人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题26正方形的折叠(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题26正方形的折叠(原卷版+解析)，共41页。试卷主要包含了如图，折叠矩形纸片等内容，欢迎下载使用。
1．如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把ADE沿AE折叠使ADE落在AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论：
①∠GAE＝45°；
②BG+DE＝GE；
③点G是BC的中点；
④连接FC，则BF⊥FC；
其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．②③
2．如图，先将正方形纸片对着，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下得到△ADH，则下列选项正确的个数为（ ）
①AE垂直平分HB；②∠HBN=15°；③DH=DC；④△ADH是一个等边三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝8，则折痕GH的长度为（ ）
A．4B．
C．D．
4．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，若五边形的面积是正方形面积的2倍，则的值是（ ）

A．B．C．D．
5．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为（ ）
A．1B．C．D．2
6．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____．
7．折叠矩形纸片：
第一步，如图1，在纸片一端折出一个正方形MBCN，再把纸片展开；
第二步，如图2，把这个正方形对折，再把纸片展开，得矩形MAEN和ABCE；
第三步，如图3，折出矩形ABCE的对角线EB，并把EB折到图中所示的ED处；
第四步，如图4，展平纸片，按所得点D折出DF，得矩形BFDC.
（1）若MN=2时，CM=________；
（2）的值为 ________.
8．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度．
9．在边长为的正方形中，点是射线上的动点（不与重合），连接 ，将沿向右翻折得，连接和，若为等腰三角形，则的长为___________．
10．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，点E，G分别是边AD，CD的中点，点F是边BC上的动点，连接EF，将正方形ABCD沿EF折叠，A，B的对应点分别为A'，B'，则线段GB'的最小值是__________________．
11．如图，在正方形中，已知，点分别是边的中点，点F是边上的动点，连接，将正方形沿折叠，的对应点分别为，则线段的最小值是_____．
三、解答题
12．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接、．
(1)求证：；
(2)求的面积；
(3)在的条件下，求周长的最小值．
13．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG．
(1)填空，∠EDG=_________°．
(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF．
①求线段AG的长；
②求△BEF的面积；
(3)填空：当DE=DG时，若令CE=a，则BF=_________（用含a的式子表示）．
14．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
15．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为．
（1）求点G的坐标，并求直线的解析式；
（2）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围．
（3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点落在点处，点的对应点为，折痕分别与，边交于点，．求的长．
17．如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点(不与点A、点B重合)．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．
初步探究
（1）当AP=4时
①直接写出点E的坐标 ；
②求直线EF的函数表达式．
深入探究
（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．
拓展应用
（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
18．如图，P为边长为6的正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合)，Q在CD上，且CQ=BP，连接AP、BQ，将△BQC沿BQ所在的直线翻折得到△BQE，延长QE交BA的延长线于点F．
(1)试探究AP与BQ的数量与位置关系，并证明你的结论；
(2)当E是FQ的中点时，求BP的长．
19．如图，正方形ABCD中，CD=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②求GC的长；
（2）求△FGC的面积．
20．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A恰好落在AE上的G处，得到折痕BF，与AD交于点F．
(1)当E是CD的中点时，求AF的长；
(2)若，求GE的长．
21．如图，P为正方形ABCD的边BC上的一动点（P不与B、C重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将沿着BQ所在直线翻折得到，延长QE交BA的延长线于点M．
(1)探求AP与BQ的数量关系；
(2)若，，求QM的长．
22．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E是CD上一点，连接AE，把正方形纸片折叠，使点A落在AE上的一点G，折痕为BF，且BF与AE交于点H．
（1）求证：AF＝DE；
（2）当E为CD的中点时，求AG的长．
专题26 正方形的折叠
1．如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把ADE沿AE折叠使ADE落在AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论：
①∠GAE＝45°；
②BG+DE＝GE；
③点G是BC的中点；
④连接FC，则BF⊥FC；
其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．②③
答案：A
分析：先计算出DE＝2，EC＝4，再根据折叠的性质AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，所以∠GAE＝∠BAD＝45°；GE＝GF+EF＝BG+DE；设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，则BG＝CG＝3，则点G为BC的中点；同时得到GF＝GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC＝∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB＝∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF＝∠GFC+∠GCF，易得∠AGB＝∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG，再证出AG⊥BF，即可得出BF∥FC．
