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人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题14已知两点坐标求两点距离(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题14已知两点坐标求两点距离(原卷版+解析)，共32页。
【例题讲解】阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝
根据上面材料完成下列各题：
(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 ．
(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
(1)解：点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是：
故答案为：
(2)解： 点B在坐标轴上，设或
当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，
或
或
当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，
或 解得：
或
(3)解：点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，
整理得：
解得：
【综合解答】
1．在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；
(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
2．阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝
根据上面材料完成下列各题：
(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 ．
(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
3．（一）问题提出
（1）平面直角坐标系中，如果 A、B是x轴上的点，他们对应的横坐标分别是xA，xB，C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么 A、B两点间的距离，C、D两点间的距离分别是多少？
（2）平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离是多少？
（3）已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|
（二）问题探究
（1）求平面直角坐标系中x轴上的两点E(5，0)、F(-2，0)之间的距离，可以借助绝对值表示|EF|=|5-（-2）|=7，对于y轴上两点，M(0，-3)、N(0，5)之间的距离|MN|=|3-5|=2．
结论：在平面直角坐标系中，如果A、B是x轴上两点，它们对应的横坐标分别是xA，xB，则A、B两点间的距离|AB|＝ ；C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么C、D两点间的距离|CD|＝ ：
（2）如图1：平面直角坐标系中任意一点B(3，4)，过B向x轴上作垂线，垂足为M，由勾股定理得|OB|＝ ；结论：平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离|OP|＝ ；
（3）如图2，要求AB或DE的长度，可以转化为求RtABC或RtDEF的斜边长．例如：从坐标系中发现：D(-7，5)，E(4，-3)，所|以|DF|=|5-（-3）|=8，|EF|=|4-（-7）|=11，所以由勾股定理得：|DE|=．在图2中请用上面的方法求线段AB的长：AB＝ ；在图3中：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用x1，x2，y1，y2表示：|P1C|＝ ，|P2C|＝ ，|P1P2|＝ ．
（三）拓展应用
试用以上所得结论解决如下问题：已知A(0，1)，B(4，3)．
（1）直线AB与x轴交于点D，求线段BD的长．
（2）C为坐标轴上的点，且使得三角形ABC是以AB为底边的等腰三角形，则C点的坐标为 （不必写解答过程，直接写出即可）．
4．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．
（1）已知，，试求A、B两点间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由．
（3）已知，在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由．
5．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求方程|x﹣1|＝5的解
（1）探究|x﹣1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点A′与O的距离为|x﹣1|，可记为：A′O＝|x﹣1|．
将线段A′O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|．
因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．
（2）求方程|x﹣1|＝5的解
因为数轴上 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为 ．
探究二：探究的几何意义
（1）探究的几何意义
如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（x，0），Q点坐标（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y，
在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则 MO＝＝＝
因此的几何意义可以理解为点M（x，y）与原点O（0，0）之间的距离MO．
（2）探究的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（二） （1）可知，A′O＝，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5）．
因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．
（3）探究的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程．
（4）的几何意义可以理解为： ．
拓展应用：
（5）的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离与点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和．
（6）的最小值为 ．（直接写出结果）
6．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A(1，3)，B(﹣3，﹣5)，试求A，B两点间的距离；
（2）已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为(2，﹣1)，试求点N的坐标；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D(0，6)，E(﹣3，2)，F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
7．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标是，，则，两点之间的距离可以用公式．计算，阅读以上内容并解答下列问题：
（1）已知点，，则，两点之间的距离为__________；
（2）若点，，，判断的形状，并说明理由．
8．在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点，它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这两点所成线段的长为|a﹣c|；同样的，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两点所成线段的长为|b﹣d|．
如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别是（a，b）和（c，d），分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q＝|a﹣c|，PQ＝|b﹣d|，利用勾股定理可得，线段P1P2的长为．
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A（7，﹣2），B（7，7），则线段AB的长为_____．
（2）在平面直角坐标系中，已知M（﹣4，3），N（8，﹣2），则线段MN的长为______．
（3）若点C在y轴上，点D的坐标是（﹣3，1），且CD=5，则点C的坐标是______．
（4）如图2，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的动点，且A、B、C三点不在同一直线上，求△ABC周长的最小值．
9．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找或的长度，显然是转化为求或的斜边长．
下面：以求为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：，．所以，，所以由勾股定理可得：．
下面请你参与：
（1）在图①中：________，________，________．
（2）在图②中：设，，试用，，，表示________，________，________．
（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：，，为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．请求出点的坐标．
10．先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点P1（，），P2（，），其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．
（l）已知点A（7，3），B（2，），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为，试求A，B两点间的距离；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值．
11．热爱学习的小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点它们的坐标分别为(a，0)和(c，0)．则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为(0，b)和(0，d)，则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别为(a，b)和(c，d)，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q=|a﹣c|，P2Q=|b﹣d|，利用勾股定理可得：线段P1P2的长为．
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A(3，1)，B(6，5)，则线段AB的长为_________________；
（2）若点C在y轴上，点D的坐标是(﹣3，0)，且CD=6，则点C的坐标是_________________；
（3）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求△ABC周长的最小值．
12．阅读理解：
在平面直角坐标系中，任意两点，之间的位置关系有以下三种情形；
①如果轴，则，
②如果轴，则，
③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式
小试牛刀：
（1）若点坐标为，点坐标为则 ；
（2）若点坐标为，点坐标为则 ；
（3）若点坐标为，点坐标为则 ；
学以致用：
若点坐标为，点坐标为，点是轴上的动点，当取得最小值时点的坐标为 并求出最小值=
13．数形结合是一种重要的数学思想，我们不但可以用数来解决图形问题，同样也可以用借助图形来解决数量问题，往往能出奇制胜，数轴和勾股定理是数形结合的典范.数轴上的两点A和B所表示的数分别是和，则A，B两点之间的距离；坐标平面内两点，，它们之间的距离.如点，，则.表示点与点之间的距离，表示点与点和的距离之和.
