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人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训(二)与一次函数有关的压轴题(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训(二)与一次函数有关的压轴题(原卷版+解析)，共65页。试卷主要包含了如图，在平面直角坐标系中，直线等内容，欢迎下载使用。
1．如图1所示，在平面直角坐标系中，已知点，，垂直y轴于点C，轴于点D．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点M，若，求点M的坐标；
(3)如图3，点P是第一象限内一动点，点Q是y轴正半轴上一动点，连接，，始终保持且，连接，N为线段中点，连接和，求证：的大小为定值．
2．如图，直线分别交轴、轴于、两点，直线分别交轴、轴于、两点．
(1)直接写出、、的坐标；
(2)当时，直线交直线于点，交直线于点，当时，求的值；
(3)如图2，直线交直线于点，当时，，求的值．
3．如图，平面直角坐标系中，直线分别交、轴于、两点，点为线段的中点．
(1)直接写出点的坐标______；
(2)如图1，点是轴正半轴上的一动点，过点作交轴正半轴于点，连接，点、分别是、的中点，连接，求的度数；
(3)如图2，点是轴上的一个动点，连接．把线段绕点逆时针旋转至线段，连接、．当的值最小时，求此时点的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是轴正半轴上一点，且．
(1)直接写出点的坐标为________，直线的解析式为________；
(2)设点在直线上，点在轴上，连接，以为边向右侧作正方形．
①在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标；
②点从点运动到点的过程中，正方形的对角线交点运动的路径长为________．
5．如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线BC的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若的面积为，求点M的坐标．
②连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴、轴交于点、，且与直线：交于点．
(1)分别求出点、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，，，，其中，满足．
(1)求点的坐标；
(2)如图，若点在射线上，且，求线段的长度；
(3)如图，点为线段的中点，点从点出发，沿运动到点停止，连接并延长交轴于点，过点作的垂线交射线于点，连接，，不妨设，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．
8．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，．
(1)请写出下列各点坐标：A（ ），D（ ）；
(2)如图1，求四边形ABDO的面积；
(3)如图2，点D与点P关于x轴对称，点H为直线上一动点，在直线上是否存在一点F，使以E、F、H、P四点为顶点构成的四边形是平行四边形（PE为边）？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知一次函数y＝﹣x+b的图象过点A（0，3），点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形OMPN的边上分别截取：OB＝OM，MC＝MP，OE＝ON，ND＝NP．
(1)求b的值；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形；
(3)在直线y＝﹣x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）
(1)求直线的解析式；
(2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标；
(3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作等腰直角三角形ABC，．
(1)求直线BC的函数解析式；
(2)点P为线段AB上一动点，过点P作轴交BC于点Q．当时，求四边形APQC的面积及此时点P的坐标；
(3)如图2，将一次函数的图象向左平移2个单位长度得到直线l，点M和点N均在直线BC上运动，点G为直线l上一动点，若以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，直接写出MN的长度．
12．已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线为交y轴于点，交x轴于点B，经过点且平行于y轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求点B的坐标；
(2)求的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当时，在第一象限找点C，使为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标．
14．如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
15．图1，已知一次函数图象分别与x，y轴交于点，两点．
(1)求该一次函数解析式；
(2)点P是该一次函数图象上一点，已知点P横坐标为1，y轴上有一动点Q，求的最小值及此时点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M是x轴上一动点，点N是该一次函数图象上一动点，当以A，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于、C两点，直线与x轴、y轴交于B、C两点．