【详解】解：连接AG，AG和BF交于H，如图所示：
∵正方形ABCD的边长为6，DC＝3DE，
∴DE＝2，EC＝4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF＝AD＝AB＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中， ，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，
∴∠GAE＝∠FAE+∠FAG＝∠BAD＝45°，①正确；
∴GE＝GF+EF＝BG+DE，②正确；
设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，
在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，
∵CG2+CE2＝GE2，
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，
∴BG＝3，CG＝6﹣3＝3，
∴BG＝CG，即点G为BC的中点，③正确；
∴GF＝GC，
∴∠GFC＝∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
而∠BGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴FC∥AG，
∵AB＝AF，BG＝FG，
∴AG⊥BF，
∴BF⊥FC，④正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
2．如图，先将正方形纸片对着，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下得到△ADH，则下列选项正确的个数为（ ）
①AE垂直平分HB；②∠HBN=15°；③DH=DC；④△ADH是一个等边三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：D
分析：①由翻折的性质可知；点H与点B关于AE对称，故此AE⊥BH，④由翻折的性质AH=AB，MN垂直平分AD，于是得到DH=AH=AB=AD，故此△ADH为等边三角形，③由DH=AD可知DH=DC，②由△ADH为等边三角形可知∠HAB=30°，在△ABH中可求得∠ABH=75°，故此可求得∠HBN=15°．
【详解】解：由翻折的性质可知：AE垂直平分HB，MN垂直平分AD．
故①正确．
∵MN垂直平分AD，
∴DH=AH．
由翻折的性质可知：AH=AB．
∴AH=AD=DH．
∴△ADH是一个等边三角形．
故④正确．
∵HD=AD，
∴HD=DC．
故③正确
∵△ADH是一个等边三角形，
∴∠DAH=60°．
∴∠HAB=30°．
∵AB=AH，
∴∠ABH=×（180°﹣30°）=75°．
∴∠HBN=15°．
故②正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、线段垂直平分线的性质、折叠的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
3．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝8，则折痕GH的长度为（ ）
A．4B．
C．D．
答案：D
分析：连接EC，作GJ⊥CD于J，EF交GH于点Q，证明四边形BCJG是矩形，求出∠CEF＝∠HGJ，然后证明△EFC≌△GJH（ASA），可得GH＝EC，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接EC，作GJ⊥CD于J，EF交GH于点Q，
∵∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴四边形BCJG是矩形，
∴GJ∥BC，GJ＝BC，
由题意得：EF⊥BC，BC＝CD＝EF，
∴EF⊥GJ，GJ＝EF，
∵E，C关于GH对称，
∴EC⊥GH，
∴∠EQH＋∠CEF＝∠GQF＋∠HGJ＝90°，
∵∠EQH＝∠GQF，
∴∠CEF＝∠HGJ，
在△EFC和△GJH中，，
∴△EFC≌△GJH（ASA），
∴GH＝EC，
∵EC＝，
∴GH＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
4．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，若五边形的面积是正方形面积的2倍，则的值是（ ）

A．B．C．D．
答案：A
分析：根据题意连接HF，直线HF与AD交于点P，根据五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为可得，根据折叠可得正方形ABCD的面积为，进而求出FM即可．
【详解】解：如图，连接HF，直线HF与AD交于点P，
∵五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，
设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知：
正方形ABCD的面积为：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查折叠问题，解决本题的关键是掌握对称的性质以及正方形的性质．
5．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为（ ）
A．1B．C．D．2
答案：D
分析：由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到，进而得到，然后在中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴∠EFD=∠FEB=60°，
由折叠前后对应角相等可知：，
∴，
∴，
设AE=x，则，
∴AB=AE+BE=3x=3，
∴x=1，
∴BE=2x=2，
故选：D．
【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
6．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____．
答案：45°##45度
分析：首先根据正方形的性质可得∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，再根据折叠可得∠1＝∠2＝ ∠ABD，∠3＝∠4＝∠DBC，进而可得∠2+∠3＝45°，即∠EBF＝45°．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
根据折叠可得∠1＝∠2＝∠ABD，∠3＝∠4＝∠DBC，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，
∴∠2+∠3＝45°，
即∠EBF＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的．
7．折叠矩形纸片：
第一步，如图1，在纸片一端折出一个正方形MBCN，再把纸片展开；
第二步，如图2，把这个正方形对折，再把纸片展开，得矩形MAEN和ABCE；
第三步，如图3，折出矩形ABCE的对角线EB，并把EB折到图中所示的ED处；
第四步，如图4，展平纸片，按所得点D折出DF，得矩形BFDC.
