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人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题24正方形中的最值小题特训30道(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题24正方形中的最值小题特训30道(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了5D等内容，欢迎下载使用。
1．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
2．如图，正方形的边长为 ，是对角线上一动点（点与端点不重合 ），于点，于点，连接，则长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，正方形ABCD，AB＝，E、F、G、H分别为DA、AB、BC、CD上的动点，且EG⊥FH，则四边形EFGH的面积最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，正方形的边长为，是的中点，、是对角线上的两个动点，且，点是中点，连接，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图边长为4的正方形中，为边上一点，且， 为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，连接，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
7．如图，在正方形中，、分别为、上的点，且平分，，为线段上的动点，记的最小值为，若正方形边长为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，E、F是正方形边上的两个动点且，连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C旋转，得到正方形CEFG，在旋转过程中，则线段AE的最小值为（ ）
A．B．-1C．0．5D．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）
A．2－2B．2C．3－1D．2
11．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为(2，0)，P是OB上的动点，试求PDPA和的最小值是（ ）
A．2B．C．2D．6
12．如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．如图，E，F是正方形边上的两点，，以为边向正方形内作矩形，，若矩形在正方形内可随线段进行自由滑动，则正方形边长的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
14．如图，正方形边长为，，分别为线段，上一点，且，，与相交于，为线段上一点（不与端点重合），为线段上一点（不与端点重合），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）
A．B．C．D．
16．如图，已知正方形的边长为，点是边上-动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
17．如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，E是的中点、P是上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ=2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（ ）
A．B．C．8D．
19．如图，已知正方形的边长为，点为正方形的中心，点为边上一动点，直线交于点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
20．如图，正方形的边长为，点为对角线上的两个动点，且满足，点是上一点，且，连接，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
21．如图，在边长为8的正方形中，、分别是边、上的动点，且，为中点，是边上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．10B．C．D．
22．如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为
A．2B．C．4D．
23．在边长为1的正方形中，点分别在边上，如果，，则四边形周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
24．如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（ ）
A．2B．2C．4﹣2D．2﹣2
25．如图，在正方形中，点E，F在边上，且，P为对角线上一点，则下列线段的长等于的最小值的是
A．B．C．D．
26．如图，已知线段AB=12，点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=2，点P是线段MN上的动点，分别以线段AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC、正方形PBFE，点G、H分别是CD、EF的中点，点O是GH的中点，当P点从M点到N点运动过程中，OM+OB的最小值是（ ）
A．10B．12C．2 D．12
27．如图，正方形ABCD的边长为3厘米，正方形AEFG的边长为1厘米．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点之间的距离的最大值为( )
A．cmB．3cmC．cmD．4cm
28．如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线的同侧，边AD，EH在直线上，且AD=5 cm,EH=4 cm, EF=3 cm.保持正方形ABCD不动，将矩形EFGH沿直线左右移动，连接BF、CG，则BF+CG的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
29．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ）
A．2
B．4
C．
D．
30．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB=MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB=6，则当AN+PM取最小值时，线段AN的长度为（ ）
A．4B．2C．6D．3
专题24 正方形中的最值小题特训30道
1．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
答案：C
分析：由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，
则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，
在Rt△BCM中，BM＝ ，
故DN+MN的最小值是5．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．
2．如图，正方形的边长为 ，是对角线上一动点（点与端点不重合 ），于点，于点，连接，则长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：连接 ，易证四边形是矩形，可得；当动点运动到时，根据“垂线段最短” ，可知点到点的距离最小，则此时长度的值最小．因为四边形是正方形，可以证明此时的△是等腰直角三角形，据此即可求得答案 ．
【详解】连接 ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
又∵，，
∴四边形ANOM是矩形，
∴，即AO取最小值时，MN最小，
当时，AO最短，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴;
故选B．
【点睛】本题主要考查了正方形以及矩形的性质，垂线段最短，准确计算是解题的关键．
3．如图，正方形ABCD，AB＝，E、F、G、H分别为DA、AB、BC、CD上的动点，且EG⊥FH，则四边形EFGH的面积最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：作EN⊥BC于点N，FM⊥CD于点M，通过证明△FMH≌△ENG得出EG＝FH，再由求解．
【详解】解：作EN⊥BC于点N，FM⊥CD于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴EN＝FM＝AB＝BC＝，
∵EG⊥FH，∠D＝90°，
∴∠DEG+∠MHO＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠DEG+∠EGN＝180°，
∴∠MHO＝∠EGN，
∴△FMH≌△ENG（AAS），
∴EG＝FH，
∵，AB≤EG，
∴四边形EFGH的面积最小值为AB2＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了四边形的面积计算．利用切割法求出是本题解题的关键．
4．如图，正方形的边长为，是的中点，、是对角线上的两个动点，且，点是中点，连接，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：连接，，根据数量关系确定EF+BG的最小值为PD的长度，求出PD的值即可．
【详解】解：如图，连接，，
由题意得，为的中位线，
∴且，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据正方形的对称性可知，，
∴，
当，，在同一条直线上时，取得最小值，
即此时的最小值为线段的长度．
在中，，，
∴,
故的最小值为.
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质及最短路线问题，正确确定最短路线是解答此题的关键．
5．如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：取的中点，连接MN，根据三角形中位线的性质可求出MN的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM的最小值．
【详解】解：因为，为的中点，
取的中点，连接MN，CN，
易得，
所以.
