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人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题22矩形中的最值小题特训30道(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题22矩形中的最值小题特训30道(原卷版+解析)，共39页。
A．3B．2C．1D．
2．如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是( )
A．B．C．D．
3．如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
5．如图，在矩形中，，，动点、分别在、上，则的最小值是（ ）cm
A．B．C．6D．3
6．如图，在矩形中，，，连接，是的中点，是上一点，且，是上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
8．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点P为AB边上一动点，点B关于P的对称点为E，连接DE，DE的中点为点F，则AF的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
9．如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（ ）
A．5B．C．6D．
10．如图，矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一点M，N，使的值最小，求这个最小值（ ）
A．B．C．D．
11．如图，ABCD是一张矩形纸片，AB＝20，BC＝4，将纸片沿MN折叠，点，分别是B，C的对应点，MB′与DC交于K，若△MNK的面积为10，则DN的最大值是（ ）
A．7.5B．12.5C．15D．17
12．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为长方形ABCD外一动点，且∠AEC=90°，则线段EF的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．2
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
15．如图，已知矩形中，E、F分别是的中点，连接，，P是上一动点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．3.5
16．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．如图，在矩形ABCD中，，，点E在AD上且，点G在AE上且，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则的最小值为( )
A．B．10C．D．8
18．如图，矩形ABCD的边，，点E在边上，且，F为边上的一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到，连接，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
19．如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（ ）
A．B．C．D．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝60°，P、K分别是BD、AD上的点，则PA+PK的最小值为（ ）
A．6B．8C．3+2D．4
22．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．4B．8C．D．
23．如图，点M、N分别是矩形ABCD的边BC和对角线AC上的动点，连接AM、MN，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
24．如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（）
A．1B．C．D．2
25．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ）
A．25B．24C．D．13
26．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别为AD，DC边上的点，且EF＝4，点G为EF的中点，点P为BC的中点，则PG的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．2
27．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为（ ）
A．B．8C．D．9
28．如图，在ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
29．如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4B．2C．1.5D．1.2
专题22 矩形中的最值小题特训30道
1．如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作等边，且点在矩形内，连接，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．
答案：B
分析：以为边作等边三角形，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，由“”可证，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，过点H作于N，于M，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∴点F与点M重合时，，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是( )
A．B．C．D．
答案：B
分析：如图作交的延长线于，于，交于．则．设由，推出，在中，勾股定理求得，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图作交的延长线于，于，交于．则．设
，
，，
，
，
，
，
在中，
时，有最大值，最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题．
3．如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：如图作点关于的对称点，连接，，由，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值．
【详解】解：如图作点关于的对称点，连接，．
在中，
，，
．，
，
，
是定值，
当、、、共线时，定值最小，最小值，
的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
4．如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
答案：C
分析：连接NG，ND，GD，由翻折可得△CDN≌△HGN，则，要求NH的最小值，即求GN的最小值，以此得出当点G与点B重合时，GN最小，设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，，，
以翻折后，点与点重合，
，，，
，
四边形为矩形，，
，
当的最小时，最小，
由图可知，当点与点重合时，最小，
设，则，，
在中，
，
，
解得：，
的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查折叠问题、勾股定理，解答本题的关键是能找到点G与点B重合时，NH最小，这是解答本题的突破口．
5．如图，在矩形中，，，动点、分别在、上，则的最小值是（ ）cm
A．B．C．6D．3
答案：B
分析：先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出，进而求出，最后用含角的直角三角形的性质即可求出的最小值
【详解】解：如图，作出点C关于的对称点E，过点E作于N，交于M，连接，此时最小．
