人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题15折叠问题中的勾股定理(原卷版+解析)

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【例题讲解】
（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．②求DE的长．
解：（1）设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，∵AC2＝AB2＋BC2，
∴（x＋2）2＝x2＋62，解得x＝8，∴AB＝8cm，∴AC＝8＋2＝10（cm）；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，
∴AE＝AC−EC＝4cm；
②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB−BD＝（8−y）cm，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，∴（8−y）2＝42＋y2，
解得：y＝3，∴DE＝3cm．
【综合解答】
1．如图，在中，，，，在边上有一点，将沿直线折叠，点恰好在延长线上的点处，求的长．
2．如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.
(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF．
（1）若a＝4，求CE的长；
（2）求的值．
4．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，求的长．
5．在矩形中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求点D的坐标．
6．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求∠EAG的度数；
（3）求BG的长．
7．（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．
②求DE的长．
8．如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．
(1)求BC边上的高线长．
(2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE．
①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积．
②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长．
9．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；
（2）当折痕MN与对角线AC重合时，试求△MNK的面积．
（3）△MNK的面积能否小于0．5？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
10．在平面直角坐标系中，点 的坐标为，以 A 为顶点的的两边始终与 轴交于 、两点（在 左面），且．
（1）如图，连接，当 时，试说明：．
（2）过点 作轴，垂足为，当时，将沿所在直线翻折，翻折后边 交 轴于点 ，求点 的坐标.
11．综合与探究
在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的纸片（，，）并进行探究：
（1）如图2，“奋斗”小组将纸片沿DE折叠，使点C落在外部的处
①若，，则的度数为 ．
②，，之间的数量关系为 ．
（2）如图3，“勤奋”小组将沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；
（3）如图4，“雄鹰”小组将沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当为直角三角形时，求BD的长．
12．问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，则AC＝ ；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝ ；
问题解决
（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数．
专题15 折叠问题中的勾股定理
【例题讲解】
（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．②求DE的长．
解：（1）设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，∵AC2＝AB2＋BC2，
∴（x＋2）2＝x2＋62，解得x＝8，∴AB＝8cm，∴AC＝8＋2＝10（cm）；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，
∴AE＝AC−EC＝4cm；
②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB−BD＝（8−y）cm，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，∴（8−y）2＝42＋y2，
解得：y＝3，∴DE＝3cm．
【综合解答】
1．如图，在中，，，，在边上有一点，将沿直线折叠，点恰好在延长线上的点处，求的长．
答案：CM=
【解析】
分析：
在直角三角形CDM中，根据勾股定理可得方程，可求出CM的长．
【详解】
解：连接DM
∵折叠，
∴BM=DM，
∵BC=3，AC=4，
∴AB=AD==5，
∴CD=AD-AC=1，
在Rt△CDM中，DM2=CD2+CM2
∴（3-CM）2=1+CM2
∴CM=
【点睛】
本题考查了折叠问题，勾股定理的运用，关键是灵活运用折叠的性质解决问题．
2．如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.
(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
答案：(1)(3，4)；(0，1)；(2)点E能恰好落在x轴上，m的值是3，理由见详解.
【解析】
分析：
（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；
（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可.
【详解】
解：(1)点B的坐标是（3,4）
∵ AB=BD=3，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45，
则∠DAE=∠BAD=45，
则E在y轴上．