在点的运动过程中，的值不变，
因为，
当，，三点在同一条直线上时，最小，
此时．
故选：D
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．
6．如图边长为4的正方形中，为边上一点，且， 为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，连接，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
答案：A
分析：过点作交于点，过点作交于点，根据绕点顺时针旋转得到线段，可得，，利用易证，再根据四边形是矩形，可得，,设，则，，，根据勾股定理可得，即当时，有最小值．
【详解】解：如图示：过点作交于点，过点作交于点，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
又∵
∴
∵，四边形是正方形，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，,
设，则，， ，
在中，，
即当时，有最小值，
∴当时，最小值是，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，最值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
7．如图，在正方形中，、分别为、上的点，且平分，，为线段上的动点，记的最小值为，若正方形边长为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：连接EG，BP，由题意得当点P与点G重合时，的值最小=BF，再证明，从而得是等腰直角三角形，设CF=BE=GE=x，则EC=，列方程求出x的值，进而即可求解．
【详解】解：连接EG，BP，
∵点B与点D关于AC对称，
∴=，
∴当点P与点G重合时，的值最小=BF，
∵在正方形中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵，
∴，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABM=∠CBF+∠ABM=90°，
即：∠AMB=∠AMG=90°，
∵平分，
∴∠BAM=∠GAM，
又∵AM=AM，
∴
∴AB=AG，
又∵AE=AE，
∴
∴∠AGE=∠ABE=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴设CF=BE=GE=x，
则EC=，
∴x+=，
解得：，
∴BF=，
即：，
∴=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形来求解．
8．如图，E、F是正方形边上的两个动点且，连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．
【详解】解：延长AG交CD于M，如图1
∵ABCD是正方形
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG
∴△ADG≌△DGC
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC
∴△ADM≌△CDF
∴FD=DM且AE=DF
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°
∴△ABE≌△ADM
∴∠DAM=∠ABE
∵∠DAM+∠BAM=90°
∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°
∴点H是以AB为直径的圆上一点．
如图2，取AB中点O，连接OD，OH
∵AB=AD=2，O是AB中点，∴AO=1=OH，
在Rt△AOD中，OD=，
∵DH≥OD-OH，
∴DH≥，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．
9．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C旋转，得到正方形CEFG，在旋转过程中，则线段AE的最小值为（ ）
A．B．-1C．0．5D．
答案：B
分析：分析题易可知点E的运动轨迹是以DC为半径以C为圆心的圆，当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小．
【详解】解：如图所示，连接AC
∵正方形边长为1
∴AC=
当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小
∴AE=AC-CE=-1
故选：B
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）
A．2－2B．2C．3－1D．2
答案：A
分析：先证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，证出∠APB＝90°，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧BG，连接OC交圆O于P，此时PC最小，OP＝OB＝2，即可求解．
【详解】由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，
在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP＋∠CBN＝90°，
∴∠ABP＋∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧BG，是这个圆的，
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝4，
∴OP＝OB＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴PC＝OC−OP＝2−2；
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．
11．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为(2，0)，P是OB上的动点，试求PDPA和的最小值是（ ）
A．2B．C．2D．6
答案：A
分析：根据题意作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长，利用勾股定理进行计算即可求解．
【详解】解：作出D关于OB的对称点D′，
则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长．
则OD′=2，
因而AD′=．
则PD+PA和的最小值是2．
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质以及最短路线问题，根据题意正确作出P的位置以及运用勾股定理进行计算是解题的关键．
12．如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：连接，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，易得，当D、E、A′在同一直线时，最小，利用勾股定理求解即可．
【详解】连接，根据正方形的性质及，可得△DCE≌△ADF，
则有，
，
作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
则AE=A ′E，
即，
当D、E、A′在同一直线时，最小，
AA′=2AB=4，
此时，在Rt△ADA′中，DA′=，
故的最小值为，
故答案为：D．
【点睛】本题考查正方形的性质和最短距离问题，解题的关键是把两条线段的和转化在同一条线段上求解．
13．如图，E，F是正方形边上的两点，，以为边向正方形内作矩形，，若矩形在正方形内可随线段进行自由滑动，则正方形边长的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
答案：B
分析：连接HF，如图，根据矩形的性质和勾股定理可得HF的长，过点H作HM⊥AB于点M，则MB≤HF，于是可得MB的最大值，进而可得正方形边长的最小值．
【详解】解：连接HF，如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF=90°，
∴，
过点H作HM⊥AB于点M，则MB≤HF，∴MB≤4，
根据题意，AB≥MB，
∴正方形边长的最小值为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
14．如图，正方形边长为，，分别为线段，上一点，且，，与相交于，为线段上一点（不与端点重合），为线段上一点（不与端点重合），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：作点E关于AC的对称点K，EI+IJ=KI+KJ，当EJ⊥DF时有最小值，如下图所示，延长KJ交DC于N点，过N作NM∥AD，得到△KMN≌△FCD，再由△DJ0N∽△DCF求出J0N，最后KN减去J0N即为所求.
【详解】解：如图，作点E关于AC的对称点K，当EJ⊥DF时EI+IJ有最小值为KJ0，此时设KN与DF、CD的交点分别为J0和N点，过N点作MN∥AD交AB于点M.
∵∠KND+∠FDC=90°，
∠DFC+∠FDC=90°
∴∠KND=∠DFC
又∵AB∥CD
∴∠MKN=∠KND=∠DFC
在△MKN和△CFD中
，∴△MKN≌△CFD(AAS)
∴,
又△DJ0N∽△DCF
∴，代入数据：，得
∴.
故答案为：C.
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质和判定、线段最值问题等，两条折线段的最值问题一般通过平移、对称等转移到一条线段上去，然后再根据两点之间线段最短或点到直线的距离垂线段最短求解即可.