（1）已知点，，________；
（2）表示点和点之间的距离；
（3）请借助图形，求的最小值.
专题14 已知两点坐标求两点距离
【例题讲解】阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝
根据上面材料完成下列各题：
(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 ．
(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
(1)解：点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是：
故答案为：
(2)解： 点B在坐标轴上，设或
当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，
或
或
当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，
或 解得：
或
(3)解：点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，
整理得：
解得：
【综合解答】
1．在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；
(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
答案：(1)
(2)① 5；
②
(3)<
(4)
【解析】
分析：
（1）利用构图法求出的面积，即可求解；
（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；
（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；
（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解．
(1)
解：的面积为；
故答案为：
(2)
解：① ；
故答案为：5；
②线段的长可表示为；
故答案为：
(3)
解：如图，
根据题意得：，，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：<
(4)
解：解：如图，，，，
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题，
3．（一）问题提出
（1）平面直角坐标系中，如果 A、B是x轴上的点，他们对应的横坐标分别是xA，xB，C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么 A、B两点间的距离，C、D两点间的距离分别是多少？
（2）平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离是多少？
（3）已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|
（二）问题探究
（1）求平面直角坐标系中x轴上的两点E(5，0)、F(-2，0)之间的距离，可以借助绝对值表示|EF|=|5-（-2）|=7，对于y轴上两点，M(0，-3)、N(0，5)之间的距离|MN|=|3-5|=2．
结论：在平面直角坐标系中，如果A、B是x轴上两点，它们对应的横坐标分别是xA，xB，则A、B两点间的距离|AB|＝ ；C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么C、D两点间的距离|CD|＝ ：
（2）如图1：平面直角坐标系中任意一点B(3，4)，过B向x轴上作垂线，垂足为M，由勾股定理得|OB|＝ ；结论：平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离|OP|＝ ；
（3）如图2，要求AB或DE的长度，可以转化为求RtABC或RtDEF的斜边长．例如：从坐标系中发现：D(-7，5)，E(4，-3)，所|以|DF|=|5-（-3）|=8，|EF|=|4-（-7）|=11，所以由勾股定理得：|DE|=．在图2中请用上面的方法求线段AB的长：AB＝ ；在图3中：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用x1，x2，y1，y2表示：|P1C|＝ ，|P2C|＝ ，|P1P2|＝ ．
（三）拓展应用
试用以上所得结论解决如下问题：已知A(0，1)，B(4，3)．
（1）直线AB与x轴交于点D，求线段BD的长．
（2）C为坐标轴上的点，且使得三角形ABC是以AB为底边的等腰三角形，则C点的坐标为 （不必写解答过程，直接写出即可）．
答案：（二）问题探究：（1）|xA-xB|，|yC-yD|；（2）5，；（3）5，y1-y2，x1-x2，；（三）拓展应用：（1）BD；（2）（3，0）或（0，6）
【解析】
分析：
（二）问题探究：（1）根据两点间距离的定义，利用两点的坐标差的绝对值表示即可；
（2）构造直角三角形利用勾股定理即可解决问题；
（3）构造直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；
（三）拓展应用：（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式，求得点D坐标，利用（3）中结论即可解决问题；
（2）作线段AB的垂直平分线交x轴于C，交y轴于C′．△ABC，△ABC′是等腰三角形，列方程求解即可；
【详解】
解：（二）问题探究：
（1）|AB|=|xA-xB|，|CD|=|yC-yD|，
故答案为：|xA-xB|，|yC-yD|；
（2）平面直角坐标系中任意一点B（3，4），过B向x轴上作垂线，垂足为M，|OM|=3，|BM|=4，由勾股定理得|OB|==5：
结论：平面直角坐标系中任意一点P（x，y）到原点的距离|OP|=，
故答案为：5，；
（3）∵A（4，5），B（1，1），
∴BC=3，AC=4，
∴AB==5．
在图3中：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示：|P1C|=y1-y2，|P2C|=x1-x2，|P1P2|=，
故答案为：5，y1-y2，x1-x2，；
（三）拓展应用：
（1）如图4中，
设直线AB的解析式为，
把B（4，3）代入得：，
解得：k=，
∴直线AB的解析式为，
令y=0，则x=-2，
∴D（-2，0），
∵B（4，3），
∴BD=；
（2）作线段AB的垂直平分线交x轴于C，交y轴于C′，△ABC，△ABC′是等腰三角形．
设C（m，0），C′（0，n），
由题意有：AC=BC，AC′=BC′，
则，，
解得：m=3，n=6，
∴C（3，0），C′（0，6）；
故答案为：（3，0）或（0，6）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求直线的解析式、两点间距离公式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题型．
4．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．
（1）已知，，试求A、B两点间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由．
（3）已知，在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由．
答案：（1）10；（2）△ABC是直角三角形；（3）点P的坐标为（，0）或（-，0）或（4，0）或（，0）．
【解析】
分析：
（1）利用公式代入计算即可；
（2）利用公式求出AB、AC、BC的长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况利用勾股定理解答．
【详解】
解：（1）A、B两点间的距离为；
（2）∵，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵，
∴，
当OA=OP=时，∴P（，0）或（-，0）；
当AO=AP时，OP=4，∴P（4，0）；
当PA=PO时，过点A作AD⊥x轴于D，
设PA=PO=x，则PD=2-x，
∵，
∴，
解得，
∴P（，0）．
综上，点P的坐标为（，0）或（-，0）或（4，0）或（，0）．
【点睛】
此题考查直角坐标系中两点之间的距离公式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解题的关系是正确掌握各部分知识并熟练应用，解题中注意分类思想的应用．
5．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求方程|x﹣1|＝5的解
（1）探究|x﹣1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点A′与O的距离为|x﹣1|，可记为：A′O＝|x﹣1|．
将线段A′O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|．
因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．
（2）求方程|x﹣1|＝5的解
因为数轴上 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为 ．
探究二：探究的几何意义
（1）探究的几何意义
如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（x，0），Q点坐标（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y，
在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则 MO＝＝＝