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由对称得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
即：的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，含角的直角三角形的性质，解本题的关键是确定出满足条件的点的位置．
6．如图，在矩形中，，，连接，是的中点，是上一点，且，是上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：连接 并延长交于P，则此时，的值最大，且的最大值为，根据全等三角形的性质得到，，得到，过M作于N，得到四边形是矩形，得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在矩形中，，，
，
连接并延长交于，
则此时，的最大，且的最大值为，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴
过作于，
四边形是矩形，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
答案：D
分析：由勾股定理和折叠的性质可求，，由三角形的三边关系，，则当点在上时，有最小值为，由三角形的中位线定理可求解．
【详解】解：如图，连接，，
，，
，
将沿折叠，
，
在△中，，
当点在上时，有最小值为，
，分别为，的中点，
，
的最小值为1，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，求出的最小值是解题的关键．
8．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点P为AB边上一动点，点B关于P的对称点为E，连接DE，DE的中点为点F，则AF的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
答案：C
分析：取的中点，连接，，根据，当共线时，最小，勾股定理求得，中位线的性质求得，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
∵矩形ABCD中，AB=6，BC=4，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∵DE的中点为点F，
∴，
在中，，
∵，
∴，当三点共线时取得等于号，
即的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，中位线的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，添加辅助线是解题的关键．
9．如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（ ）
A．5B．C．6D．
答案：B
分析：作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可．
【详解】如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，
， ，
四边形是平行四边形，
，
，
，，为边的中点，
，，
由勾股定理得：
即的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确的做出辅助线．
10．如图，矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一点M，N，使的值最小，求这个最小值（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，连接HN，由对称性可得AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，可得MN+BM＝HM+MN，则当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，根据两点之间线段最短可得MN+BM的最小值为HN，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求AO的长，利用等面积法即可求解．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，连接HN，
∴AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，
∴MN+BM＝HM+MN，
∴当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝，
∵S△ABC＝×AB×BC＝AC×BO，
∴BO＝，
∴BH＝，
在中，
，
∵HN⊥AB，
S△ABH＝×AB×HN＝BH×AO，
∴MN+BM的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，利用面积法求出BO是解题的关键．
11．如图，ABCD是一张矩形纸片，AB＝20，BC＝4，将纸片沿MN折叠，点，分别是B，C的对应点，MB′与DC交于K，若△MNK的面积为10，则DN的最大值是（ ）
A．7.5B．12.5C．15D．17
答案：D
分析：作NE⊥于E，NF⊥BM于F，由折叠得∠1＝∠2，根据角平分线的性质得NE＝NF，可得四边形BCNF是矩形，则NF＝BC＝4，根据△MNK的面积为10得NK＝MK＝5，根据勾股定理得KE＝3，则MF＝ME＝MK﹣KE＝5﹣3＝2，设DN＝x，则CN＝20﹣x，BM＝BF+MF＝20﹣x+2＝22﹣x，由折叠可得BM≥KM，即22﹣x≥5．可得x≤17，即可得DN≤17，则DN的最大值是17．
【详解】解：如图所示，过点N作NE⊥于E，NF⊥BM于F，
由折叠得∠1＝∠2，
∴NE＝NF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BFN＝90°，，
∴四边形BCNF是矩形，∠DNM=∠2，
∴NE＝NF＝BC＝4，∠1=∠DNM，
∴NK=MK，
∵△MNK的面积为10，
∴KM•NE＝KN•NF＝10，
∴NK＝MK＝5，
∴KE＝＝3，
在△MEN和△MFN中，
，
∴△MEN≌△MFN（AAS），
∴MF＝ME＝MK﹣KE＝5﹣3＝2，
设DN＝x，则CN＝BF＝20﹣x，
∴BM＝BF+MF＝20﹣x+2＝22﹣x，
由折叠得BM≥KM，即22﹣x≥5．
∴x≤17，即DN≤17，
∴DN的最大值是17．
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
12．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为长方形ABCD外一动点，且∠AEC=90°，则线段EF的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案：C
分析：连接AC，取AC的中点O，求出OF、OE，当O、E、F三点共线时EF最大，据此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点O，
∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=90°，F为CD的中点，
∴AC==10，
∵AO=OC，CF=FD，
∴OF=AD=BC=4，
∵∠AEC=90°，
∴OE=AC=×10=5，
当O、E、F三点共线时EF最大，
此时EF的最大值为4+5=9．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，作辅助线并判断出EF最大时的情况是解题的关键．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．2
答案：C
分析：根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当BP⊥时，PB取得最小值，由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【详解】如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴∥CE且=，