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）
A．B．C．D．
答案：D
分析：连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
【详解】解：解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE＋DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80
∴DH＝4
∴BF＋DE最小值为4
故选： D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
16．如图，已知正方形的边长为，点是边上-动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE（AAS），确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，求出DC'=即可．
【详解】解：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF=DE，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG=AE，
∴F点在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点C'，
∵EG=DA，FG=AE，
∴AE=BG，
∴BG=FG，
∴∠FBG=45°，
∴∠CBF=45°，
∴C'点在AB的延长线上，
当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，
在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，
∴DC'=，
∴DF+CF的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，E是的中点、P是上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：作点B关于的对称点，连接，与的交点，即符和条件的点，再求出，的坐标，根据勾股定理求出的值，即为的最小值．
【详解】解：作点B关于的对称点，连接交于，
此时，的值最小，最小值为的长，
∵线段所在直线的解析式为，
∴当x=0时，y=4；
当y=0时，x=4；
∴，，
∴，，
是的中点，
∴，
∵是点B关于的对称点，
∴，，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴的最小值是．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称最短路径的确定方法是解题的关键．
18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ=2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（ ）
A．B．C．8D．
答案：B
分析：如图，过点D作DE∥AC，且点E在AD上方，DE=2，连接BE交AC于点P，取PQ=2，连接BE，DQ，BD．B，P，E三点共线，此时△BPQ的周长=BP+BQ+PQ=BE+2最小
【详解】解：如图，过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，两直线相交于点点D；
过点D作DE∥AC，且点E在AD上方，DE=2，连接BE交AC于点P，取PQ=2，连接DQ，BD，
∴四边形ABCD为正方形，点Q是对角线AC上的一点，AB=6，
∴BQ=QD，BD⊥AC，BD=AC=6，
∵DE∥PQ，DE=PQ，
∵四边形PQDE为平行四边形，
∴PE=DQ=BQ，
∵B，P，E三点共线，
∴此时△BPQ的周长=BP+BQ+PQ=BE+2最小．
∵BD⊥AC，
∴BD⊥DE，即∠BDE=90°，
∴BE==2，
∴△BPQ周长的最小值为2+2，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形、正方形的性质是解题的关键．
19．如图，已知正方形的边长为，点为正方形的中心，点为边上一动点，直线交于点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
答案：D
分析：连接OD，AC，取OD中点F，由∠OED=90°可证得点E在以OD中点F为圆心，DF为半径的圆上，进而可知当点C、E、F三点在同一直线上时，CE取最小值，由正方形的性质可得OD=OC=2，进而可得OF=1，最后用勾股定理即可求得CF的长，进而可求得CE的最小值．
【详解】解：连接OD，AC，
由题意可知，在正方形中，OD⊥AC，
∵在△ODE中OD的长为定值，∠OED始终为90°，
∴点E在以OD中点F为圆心，OD为直径的圆上，
连接EF，CE，当点C、E、F三点在同一直线上时，CE取最小值，
∵正方形的边长为，点O为正方形中心，
∴，
∴，
∴在Rt△ABC中，，
∴CE的最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，直径的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
20．如图，正方形的边长为，点为对角线上的两个动点，且满足，点是上一点，且，连接，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
答案：A
分析：如图，过点作，交于点，连接，先证明，得到，，根据一组对边平行且相等的四边形的平行四边形，得到四边形为平行四边形，从而得到，确定当三点共线时，取得最小值，再利用勾股定理求出AG即可．
【详解】解析：如图，过点作，交于点，连接．
∵，
∴，
∵
∴．
∴，
又∵，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
连接，交于点．当三点共线时，取得最小值，此时点与点H重合，
∵，CD=AD=，
∵，
即的最小值为，
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的应用等知识点，解题的关键是通过证明四边形为平行四边形，确定当三点共线时，取得最小值．
21．如图，在边长为8的正方形中，、分别是边、上的动点，且，为中点，是边上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．10B．C．D．
答案：B
分析：延长CD到C′，使C′D＝CD，CP＋PM＝C′P＋PM，当C′，P，N三点共线时，C′P＋PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B−3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】延长CD到C′，使C′D＝CD，
CP＋PM＝C′P＋PM，
当C′，P，M三点共线时，C′P＋PM的值最小，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，
圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B−3，
∵BC＝CD＝8，
∴CC′＝16，
∴C′B＝，
∴CP＋PM的最小值是−3，
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．
22．如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为
A．2B．C．4D．
答案：B
分析：连接PD，根据△ADP≌△ABP，即可得出PD＝PB，进而得到当D，P，E在同一直线上时，BP＋EP的最小值等于线段DE的长，再根据勾股定理求得DE的长，即可得出PE＋PB的最小值为．
【详解】解：如图所示，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，
正方形的面积是4，点是边的中点，
，，
在中，，
的最小值为，
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题的关键．
23．在边长为1的正方形中，点分别在边上，如果，，则四边形周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据题意正方形ABCD，找出点E和F，然后分别找出点E关于AD的对称点和点F关于CD的对称点，连接，交AD和CD分别交于点H和G，连接EF、EH和FG，根据对称的性质和垂线段最短即可得出此时四边形周长最小，且最长值为EF＋，然后利用勾股定理求值即可．
【详解】解：画出正方形ABCD，取AB的中点E，此时，在BC上找到点F，使，然后分别找出点E关于AD的对称点和点F关于CD的对称点，连接，交AD和CD分别交于点H和G，连接EF、EH和FG
∴，，CF=
根据勾股定理可得EF=
根据对称的性质：EH=H，EA=A=，FG=G，FC=C=
∴四边形周长=EF＋FG＋GH＋EH=EF＋G＋GH＋H=EF＋，其中EF为定值，根据两点之间线段最短可得，此时四边形周长最小，且最长值为EF＋
在Rt△B中，=AB＋A=，=BC＋C=
根据勾股定理可得
∴EF＋=
即四边形周长的最小值为
故选C．
【点睛】此题考查的是正方形的性质、对称的性质应用和勾股定理，掌握正方形的性质、垂线段最短，对称的性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
24．如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（ ）
A．2B．2C．4﹣2D．2﹣2
答案：D
分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取BC的中点O，连接OP、OA，然后求出OP＝CB＝2，利用勾股定理列式求出OA，然后根据三角形的三边关系可知当O、P、A三点共线时，AP的长度最小．
【详解】解：在正方形ABCD中，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠ABC＝90°，
在△ABE和△BCF中，
∵，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE＝∠BCF，
∵∠ABE+∠CBP＝90°
∴∠BCF+∠CBP＝90°
∴∠BPC＝90°
如图，取BC的中点O，连接OP、OA，
则OP＝BC＝2，
在Rt△AOB中，OA＝，
根据三角形的三边关系，OP+AP≥OA，
∴当O、P、A三点共线时，AP的长度最小，
AP的最小值＝OA﹣OP＝﹣2．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系. 确定出AP最小值时点P的位置是解题关键，也是本题的难点.