因此的几何意义可以理解为点M（x，y）与原点O（0，0）之间的距离MO．
（2）探究的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（二） （1）可知，A′O＝，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5）．
因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．
（3）探究的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程．
（4）的几何意义可以理解为： ．
拓展应用：
（5）的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离与点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和．
（6）的最小值为 ．（直接写出结果）
答案：探究一：（2）﹣4或6，x＝﹣4或6；探究二：（3）见解析；（4）点（x，y）与点（a，b）之间的距离；（5）（﹣1，5）；（6）3
【解析】
分析：
探究一：（2）因为数轴上的-4或6所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，即可求解；探究二：（3）参考（1）的过程画出函数图象即可求解；（4）根据前面的探究可知几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离，即可求解；拓展应用：（5）由探究二（4）可知：+表示点A（x，y）与点F（-1，5）的距离之和；（6）当点A位置线段EF之间时，此时EF=AF+AE，进而求解．
【详解】
解：探究一：
（2）因为数轴上的﹣4或6所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为x＝﹣4或6，
故答案为：﹣4或6，x＝﹣4或6；
探究二：
（3）如图④，
在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x+3，y+4），由探究二（1）可知，A′O＝，
将线段A′O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（﹣3，﹣4），
因为AB＝A′O，所以AB＝，
因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（﹣3，﹣4）之间的距离AB；
（4）根据前面的探究可知的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离，
故答案为点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
拓展应用：
（5）由探究二（4）可知：+表示点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F（﹣1，5）的距离之和，
故答案为（﹣1，5）；
（6）当A（x，y）位于直线EF外时，此时点A、E、F三点组成△AEF，
∴ 由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，
当点A位置线段EF之间时，此时EF＝AF+AE，
∴ +的最小值为EF的距离，
∴ EF＝，
故答案为．
【点睛】
本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题也考查了学生的综合能力，属于中等题型．
6．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A(1，3)，B(﹣3，﹣5)，试求A，B两点间的距离；
（2）已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为(2，﹣1)，试求点N的坐标；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D(0，6)，E(﹣3，2)，F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
答案：（1）4；（2）(2，3)或（2，﹣5）；（3）等腰三角形，见解析
【解析】
分析：
（1）直接利用两点间的距离公式计算；
（2）利用MN∥y轴得到M、N的横坐标相同，设N（2，t），利用两点间的距离为4得到|t+1|＝4，然后求出t即可；
（3）利用两点间的距离公式计算出DE、DF、EF，然后根据三角形的分类进行判断．
【详解】
解：（1）A，B两点间的距离＝＝4；
（2）∵线段MN∥y轴，
∴M、N的横坐标相同，
设N（2，t），
∴|t+1|＝4，解得t＝3或﹣5，
∴N点坐标为（2，3）或（2，﹣5）；
（3）△DEF为等腰三角形．
理由如下：
∵D（0，6），E（﹣3，2），F（3，2），
∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝＝6，
∴DE＝DF，
∴△DEF为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式．解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系中的位置，然后选取合适的公式来求两点间的距离．
7．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标是，，则，两点之间的距离可以用公式．计算，阅读以上内容并解答下列问题：
（1）已知点，，则，两点之间的距离为__________；
（2）若点，，，判断的形状，并说明理由．
答案：（1）13；（2）为直角三角形，理由见解析．
【解析】
分析：
（1）用两点之间的距离可以用公式即可；
（2）分别算出三点之间的距离即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴．
（2）为直角三角形．
理由：；
；
，
∴．
∴为直角三角形．
【点睛】
此题考查的是两点之间的距离和三角形类型的判断，掌握两点之间的距离公式和勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点，它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这两点所成线段的长为|a﹣c|；同样的，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两点所成线段的长为|b﹣d|．
如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别是（a，b）和（c，d），分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q＝|a﹣c|，PQ＝|b﹣d|，利用勾股定理可得，线段P1P2的长为．
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A（7，﹣2），B（7，7），则线段AB的长为_____．
（2）在平面直角坐标系中，已知M（﹣4，3），N（8，﹣2），则线段MN的长为______．
（3）若点C在y轴上，点D的坐标是（﹣3，1），且CD=5，则点C的坐标是______．
（4）如图2，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的动点，且A、B、C三点不在同一直线上，求△ABC周长的最小值．
答案：（1）9；（2）13；（3）（0，5）或（0，-3）；（4）△ABC周长的最小值为．
【解析】
分析：
（1）由线段的公式得：，即可求解；
（2）由线段的公式得：，即可求解；
（3）设点C（0，m），则，解得m=5或-3，即可求解；
（4）作点A关于y轴的对称点D（-1，4），连接BD交y轴于点C，则此时△ABC周长最小，进而求解．
【详解】
解：（1）由线段的公式得：，
故答案为：9；
（2）由线段的公式得：，
故答案为：13；
（3）设点C（0，m），则，
解得m=5或-3，
故点C的坐标为（0，5）或（0，-3），
故答案为：（0，5）或（0，-3）；
（4）作点A关于y轴的对称点D（-1，4），连接BD交y轴于点C，则此时△ABC周长最小，
∵CA=CD，AB为定长，
∴△ABC周长=AB+AC+BC=AB+CD+BC=AB+BD为最小，
则，
同理可得：，
故△ABC周长的最小值=AB+AC+BC=AB+CD+BC=AB+BD=．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的性质、勾股定理、点的对称性等，这种阅读性题目，通常按照题设的顺序求解，一般容易解答．
9．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找或的长度，显然是转化为求或的斜边长．
下面：以求为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：，．所以，，所以由勾股定理可得：．
下面请你参与：
（1）在图①中：________，________，________．
（2）在图②中：设，，试用，，，表示________，________，________．
（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：，，为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．请求出点的坐标．
答案：（1）4；3；5；（2）；；；（3）或．
【解析】
分析：
(1) 结合坐标系即可得出AC、BC的长度，利用勾股定理可得出AB的长度；
(2)结合坐标系及各点坐标即可得出各线段的长度；
(3) 设点C的坐标为(x，0)或(y，0)，依次求出即可得出答案.