当点F在EC上除点C、E的位置处时有DP=FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P= ,
∴当点P的运动轨迹是线段，
∴当BP⊥时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=1，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，
∴∠DP2P1=90°，
∴∠DP1P2=45°，
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥，
∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC=1，
∴BP1=,
∴PB的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
答案：D
分析：连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DPBQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PBDQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE==13．
∴PC+PB的最小值为13．
故选：D．
【点睛】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
15．如图，已知矩形中，E、F分别是的中点，连接，，P是上一动点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．3.5
答案：C
分析：如图：连接AC、BD，由BP+PD≥BD，即当点P在EF和BD的交点上时，BP+PD有最小值且为BD,然后再根据三角形中位线求得AC的长，最后根据矩形的性质可得BD=AC即可解答．
【详解】解：如图：连接AC、BD
∵BP+PD≥BD
∴当点P在EF和BD的交点上时，BP+PD有最小值且为BD
∵E、F分别是的中点
∴AC=2EF=4
∵矩形
∴BD=AC=4．
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，确定取最小值时P的位置成为解答本题的关键．
16．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=2，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，，AD=BC=5，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=2，连接PE，
则BE=2AB=4，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴CE=，
∴PC+PB的最小值为，
即PC+QD的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解题的关键．
17．如图，在矩形ABCD中，，，点E在AD上且，点G在AE上且，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则的最小值为( )
A．B．10C．D．8
答案：B
分析：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，此时的值最小，根据已知条件可得，进而可得，在△中，由勾股定理可求的长，即可得出答案．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，
，，
，
，
是的中点，
是的中点，
，
，
此时取得最小值．
，
，
在△中，，
的最小值为10．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，解题的关键是熟练掌握轴对称求最短距离的方法及三角形中位线的性质．
18．如图，矩形ABCD的边，，点E在边上，且，F为边上的一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到，连接，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
答案：D
分析：由旋转的性质可得AE=HE，AF=HG，∠A=∠H=∠AEH=90°，则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，即当HG=AD=3时，GC有最小值，由勾股定理可求解．
【详解】解：将△AEF绕点E顺时针旋转90°得到△HEG，延长HG交BC于点N，
∴AE=HE=1，AF=HG，∠A=∠H=∠AEH=90°，
∴HG∥AB，
则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，
∴当HG=AD=3时，GC有最小值，
∵∠HEB=∠B=∠EHN=90°，
∴四边形EHNB是矩形，
∴HE=BN=1，BE=HN=6，
∴CN=2，GN=3，
∴CG=，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，确定点G在平行于AB且与AB的距离为1的直线上运动是解题的关键．
19．如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC=PF，
∵PB=EF，
∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴AC=2AB，
∴∠ACB=30°，，
∵∠BCE=60°，
∴∠ACE=90°，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查利用旋转变换解决最短路径问题，两点之间线段最短、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
答案：D
分析：设△ABP中AB边上高为h，根据＝S矩形ABCD，可得，从而得到动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离，AE=2+2=4，根据勾股定理求出BE，即可求解．
【详解】解：设△ABP中AB边上高为h，
∵＝S矩形ABCD，
∴，
∴，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离，AE=2+2=4，
在矩形ABCD中，AD⊥AB，
∵直线l∥AB，
∴AD⊥l，
∴点D在AE上，
在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=4，
∴，
即PA+PB的最小值为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，最短距离问题，根据题意得到动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上是解题的关键．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝60°，P、K分别是BD、AD上的点，则PA+PK的最小值为（ ）
A．6B．8C．3+2D．4
答案：A
分析：作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP，当A'、P、K三点共线时，PA+PK的值最小，求出A'K即为所求．
【详解】解：作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP，
由对称性可知，AP=A'P，
∴AP+PK=A'P+PK≥A'K，
∴当A'、P、K三点共线时，PA+PK的值最小，
∵∠ABD=60°，
∴∠BAA'=30°，
∵AB=4，
∴BM=2，AM=2，
∴AA'=4，
在Rt△AA'K中，∠AA'K=30°，
∴A'K=6，
∴AP+PK的最小值为6，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
22．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．4B．8C．D．
答案：C
分析：取CD中点H，连接AH，BH，根据矩形的性质题意得出四边形AECH是平行四边形，可知，然后根据三角形中位线的性质得，得出点P在AH上，然后判断BP的最小值，再求出值即可.
