人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题28一次函数与等腰直角三角形结合(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题28一次函数与等腰直角三角形结合(原卷版+解析)，共49页。试卷主要包含了如图，已知点在直线，如图，直线过点等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，且，则点的坐标为______．
2．如图，已知点在直线：上，和：的图像交于点，且点的横坐标为．
(1)直接写出、的值；
(2)若点是直线上一点，且，求出点的坐标．
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线：过点和，与互相垂直，且相交于点，D为x轴上一动点．
(1)求直线与直线的函数表达式；
(2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若的面积为8，求D点的坐标；
(3)如图3，直线上有一动点P．若，请直接写出P点坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且，连接，已知．
(1)求直线 的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)在线段 上分别取点M，N，使得轴，在x轴上取一点P，连接 是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点．
(1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，；
①直接写出______，______；
②点的坐标______；
(2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化?（填“变”或“不变”），若不变，其值为______；若变，请说明理由；
(3)【拓展应用】如图4，当时，直线与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______．
二、解答题(共0分)
6．如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，在第一象限内找一点C，使为等腰直角三角形，求点C的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，直线过点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点M，点N分别为x轴，y轴上一动点，求的最小值及此时点M的坐标；
(3)如图3，在（2）问的条件下，过点B作垂直于y轴，点P为直线AB上一动点，点Q为直线上一动点，若是以为腰的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点Q坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线为与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A坐标是 ，点B的坐标是 ．的长是 ．
(2)求点C的坐标．
(3)若点M是y轴上一动点，若，直接写出点M坐标．
(4)在第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．
10．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，P是x轴上的动点．
(1)求k的值．
(2)连结PB，当时，求OP的长．
(3)过点P作AB的平行线，交y轴于点M，点Q在直线上．是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，直线l1：y＝2x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点D，与y轴交于点C，BC＝6，OD＝3OC．
(1)求直线CD的解析式；
(2)点Q为直线AB上一动点，若有S△QCD＝2S△OCD，请求出Q点坐标；
(3)点M为直线AB上一动点，点N为直线x轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M求解过程，若不存在，请说明理由．
12．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．
(1)求证：；
(2)模型应用：
①已知直线：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线yx与x轴交于点A，且经过点B（2，a），在y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，已知C（3，0）．
（1）a＝_____；
（2）若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，则点M的坐标是 _____．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线：交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线平行于y轴，交直线于点D，点P是直线上一动点（异于点D），连接、．
(1)直线的表达式为 ，点D的坐标为 ；
(2)设P（2，m），当点P在点D的下方时，求的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
(3)当的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角，请直接写出点C的坐标．
专题28 一次函数与等腰直角三角形结合
1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，且，则点的坐标为______．
答案：
分析：将线段绕点逆时针旋转得到线段，根据全等三角形的性质易得到，取的中点，直线与直线的交点即为点求出直线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可．
【详解】解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点B作y轴的垂线与分别过点A，作x轴的垂线，交于点M和点N，交x轴于点E，MN与y轴交于点C，如下图．