(1)求m的值及点B的坐标；
(2)如图2，将直线沿x轴正方向平移个单位长度得到直线MN，交x轴于M，交AC于N，求N点坐标及△AMN的面积；
(3)如图2，在（2）的条件下，动点Q在AC直线上，在y轴上是否存在点P，使以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，已知关于x轴的对称点A在直线：上，与直线：交于点B．
(1)求直线的解析式与点B的坐标；
(2)上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由；
(3)已知点，M、N是上两个动点，且（N在M的右侧），当的值最小时，直接写出点M、N的坐标；已知点E是平面内除原点外一点，点M、N、C、E组成的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标，若不存在，说明理由．
18．如图1，在直角坐标系中，直线y＝x+m与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且△AOB的面积是8．
（1）求m的值；
（2）如图2，直线y＝kx+3k（k＜0）交直线AB于点E，交x轴于点C，点D坐标是（0，﹣2），过D点作DF⊥CD交EC于F点，若∠AEC＝∠CDO，求点F的坐标；
（3）如图3，点P坐标是（﹣1，﹣2），若△ABO以2个单位/秒的速度向下平移，同时点P以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是t秒，若点P落在△ABO内部（不包含三角形的边），求t的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点，，点与关于轴对称．已知轴上一点，连接．
(1)求点，的坐标及直线的解析式；
(2)设面积的和，求的值；
(3)在求（2）中时，小海有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积不更快捷吗？”你认为小海的说法正确吗？请说明理由．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，，对于点P和，给出如下定义：如果上存在三个点，使得以点P和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点P是的“平行连接点”．例如，图1中，C，P两点的坐标分别为，，上存在B，C和三个点，使得四边形PBDC是平行四边形，故点P是的“平行连接点”．
(1)如图2，当点C的坐标为时，
①点，，，中，是的“平行连接点”的是______；
②若是的“平行连接点”，请在图2中画出一个以点P和上的三个点为顶点的平行四边形，这个平行四边形对角线交点的纵坐标为______，m的取值范围为______；
(2)如图3，当点C的坐标为时，直线上存在的“平行连接点”，则k的取值范围为______．
八下期末难点特训（二）与一次函数有关的压轴题
1．如图1所示，在平面直角坐标系中，已知点，，垂直y轴于点C，轴于点D．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点M，若，求点M的坐标；
(3)如图3，点P是第一象限内一动点，点Q是y轴正半轴上一动点，连接，，始终保持且，连接，N为线段中点，连接和，求证：的大小为定值．
答案：(1)见解析
(2)
(3)见解析
分析：（1）证明，得到，利用，即可得证；
（2）根据，分别求出直线的解析式，联立解析式，求出点的坐标即可；
（3）延长至点H，使，连接，设交于点G，可证得，从而得到，进而得到，再根据三角形外角的性质以及四边形内角和定理可得，从而得到，再由，可得，从而证得，可得到，从而得到是等腰直角三角形，即可．
【详解】（1）证明：点，，垂直y轴于点C，轴于点D，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时：，，
设直线的解析式为：，则：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为：，则：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立两个解析式得：，解得：，
∴；
（3）解：如图，延长至点H，使，连接，设交于点G，
∵N为线段中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴为定值．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，一次函数的图像和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
2．如图，直线分别交轴、轴于、两点，直线分别交轴、轴于、两点．
(1)直接写出、、的坐标；
(2)当时，直线交直线于点，交直线于点，当时，求的值；
(3)如图2，直线交直线于点，当时，，求的值．
答案：(1)A（−2，0）；B（0，−4）；D（0，2）
(2)
(3)
分析：（1）根据x、y轴上点的坐标的特征，可得A、B、D的坐标；
（2）将两直线解析式联立解方程，可得点M和N的横坐标，根据|，从而解决问题；
（3）过E作EM⊥y轴，交y轴于点M，过D作PD⊥CD交AB于点P，过P作PN⊥y轴于N，证明△DEM≌△PDN（AAS），得ME＝DN，DM＝PN，设E（a，b），则P（2−b，a＋2），代入函数表达式解方程即可．
（1）
解：对于y1＝−2x−4，令x＝0，则y＝−4；
y＝0，则，解得x＝−2，
∴A（−2，0），B（0，−4），
对于y2＝kx＋2（k≠-2），令x＝0，则y＝2，
∴D（0，2）．
（2）
解：∵S△OBM＝2S△ODN，OB＝4，OD＝2，
∴，
∴，
由得，
∴，
由得，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）