25．如图，在正方形中，点E，F在边上，且，P为对角线上一点，则下列线段的长等于的最小值的是
A．B．C．D．
答案：A
分析：连接交于点P，得出PB=PD，可得出PD+PE=PB+PE，线段BE即为所求，结合已知条件可证，有BE=AF，从而得出答案．
【详解】解：如图，连接交于点P，
∵点B与点D关于对称，
∴，∴的最小值即为的最小值，
当三点共线时，最小，最小值为的长，此时点P即为所求作的点P.
∵，∴，
∵，，
∴，
∴，∴线段的长等于的最小值．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及性质，正方形的性质，利用轴对称求最短距离等，属于中等难度题．失分的原因有2个：（1）不能灵活运用正方形的性质；（2）对利用轴对称的性质求最值掌握不到位．
26．如图，已知线段AB=12，点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=2，点P是线段MN上的动点，分别以线段AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC、正方形PBFE，点G、H分别是CD、EF的中点，点O是GH的中点，当P点从M点到N点运动过程中，OM+OB的最小值是（ ）
A．10B．12C．2 D．12
答案：C
分析：作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O，由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小，根据勾股定理即可求出BM'的值．
【详解】解：作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O．O′O″⊥A于O″B．GL⊥AB于L，HT⊥AB于T．
由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小（O′O″= （GL+HT）=6），
在Rt△BMM′中，MM′=2O′O″=2×6=12，BM=10，
由勾股定理得：BM′= =2，
∴OM+OB的最小值为2，
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．
27．如图，正方形ABCD的边长为3厘米，正方形AEFG的边长为1厘米．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点之间的距离的最大值为( )
A．cmB．3cmC．cmD．4cm
答案：A
分析：当C、F的距离最大时，C、A、F三点在同一条直线上，即CF的最大值为两个正方形对角线的和，由此得解．
【详解】由图知：当F、A、C三点共线时，CF的值最大，且最大值为两个正方形的对角线的和；
那么CFmax＝
故选A．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确的判断出CF最大时F点的位置是解答此题的关键．
28．如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线的同侧，边AD，EH在直线上，且AD=5 cm,EH=4 cm, EF=3 cm.保持正方形ABCD不动，将矩形EFGH沿直线左右移动，连接BF、CG，则BF+CG的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
答案：B
分析：作点C关于FG的对称点P，连接GP，以FG，PG为邻边作平行四边形PGFQ，则BF＋CG＝BF＋QF，当B，F，Q三点共线时，BF＋CG的最小值为BQ的长，过点Q作QN⊥AB于N，依据勾股定理即可得到在Rt△BNQ中，BQ＝，即可得出BF＋CG的最小值为．
【详解】解：如图所示，作点C关于FG的对称点P，连接GP，
以FG，PG为邻边作平行四边形PGFQ，则FQ＝PG＝CG，FG＝QP＝4，
∴BF＋CG＝BF＋QF，
∴当B，F，Q三点共线时，BF＋CG的最小值为BQ的长，
过点Q作QN⊥AB于N，
由题可得BN＝2（5−3）＝4，NQ＝5−4＝1，
∴Rt△BNQ中，BQ＝，
∴BF＋CG的最小值为，
故选B.