∴，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴，
∴(AAS)，
∴，，
∴，，
∴，
取的中点，
直线与直线的交点即为点，
设直线的解析式为，
把B、K坐标代入得，
解得 ，
∴直线的解析式为，
将直线与直线联立组成方程组，
解得，
点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
2．如图，已知点在直线：上，和：的图像交于点，且点的横坐标为．
(1)直接写出、的值；
(2)若点是直线上一点，且，求出点的坐标．
答案：(1)，
(2)点的坐标为
分析：（1）根据题意，把点代入，点的横坐标为代入，即可求解；
（2）过作交于，过作轴，过作于，过作于，可证是等腰直角三角形，从而证明，设，可得点坐标，由此即可求解．
【详解】（1）解：将点的坐标代入中，得，
∴，
∴直线的解析式为，
将代入中，解得：，
∴点的坐标为，将点的坐标代入中，则，解得：，
综上所述：，．
（2）解：过作交于，过作轴，过作于，过作于，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，，，，
∴点坐标，
把代入中，得，解得：，
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握一次函数的图形在平面直角坐标系中的特点是解题的关键．
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线：过点和，与互相垂直，且相交于点，D为x轴上一动点．
(1)求直线与直线的函数表达式；
(2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若的面积为8，求D点的坐标；
(3)如图3，直线上有一动点P．若，请直接写出P点坐标．
答案：(1)直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：
(2)
(3)或
分析：（1）根据待定系数法求直线的函数表达式，根据点在上，求出点的坐标，根据待定系数法求直线的函数表达式即可；
（2）设，根据，即可求出答案；
（3）设出点的坐标，根据条件可知为等腰直角三角形，根据，列出方程解出即可．
【详解】（1）解：直线与过点和，
，
解得，
直线的函数表达式为：，
与互相垂直，且相交于点，
，
，
设直线的函数表达式为，
，解得，
直线的函数表达式为：；
（2）解：设，
、，，
，
，
点的坐标为；
（3）解：设点 的坐标为，
，
等腰直角三角形，
，即，
，，
，，
，
，
解得或，
或．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的性质，利用数形结合是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且，连接，已知．
(1)求直线 的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)在线段 上分别取点M，N，使得轴，在x轴上取一点P，连接 是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)线段的表达式
(2)点D的坐标为
(3)存在，点M的坐标为或
分析：（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）根据三角形面积公式得到D到 的距离等于B点到的距离的2倍，即D点的纵坐标为4，然后利用直线的解析式计算函数值为4所对应的自变量的值，从而得到D点坐标．
（3）先求出直线的表达式,再求出点N的坐标为，分情况讨论即可.
【详解】（1）解：将点代入，得解得
线段的表达式
（2）已知，且点C在x轴正半轴上，
∴点，
设点D的坐标为，如解图①，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，则
即，解得，
∴点D的坐标为
（3）存在，点M的坐标为或，设直线 的表达式为
将点代入，得，解得
直线的表达式．
已知点M在线段上，设点M的坐标为，则，
轴，且点N在上
∴将代入，得，，解得．
点N的坐标为
分三种情况讨论：
①如解图②，当M为直角顶点时，点P的坐标为
，
解得：，
点M的坐标为
②如解图③，当N为直角顶点时，点M的坐标与①中情况相同；
③如解图④，当P为直角顶点时，，过点P作轴，交MN于点Q，易得点Q为MN的中点，且，点Q的坐标为，
，
，
解得，
∴点M的坐标为
综上所述，点M的坐标为或
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数 ,则需要两组x,y的值．也考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论．
5．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点．
(1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，；
①直接写出______，______；
②点的坐标______；
(2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化?（填“变”或“不变”），若不变，其值为______；若变，请说明理由；
(3)【拓展应用】如图4，当时，直线与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______．
答案：(1)①，；②
(2)不变，的面积为定值，理由见解析
(3)点的坐标为或
分析：（1）)①若，则直线与轴，轴分别交于，，，两点，即可求解；
②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解；
（2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）过点作轴于，过点作于，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点的坐标，将点的坐标代入求得的值，即可求解．
【详解】（1）解：①若，则直线为直线，
当时，，
,，
当时，，
,，
，，
故答案为：，；
②作于，
，
，
又是以为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
点的坐标为；
（2）当变化时，的面积是定值，，理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，
，
过点作于，
，
，
，