AE=AB=BD=3，
∴四边形ABDE是正方形，OE=1，
则点E的坐标为(0,1)；
故答案为(3,4),(0,1)；
(2)点E能恰好落在x轴上．
理由如下：
∵四边形OABC为长方形，
∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°，
由折叠的性质可得DE＝BD＝BC－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m.
如图，假设点E恰好落在x轴上．在Rt△CDE中，
由勾股定理可得EC＝＝＝2，
则有OE＝OC－CE＝m－2.
在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m－2)2＝m2，解得m＝3.
故答案为(1)(3，4)；(0，1)；(2)点E能恰好落在x轴上，m的值是3.
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理.
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF．
（1）若a＝4，求CE的长；
（2）求的值．
答案：（1）CE＝1.5；（2）
【解析】
分析：
（1）设CE＝x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，计算即可；
（2）设CE＝y，根据勾股定理列出方程，解方程求出x、y的关系，计算即可．
【详解】
解：（1）设，
，AD是BC边上的中线，
∴CD＝2，
由翻转变换的性质可知，，
由勾股定理得，，
解得，，
则CE＝1.5.
（2）设，
∵，AD是BC边上的中线，
，
由翻转变换的性质可知，，
由勾股定理得，，
解得，，
则，
∴
【点睛】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的过程，解题的关键是：在直角三角形中利用勾股定理建立等式。进行求解．
4．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，求的长．
答案：
【解析】
分析：
过点E做于点H，由四边形是长方形和折叠知，再用平行线的性质和勾股定理即可求解．
【详解】
解：过点E做于点H，
过点E作
∵四边形是长方形
四边形是矩形
设，
由折叠知，
，
在中，
解得，
，
，
又，
，
，
又，
，
在中，
【点睛】
此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理、此题难度不大，掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
5．在矩形中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求点D的坐标．
答案：（-3，-10）
【解析】
分析：
由折叠的性质可求得CE，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标．
【详解】
∵矩形中，，，
∴，
∵将沿直线折叠，
∴，
在Rt△COE中
∴
设AD=m，则DE=BD=8-m，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，
即，解得m=3，
∴D（-3，-10）．
【点睛】
本题考查矩形与折叠问题，设未知数利用勾股定理列方程是解题的关键，还考查了直角坐标系中各象限中点的特点．
6．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求∠EAG的度数；
（3）求BG的长．
答案：（1）见解析；（2）45°；（3）BG＝2．
【解析】
分析：
（1）利用翻折变换对应边关系得出AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；
（2）由（1）可得∠FAG＝∠BAF，由折叠的性质可得∠EAF＝∠DAF，继而可得∠EAG＝∠BAD＝45°；
（3）首先设BG＝x，则可得CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，然后利用勾股定理GE2＝CG2＋CE2，得方程：（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解此方程即可求得答案．
【详解】
（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，
∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，
又∵AG＝AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
（2）∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG＝∠FAG，
∴∠FAG＝∠BAF，
由折叠的性质可得：∠EAF＝∠DAE，
∴∠EAF＝∠DAF，
∴∠EAG＝∠EAF＋∠FAG＝（∠DAF＋∠BAF）＝∠DAB＝×90°＝45°；
（3）∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝CD＝×6＝3，
设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，
∵GE2＝CG2＋CE2
∴（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，
解得：x＝2，
∴BG＝2．
【点睛】
此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，注意折叠中的对应关系、注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．
8．如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．
(1)求BC边上的高线长．
(2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE．
①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积．
②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长．
答案：(1)8
(2)①；②或或
【解析】
分析：
（1）如图，过作于再求解 再利用勾股定理求解高线长即可；
（2）①如图，连接 利用等腰三角形的三线合一证明 求解可得 证明 从而可得答案；②分三种情况讨论：当时，再利用等面积法与勾股定理结合可得答案；当于时，利用角平分线的性质及面积比可得答案；当时，如图，则 证明 再利用勾股定理可得答案.
(1)
解：如图，过作于
AB＝AC＝10，BC＝12，