【点睛】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
29．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ）
A．2
B．4
C．
D．
答案：C
分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【详解】作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D’，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2，
即DQ+PQ的最小值为2，
故答案为C．
【点睛】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的
30．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB=MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB=6，则当AN+PM取最小值时，线段AN的长度为（ ）
A．4B．2C．6D．3
答案：B
【详解】分析：过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小，根据三角形的中位线的性质得到PE=BD，根据平行四边形的性质得到EN=PM，根据勾股定理得到AE==3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
详解：过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小．
∵P是BC的中点，∴E为CD的中点，∴PE=BD．
∵AB=BD，AB=MN，∴MN=BD，∴PE=MN，∴四边形PENM是平行四边形，∴EN=PM．
∵AE==3．
∵AB∥CD，∴△ABN∽△EDN，∴==2，∴AN=2．
故选B．
点睛：本题是四边形的综合题．考查了正方形的性质，轴对称﹣最短距离问题，平行三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，正确的作出M，N的位置是解题的关键．
1．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
2．如图，正方形的边长为 ，是对角线上一动点（点与端点不重合 ），于点，于点，连接，则长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，正方形ABCD，AB＝，E、F、G、H分别为DA、AB、BC、CD上的动点，且EG⊥FH，则四边形EFGH的面积最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，正方形的边长为，是的中点，、是对角线上的两个动点，且，点是中点，连接，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图边长为4的正方形中，为边上一点，且， 为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，连接，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
7．如图，在正方形中，、分别为、上的点，且平分，，为线段上的动点，记的最小值为，若正方形边长为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，E、F是正方形边上的两个动点且，连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C旋转，得到正方形CEFG，在旋转过程中，则线段AE的最小值为（ ）
A．B．-1C．0．5D．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）
A．2－2B．2C．3－1D．2
11．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为(2，0)，P是OB上的动点，试求PDPA和的最小值是（ ）
A．2B．C．2D．6
12．如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．如图，E，F是正方形边上的两点，，以为边向正方形内作矩形，，若矩形在正方形内可随线段进行自由滑动，则正方形边长的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
14．如图，正方形边长为，，分别为线段，上一点，且，，与相交于，为线段上一点（不与端点重合），为线段上一点（不与端点重合），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）
A．B．C．D．
16．如图，已知正方形的边长为，点是边上-动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
17．如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，E是的中点、P是上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ=2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（ ）
A．B．C．8D．
19．如图，已知正方形的边长为，点为正方形的中心，点为边上一动点，直线交于点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
20．如图，正方形的边长为，点为对角线上的两个动点，且满足，点是上一点，且，连接，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
21．如图，在边长为8的正方形中，、分别是边、上的动点，且，为中点，是边上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．10B．C．D．
22．如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为
A．2B．C．4D．
23．在边长为1的正方形中，点分别在边上，如果，，则四边形周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
24．如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（ ）
A．2B．2C．4﹣2D．2﹣2
25．如图，在正方形中，点E，F在边上，且，P为对角线上一点，则下列线段的长等于的最小值的是
A．B．C．D．
26．如图，已知线段AB=12，点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=2，点P是线段MN上的动点，分别以线段AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC、正方形PBFE，点G、H分别是CD、EF的中点，点O是GH的中点，当P点从M点到N点运动过程中，OM+OB的最小值是（ ）
A．10B．12C．2 D．12
27．如图，正方形ABCD的边长为3厘米，正方形AEFG的边长为1厘米．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点之间的距离的最大值为( )
A．cmB．3cmC．cmD．4cm
28．如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线的同侧，边AD，EH在直线上，且AD=5 cm,EH=4 cm, EF=3 cm.保持正方形ABCD不动，将矩形EFGH沿直线左右移动，连接BF、CG，则BF+CG的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
29．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ）
A．2
B．4
C．
D．
30．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB=MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB=6，则当AN+PM取最小值时，线段AN的长度为（ ）
A．4B．2C．6D．3
专题24 正方形中的最值小题特训30道
1．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
答案：C
分析：由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，
则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，
在Rt△BCM中，BM＝ ，
故DN+MN的最小值是5．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．
2．如图，正方形的边长为 ，是对角线上一动点（点与端点不重合 ），于点，于点，连接，则长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：连接 ，易证四边形是矩形，可得；当动点运动到时，根据“垂线段最短” ，可知点到点的距离最小，则此时长度的值最小．因为四边形是正方形，可以证明此时的△是等腰直角三角形，据此即可求得答案 ．
【详解】连接 ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
又∵，，
∴四边形ANOM是矩形，
∴，即AO取最小值时，MN最小，
当时，AO最短，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴;
故选B．
【点睛】本题主要考查了正方形以及矩形的性质，垂线段最短，准确计算是解题的关键．
3．如图，正方形ABCD，AB＝，E、F、G、H分别为DA、AB、BC、CD上的动点，且EG⊥FH，则四边形EFGH的面积最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：作EN⊥BC于点N，FM⊥CD于点M，通过证明△FMH≌△ENG得出EG＝FH，再由求解．
【详解】解：作EN⊥BC于点N，FM⊥CD于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴EN＝FM＝AB＝BC＝，
∵EG⊥FH，∠D＝90°，
∴∠DEG+∠MHO＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠DEG+∠EGN＝180°，
∴∠MHO＝∠EGN，
∴△FMH≌△ENG（AAS），
∴EG＝FH，
∵，AB≤EG，
∴四边形EFGH的面积最小值为AB2＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了四边形的面积计算．利用切割法求出是本题解题的关键．
4．如图，正方形的边长为，是的中点，、是对角线上的两个动点，且，点是中点，连接，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：连接，，根据数量关系确定EF+BG的最小值为PD的长度，求出PD的值即可．
【详解】解：如图，连接，，
由题意得，为的中位线，
∴且，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据正方形的对称性可知，，
∴，
当，，在同一条直线上时，取得最小值，
即此时的最小值为线段的长度．
在中，，，
∴,
故的最小值为.
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质及最短路线问题，正确确定最短路线是解答此题的关键．
5．如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：取的中点，连接MN，根据三角形中位线的性质可求出MN的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM的最小值．
【详解】解：因为，为的中点，
取的中点，连接MN，CN，
易得，
所以.