（1）若MN=2时，CM=________；
（2）的值为 ________.
答案：
分析：（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理，即可求出CM的长度；
（2）设正方形的边长为2a，由折叠的性质，可得EC=正方形的边长×，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB与正方形的边长之间的关系，再求出CD=，即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形MBCN是正方形，MC是对角线，
∴MN=CN=2，
由勾股定理，得：；
故答案为：；
（2）在正方形BCNM中，设NC=2a=BC，
∵E为NC的中点，
∴EC=．
在Rt△EBC中，EB=．
又∵ED=EB，
∴CD=EDEC=（）a．
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质、勾股定理，综合考查的知识点较多，解答本题需要我们具有扎实的基本功，数形结合，灵活解答．
8．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度．
答案：30
分析：根据折叠的性质知：可知：BN=BP，从而可知∠BPN的值，再根据∠PBQ=∠CBQ，可将∠PBQ的角度求出．
【详解】根据折叠的性质知：BP=BC，∠PBQ=∠CBQ
∴BN=BC=BP
∵∠BNP=90°
∴∠BPN=30°
∴∠PBQ=×60°=30°．
故答案是：30．
【点睛】已知折叠问题就是已知图形的全等，根据边之间的关系，可将∠PBQ的度数求出．
9．在边长为的正方形中，点是射线上的动点（不与重合），连接 ，将沿向右翻折得，连接和，若为等腰三角形，则的长为___________．
答案：或或
分析：分三种情形画出图形分别求解即可．
【详解】如图所示，
①点F在以A为圆心为半径的圆上，满足条件的点F在线段的垂直平分线上．
作于H，在中，
由题意可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
②当时，在上取一点G，使得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
若以点D为圆心，长为半径作圆与以点A为圆心，长为半径的圆在正方形内的交点为F，过F作，∴，
∴，，
设，
∴，，
由一线三直角易证：，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴
∴可得此时，
综上所述，的长为或或．
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找点F的位置，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
10．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，点E，G分别是边AD，CD的中点，点F是边BC上的动点，连接EF，将正方形ABCD沿EF折叠，A，B的对应点分别为A'，B'，则线段GB'的最小值是__________________．
答案：﹣
分析：当F点运动时，点B'点运动轨迹为以E点为圆心，EB'为半径的一段圆弧，当E，G，B'三点共线GB'最短．
【详解】解：连接BE，B'E，EG，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AB＝AD＝CD＝2，
∵E是AD中点，G是CD中点，
∴AE＝DE＝DG＝1，
在Rt△ABE中，BE＝，
在Rt△DEG中，EG＝，
∵点B与点B'关于直线EF对称，
∴BE＝B'E，
∴当F点运动时，点B'点运动轨迹为以E点为圆心，
EB为半径的一段圆弧，当E，G，B'三点共线GB'最短．
最短距离为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质和翻折变换的特点以及勾股定理，解题关键是根据在翻折的过程中对应线段相等进行求解．
11．如图，在正方形中，已知，点分别是边的中点，点F是边上的动点，连接，将正方形沿折叠，的对应点分别为，则线段的最小值是_____．
答案：
分析：如图，连接EG，EB′．求出EG，EB′的长，可以判定点B′在EG的延长线上时，GB′的值最小，最小值=，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接EG，EB′，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD=DC=AB=2，
∵AE=DE=1，DG=GC=1，
∴EG= ==，
由翻折的性质可知，∠A′=∠A=90°，A′E=AE=1，A′B′=AB=2，
∴EB′== =，
∴当点B′在EG的延长线上时，GB′的值最小，最小值=，
故答案为．
【点睛】本题考查正方形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题
12．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接、．
(1)求证：；
(2)求的面积；
(3)在的条件下，求周长的最小值．
答案：(1)见解析
(2)
(3)
分析：（1）根据正方形性质证明，根据对折性质得到，从而证明，根据“斜边，直角边”即可证明；
（2）先求出，进而得到，设，则，
根据得到，根据勾股定理求出，从而得到，即可得出，最后求出的面积，根据即可求解；
（3）根据，可得的周长，再根据当点A、F、C三点共线是，最小，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵沿对折至，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：．
（3）∵沿对折至，
∴，
∴，
∴的周长，
∴当最小时，的周长最小，
如图：当点A、F、C三点共线是，最小，
根据勾股定理得：，
∴，
∴的周长最小值．
【点睛】本题为四边形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，综合性较强，熟知相关定理，根据已知条件灵活应用是解题关键．
