在数轴上的位置，
故体现了的数学思想方法为：数形结合
故选A．
（3）﹣
=4－
=
=
【点睛】
此题考查的是利用数轴表示实数、勾股定理和实数的混合运算，掌握勾股定理、数形结合思想、算术平方根的定义、绝对值的性质和立方根的定义是解决此题的关键．
11．甲同学用如图方法作出C点，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．
（1）请求出甲同学所做的点C表示的数；
（2）仿照小明同学的做法，请你在如下所给数轴上描出表示－的点D．
答案：（1）；（2）见解析
【解析】
分析：
（1）依据勾股定理求得OB的长，从而得到OC的长，故此可得点C表示的数；
（2）由17=16+1，依据勾股定理即可作出表示的点D.
【详解】
（1）解：由勾股定理得：
∴
∴点C表示的数是
（2）
【点睛】
本题为考查勾股定理、实数与数轴的综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理是解题关键.
12．利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足，使其中a，b都为正整数.你取的正整数a=____，b=________；
第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，，则斜边OF的长即为.
请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：_______________________________________________________________.
答案：第一步：4，2；第二步：画图见解析；第三步：以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为点M，画图见解析.
【解析】
【详解】
解：第一步： ,
∴a=4,b=2；
第二步，画图如下：
第三步，作图如上，以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为点M．
13．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形进行拼接，可得到一个的大正方形．若将得到的直角三角形按如图2所示放置在数轴上，使直角顶点A与数轴上的原点重合，
（1）图1中大正方形的边长为_______．
（2）如图2，若将直角三角形绕顶点C按顺时针方向翻转，使顶点B落在数轴上，称为第1次翻转，将翻转所得到的的图形再绕顶点B按顺时针方向翻转，使顶点A落在数轴上，称为第2次翻转…．以此类推．
①第1次翻转后得到的三角形顶点B在数轴上对应的数是_______．
②第2010次翻转后得到的三角形顶点C在数轴上对应的数是____________．
答案：（1）（2）①②
【解析】
分析：
（1）根据勾股定理求出的长即为大正方形的边长；
（2）①根据旋转以后点B的位置可判断B代表的数即为的长度，据此计算即可；
②根据翻转规律可知每翻转三次为一个循环，每个循环点C代表的数都增加个单位，据此解答即可．
【详解】
解：（1）∵小正方形的边长为1，即,
∴,
则大正方形的边长为；
（2）①∵直角顶点A与数轴上的原点重合，,
∴点A表示的数为0，点C表示的数为1，
第一次翻转以后点B表示的数为的长度，
即为，
故答案为：；
②根据图形翻转规律，每翻转三次为一个循环，
每一个循环，点C代表的数增加个单位，
个循环，
∵点C的初始位置为1，
∴经过2010次翻转后点C代表的数为：，
即，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、实数与数轴、以及结合数轴的规律探索问题，结合图形找出翻转的规律是解题的关键．
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