在点的运动过程中，的值不变，
因为，
当，，三点在同一条直线上时，最小，
此时．
故选：D
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．
6．如图边长为4的正方形中，为边上一点，且， 为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，连接，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
答案：A
分析：过点作交于点，过点作交于点，根据绕点顺时针旋转得到线段，可得，，利用易证，再根据四边形是矩形，可得，,设，则，，，根据勾股定理可得，即当时，有最小值．
【详解】解：如图示：过点作交于点，过点作交于点，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
又∵
∴
∵，四边形是正方形，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，,
设，则，， ，
在中，，
即当时，有最小值，
∴当时，最小值是，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，最值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
7．如图，在正方形中，、分别为、上的点，且平分，，为线段上的动点，记的最小值为，若正方形边长为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：连接EG，BP，由题意得当点P与点G重合时，的值最小=BF，再证明，从而得是等腰直角三角形，设CF=BE=GE=x，则EC=，列方程求出x的值，进而即可求解．
【详解】解：连接EG，BP，
∵点B与点D关于AC对称，
∴=，
∴当点P与点G重合时，的值最小=BF，
∵在正方形中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵，
∴，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABM=∠CBF+∠ABM=90°，
即：∠AMB=∠AMG=90°，
∵平分，
∴∠BAM=∠GAM，
又∵AM=AM，
∴
∴AB=AG，
又∵AE=AE，
∴
∴∠AGE=∠ABE=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴设CF=BE=GE=x，
则EC=，
∴x+=，
解得：，
∴BF=，
即：，
∴=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形来求解．
8．如图，E、F是正方形边上的两个动点且，连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．
【详解】解：延长AG交CD于M，如图1
∵ABCD是正方形
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG
∴△ADG≌△DGC
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC
∴△ADM≌△CDF
∴FD=DM且AE=DF
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°
∴△ABE≌△ADM
∴∠DAM=∠ABE
∵∠DAM+∠BAM=90°
∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°
∴点H是以AB为直径的圆上一点．
如图2，取AB中点O，连接OD，OH
∵AB=AD=2，O是AB中点，∴AO=1=OH，
在Rt△AOD中，OD=，
∵DH≥OD-OH，
∴DH≥，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．
9．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C旋转，得到正方形CEFG，在旋转过程中，则线段AE的最小值为（ ）
A．B．-1C．0．5D．
答案：B
分析：分析题易可知点E的运动轨迹是以DC为半径以C为圆心的圆，当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小．
【详解】解：如图所示，连接AC
∵正方形边长为1
∴AC=
当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小
∴AE=AC-CE=-1
故选：B
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）
A．2－2B．2C．3－1D．2
答案：A
分析：先证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，证出∠APB＝90°，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧BG，连接OC交圆O于P，此时PC最小，OP＝OB＝2，即可求解．
【详解】由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，
在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP＋∠CBN＝90°，
∴∠ABP＋∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧BG，是这个圆的，
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝4，
∴OP＝OB＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴PC＝OC−OP＝2−2；
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．
11．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为(2，0)，P是OB上的动点，试求PDPA和的最小值是（ ）
A．2B．C．2D．6
答案：A
分析：根据题意作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长，利用勾股定理进行计算即可求解．
【详解】解：作出D关于OB的对称点D′，
则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长．
则OD′=2，
因而AD′=．
则PD+PA和的最小值是2．
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质以及最短路线问题，根据题意正确作出P的位置以及运用勾股定理进行计算是解题的关键．
12．如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：连接，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，易得，当D、E、A′在同一直线时，最小，利用勾股定理求解即可．
【详解】连接，根据正方形的性质及，可得△DCE≌△ADF，
则有，
，
作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
则AE=A ′E，
即，
当D、E、A′在同一直线时，最小，
AA′=2AB=4，
此时，在Rt△ADA′中，DA′=，
故的最小值为，
故答案为：D．
【点睛】本题考查正方形的性质和最短距离问题，解题的关键是把两条线段的和转化在同一条线段上求解．
13．如图，E，F是正方形边上的两点，，以为边向正方形内作矩形，，若矩形在正方形内可随线段进行自由滑动，则正方形边长的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
答案：B
分析：连接HF，如图，根据矩形的性质和勾股定理可得HF的长，过点H作HM⊥AB于点M，则MB≤HF，于是可得MB的最大值，进而可得正方形边长的最小值．
【详解】解：连接HF，如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF=90°，
∴，
过点H作HM⊥AB于点M，则MB≤HF，∴MB≤4，
根据题意，AB≥MB，
∴正方形边长的最小值为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
14．如图，正方形边长为，，分别为线段，上一点，且，，与相交于，为线段上一点（不与端点重合），为线段上一点（不与端点重合），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：作点E关于AC的对称点K，EI+IJ=KI+KJ，当EJ⊥DF时有最小值，如下图所示，延长KJ交DC于N点，过N作NM∥AD，得到△KMN≌△FCD，再由△DJ0N∽△DCF求出J0N，最后KN减去J0N即为所求.
【详解】解：如图，作点E关于AC的对称点K，当EJ⊥DF时EI+IJ有最小值为KJ0，此时设KN与DF、CD的交点分别为J0和N点，过N点作MN∥AD交AB于点M.
∵∠KND+∠FDC=90°，
∠DFC+∠FDC=90°
∴∠KND=∠DFC
又∵AB∥CD
∴∠MKN=∠KND=∠DFC
在△MKN和△CFD中
，∴△MKN≌△CFD(AAS)
∴,
又△DJ0N∽△DCF
∴，代入数据：，得
∴.
故答案为：C.
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质和判定、线段最值问题等，两条折线段的最值问题一般通过平移、对称等转移到一条线段上去，然后再根据两点之间线段最短或点到直线的距离垂线段最短求解即可.