【详解】
（1）结合坐标系可得出：，，．
（2）结合图形可得：，，
．
（3）若点在轴上，设点的坐标为，
则，即，
解得：．
即点的坐标为；
若点在轴上，设点的坐标为．
则，即，
解得：，
即点的坐标为．
综上可得点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了勾股定理及两点间的距离公式，看似难度较大，其实不然，注意仔细审题，领悟题意.
10．先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点P1（，），P2（，），其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．
（l）已知点A（7，3），B（2，），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为，试求A，B两点间的距离；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值．
答案：（1）13；（2）8；（3）10．
【解析】
分析：
（1）利用两点间距离公式将两点的坐标代入公式计算即可；
（2）根据点A，B在平行于轴的直线上，可利用公式求出AB；
（3）原式表示点（x，y）到（0，−1）和（−6，7）的距离之和．由两点之间线段最短，点（x，y）在以（0，−1）和（−6，7）为端点的线段上时，原式值最小．
【详解】
解：（1）∵点A（7，3），B（2，），
∴AB＝．
（2）∵点A，B在平行于轴的直线上，
∴AB＝＝8．
（3）∵原式＝，
∴原式表示点（x，y）到（0，−1）和（−6，7）的距离之和．
∵两点之间线段最短，
∴点（x，y）在以（0，−1）和（−6，7）为端点的线段上时，原式值最小．
∴最小值＝＝10．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，解题的关键是能够理解公式的含义，结合平面内点的坐标特点求解．
11．热爱学习的小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点它们的坐标分别为(a，0)和(c，0)．则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为(0，b)和(0，d)，则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别为(a，b)和(c，d)，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q=|a﹣c|，P2Q=|b﹣d|，利用勾股定理可得：线段P1P2的长为．
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A(3，1)，B(6，5)，则线段AB的长为_________________；
（2）若点C在y轴上，点D的坐标是(﹣3，0)，且CD=6，则点C的坐标是_________________；
（3）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求△ABC周长的最小值．
答案：（1）5；（2）(，)或(，)；（3）△ABC周长的最小值为
【解析】
分析：
（1）根据线段长度计算方法计算即可；
（2）设C点坐标为（0，b），根据线段长度计算方法列出方程即可求解；
（3）找到点A关于y轴的对称点A′（-1，3），连接A′B交y轴于点C，此时△ABC周长的最小，即可求解．
【详解】
（1）∵A(3，1)，B(6，5)，
∴AB=；
故答案为：；
（2）设C点坐标为（0，b），
CD=，
解得，
∴C点坐标为(，)或(，)，
故答案为：(，)或(，)；
（3）如图，设A点关于y轴的对称点为A′，则点A′的坐标为（-1，3），
当C点为A′B与y轴的交点时，因为AC=A′C，所以△ABC的周长最小，△ABC的周长=AB+A'B．
∵点A，B的坐标分别为（1，3）和（3，0），
∴AB=，
，
所以△ABC的周长的最小值为：．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，勾股定理，两点的距离公式，轴对称的最短路径问题，以阅读理解的方式，逐次计算即可，此类题目难度适中．
12．阅读理解：
在平面直角坐标系中，任意两点，之间的位置关系有以下三种情形；
①如果轴，则，
②如果轴，则，
③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式
小试牛刀：
（1）若点坐标为，点坐标为则 ；
（2）若点坐标为，点坐标为则 ；
（3）若点坐标为，点坐标为则 ；
学以致用：
若点坐标为，点坐标为，点是轴上的动点，当取得最小值时点的坐标为 并求出最小值=
答案：小试牛刀：（1）5；（2）6；（3）5；学以致用：，．
【解析】
分析：
小试牛刀：（1）由于是平行于轴,所以；
（2）此时是平行于轴，所以；
（3）此时与轴、轴均不平行，按照题意，，直接代入两点的坐标求解即可；
学以致用：根据两点之间线段最短可以得到，当三点共线时，取得最小值，此时点即为线段与轴的交点，所以可以解出直线的解析式然后求一次函数与轴的交点坐标，从而求出点的坐标，而的值即为线段的值，可以根据题中给到的公式进行求解；
【详解】
小试牛刀：（1）
（2）
（3）
学以致用：∵点坐标为，点坐标为，两点位于轴的异侧
根据两点之间线段最短可得：当三点共线时，取得最小值，此时点即为线段与轴的交点
设直线为
则，解得，
∴直线为，令，则，即，
此时．
故答案是：，．
【点睛】
本题主要考查一次函数中两点间的距离公式，同时结合了线段最短问题，熟练掌握两点间的距离公式是解决本题的关键.
13．数形结合是一种重要的数学思想，我们不但可以用数来解决图形问题，同样也可以用借助图形来解决数量问题，往往能出奇制胜，数轴和勾股定理是数形结合的典范.数轴上的两点A和B所表示的数分别是和，则A，B两点之间的距离；坐标平面内两点，，它们之间的距离.如点，，则.表示点与点之间的距离，表示点与点和的距离之和.
（1）已知点，，________；
（2）表示点和点之间的距离；
（3）请借助图形，求的最小值.
答案：（1）；（2），，；（3）最小值是.
【解析】
分析：
（1）根据两点之间的距离公式即可得到答案；
（2）根据表示点与点之间的距离，可以得到A、B两点的坐标；
（3）根据两点之间的距离公式，再结合图形，通过化简可以得到答案；
【详解】
解：（1）根据两点之间的距离公式得：，
故答案为.
（2）根据表示点与点之间的距离，
∴表示点和点之间的距离，
∴
故答案为b，-6，1.
（3）解：
如图1，表示的长，
根据两点之间线段最短知
如图2，
∴的最小值是.
【点睛】
本题考查了坐标平面内两点之间的距离公式，以及平面内两点之间的最短距离，解题的关键是注意审题，会用数形结合的解题方法.