，
，
，
又，
．
，
，
变化时，的面积是定值，；
（3）当时，过点作轴于，过点作于，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点的坐标为，，
，
直线，
将点的坐标代入得，，
解得： ，
点的坐标为；
当时，过点作轴于，过点作于，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点的坐标为，
，
直线，
将点的坐标代入得，，
解得：，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，构造全等三角形解题是关键．
二、解答题(共0分)
6．如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，在第一象限内找一点C，使为等腰直角三角形，求点C的坐标．
答案：(1)
(2)或或
分析：（1）把A的坐标代入直线的解析式，即可；
（2）过点A作，垂足为M，求得的长，再由和可求出点P的坐标，然后分三种情况讨论：若，过点C作于点N；若，过点C作轴于点F；若，即可求解．
【详解】（1）解：∵经过，
∴，
∴直线的解析式是；
（2）解：当时，，解得，
∴点．
∴，
过点A作，垂足为M，则有，
∵时，，P在点D的上方，
∴，
∴；
∵，
∴，解得，
∴点．
根据题意得：，，
∴，
∴．
若，过点C作于点N，如图，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
若，如图，过点C作轴于点F．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴，
∴；
若，如图，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
∴点C的坐标是或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)直线AP的解析式为
(2)
(3)Q的坐标为或或，理由见解析
分析：（1）由非负数的性质求出，得到，由待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）过作交x轴于D，连接，由三角形面积关系得到，进而得到，待定系数法求出直线的解析式，即可得到点M的坐标；
（3）设，分三种情况分别求解点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：∵，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为；
（2）过作交x轴于D，连接，
∵，的面积等于6，
∴的面积等于6，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴；
（3）Q的坐标为或或．
理由如下：
设，
①当点Q在x轴负半轴时，过B作轴于E，如图，
∴，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，如图，
∴，，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴；
③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，如图，
∴，，
同②可证，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上，Q的坐标为或或．
【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．如图，直线过点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点M，点N分别为x轴，y轴上一动点，求的最小值及此时点M的坐标；
(3)如图3，在（2）问的条件下，过点B作垂直于y轴，点P为直线AB上一动点，点Q为直线上一动点，若是以为腰的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点Q坐标．
答案：(1)
(2)，
(3)，，
分析：（1）利用待定系数法将代入求解即可；
（2）作A点关于x轴的对称点，作B关于y轴的对称点，连接，根据两点之间线段最短得到当且仅当四点共线时取最小值，然后根据勾股定理求解即可；
（3）根据就，分情况讨论，分别令，，然后利用三角形全等，和点Ｐ在直线上，求出点P的坐标，从而求出点Q的坐标．
【详解】（1）将代入直线AB解析式得：
解得：，
∴；
（2）作A点关于x轴的对称点，作B关于y轴的对称点，连接
∴
当且仅当四点共线时取最小值，
最小值，
∵
∴直线解析式为，令，解得
∴，
∴的最小值为，此时M点坐标为；
（3）①当时，点P在x轴上方时，过点P坐轴于点C，作轴于点D，如图所示，
在和中，
∴
∴点P的横坐标为，代入直线的解析式，
∴点，
∴点；
②当时，点在x轴下方时，过点作轴于点，作轴于点，如图所示，
同理可证，
∴，
∴点P的横坐标为5，代入直线的解析式，
∴，
∴点；
③当时，过点作于点E，过点作于点F，如图所示，
同理可证，
∴，
设点的坐标为，则点的横坐标为
，点的纵坐标为，
将点的横坐标代入直线的解析式．
，解得，
∴点．
综上所述，点Q坐标为，，．
【点睛】此题考查了一次函数和三角形结合综合题，动点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线为与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A坐标是 ，点B的坐标是 ．的长是 ．
(2)求点C的坐标．
(3)若点M是y轴上一动点，若，直接写出点M坐标．
(4)在第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．
答案：(1)，5
(2)
(3)或
(4)存在，点P的坐标为或或
分析：（1）利用一次函数解析式直接求出其图象与x轴和y轴的交点坐标，即为A，B的坐标，再根据两点的距离公式即可求出的长；
（2）由折叠知，从而可求出．设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出C点坐标；
（3）由三角形面积公式可求出．设，则，从而得出关于t的方程，解出t即可得出M点坐标；
（4）分类讨论：①当，时，过点P作轴于点G．易证，得出，，从而得出；②当，时，过点P作轴于点H．由①同理可求出；③当，时，过点P作轴于点M，轴于点N．易证，得出，．即可设，得出，解出a，即得出P点坐标．
【详解】（1）对于，令，则，
解得：，
∴．
令，则，
∴，
∴．