【详解】如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，，
∵点E是AB中点，点H是CD中点，
∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，
∴四边形AECH是平行四边形，
∴，
∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，
∴PH是△CDF的中位线，
∴，
∴点P在AH上，
∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，
∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，，
∴∠AHB＝90°，
∴BP的最小值为.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，中位线的性质和定义等，确定点P的位置是解题的关键．
23．如图，点M、N分别是矩形ABCD的边BC和对角线AC上的动点，连接AM、MN，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
答案：B
分析：根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（定、动）；②动点轨迹为直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，过作，
，即当三点共线，时，的最小值为，
在中，，连接，如上图所示，，则，
在矩形ABCD中，，，则，
，
故选：B．
【点睛】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（）
A．1B．C．D．2
答案：B
分析：当F为BC中点，点E在DF上运动，时，CE有最小值，利用等腰直角三角形的性质求解．
【详解】解：当F为BC中点，点E在DF上运动，时，CE有最小值，如下图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴， ，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，理解相关知识是解答关键．
25．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ）
A．25B．24C．D．13
答案：A
分析：连接，作关于的对称点，连接，可得四边形是平行四边形，从而问题转化为，然后根据轴对称求最值即可
【详解】如图，连接，作关于的对称点，连接，
四边形是矩形
，
四边形是平行四边形，
作关于的对称点，
当三点共线时，取得最小值，
故选A
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最值问题，转化是解题的关键．
26．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别为AD，DC边上的点，且EF＝4，点G为EF的中点，点P为BC的中点，则PG的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．2
答案：B
分析：连接DG，PD，根据题意PG≥PD﹣DG，当、、共线时，取得最小值，进而根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接DG，PD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠EDF＝∠C＝90°，
∵EF＝4，EG＝GF，
∴DG＝EF＝2，
∵PB＝PC＝3，
∴PD＝＝＝5，
∵PG≥PD﹣DG，
∴PG≥3，
∴PG的最小值为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
27．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为（ ）
A．B．8C．D．9
答案：D
分析：将矩形ABCD沿AD边翻折，得到矩形，E、F、G的对应点分别为．连接、，交于点P，交BD于点Q．由此即可知，再根据，即得出当点与P重合，H与Q重合时，有最小值，最小值为的长，此时P为中点．在中，利用勾股定理可求出的长，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即得出，由此即可求出的长，即有最小值．
【详解】解：如图，将矩形ABCD沿AD边翻折，得到矩形，E、F、G的对应点分别为．连接、，交于点P，交BD于点Q．
由翻折可知，
∵，
∴．
即当点与P重合，H与Q重合时，有最小值，最小值为的长，此时P为中点．
∵，
∴，
∴在中，．
∵，， P为中点，
∴，
∴．
∴的最小值为9．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质．正确的作出辅助线是解题的关键．
28．如图，在ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：连接，先证四边形是矩形，则，当时，最小，然后利用三角形面积解答即可．
【详解】解：连接，如图：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
当最小时，也最小，
，，，
，
当时，最小，
此时，，
线段长的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值．
29．如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
答案：A
分析：作出如图的图形，根据轴对称的性质得到PM+PN的最小值为M1N的长，利用三角形中位线定理以及勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，以BD为对称轴作△ABD的轴对称图形△A1BD，取A1B的中点M1，则点M和点M1关于直线BD对称，连接MN，MM1，M1N，AA1，AA1与BD交于点O，M1N与BD交于点P，
此时PM+PN最小，最小值为M1N的长，
在矩形中ABCD中，AB=2，BD=4，
则∠ABD=60°，∠BAO=30°，
∴BO=AB=1，
则AO==，
∴AA1=2，
∵点M，N，M1分别是AB，AD，A1B的中点，
∴MM1和MN分别是△ABA1和△ABD的中位线，且AA1⊥BD，
∴MM1//AA1， MN//BD， MM1=AA1=，MN=BD=2，MM1⊥M1N，
∴M1N=，
则PM+PN的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，根据轴对称的性质得到PM+PN的最小值为M1N的长是解题的关键．
30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4B．2C．1.5D．1.2
答案：D
分析：首先连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得AP＝EF，即AP＝2AM，然后由当AP⊥BC时，AP最小，即可求得AM的最小值．
【详解】解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，
∴AM＝EF＝AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC＝×3×4＝×5×AP，
解得AP＝2.4，
∴AP的最小值为2.4，
∴AM的最小值是1.2，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
A．3B．2C．1D．
2．如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是( )
A．B．C．D．
3．如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
5．如图，在矩形中，，，动点、分别在、上，则的最小值是（ ）cm
A．B．C．6D．3