【例题讲解】阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝
根据上面材料完成下列各题：
(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 ．
(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
(1)解：点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是：
故答案为：
(2)解： 点B在坐标轴上，设或
当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，
或
或
当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，
或 解得：
或
(3)解：点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，
整理得：
解得：
【综合解答】
1．在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；
(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
2．阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝
根据上面材料完成下列各题：
(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 ．
(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
3．（一）问题提出
（1）平面直角坐标系中，如果 A、B是x轴上的点，他们对应的横坐标分别是xA，xB，C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么 A、B两点间的距离，C、D两点间的距离分别是多少？
（2）平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离是多少？
（3）已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|
（二）问题探究
（1）求平面直角坐标系中x轴上的两点E(5，0)、F(-2，0)之间的距离，可以借助绝对值表示|EF|=|5-（-2）|=7，对于y轴上两点，M(0，-3)、N(0，5)之间的距离|MN|=|3-5|=2．
结论：在平面直角坐标系中，如果A、B是x轴上两点，它们对应的横坐标分别是xA，xB，则A、B两点间的距离|AB|＝ ；C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么C、D两点间的距离|CD|＝ ：
（2）如图1：平面直角坐标系中任意一点B(3，4)，过B向x轴上作垂线，垂足为M，由勾股定理得|OB|＝ ；结论：平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离|OP|＝ ；
（3）如图2，要求AB或DE的长度，可以转化为求RtABC或RtDEF的斜边长．例如：从坐标系中发现：D(-7，5)，E(4，-3)，所|以|DF|=|5-（-3）|=8，|EF|=|4-（-7）|=11，所以由勾股定理得：|DE|=．在图2中请用上面的方法求线段AB的长：AB＝ ；在图3中：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用x1，x2，y1，y2表示：|P1C|＝ ，|P2C|＝ ，|P1P2|＝ ．
（三）拓展应用
试用以上所得结论解决如下问题：已知A(0，1)，B(4，3)．
（1）直线AB与x轴交于点D，求线段BD的长．
（2）C为坐标轴上的点，且使得三角形ABC是以AB为底边的等腰三角形，则C点的坐标为 （不必写解答过程，直接写出即可）．
4．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．
（1）已知，，试求A、B两点间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由．
（3）已知，在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由．
5．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求方程|x﹣1|＝5的解
（1）探究|x﹣1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点A′与O的距离为|x﹣1|，可记为：A′O＝|x﹣1|．
将线段A′O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|．
因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．
（2）求方程|x﹣1|＝5的解
因为数轴上 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为 ．
探究二：探究的几何意义
（1）探究的几何意义
如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（x，0），Q点坐标（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y，
在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则 MO＝＝＝
因此的几何意义可以理解为点M（x，y）与原点O（0，0）之间的距离MO．
（2）探究的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（二） （1）可知，A′O＝，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5）．
因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．
（3）探究的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程．
（4）的几何意义可以理解为： ．
拓展应用：
（5）的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离与点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和．
（6）的最小值为 ．（直接写出结果）
6．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A(1，3)，B(﹣3，﹣5)，试求A，B两点间的距离；
（2）已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为(2，﹣1)，试求点N的坐标；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D(0，6)，E(﹣3，2)，F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
7．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标是，，则，两点之间的距离可以用公式．计算，阅读以上内容并解答下列问题：
（1）已知点，，则，两点之间的距离为__________；
（2）若点，，，判断的形状，并说明理由．
8．在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点，它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这两点所成线段的长为|a﹣c|；同样的，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两点所成线段的长为|b﹣d|．
如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别是（a，b）和（c，d），分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q＝|a﹣c|，PQ＝|b﹣d|，利用勾股定理可得，线段P1P2的长为．
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A（7，﹣2），B（7，7），则线段AB的长为_____．
（2）在平面直角坐标系中，已知M（﹣4，3），N（8，﹣2），则线段MN的长为______．
（3）若点C在y轴上，点D的坐标是（﹣3，1），且CD=5，则点C的坐标是______．
（4）如图2，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的动点，且A、B、C三点不在同一直线上，求△ABC周长的最小值．
9．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找或的长度，显然是转化为求或的斜边长．
下面：以求为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：，．所以，，所以由勾股定理可得：．
下面请你参与：
（1）在图①中：________，________，________．
（2）在图②中：设，，试用，，，表示________，________，________．
（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：，，为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．请求出点的坐标．
10．先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点P1（，），P2（，），其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．
（l）已知点A（7，3），B（2，），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为，试求A，B两点间的距离；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值．
11．热爱学习的小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点它们的坐标分别为(a，0)和(c，0)．则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为(0，b)和(0，d)，则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别为(a，b)和(c，d)，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q=|a﹣c|，P2Q=|b﹣d|，利用勾股定理可得：线段P1P2的长为．
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A(3，1)，B(6，5)，则线段AB的长为_________________；
（2）若点C在y轴上，点D的坐标是(﹣3，0)，且CD=6，则点C的坐标是_________________；
（3）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求△ABC周长的最小值．
12．阅读理解：
在平面直角坐标系中，任意两点，之间的位置关系有以下三种情形；
①如果轴，则，
②如果轴，则，
③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式
小试牛刀：
（1）若点坐标为，点坐标为则 ；
（2）若点坐标为，点坐标为则 ；
（3）若点坐标为，点坐标为则 ；
学以致用：
若点坐标为，点坐标为，点是轴上的动点，当取得最小值时点的坐标为 并求出最小值=
13．数形结合是一种重要的数学思想，我们不但可以用数来解决图形问题，同样也可以用借助图形来解决数量问题，往往能出奇制胜，数轴和勾股定理是数形结合的典范.数轴上的两点A和B所表示的数分别是和，则A，B两点之间的距离；坐标平面内两点，，它们之间的距离.如点，，则.表示点与点之间的距离，表示点与点和的距离之和.
（1）已知点，，________；
（2）表示点和点之间的距离；
（3）请借助图形，求的最小值.