13．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG．
(1)填空，∠EDG=_________°．
(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF．
①求线段AG的长；
②求△BEF的面积；
(3)填空：当DE=DG时，若令CE=a，则BF=_________（用含a的式子表示）．
答案：(1)
(2)①；②
(3)
分析：（1）根据正方形的性质可得DC=DA，∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根据翻折前后两个图形能够完全重合可得∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后利用“HL”证明Rt△DGA和Rt△DGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠4，然后求出∠2+∠3=45°，从而得解；
（2）①设AG=x，则BG=6-x，根据勾股定理得：EG2=BG2+BE2，列方程可得AG的长；
②先计算△BEG的面积，根据同高三角形面积的关系可得：S△BEF=；
（3）根据等腰三角形三线合一的性质可得F是EG的中点，由（1）和折叠得：AG=FG=EF=CE=a，根据勾股定理可得结论．
（1）
解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，
∴∠DFG＝∠A＝90°，DA＝DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，
，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3＝∠4，
∴∠EDG＝∠3+∠2
＝∠ADF+∠FDC
＝（∠ADF+∠FDC）
＝×90°，
＝45°
故答案为45．
（2）
①由（1）知：Rt△DGA≌Rt△DGF，
∴AG＝FG，
∵E为BC的中点，
∴CE＝EF＝BE＝3，
设AG＝x，则BG＝6﹣x，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：EG2＝BG2+BE2，
即（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
∴AG＝2；
②由①知：BG＝4，BE＝3，
∴S△BEG＝＝6，
∵EF＝3，FG＝2，
∴S△BEF＝．
（3）
∵DE＝DG，∠DFE＝∠C＝90°，
∴点F是EG的中点，
∴AG＝FG＝EF＝CE＝a，
∴EG=EF+FG=2a，
∵，
∴．
故答案为：a．
【点睛】四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．
14．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
答案：（1）AH=AB；（2）成立，理由见解析；（3）6
分析：（1）先证明，可得，，再证明即可；
（2）延长至，使，证明，能得到；
（3）分别沿、翻折和，得到和，然后分别延长和交于点，得正方形，设，则，，在中，由勾股定理，解得．
【详解】解：（1）如图①，．理由如下：
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
是等腰三角形，
又，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
故答案为：；
（2）数量关系成立．如图②，延长至，使．
∵四边形是正方形，
，，
在和中，
，
∴≌（SAS），
，，
，
，
，
，
在和中，
，
．
，，
、是和对应边上的高，
．
（3）如图③分别沿、翻折和，得到和，
，，．
分别延长和交于点，得正方形，
由（2）可知，．
设，则，，
在中，由勾股定理，得，
，
解得，．（不符合题意，舍去），
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；正确作出辅助线，熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键．
15．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为．
（1）求点G的坐标，并求直线的解析式；
（2）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围．
（3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）G的坐标为，直线的解析式为；（2）；（3）P的坐标为或或或
分析：（1）由图形折叠的不变性可得OG的长度，从而可求NG的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入G的坐标，可得直线的解析式；
（2）结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围；
（3）依据等腰三角形性质的定义，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可．
【详解】解：（1）由折叠的性质可知，，
由勾股定理得，，
∴点G的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，得，
∴直线的解析式为；
（2）∵直线平行于直线，
，即直线的解析式为，
当直线经过点时，，
解得，，
当直线经过点时，，
解得，，
∴直线与长方形有公共点时，，
（3）①当时，
若点P在原点左侧，点P的坐标为，
若点P在原点右侧，点P的坐标为，
②当时，
，
，
，
∴点P的坐标为，
③当时，
可得，
在中，，即，
解得，，点P的坐标为，
综上所述，以为顶点的三角形为等腰三角形时，
点P的坐标为或或或．
【点睛】本题利用图形折叠的不变性，考查了一次函数解析式的求法及一次函数图像的平移，同时考查了等要三角形的定义及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握考查内容并利用数形结合的思想求解．