故答案为：，5；
（2）由折叠知：，
∴．
设，则．
∵在中，,
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴．
设，
∴，
∴，
∴，
解得：或20，
∴或；
（4）分类讨论：①当，时，如图，过点P作轴于点G．
∴，，
∴．
即在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当，时，如图，过点P作轴于点H．
由①同理可证，
∴，
∴，
∴；
③当，时，如图，过点P作轴于点M，轴于点N．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，．
∴可设，
∴，，
∴，
解得：．
∴；
综上可知，存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，综合性强，较难．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
10．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，P是x轴上的动点．
(1)求k的值．
(2)连结PB，当时，求OP的长．
(3)过点P作AB的平行线，交y轴于点M，点Q在直线上．是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：(1)；
(2)OP=1；
(3)存在，点坐标为：或或．
分析：（1）根据待定系数法得出解析式解答即可；
（2）设P（m，0），根据勾股定理得出方程解答即可；
（3）设Q（2，t），分下列情况：①当△PMQ是等腰直角三角形，∠MPQ=90°时，如图1；②当△PMQ是等腰直角三角形，∠PMQ=90°时，如图2；③当△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM=90°时，如图3；④当△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM=90°时，如图4；分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论．
【详解】（1）将，代入得：
，
解得：，
的值是；
（2）设，
，，
，，，
，
，即，
解得，
；
；
（3）存在，点坐标为：或或．
过点Q作平行于轴的直线，点在直线上，设直线交轴于点，
设，
，，
直线的解析式为：，
设点的坐标为，
过点作的平行线，交轴于点，
直线的解析式为：，
，，，
①当是等腰直角三角形，时，如图1，
则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
联立方程组得，
解得：，
；
②当是等腰直角三角形，时，如图2，
则，
①，
过点作直线，垂足为，
则，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
③当是等腰直角三角形，时，如图3，
则，
过点作轴于点，
则，
轴，
，
，
，
，
，
，
；
④当是等腰直角三角形，时，如图4，
则，
过点作轴于点，
则，
，
，
，
，，
，，
，
；
综上所述，点坐标为：或或．
【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键．
11．如图，直线l1：y＝2x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点D，与y轴交于点C，BC＝6，OD＝3OC．
(1)求直线CD的解析式；
(2)点Q为直线AB上一动点，若有S△QCD＝2S△OCD，请求出Q点坐标；
(3)点M为直线AB上一动点，点N为直线x轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M求解过程，若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)或
(3)M（2，0）或（4，4）或（，），过程见详解
分析：（1）根据直线的解析式分别求出C、D坐标即可求CD的表达式；
（2）过点Q作交CD于点F，设Q（m，2m-4），则F（m，），E（m，0）；得，由S△QCD＝2S△OCD，即可求解；
（3）假设以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，设M（a，2a-4），N（t，0），①若∠MNC=90°，过点N作平行于y轴的直线与点C与x轴的平行线交于点I，与点M与x轴的平行线交于点H，证，由，即可求点M；②若∠CMN=90°，过点M作平行于x轴的直线分别交y轴于点J，与过点N平行于y轴的直线交于点K，证，解，即可；
【详解】（1）解：将x=0代入y=2x-4中得，y=-4，
∴B（0，-4），
∵BC=6，
∴OC=2
∴C（0，2）
∵OD=3OC，
∴OD=6，
∴D（6，0），
设CD的解析式为，
将C、D代入得，，
解得：，
∴CD的解析式为：．
（2）如图，过点Q作交CD于点F，
由题意可设Q（m，2m-4），则F（m，），E（m，0）；
∴
∴
∵S△QCD＝2S△OCD，
∴，
∴，
∴或，
∴Q点的坐标为或．
（3）假设以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，
设M（a，2a-4），N（t，0），
①当点M与点A重合，点N与点O重合，∠CNM=90°，CN=MN=2时，
此时M（2，0）；
②若∠CMN=90°，
过点M作平行于x轴的直线分别交y轴于点J，与过点N平行于y轴的直线交于点K，
∵∠CMN=90°，
∴∠CMJ+∠NMK=90°，
∵∠CMJ+∠MCJ=90°，
∴∠NMK=∠MCJ，
∵∠NMK+∠MNK=90°，
∴∠MNK=∠CMJ，
∵CM=MN，
∴，
∴CJ=MK，JM=NK，
∴，
解得：a=或4，
∴M（4，4）或（，）．
【点睛】本题主要考查一次函数，三角形的全等证明，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
12．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．
(1)求证：；
(2)模型应用：
①已知直线：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
答案：(1)见解析
(2)①y＝﹣x﹣4；②（4，﹣2）或（，﹣）或（，﹣）