专题14 已知两点坐标求两点距离
【例题讲解】阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝
根据上面材料完成下列各题：
(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 ．
(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
(1)解：点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是：
故答案为：
(2)解： 点B在坐标轴上，设或
当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，
或
或
当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，
或 解得：
或
(3)解：点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，
整理得：
解得：
【综合解答】
1．在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．
(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶
(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；
(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．
答案：(1)
(2)① 5；
②
(3)<
(4)
【解析】
分析：
（1）利用构图法求出的面积，即可求解；
（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；
（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；
（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解．
(1)
解：的面积为；
故答案为：
(2)
解：① ；
故答案为：5；
②线段的长可表示为；
故答案为：
(3)
解：如图，
根据题意得：，，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：<
(4)
解：解：如图，，，，
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题，
3．（一）问题提出
（1）平面直角坐标系中，如果 A、B是x轴上的点，他们对应的横坐标分别是xA，xB，C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么 A、B两点间的距离，C、D两点间的距离分别是多少？
（2）平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离是多少？
（3）已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|
（二）问题探究
（1）求平面直角坐标系中x轴上的两点E(5，0)、F(-2，0)之间的距离，可以借助绝对值表示|EF|=|5-（-2）|=7，对于y轴上两点，M(0，-3)、N(0，5)之间的距离|MN|=|3-5|=2．
结论：在平面直角坐标系中，如果A、B是x轴上两点，它们对应的横坐标分别是xA，xB，则A、B两点间的距离|AB|＝ ；C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么C、D两点间的距离|CD|＝ ：
（2）如图1：平面直角坐标系中任意一点B(3，4)，过B向x轴上作垂线，垂足为M，由勾股定理得|OB|＝ ；结论：平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离|OP|＝ ；
（3）如图2，要求AB或DE的长度，可以转化为求RtABC或RtDEF的斜边长．例如：从坐标系中发现：D(-7，5)，E(4，-3)，所|以|DF|=|5-（-3）|=8，|EF|=|4-（-7）|=11，所以由勾股定理得：|DE|=．在图2中请用上面的方法求线段AB的长：AB＝ ；在图3中：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用x1，x2，y1，y2表示：|P1C|＝ ，|P2C|＝ ，|P1P2|＝ ．
（三）拓展应用
试用以上所得结论解决如下问题：已知A(0，1)，B(4，3)．
（1）直线AB与x轴交于点D，求线段BD的长．
（2）C为坐标轴上的点，且使得三角形ABC是以AB为底边的等腰三角形，则C点的坐标为 （不必写解答过程，直接写出即可）．
答案：（二）问题探究：（1）|xA-xB|，|yC-yD|；（2）5，；（3）5，y1-y2，x1-x2，；（三）拓展应用：（1）BD；（2）（3，0）或（0，6）
【解析】
分析：
（二）问题探究：（1）根据两点间距离的定义，利用两点的坐标差的绝对值表示即可；
（2）构造直角三角形利用勾股定理即可解决问题；
（3）构造直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；
（三）拓展应用：（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式，求得点D坐标，利用（3）中结论即可解决问题；
（2）作线段AB的垂直平分线交x轴于C，交y轴于C′．△ABC，△ABC′是等腰三角形，列方程求解即可；
【详解】
解：（二）问题探究：
（1）|AB|=|xA-xB|，|CD|=|yC-yD|，
故答案为：|xA-xB|，|yC-yD|；
（2）平面直角坐标系中任意一点B（3，4），过B向x轴上作垂线，垂足为M，|OM|=3，|BM|=4，由勾股定理得|OB|==5：
结论：平面直角坐标系中任意一点P（x，y）到原点的距离|OP|=，
故答案为：5，；
（3）∵A（4，5），B（1，1），
∴BC=3，AC=4，
∴AB==5．
在图3中：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示：|P1C|=y1-y2，|P2C|=x1-x2，|P1P2|=，
故答案为：5，y1-y2，x1-x2，；
（三）拓展应用：
（1）如图4中，
设直线AB的解析式为，
把B（4，3）代入得：，
解得：k=，
∴直线AB的解析式为，
令y=0，则x=-2，
∴D（-2，0），
∵B（4，3），
∴BD=；
（2）作线段AB的垂直平分线交x轴于C，交y轴于C′，△ABC，△ABC′是等腰三角形．
设C（m，0），C′（0，n），
由题意有：AC=BC，AC′=BC′，
则，，
解得：m=3，n=6，
∴C（3，0），C′（0，6）；
故答案为：（3，0）或（0，6）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求直线的解析式、两点间距离公式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题型．
4．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．
（1）已知，，试求A、B两点间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由．
（3）已知，在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由．
答案：（1）10；（2）△ABC是直角三角形；（3）点P的坐标为（，0）或（-，0）或（4，0）或（，0）．
【解析】
分析：
（1）利用公式代入计算即可；
（2）利用公式求出AB、AC、BC的长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况利用勾股定理解答．
【详解】
解：（1）A、B两点间的距离为；
（2）∵，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵，
∴，
当OA=OP=时，∴P（，0）或（-，0）；
当AO=AP时，OP=4，∴P（4，0）；
当PA=PO时，过点A作AD⊥x轴于D，
设PA=PO=x，则PD=2-x，
∵，
∴，
解得，
∴P（，0）．
综上，点P的坐标为（，0）或（-，0）或（4，0）或（，0）．
【点睛】
此题考查直角坐标系中两点之间的距离公式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解题的关系是正确掌握各部分知识并熟练应用，解题中注意分类思想的应用．
5．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求方程|x﹣1|＝5的解
（1）探究|x﹣1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点A′与O的距离为|x﹣1|，可记为：A′O＝|x﹣1|．
将线段A′O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|．
因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．
（2）求方程|x﹣1|＝5的解
因为数轴上 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为 ．
探究二：探究的几何意义
（1）探究的几何意义
如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（x，0），Q点坐标（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y，
在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则 MO＝＝＝