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）
A．B．C．D．
答案：D
分析：连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
【详解】解：解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE＋DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80
∴DH＝4
∴BF＋DE最小值为4
故选： D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
16．如图，已知正方形的边长为，点是边上-动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE（AAS），确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，求出DC'=即可．
【详解】解：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF=DE，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG=AE，
∴F点在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点C'，
∵EG=DA，FG=AE，
∴AE=BG，
∴BG=FG，
∴∠FBG=45°，
∴∠CBF=45°，
∴C'点在AB的延长线上，
当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，
在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，
∴DC'=，
∴DF+CF的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，E是的中点、P是上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：作点B关于的对称点，连接，与的交点，即符和条件的点，再求出，的坐标，根据勾股定理求出的值，即为的最小值．
【详解】解：作点B关于的对称点，连接交于，
此时，的值最小，最小值为的长，
∵线段所在直线的解析式为，
∴当x=0时，y=4；
当y=0时，x=4；
∴，，
∴，，
是的中点，
∴，
∵是点B关于的对称点，
∴，，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴的最小值是．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称最短路径的确定方法是解题的关键．
18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ=2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（ ）
A．B．C．8D．
答案：B
分析：如图，过点D作DE∥AC，且点E在AD上方，DE=2，连接BE交AC于点P，取PQ=2，连接BE，DQ，BD．B，P，E三点共线，此时△BPQ的周长=BP+BQ+PQ=BE+2最小
【详解】解：如图，过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，两直线相交于点点D；
过点D作DE∥AC，且点E在AD上方，DE=2，连接BE交AC于点P，取PQ=2，连接DQ，BD，
∴四边形ABCD为正方形，点Q是对角线AC上的一点，AB=6，
∴BQ=QD，BD⊥AC，BD=AC=6，
∵DE∥PQ，DE=PQ，
∵四边形PQDE为平行四边形，
∴PE=DQ=BQ，
∵B，P，E三点共线，
∴此时△BPQ的周长=BP+BQ+PQ=BE+2最小．
∵BD⊥AC，
∴BD⊥DE，即∠BDE=90°，
∴BE==2，
∴△BPQ周长的最小值为2+2，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形、正方形的性质是解题的关键．
19．如图，已知正方形的边长为，点为正方形的中心，点为边上一动点，直线交于点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
答案：D
分析：连接OD，AC，取OD中点F，由∠OED=90°可证得点E在以OD中点F为圆心，DF为半径的圆上，进而可知当点C、E、F三点在同一直线上时，CE取最小值，由正方形的性质可得OD=OC=2，进而可得OF=1，最后用勾股定理即可求得CF的长，进而可求得CE的最小值．
【详解】解：连接OD，AC，
由题意可知，在正方形中，OD⊥AC，
∵在△ODE中OD的长为定值，∠OED始终为90°，
∴点E在以OD中点F为圆心，OD为直径的圆上，
连接EF，CE，当点C、E、F三点在同一直线上时，CE取最小值，
∵正方形的边长为，点O为正方形中心，
∴，
∴，
∴在Rt△ABC中，，
∴CE的最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，直径的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
20．如图，正方形的边长为，点为对角线上的两个动点，且满足，点是上一点，且，连接，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
答案：A
分析：如图，过点作，交于点，连接，先证明，得到，，根据一组对边平行且相等的四边形的平行四边形，得到四边形为平行四边形，从而得到，确定当三点共线时，取得最小值，再利用勾股定理求出AG即可．
【详解】解析：如图，过点作，交于点，连接．
∵，
∴，
∵
∴．
∴，
又∵，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
连接，交于点．当三点共线时，取得最小值，此时点与点H重合，
∵，CD=AD=，
∵，
即的最小值为，
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的应用等知识点，解题的关键是通过证明四边形为平行四边形，确定当三点共线时，取得最小值．
21．如图，在边长为8的正方形中，、分别是边、上的动点，且，为中点，是边上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．10B．C．D．
答案：B
分析：延长CD到C′，使C′D＝CD，CP＋PM＝C′P＋PM，当C′，P，N三点共线时，C′P＋PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B−3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】延长CD到C′，使C′D＝CD，
CP＋PM＝C′P＋PM，
当C′，P，M三点共线时，C′P＋PM的值最小，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，
圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B−3，
∵BC＝CD＝8，
∴CC′＝16，
∴C′B＝，
∴CP＋PM的最小值是−3，
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．
22．如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为
A．2B．C．4D．
答案：B
分析：连接PD，根据△ADP≌△ABP，即可得出PD＝PB，进而得到当D，P，E在同一直线上时，BP＋EP的最小值等于线段DE的长，再根据勾股定理求得DE的长，即可得出PE＋PB的最小值为．
【详解】解：如图所示，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，
正方形的面积是4，点是边的中点，
，，
在中，，
的最小值为，
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题的关键．
23．在边长为1的正方形中，点分别在边上，如果，，则四边形周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据题意正方形ABCD，找出点E和F，然后分别找出点E关于AD的对称点和点F关于CD的对称点，连接，交AD和CD分别交于点H和G，连接EF、EH和FG，根据对称的性质和垂线段最短即可得出此时四边形周长最小，且最长值为EF＋，然后利用勾股定理求值即可．
【详解】解：画出正方形ABCD，取AB的中点E，此时，在BC上找到点F，使，然后分别找出点E关于AD的对称点和点F关于CD的对称点，连接，交AD和CD分别交于点H和G，连接EF、EH和FG
∴，，CF=
根据勾股定理可得EF=
根据对称的性质：EH=H，EA=A=，FG=G，FC=C=
∴四边形周长=EF＋FG＋GH＋EH=EF＋G＋GH＋H=EF＋，其中EF为定值，根据两点之间线段最短可得，此时四边形周长最小，且最长值为EF＋
在Rt△B中，=AB＋A=，=BC＋C=
根据勾股定理可得
∴EF＋=
即四边形周长的最小值为
故选C．
【点睛】此题考查的是正方形的性质、对称的性质应用和勾股定理，掌握正方形的性质、垂线段最短，对称的性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
24．如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（ ）
A．2B．2C．4﹣2D．2﹣2
答案：D
分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取BC的中点O，连接OP、OA，然后求出OP＝CB＝2，利用勾股定理列式求出OA，然后根据三角形的三边关系可知当O、P、A三点共线时，AP的长度最小．
【详解】解：在正方形ABCD中，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠ABC＝90°，
在△ABE和△BCF中，
∵，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE＝∠BCF，
∵∠ABE+∠CBP＝90°
∴∠BCF+∠CBP＝90°
∴∠BPC＝90°
如图，取BC的中点O，连接OP、OA，
则OP＝BC＝2，
在Rt△AOB中，OA＝，
根据三角形的三边关系，OP+AP≥OA，
∴当O、P、A三点共线时，AP的长度最小，
AP的最小值＝OA﹣OP＝﹣2．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系. 确定出AP最小值时点P的位置是解题关键，也是本题的难点.