6．如图，在矩形中，，，连接，是的中点，是上一点，且，是上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
8．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点P为AB边上一动点，点B关于P的对称点为E，连接DE，DE的中点为点F，则AF的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
9．如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（ ）
A．5B．C．6D．
10．如图，矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一点M，N，使的值最小，求这个最小值（ ）
A．B．C．D．
11．如图，ABCD是一张矩形纸片，AB＝20，BC＝4，将纸片沿MN折叠，点，分别是B，C的对应点，MB′与DC交于K，若△MNK的面积为10，则DN的最大值是（ ）
A．7.5B．12.5C．15D．17
12．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为长方形ABCD外一动点，且∠AEC=90°，则线段EF的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．2
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
15．如图，已知矩形中，E、F分别是的中点，连接，，P是上一动点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．3.5
16．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．如图，在矩形ABCD中，，，点E在AD上且，点G在AE上且，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则的最小值为( )
A．B．10C．D．8
18．如图，矩形ABCD的边，，点E在边上，且，F为边上的一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到，连接，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
19．如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（ ）
A．B．C．D．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝60°，P、K分别是BD、AD上的点，则PA+PK的最小值为（ ）
A．6B．8C．3+2D．4
22．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．4B．8C．D．
23．如图，点M、N分别是矩形ABCD的边BC和对角线AC上的动点，连接AM、MN，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
24．如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（）
A．1B．C．D．2
25．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ）
A．25B．24C．D．13
26．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别为AD，DC边上的点，且EF＝4，点G为EF的中点，点P为BC的中点，则PG的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．2
27．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为（ ）
A．B．8C．D．9
28．如图，在ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
29．如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4B．2C．1.5D．1.2
专题22 矩形中的最值小题特训30道
1．如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作等边，且点在矩形内，连接，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．
答案：B
分析：以为边作等边三角形，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，由“”可证，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，过点H作于N，于M，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∴点F与点M重合时，，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是( )
A．B．C．D．
答案：B
分析：如图作交的延长线于，于，交于．则．设由，推出，在中，勾股定理求得，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图作交的延长线于，于，交于．则．设
，
，，
，
，
，
，
在中，
时，有最大值，最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题．
3．如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：如图作点关于的对称点，连接，，由，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值．
【详解】解：如图作点关于的对称点，连接，．
在中，
，，
．，
，
，
是定值，
当、、、共线时，定值最小，最小值，
的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
4．如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
答案：C
分析：连接NG，ND，GD，由翻折可得△CDN≌△HGN，则，要求NH的最小值，即求GN的最小值，以此得出当点G与点B重合时，GN最小，设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，，，
以翻折后，点与点重合，
，，，
，
四边形为矩形，，
，
当的最小时，最小，
由图可知，当点与点重合时，最小，
设，则，，
在中，
，
，
解得：，
的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查折叠问题、勾股定理，解答本题的关键是能找到点G与点B重合时，NH最小，这是解答本题的突破口．
5．如图，在矩形中，，，动点、分别在、上，则的最小值是（ ）cm
A．B．C．6D．3
答案：B
分析：先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出，进而求出，最后用含角的直角三角形的性质即可求出的最小值
【详解】解：如图，作出点C关于的对称点E，过点E作于N，交于M，连接，此时最小．
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由对称得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
即：的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，含角的直角三角形的性质，解本题的关键是确定出满足条件的点的位置．