因此的几何意义可以理解为点M（x，y）与原点O（0，0）之间的距离MO．
（2）探究的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（二） （1）可知，A′O＝，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5）．
因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．
（3）探究的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程．
（4）的几何意义可以理解为： ．
拓展应用：
（5）的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离与点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和．
（6）的最小值为 ．（直接写出结果）
答案：探究一：（2）﹣4或6，x＝﹣4或6；探究二：（3）见解析；（4）点（x，y）与点（a，b）之间的距离；（5）（﹣1，5）；（6）3
【解析】
分析：
探究一：（2）因为数轴上的-4或6所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，即可求解；探究二：（3）参考（1）的过程画出函数图象即可求解；（4）根据前面的探究可知几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离，即可求解；拓展应用：（5）由探究二（4）可知：+表示点A（x，y）与点F（-1，5）的距离之和；（6）当点A位置线段EF之间时，此时EF=AF+AE，进而求解．
【详解】
解：探究一：
（2）因为数轴上的﹣4或6所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为x＝﹣4或6，
故答案为：﹣4或6，x＝﹣4或6；
探究二：
（3）如图④，
在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x+3，y+4），由探究二（1）可知，A′O＝，
将线段A′O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（﹣3，﹣4），
因为AB＝A′O，所以AB＝，
因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（﹣3，﹣4）之间的距离AB；
（4）根据前面的探究可知的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离，
故答案为点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
拓展应用：
（5）由探究二（4）可知：+表示点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F（﹣1，5）的距离之和，
故答案为（﹣1，5）；
（6）当A（x，y）位于直线EF外时，此时点A、E、F三点组成△AEF，
∴ 由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，
当点A位置线段EF之间时，此时EF＝AF+AE，
∴ +的最小值为EF的距离，
∴ EF＝，
故答案为．
【点睛】
本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题也考查了学生的综合能力，属于中等题型．
6．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A(1，3)，B(﹣3，﹣5)，试求A，B两点间的距离；
（2）已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为(2，﹣1)，试求点N的坐标；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D(0，6)，E(﹣3，2)，F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
答案：（1）4；（2）(2，3)或（2，﹣5）；（3）等腰三角形，见解析
【解析】
分析：
（1）直接利用两点间的距离公式计算；
（2）利用MN∥y轴得到M、N的横坐标相同，设N（2，t），利用两点间的距离为4得到|t+1|＝4，然后求出t即可；
（3）利用两点间的距离公式计算出DE、DF、EF，然后根据三角形的分类进行判断．
【详解】
解：（1）A，B两点间的距离＝＝4；
（2）∵线段MN∥y轴，
∴M、N的横坐标相同，
设N（2，t），
∴|t+1|＝4，解得t＝3或﹣5，
∴N点坐标为（2，3）或（2，﹣5）；
（3）△DEF为等腰三角形．
理由如下：
∵D（0，6），E（﹣3，2），F（3，2），
∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝＝6，
∴DE＝DF，
∴△DEF为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式．解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系中的位置，然后选取合适的公式来求两点间的距离．
7．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标是，，则，两点之间的距离可以用公式．计算，阅读以上内容并解答下列问题：
（1）已知点，，则，两点之间的距离为__________；
（2）若点，，，判断的形状，并说明理由．
答案：（1）13；（2）为直角三角形，理由见解析．
【解析】
分析：
（1）用两点之间的距离可以用公式即可；
（2）分别算出三点之间的距离即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴．
（2）为直角三角形．
理由：；
；
，
∴．
∴为直角三角形．
【点睛】
此题考查的是两点之间的距离和三角形类型的判断，掌握两点之间的距离公式和勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点，它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这两点所成线段的长为|a﹣c|；同样的，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两点所成线段的长为|b﹣d|．
如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别是（a，b）和（c，d），分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q＝|a﹣c|，PQ＝|b﹣d|，利用勾股定理可得，线段P1P2的长为．
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A（7，﹣2），B（7，7），则线段AB的长为_____．
（2）在平面直角坐标系中，已知M（﹣4，3），N（8，﹣2），则线段MN的长为______．
（3）若点C在y轴上，点D的坐标是（﹣3，1），且CD=5，则点C的坐标是______．
（4）如图2，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的动点，且A、B、C三点不在同一直线上，求△ABC周长的最小值．
答案：（1）9；（2）13；（3）（0，5）或（0，-3）；（4）△ABC周长的最小值为．
【解析】
分析：
（1）由线段的公式得：，即可求解；
（2）由线段的公式得：，即可求解；
（3）设点C（0，m），则，解得m=5或-3，即可求解；
（4）作点A关于y轴的对称点D（-1，4），连接BD交y轴于点C，则此时△ABC周长最小，进而求解．
【详解】
解：（1）由线段的公式得：，
故答案为：9；
（2）由线段的公式得：，
故答案为：13；
（3）设点C（0，m），则，
解得m=5或-3，
故点C的坐标为（0，5）或（0，-3），
故答案为：（0，5）或（0，-3）；
（4）作点A关于y轴的对称点D（-1，4），连接BD交y轴于点C，则此时△ABC周长最小，
∵CA=CD，AB为定长，
∴△ABC周长=AB+AC+BC=AB+CD+BC=AB+BD为最小，
则，
同理可得：，
故△ABC周长的最小值=AB+AC+BC=AB+CD+BC=AB+BD=．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的性质、勾股定理、点的对称性等，这种阅读性题目，通常按照题设的顺序求解，一般容易解答．
9．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找或的长度，显然是转化为求或的斜边长．
下面：以求为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：，．所以，，所以由勾股定理可得：．
下面请你参与：
（1）在图①中：________，________，________．
（2）在图②中：设，，试用，，，表示________，________，________．
（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：，，为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．请求出点的坐标．
答案：（1）4；3；5；（2）；；；（3）或．
【解析】
分析：
(1) 结合坐标系即可得出AC、BC的长度，利用勾股定理可得出AB的长度；
(2)结合坐标系及各点坐标即可得出各线段的长度；
(3) 设点C的坐标为(x，0)或(y，0)，依次求出即可得出答案.