25．如图，在正方形中，点E，F在边上，且，P为对角线上一点，则下列线段的长等于的最小值的是
A．B．C．D．
答案：A
分析：连接交于点P，得出PB=PD，可得出PD+PE=PB+PE，线段BE即为所求，结合已知条件可证，有BE=AF，从而得出答案．
【详解】解：如图，连接交于点P，
∵点B与点D关于对称，
∴，∴的最小值即为的最小值，
当三点共线时，最小，最小值为的长，此时点P即为所求作的点P.
∵，∴，
∵，，
∴，
∴，∴线段的长等于的最小值．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及性质，正方形的性质，利用轴对称求最短距离等，属于中等难度题．失分的原因有2个：（1）不能灵活运用正方形的性质；（2）对利用轴对称的性质求最值掌握不到位．
26．如图，已知线段AB=12，点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=2，点P是线段MN上的动点，分别以线段AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC、正方形PBFE，点G、H分别是CD、EF的中点，点O是GH的中点，当P点从M点到N点运动过程中，OM+OB的最小值是（ ）
A．10B．12C．2 D．12
答案：C
分析：作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O，由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小，根据勾股定理即可求出BM'的值．
【详解】解：作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O．O′O″⊥A于O″B．GL⊥AB于L，HT⊥AB于T．
由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小（O′O″= （GL+HT）=6），
在Rt△BMM′中，MM′=2O′O″=2×6=12，BM=10，
由勾股定理得：BM′= =2，
∴OM+OB的最小值为2，
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．
27．如图，正方形ABCD的边长为3厘米，正方形AEFG的边长为1厘米．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点之间的距离的最大值为( )
A．cmB．3cmC．cmD．4cm
答案：A
分析：当C、F的距离最大时，C、A、F三点在同一条直线上，即CF的最大值为两个正方形对角线的和，由此得解．
【详解】由图知：当F、A、C三点共线时，CF的值最大，且最大值为两个正方形的对角线的和；
那么CFmax＝
故选A．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确的判断出CF最大时F点的位置是解答此题的关键．
28．如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线的同侧，边AD，EH在直线上，且AD=5 cm,EH=4 cm, EF=3 cm.保持正方形ABCD不动，将矩形EFGH沿直线左右移动，连接BF、CG，则BF+CG的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
答案：B
分析：作点C关于FG的对称点P，连接GP，以FG，PG为邻边作平行四边形PGFQ，则BF＋CG＝BF＋QF，当B，F，Q三点共线时，BF＋CG的最小值为BQ的长，过点Q作QN⊥AB于N，依据勾股定理即可得到在Rt△BNQ中，BQ＝，即可得出BF＋CG的最小值为．
【详解】解：如图所示，作点C关于FG的对称点P，连接GP，
以FG，PG为邻边作平行四边形PGFQ，则FQ＝PG＝CG，FG＝QP＝4，
∴BF＋CG＝BF＋QF，
∴当B，F，Q三点共线时，BF＋CG的最小值为BQ的长，
过点Q作QN⊥AB于N，
由题可得BN＝2（5−3）＝4，NQ＝5−4＝1，
∴Rt△BNQ中，BQ＝，
∴BF＋CG的最小值为，
故选B.
【点睛】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
29．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ）
A．2
B．4
C．
D．
答案：C
分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【详解】作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D’，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2，
即DQ+PQ的最小值为2，
故答案为C．
【点睛】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的
30．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB=MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB=6，则当AN+PM取最小值时，线段AN的长度为（ ）
A．4B．2C．6D．3
答案：B
【详解】分析：过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小，根据三角形的中位线的性质得到PE=BD，根据平行四边形的性质得到EN=PM，根据勾股定理得到AE==3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
详解：过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小．
∵P是BC的中点，∴E为CD的中点，∴PE=BD．
∵AB=BD，AB=MN，∴MN=BD，∴PE=MN，∴四边形PENM是平行四边形，∴EN=PM．
∵AE==3．
∵AB∥CD，∴△ABN∽△EDN，∴==2，∴AN=2．
故选B．
点睛：本题是四边形的综合题．考查了正方形的性质，轴对称﹣最短距离问题，平行三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，正确的作出M，N的位置是解题的关键．
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