6．如图，在矩形中，，，连接，是的中点，是上一点，且，是上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：连接 并延长交于P，则此时，的值最大，且的最大值为，根据全等三角形的性质得到，，得到，过M作于N，得到四边形是矩形，得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在矩形中，，，
，
连接并延长交于，
则此时，的最大，且的最大值为，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴
过作于，
四边形是矩形，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
答案：D
分析：由勾股定理和折叠的性质可求，，由三角形的三边关系，，则当点在上时，有最小值为，由三角形的中位线定理可求解．
【详解】解：如图，连接，，
，，
，
将沿折叠，
，
在△中，，
当点在上时，有最小值为，
，分别为，的中点，
，
的最小值为1，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，求出的最小值是解题的关键．
8．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点P为AB边上一动点，点B关于P的对称点为E，连接DE，DE的中点为点F，则AF的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
答案：C
分析：取的中点，连接，，根据，当共线时，最小，勾股定理求得，中位线的性质求得，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
∵矩形ABCD中，AB=6，BC=4，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∵DE的中点为点F，
∴，
在中，，
∵，
∴，当三点共线时取得等于号，
即的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，中位线的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，添加辅助线是解题的关键．
9．如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（ ）
A．5B．C．6D．
答案：B
分析：作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可．
【详解】如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，
， ，
四边形是平行四边形，
，
，
，，为边的中点，
，，
由勾股定理得：
即的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确的做出辅助线．
10．如图，矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一点M，N，使的值最小，求这个最小值（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，连接HN，由对称性可得AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，可得MN+BM＝HM+MN，则当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，根据两点之间线段最短可得MN+BM的最小值为HN，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求AO的长，利用等面积法即可求解．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，连接HN，
∴AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，
∴MN+BM＝HM+MN，
∴当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝，
∵S△ABC＝×AB×BC＝AC×BO，
∴BO＝，
∴BH＝，
在中，
，
∵HN⊥AB，
S△ABH＝×AB×HN＝BH×AO，
∴MN+BM的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，利用面积法求出BO是解题的关键．
11．如图，ABCD是一张矩形纸片，AB＝20，BC＝4，将纸片沿MN折叠，点，分别是B，C的对应点，MB′与DC交于K，若△MNK的面积为10，则DN的最大值是（ ）
A．7.5B．12.5C．15D．17
答案：D
分析：作NE⊥于E，NF⊥BM于F，由折叠得∠1＝∠2，根据角平分线的性质得NE＝NF，可得四边形BCNF是矩形，则NF＝BC＝4，根据△MNK的面积为10得NK＝MK＝5，根据勾股定理得KE＝3，则MF＝ME＝MK﹣KE＝5﹣3＝2，设DN＝x，则CN＝20﹣x，BM＝BF+MF＝20﹣x+2＝22﹣x，由折叠可得BM≥KM，即22﹣x≥5．可得x≤17，即可得DN≤17，则DN的最大值是17．
【详解】解：如图所示，过点N作NE⊥于E，NF⊥BM于F，
由折叠得∠1＝∠2，
∴NE＝NF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BFN＝90°，，
∴四边形BCNF是矩形，∠DNM=∠2，
∴NE＝NF＝BC＝4，∠1=∠DNM，
∴NK=MK，
∵△MNK的面积为10，
∴KM•NE＝KN•NF＝10，
∴NK＝MK＝5，
∴KE＝＝3，
在△MEN和△MFN中，
，
∴△MEN≌△MFN（AAS），
∴MF＝ME＝MK﹣KE＝5﹣3＝2，
设DN＝x，则CN＝BF＝20﹣x，
∴BM＝BF+MF＝20﹣x+2＝22﹣x，
由折叠得BM≥KM，即22﹣x≥5．
∴x≤17，即DN≤17，
∴DN的最大值是17．
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
12．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为长方形ABCD外一动点，且∠AEC=90°，则线段EF的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案：C
分析：连接AC，取AC的中点O，求出OF、OE，当O、E、F三点共线时EF最大，据此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点O，
∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=90°，F为CD的中点，
∴AC==10，
∵AO=OC，CF=FD，
∴OF=AD=BC=4，
∵∠AEC=90°，
∴OE=AC=×10=5，
当O、E、F三点共线时EF最大，
此时EF的最大值为4+5=9．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，作辅助线并判断出EF最大时的情况是解题的关键．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．2
答案：C
分析：根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当BP⊥时，PB取得最小值，由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【详解】如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴∥CE且=，
当点F在EC上除点C、E的位置处时有DP=FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P= ,
∴当点P的运动轨迹是线段，
∴当BP⊥时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=1，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，