【详解】
（1）结合坐标系可得出：，，．
（2）结合图形可得：，，
．
（3）若点在轴上，设点的坐标为，
则，即，
解得：．
即点的坐标为；
若点在轴上，设点的坐标为．
则，即，
解得：，
即点的坐标为．
综上可得点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了勾股定理及两点间的距离公式，看似难度较大，其实不然，注意仔细审题，领悟题意.
10．先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点P1（，），P2（，），其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．
（l）已知点A（7，3），B（2，），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为，试求A，B两点间的距离；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值．
答案：（1）13；（2）8；（3）10．
【解析】
分析：
（1）利用两点间距离公式将两点的坐标代入公式计算即可；
（2）根据点A，B在平行于轴的直线上，可利用公式求出AB；
（3）原式表示点（x，y）到（0，−1）和（−6，7）的距离之和．由两点之间线段最短，点（x，y）在以（0，−1）和（−6，7）为端点的线段上时，原式值最小．
【详解】
解：（1）∵点A（7，3），B（2，），
∴AB＝．
（2）∵点A，B在平行于轴的直线上，
∴AB＝＝8．
（3）∵原式＝，
∴原式表示点（x，y）到（0，−1）和（−6，7）的距离之和．
∵两点之间线段最短，
∴点（x，y）在以（0，−1）和（−6，7）为端点的线段上时，原式值最小．
∴最小值＝＝10．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，解题的关键是能够理解公式的含义，结合平面内点的坐标特点求解．
11．热爱学习的小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点它们的坐标分别为(a，0)和(c，0)．则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为(0，b)和(0，d)，则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别为(a，b)和(c，d)，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q=|a﹣c|，P2Q=|b﹣d|，利用勾股定理可得：线段P1P2的长为．
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A(3，1)，B(6，5)，则线段AB的长为_________________；
（2）若点C在y轴上，点D的坐标是(﹣3，0)，且CD=6，则点C的坐标是_________________；
（3）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求△ABC周长的最小值．
答案：（1）5；（2）(，)或(，)；（3）△ABC周长的最小值为
【解析】
分析：
（1）根据线段长度计算方法计算即可；
（2）设C点坐标为（0，b），根据线段长度计算方法列出方程即可求解；
（3）找到点A关于y轴的对称点A′（-1，3），连接A′B交y轴于点C，此时△ABC周长的最小，即可求解．
【详解】
（1）∵A(3，1)，B(6，5)，
∴AB=；
故答案为：；
（2）设C点坐标为（0，b），
CD=，
解得，
∴C点坐标为(，)或(，)，
故答案为：(，)或(，)；
（3）如图，设A点关于y轴的对称点为A′，则点A′的坐标为（-1，3），
当C点为A′B与y轴的交点时，因为AC=A′C，所以△ABC的周长最小，△ABC的周长=AB+A'B．
∵点A，B的坐标分别为（1，3）和（3，0），
∴AB=，
，
所以△ABC的周长的最小值为：．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，勾股定理，两点的距离公式，轴对称的最短路径问题，以阅读理解的方式，逐次计算即可，此类题目难度适中．
12．阅读理解：
在平面直角坐标系中，任意两点，之间的位置关系有以下三种情形；
①如果轴，则，
②如果轴，则，
③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式
小试牛刀：
（1）若点坐标为，点坐标为则 ；
（2）若点坐标为，点坐标为则 ；
（3）若点坐标为，点坐标为则 ；
学以致用：
若点坐标为，点坐标为，点是轴上的动点，当取得最小值时点的坐标为 并求出最小值=
答案：小试牛刀：（1）5；（2）6；（3）5；学以致用：，．
【解析】
分析：
小试牛刀：（1）由于是平行于轴,所以；
（2）此时是平行于轴，所以；
（3）此时与轴、轴均不平行，按照题意，，直接代入两点的坐标求解即可；
学以致用：根据两点之间线段最短可以得到，当三点共线时，取得最小值，此时点即为线段与轴的交点，所以可以解出直线的解析式然后求一次函数与轴的交点坐标，从而求出点的坐标，而的值即为线段的值，可以根据题中给到的公式进行求解；
【详解】
小试牛刀：（1）
（2）
（3）
学以致用：∵点坐标为，点坐标为，两点位于轴的异侧
根据两点之间线段最短可得：当三点共线时，取得最小值，此时点即为线段与轴的交点
设直线为
则，解得，
∴直线为，令，则，即，
此时．
故答案是：，．
【点睛】
本题主要考查一次函数中两点间的距离公式，同时结合了线段最短问题，熟练掌握两点间的距离公式是解决本题的关键.
13．数形结合是一种重要的数学思想，我们不但可以用数来解决图形问题，同样也可以用借助图形来解决数量问题，往往能出奇制胜，数轴和勾股定理是数形结合的典范.数轴上的两点A和B所表示的数分别是和，则A，B两点之间的距离；坐标平面内两点，，它们之间的距离.如点，，则.表示点与点之间的距离，表示点与点和的距离之和.
（1）已知点，，________；
（2）表示点和点之间的距离；
（3）请借助图形，求的最小值.
答案：（1）；（2），，；（3）最小值是.
【解析】
分析：
（1）根据两点之间的距离公式即可得到答案；
（2）根据表示点与点之间的距离，可以得到A、B两点的坐标；
（3）根据两点之间的距离公式，再结合图形，通过化简可以得到答案；
【详解】
解：（1）根据两点之间的距离公式得：，
故答案为.
（2）根据表示点与点之间的距离，
∴表示点和点之间的距离，
∴
故答案为b，-6，1.
（3）解：
如图1，表示的长，
根据两点之间线段最短知
如图2，
∴的最小值是.
【点睛】
本题考查了坐标平面内两点之间的距离公式，以及平面内两点之间的最短距离，解题的关键是注意审题，会用数形结合的解题方法.
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