所以BC边上的高线长为
(2)
解：①如图，连接
为的中点，

由（1）得：

则


②当时，由对折可得：

过作于 连接 过作于 过作于
由①得：
则
设
则
由

而
解得：

当于时，则

过作于 由对折可得




当时，如图，则
由对折可得 而 则
而

结合对折可得：
过作于
同理可得：


综上：当DF与△ABC其中一边垂直时，BE的长为或或.
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，清晰的分类讨论，等面积法是应用等都是解本题的关键.
9．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；
（2）当折痕MN与对角线AC重合时，试求△MNK的面积．
（3）△MNK的面积能否小于0．5？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
答案：40°；1．3；不能．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据矩形得出AM∥DN，则∠KNM=∠1，根据∠KMN=∠1得出∠KNM=∠KMN，根据∠1=70°得到∠KNM=∠KMN=70°，从而求出∠MKN的度数；（2）根据题意画出图形，设MK=AK=CK=x，则DK=5－x，根据勾股定理求出x的值，从而得出△MNK的大小；（3）过M 点作AE⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1，由（1）得∠KNM=∠KMN，根据MK=NK，MK≥ME，ME=AD=1，得出MK≥1，从而得到△MNK的面积最小值．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AM∥DN，∴∠KNM=∠1，∵∠KMN=∠1，∴∠KNM=∠KMN，
∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=70°，∴∠MKN=40°；
折痕即为AC，设MK=AK=CK=x，则DK=5-x，
根据勾股定理得： 解得：x=2．6
MK=AK=CK=2．6， S△MNK=S△ACK==1．3， 因此，△MNK的面积的为1．3
（3）不能，理由如下：
过M 点作AE⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1，由（1）知，∠KNM=∠KMN，
∴MK=NK，又∵MK≥ME，ME=AD=1，∴MK≥1，又∵S△MNK=NK·ME≥，
即△MNK面积的最小值为，不可能小于；
考点：折叠图形的性质．
10．在平面直角坐标系中，点 的坐标为，以 A 为顶点的的两边始终与 轴交于 、两点（在 左面），且．
（1）如图，连接，当 时，试说明：．
（2）过点 作轴，垂足为，当时，将沿所在直线翻折，翻折后边 交 轴于点 ，求点 的坐标.
答案：(1)见解析；(2)M点坐标为（0,3)或M点坐标为(0，—6).
【解析】
【详解】
试题分析：(1)根据题目中角的度数，求出∠BAO=∠ABC=67.5°，利用等腰三角形的性质即可得出结论；
(2)根据题意，可知要分两种情况，即当点C在点D右侧时或当点C在点D左侧时，利用勾股定理即可得出M点坐标.
试题解析：
（1）∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB= 67.5°.
过点A作AE⊥OB于E，则△AEO是等腰直角三角形，∠EAO=45°.
∵AB=AC，AE⊥OB，
∴∠BAE=∠BAC=22.5°.
∴∠BAO=67.5°=∠ABC
∴OA=OB，
（2）设OM=x.
当点C在点D右侧时，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，
由∠BAM=∠DAF=90°可知：∠BAD=∠MAF；
∵AD=AF=6，∠BDA=∠MFA=90°，
∴△BAD≌△MAF.
∴BD=FM=6—x.
∵AC=AC，∠BAC=∠MAC，
∴△BAC≌△MAC.
∴BC=CM=8—x.
在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2=CM2，即，
解得：x=3，∴M点坐标为（0,3）.
当点C在点D左侧时，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，
同理，△BAD≌△MAF，∴BD=FM=6+x.
同理，△BAC≌△MAC，∴BC=CM=4+x.
在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2=CM2，即，
解得：x=6，∴M点坐标为（0，—6）
考点：等腰三角形的性质；翻折的性质.
11．综合与探究
在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的纸片（，，）并进行探究：
（1）如图2，“奋斗”小组将纸片沿DE折叠，使点C落在外部的处
①若，，则的度数为 ．
②，，之间的数量关系为 ．
（2）如图3，“勤奋”小组将沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；
（3）如图4，“雄鹰”小组将沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当为直角三角形时，求BD的长．
答案：（1）①114°；②∠2=∠1+2∠C；（2）；（3）3或6
【解析】
分析：
（1）①根据三角形外角的性质求得∠DFC的度数，然后再次利用三角形外角的性质求得∠2的度数；
②利用三角形外角的性质推理计算；
（2）设BD=x，根据折叠的性质结合勾股定理列方程求解；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，根据勾股定理求得AC=10，根据翻折的性质得AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°，然后分∠DEC=90°和∠EDC=90°两种情况，结合勾股定理求解．
【详解】
解：（1）①由折叠性质可得∠C=∠C′=37°
∴∠DFC=∠1+∠C′=77°
∴∠2=∠DFC+∠C=77+37=114°
故答案为：114°
②由折叠性质可得∠C=∠C′
∴∠DFC=∠1+∠C′
∴∠2=∠DFC+∠C=∠1+∠C′+∠C=∠1+2∠C
故答案为：∠2=∠1+2∠C
（2）∵，，
设BD=x，则CD=AD=8-x
∴在Rt△ABD中，，解得：
∴BD的长为
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC==10，
∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，
∴AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°．
当△DEC为直角三角形，
①如图，当∠DEC=90°时，
∵∠AED+∠DEC=180°，
∴点E在线段AC上，
设BD=DE=x，则CD=8-x，
∴CE=AC-AE=4，
∴DE2+CE2=CD2，
即x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，即BD=3；
②如图，当∠EDC=90°，

∴∠BDE=90°，
∵∠BDA=∠ADE，
∴∠BDA=∠ADE=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AB=BD=6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质及折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
12．问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，则AC＝ ；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝ ；
问题解决
（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数．
答案：（1）20；（2）5；（3）S△BCD＝16；∠BCD＝45°
【解析】
分析：
（1）由勾股定理可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠DBA，由余角的性质可得∠DBC＝∠C，可得DB＝DC＝AD＝AC＝5；
（3）由中点的性质和折叠的性质可得DE＝EC＝4，则当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，由三角形面积公式和等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，
∴，
故答案为：20；
（2）∵DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠ABC＝90°
∴∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠C，
∴DB＝DC，
∴DB＝DC＝AD＝AC＝5，
故答案为：5；
（3）∵E为BC中点，BC＝8，
∴BE＝EC＝4，
∵将∠C折叠，折痕为EF，
∴DE＝EC＝4，
当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，S△BCD＝×BC×DE＝×8×4＝16，
此时∵DE⊥BC，DE＝EC，
∴∠BCD＝45°．
故答案为：S△BCD＝16；∠BCD＝45°．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边中线问题以及三角形中的折叠问题；题目较为综合，其中熟练掌握定义定理是解题的关键．