16．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点落在点处，点的对应点为，折痕分别与，边交于点，．求的长．
答案：5
分析：设，根据折叠的性质得，结合勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】设，
∵四边形是边长为9的正方形纸片，将纸片沿某条直线折叠，使点落在点处，
∴，，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴的长为5．
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是熟练掌握勾股定理和方程思想，学会利用参数构建方程解决问题．
17．如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点(不与点A、点B重合)．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．
初步探究
（1）当AP=4时
①直接写出点E的坐标 ；
②求直线EF的函数表达式．
深入探究
（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．
拓展应用
（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
答案：（1）①(0，5)；②；（2）理由见解析；（3）周长=16，不会发生变化，证明见解析．
分析：（1）①设：OE＝PE＝a，则AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即可求解；
②证明△AOP≌△FRE（AAS），则ER＝AP＝4，故点F（8，1），即可求解；
（2）∠EOP＝∠EPO，而∠EPH＝∠EOC＝90°，故∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP，即∠POC＝∠OPH，又因为AB∥OC，故∠APO＝∠POC，即可求解；
（3）证明△AOP≌△QOP（AAS）、△OCH≌△OQH（SAS），则CH＝QH，即可求解．
【详解】（1）①设：OE=PE=a，则AE=8﹣a，AP=4，
在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2=AE2+AP2，
即a2=(8﹣a)2+16，解得：a=5，
故点E(0，5)．
故答案为：(0，5)；
②过点F作FR⊥y轴于点R，
折叠后点O落在P处，则点O、P关于直线EF对称，则OP⊥EF，
∴∠EFR+∠FER=90°，而∠FER+∠AOP=90°，
∴∠AOP=∠EFR，
而∠OAP=∠FRE，RF=AO，
∴△AOP≌△FRE(AAS)，
∴ER=AP=4，
OR=EO﹣OR=5﹣4=1，故点F(8，1)，
将点E、F的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b
得：，解得：，
故直线EF的表达式为：y=﹣x+5；
（2）∵PE=OE，
∴∠EOP=∠EPO．
又∵∠EPH=∠EOC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPO=∠EOC﹣∠EOP．
即∠POC=∠OPH．
又∵AB∥OC，
∴∠APO=∠POC，
∴∠APO=∠OPH；
（3）如图，过O作OQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APO=∠OPH，
在△AOP和△QOP中，
∴△AOP≌△QOP(AAS)，
∴AP=QP，AO=OQ．
又∵AO=OC，
∴OC=OQ．
又∵∠C=∠OQH=90°，OH=OH，
∴△OCH≌△OQH(SAS)，
∴CH=QH，
∴△PHB的周长=PB+BH+PH=AP+PB+BH+HC=AB+CB=16．
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．
18．如图，P为边长为6的正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合)，Q在CD上，且CQ=BP，连接AP、BQ，将△BQC沿BQ所在的直线翻折得到△BQE，延长QE交BA的延长线于点F．
(1)试探究AP与BQ的数量与位置关系，并证明你的结论；
(2)当E是FQ的中点时，求BP的长．
答案：(1)见解析：（2）2．
分析：(1)证明△ABP≌△BCQ，则∠PAB=∠CBQ，从而证明∠PAB+∠ABQ=90°，进而得证；
(2)由折叠的性质可得∠BQE=∠C=90°，∠QBE=∠QBC，再根据EQ=EF，可得BE垂直平分FQ，从而有BF=BQ，进而可得∠FBE=∠EBQ，再根据∠FBE+∠EBQ+∠QBC=∠ABC=90°，求出∠QBC=30°，可得BQ=2CQ，在Rt△BCQ中，利用勾股定理求出CQ长即可求得答案．
【详解】(1)AP=BQ，AP⊥BQ，证明如下：
∵ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
又∵BP=CQ，
∴△ABP≌△BCQ(SAS)，
∴AP=BQ，∠PAB=∠CBQ，
∵∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=90°，
∴∠PAB+∠ABQ=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AP⊥BQ；
(2)∵将△BQC沿BQ所在的直线翻折得到△BQE，
∴∠BQE=∠C=90°，∠QBE=∠QBC，
又∵EQ=EF，
∴BE垂直平分FQ，
∴BF=BQ，
∴∠FBE=∠EBQ，
∵∠FBE+∠EBQ+∠QBC=∠ABC=90°，
∴∠QBC=30°，
∴BQ=2CQ，
在Rt△BCQ中，BQ2=BC2+CQ2，即(2CQ)2=62+CQ2，
∴CQ=2，
∵BP=CQ，
∴BP=2 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中垂线的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