∴∠DP2P1=90°，
∴∠DP1P2=45°，
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥，
∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC=1，
∴BP1=,
∴PB的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
答案：D
分析：连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DPBQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PBDQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE==13．
∴PC+PB的最小值为13．
故选：D．
【点睛】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
15．如图，已知矩形中，E、F分别是的中点，连接，，P是上一动点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．3.5
答案：C
分析：如图：连接AC、BD，由BP+PD≥BD，即当点P在EF和BD的交点上时，BP+PD有最小值且为BD,然后再根据三角形中位线求得AC的长，最后根据矩形的性质可得BD=AC即可解答．
【详解】解：如图：连接AC、BD
∵BP+PD≥BD
∴当点P在EF和BD的交点上时，BP+PD有最小值且为BD
∵E、F分别是的中点
∴AC=2EF=4
∵矩形
∴BD=AC=4．
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，确定取最小值时P的位置成为解答本题的关键．
16．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=2，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，，AD=BC=5，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=2，连接PE，
则BE=2AB=4，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴CE=，
∴PC+PB的最小值为，
即PC+QD的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解题的关键．
17．如图，在矩形ABCD中，，，点E在AD上且，点G在AE上且，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则的最小值为( )
A．B．10C．D．8
答案：B
分析：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，此时的值最小，根据已知条件可得，进而可得，在△中，由勾股定理可求的长，即可得出答案．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，
，，
，
，
是的中点，
是的中点，
，
，
此时取得最小值．
，
，
在△中，，
的最小值为10．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，解题的关键是熟练掌握轴对称求最短距离的方法及三角形中位线的性质．
18．如图，矩形ABCD的边，，点E在边上，且，F为边上的一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到，连接，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
答案：D
分析：由旋转的性质可得AE=HE，AF=HG，∠A=∠H=∠AEH=90°，则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，即当HG=AD=3时，GC有最小值，由勾股定理可求解．
【详解】解：将△AEF绕点E顺时针旋转90°得到△HEG，延长HG交BC于点N，
∴AE=HE=1，AF=HG，∠A=∠H=∠AEH=90°，
∴HG∥AB，
则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，
∴当HG=AD=3时，GC有最小值，
∵∠HEB=∠B=∠EHN=90°，
∴四边形EHNB是矩形，
∴HE=BN=1，BE=HN=6，
∴CN=2，GN=3，
∴CG=，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，确定点G在平行于AB且与AB的距离为1的直线上运动是解题的关键．
19．如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC=PF，
∵PB=EF，
∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴AC=2AB，
∴∠ACB=30°，，
∵∠BCE=60°，
∴∠ACE=90°，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查利用旋转变换解决最短路径问题，两点之间线段最短、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
答案：D
分析：设△ABP中AB边上高为h，根据＝S矩形ABCD，可得，从而得到动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离，AE=2+2=4，根据勾股定理求出BE，即可求解．
【详解】解：设△ABP中AB边上高为h，
∵＝S矩形ABCD，
∴，
∴，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离，AE=2+2=4，
在矩形ABCD中，AD⊥AB，
∵直线l∥AB，
∴AD⊥l，
∴点D在AE上，
在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=4，
∴，
即PA+PB的最小值为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，最短距离问题，根据题意得到动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上是解题的关键．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝60°，P、K分别是BD、AD上的点，则PA+PK的最小值为（ ）
A．6B．8C．3+2D．4
答案：A
分析：作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP，当A'、P、K三点共线时，PA+PK的值最小，求出A'K即为所求．
【详解】解：作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP，
由对称性可知，AP=A'P，
∴AP+PK=A'P+PK≥A'K，
∴当A'、P、K三点共线时，PA+PK的值最小，
∵∠ABD=60°，
∴∠BAA'=30°，
∵AB=4，
∴BM=2，AM=2，
∴AA'=4，
在Rt△AA'K中，∠AA'K=30°，
∴A'K=6，
∴AP+PK的最小值为6，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
22．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．4B．8C．D．
答案：C
分析：取CD中点H，连接AH，BH，根据矩形的性质题意得出四边形AECH是平行四边形，可知，然后根据三角形中位线的性质得，得出点P在AH上，然后判断BP的最小值，再求出值即可.