分析：（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC＝45°可知△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可；②分三种情况考虑：如图3所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，设D点坐标为（x，2x+6），利用三角形全等得到，得D点坐标；如图4所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14m，m8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图5所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理求出D的坐标．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△EBC（AAS）；
（2）解：①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD＝AO，CD＝OB，
∵直线：y＝x4，
∴A（0，4），B（3，0），
∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，
∴OD＝4+3＝7，
∴C（7，3）
设的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴
∴，
∴的解析式：；
②如图3，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，
∵，
∴，
∴
∵点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，
∴设D点坐标为（x，2x6），
∵B的坐标为（8，﹣6），
∴
∴，
即
解得，
∴D点坐标（4，2）；
如图4，当∠APD＝90°时，AP＝PD，同理可得，
过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设点P的坐标为（8，m），
则D点坐标为（14m，m8），
由m8＝2（14m）+6，得m＝，
∴D点坐标（，）；
如图5，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，
同理可求得D点坐标（，），
综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，2）或（，）或（，），
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线yx与x轴交于点A，且经过点B（2，a），在y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，已知C（3，0）．
（1）a＝_____；
（2）若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，则点M的坐标是 _____．
答案： 3 ，或，或，或，
分析：（1）令x=2即可求得a的值；
（2）先求得直线BC的解析式为y=-3x+9，点A的坐标为（-2，0），过点M作MH⊥y轴于点H，证明△MPH≌△PAO，然后设点P的坐标为（0，y），点M的坐标为（x，-3x+9），然后求得AO、PO、PH、MH的长，进而由全等三角形的性质列出方程求得x的值，即可得到点M的坐标．
【详解】解：（1）当时，，
，
故答案为：3．
（2）由（1）得点的坐标为，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
对，当时，，
点的坐标为，即得，
过点作轴于点，则，
，
是以为对角线的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
设，，则，，，
，
解得：或或或，
点的坐标为，或，或，或，．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是过点M作MH⊥y轴于点H，构造全等三角形．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线：交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线平行于y轴，交直线于点D，点P是直线上一动点（异于点D），连接、．
(1)直线的表达式为 ，点D的坐标为 ；
(2)设P（2，m），当点P在点D的下方时，求的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
(3)当的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角，请直接写出点C的坐标．
答案：(1)；
(2)
(3)满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，）或（3，2）或（5，）
分析：（1）利用待定系数法求出函数解析式，求出直线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标即可；
（2）根据进行求解即可；
（3）分和，两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵直线：交x轴于点B（4，0），
∴．
∴．
∴直线：，
∵过点E（2，0）的直线平行于y轴，
∴直线：，
联立，的解析式得：，解得：
∴点D的坐标为（2，），
故答案为：；（2，）；
（2）解：∵D（2，），P（2，m），点P在点D的下方，
∴，
∴；
（3）解：当点在点D的上方时，，
此时：；
结合（2）可知：，
当时，
解得：，
∴点P（2，2），
∵E（2，0），
∴，
∴，
①如图2，是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
过点C作轴于点F，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴．
∴．
∴．
∴；
②如图，是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴C（2，），
∴以点B为直角顶点作等腰直角，点C的坐标是（6，2）或（2，）．
当时，，可得P（2，），
同法可得C（3，2）或（5，）．
综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，）或（3，2）或（5，）．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．