19．如图，正方形ABCD中，CD=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②求GC的长；
（2）求△FGC的面积．
答案：（1）①证明详见解析；②3；（2）．
分析：（1）①利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；②利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；
（2）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM=2.4，进而得出答案．
【详解】（1）①在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
②∵CD=3DE
∴DE=2，CE=4，
设BG=x，则CG=6﹣x，GE=x+2
∵GE2=CG2+CE2
∴（x+2）2=（6﹣x）2+42，
解得 x=3
∴BG=3，
又∵AB＝6，
∴BG= GC=3；
（2）过C作CM⊥GF于M，
∵BG=GF=3，
∴CG=3，EC=6﹣2=4，
∴GE=5，
CM•GE=GC•EC，
∴CM×5=3×4，
∴CM=2.4，
∴S△FGC＝GF·CM=3.6．
20．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A恰好落在AE上的G处，得到折痕BF，与AD交于点F．
(1)当E是CD的中点时，求AF的长；
(2)若，求GE的长．
答案：(1)6
(2)
分析：（1）证明即可求出;
（2）由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．
（1）
解：∵四边形ABCD是正方形
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是CD的中点，∴，∴．
（2）
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°，
由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH=GH，
∴∠BAH+∠ABH=90°，
又∵∠FAH+∠BAH=90°，
∴∠ABH=∠FAH，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF=DE=5，
在Rt△ABF中，
BF=，
S△ABF=AB•AF=BF•AH，
∴12×5=13AH，
∴AH=，
∴AG=2AH=，
∵AE=BF=13，
∴GE=AE-AG=13-=．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．
21．如图，P为正方形ABCD的边BC上的一动点（P不与B、C重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将沿着BQ所在直线翻折得到，延长QE交BA的延长线于点M．
(1)探求AP与BQ的数量关系；
(2)若，，求QM的长．
答案：(1)
(2)
分析：（1）只需要证出，即可解题．
（2）过点Q作于点H，易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1运用勾股定理可以求得AP，又因为DC//AB，可得，由折叠知识得，所以，可得MQ=MB．通过设定未知数，在中我们通过勾股定理就可以解决问题．
（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴，
∵BQ⊥AP
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）
过点Q作于H，如图
∵四边形ABCD是正方形，
∴QH=BC=AB=3，
∵BP=2PC，
∴BP=2，PC=1，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC//AB
∴，
由折叠知识得，
∴，
∴MQ=MB，
设QM=x，则有MB=x，MH=x-2，
在中，
根据勾股定理可得，
解得x=，
∴QM的长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠之后完全相同，包括边的长度还有角的度数完全相等，再设未知数，然后运用勾股定理建立方程，这是求线段长度最常用的方法．
22．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E是CD上一点，连接AE，把正方形纸片折叠，使点A落在AE上的一点G，折痕为BF，且BF与AE交于点H．
（1）求证：AF＝DE；
（2）当E为CD的中点时，求AG的长．
答案：（1）见解析；（2）AG＝．
分析：（1）根据折叠性质证得BF⊥AE，AH＝GH，再根据正方形性质和等角的余角相等证得∠ABH＝∠FAH，然后证明△ABF≌△DAE（ASA），进而根据全等三角形的性质即可证得结论；
（2）先由勾股等理求得BF的长，再由面积法求得AH，进而由AG=2AH即可求解．
【详解】（1）由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABF＝90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠BAH＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF与△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE；
（2）∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE＝4，
∴AF＝4，
∴BF＝==
由折叠可得：AH＝HG，BF⊥AG，
∵S△ABF＝×AB×AF＝×BF×AH，
∴AH＝，
∴AG＝2AH=．
【点睛】本题考查正方形的性质、折叠性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握折叠性质和全等三角形的判定与性质，利用等面积法求解AH是解答的关键．