【详解】如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，，
∵点E是AB中点，点H是CD中点，
∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，
∴四边形AECH是平行四边形，
∴，
∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，
∴PH是△CDF的中位线，
∴，
∴点P在AH上，
∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，
∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，，
∴∠AHB＝90°，
∴BP的最小值为.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，中位线的性质和定义等，确定点P的位置是解题的关键．
23．如图，点M、N分别是矩形ABCD的边BC和对角线AC上的动点，连接AM、MN，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
答案：B
分析：根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（定、动）；②动点轨迹为直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，过作，
，即当三点共线，时，的最小值为，
在中，，连接，如上图所示，，则，
在矩形ABCD中，，，则，
，
故选：B．
【点睛】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（）
A．1B．C．D．2
答案：B
分析：当F为BC中点，点E在DF上运动，时，CE有最小值，利用等腰直角三角形的性质求解．
【详解】解：当F为BC中点，点E在DF上运动，时，CE有最小值，如下图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴， ，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，理解相关知识是解答关键．
25．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ）
A．25B．24C．D．13
答案：A
分析：连接，作关于的对称点，连接，可得四边形是平行四边形，从而问题转化为，然后根据轴对称求最值即可
【详解】如图，连接，作关于的对称点，连接，
四边形是矩形
，
四边形是平行四边形，
作关于的对称点，
当三点共线时，取得最小值，
故选A
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最值问题，转化是解题的关键．
26．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别为AD，DC边上的点，且EF＝4，点G为EF的中点，点P为BC的中点，则PG的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．2
答案：B
分析：连接DG，PD，根据题意PG≥PD﹣DG，当、、共线时，取得最小值，进而根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接DG，PD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠EDF＝∠C＝90°，
∵EF＝4，EG＝GF，
∴DG＝EF＝2，
∵PB＝PC＝3，
∴PD＝＝＝5，
∵PG≥PD﹣DG，
∴PG≥3，
∴PG的最小值为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
27．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为（ ）
A．B．8C．D．9
答案：D
分析：将矩形ABCD沿AD边翻折，得到矩形，E、F、G的对应点分别为．连接、，交于点P，交BD于点Q．由此即可知，再根据，即得出当点与P重合，H与Q重合时，有最小值，最小值为的长，此时P为中点．在中，利用勾股定理可求出的长，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即得出，由此即可求出的长，即有最小值．
【详解】解：如图，将矩形ABCD沿AD边翻折，得到矩形，E、F、G的对应点分别为．连接、，交于点P，交BD于点Q．
由翻折可知，
∵，
∴．
即当点与P重合，H与Q重合时，有最小值，最小值为的长，此时P为中点．
∵，
∴，
∴在中，．
∵，， P为中点，
∴，
∴．
∴的最小值为9．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质．正确的作出辅助线是解题的关键．
28．如图，在ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：连接，先证四边形是矩形，则，当时，最小，然后利用三角形面积解答即可．
【详解】解：连接，如图：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
当最小时，也最小，
，，，
，
当时，最小，
此时，，
线段长的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值．
29．如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
答案：A
分析：作出如图的图形，根据轴对称的性质得到PM+PN的最小值为M1N的长，利用三角形中位线定理以及勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，以BD为对称轴作△ABD的轴对称图形△A1BD，取A1B的中点M1，则点M和点M1关于直线BD对称，连接MN，MM1，M1N，AA1，AA1与BD交于点O，M1N与BD交于点P，
此时PM+PN最小，最小值为M1N的长，
在矩形中ABCD中，AB=2，BD=4，
则∠ABD=60°，∠BAO=30°，
∴BO=AB=1，
则AO==，
∴AA1=2，
∵点M，N，M1分别是AB，AD，A1B的中点，
∴MM1和MN分别是△ABA1和△ABD的中位线，且AA1⊥BD，
∴MM1//AA1， MN//BD， MM1=AA1=，MN=BD=2，MM1⊥M1N，
∴M1N=，
则PM+PN的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，根据轴对称的性质得到PM+PN的最小值为M1N的长是解题的关键．
30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4B．2C．1.5D．1.2
答案：D
分析：首先连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得AP＝EF，即AP＝2AM，然后由当AP⊥BC时，AP最小，即可求得AM的最小值．
【详解】解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，
∴AM＝EF＝AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC＝×3×4＝×5×AP，
解得AP＝2.4，
∴AP的最小值为2.4，
∴AM的最小值是1.2，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
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