解：如图，过E作EM⊥y轴，交y轴于点M，过D作PD⊥CD交AB于点P，过P作PN⊥y轴于N，如图所示：
则在△PDE中，PD⊥CD，∠DEB＝45°，
∴∠DEP＝∠DPE，
∴DE＝DP，
∵PD⊥DE，
∴∠EDM＋∠PDN＝90°，
又∵∠EDM＋DEM＝90°，
∴∠DEM＝∠PDN，
∵在△DEM与△PDN中，
∴△DEM≌△PDN（AAS），
∴ME＝DN，DM＝PN，
设E（a，b），
∴ME＝−a，DM＝b−2，
∴PN＝DM＝b−2，ON＝DN−OD＝ME−OD＝−a−2，
∴P（2−b，a＋2），
∵E，P都在直线y1＝−2x−4上，
∴，
整理得：，
解得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了两直线的交点问题，函数与方程的关系，全等三角形的判定与性质等知识，构造等腰直角三角形利用k型全等，是解题的关键．
3．如图，平面直角坐标系中，直线分别交、轴于、两点，点为线段的中点．
(1)直接写出点的坐标______；
(2)如图1，点是轴正半轴上的一动点，过点作交轴正半轴于点，连接，点、分别是、的中点，连接，求的度数；
(3)如图2，点是轴上的一个动点，连接．把线段绕点逆时针旋转至线段，连接、．当的值最小时，求此时点的坐标．
答案：(1)（-2，2）
(2)135°
(3)T（-3，-1）
分析：（1）求出A、B点的坐标，再由中点坐标公式求出P点坐标即可；
（2）过点P作EF⊥x轴交于F点，过D点作DE⊥EF交于E点，过M点作MG⊥y轴交于G，可证明△PED≌△CFP（AAS），设C（x，0），则D（0，x+4），M（），求出GN=GM，可得∠GNM=45°，即可求∠MNO=135°；
（3）过点Q作RS⊥x轴，过点P作PR⊥RS交于点R，延长PQ，使PQ=QK，过点T作TS⊥RS交于S，作O点关于过点T垂直于x轴的直线的对称点O'，连接O'T，当O'、T、K三点共线时，PT+OT的值最小，最小值为KO'，可证明△PQR≌△QTS（AAS），设Q（t，0），则T（t-2，-t-2），O'（2t-4，0），K（2t+2，-2），求出直线Q'K的解析式为，再将T点坐标代入即可求t的值，从而求出T点坐标．
（1）
在y=x+4中，令x=0，则y=4，
∴B（0，4），
令y=0，则x=-4，
∴A（-4，0），
∵点P为线段AB的中点，，
∴P（-2，2），
故答案为：（-2，2）；
（2）
过点P作EF⊥x轴交于F点，过D点作DE⊥EF交于E点，过M点作MG⊥y轴交于G，
∵CP⊥PD，
∴∠CPD=90°，
∴∠EPD+∠FPC=90°，
∵∠EPD+∠EDP=90°，
∴∠FPC=∠EDP，
∵PF=ED=2，
∴△PED≌△CFP（ASA），
∴PE=FC，
设C（x，0），
∴FC=x+2，
∴EF=4+x，
∴D（0，x+4），
∵M是CD的中点，
∴M（），
∴，
∵N是OB的中点，
∴N（0，2），
∴GN=，
∴GN=GM，
∴∠GNM=45°，
∴∠MNO=135°；
（3）
过点Q作RS⊥x轴，过点P作PR⊥RS交于点R，延长PQ，使PQ=QK，
过点T作TS⊥RS交于S，
∵PQ=TQ，∠PQT=90°，
∴∠PTQ=45°，
∵Q点是PK的中点，TQ⊥QK，
∴TQ=PQ=KQ，
∴∠PTK=90°，PT=KT，
作O点关于过点T垂直于x轴的直线的对称点O'，连接O'T，
∴OT+PT=O'T+TK，
∴当O'、T、K三点共线时，PT+OT的值最小，最小值为KO'，
∴∠PQR+∠TQS=90°，
∵∠PQR+∠QPR=90°，
∴∠TQS=∠QPR，
∴△PQR≌△QTS（AAS），
∴PR=QS，RQ=TS，
设Q（t，0），
∴PR=t+2，RQ=2，
∴T（t-2，-t-2），
∴O'（2t-4，0），K（2t+2，-2），
设直线Q'K的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得t=-1，
∴T（-3，-1）．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是轴正半轴上一点，且．
(1)直接写出点的坐标为________，直线的解析式为________；
(2)设点在直线上，点在轴上，连接，以为边向右侧作正方形．
①在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标；
②点从点运动到点的过程中，正方形的对角线交点运动的路径长为________．
答案：(1)点C的坐标为（4，0），
(2)①（0，4）或（0，-4）；②
分析：（1）先求出AB的坐标，然后根据△ABC的面积求出AC的长即可求出C的坐标，然后用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）①分E在D上方和下方两种情况讨论求解即可；②分E在D上方和下方两种情况，确定点T的运动轨迹为线段，据此求解即可．
（1）
解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，6），
∴OB=6，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为（4，0），
设直线BC的解析式为，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为；
（2）
解：①∵在直线AB上，
∴，
∴点D的坐标为（-1，2）；
如图1所示，当点E在点D上方时，过点D作轴，过点E作EM⊥DM于M，过点F作FN⊥ME交ME延长线于N，
∴∠M=∠N=90°，
∴∠MDE+∠MED=90°，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=EF，∠DEF=90°，
∴∠MED+∠NEF=90°，
∴∠MDE=∠NEF，
∴△MDE≌△NEF（AAS），
∴NF=ME=1，EN=DM，
设E点坐标为（0，m），则OE=m，
∴MD=EN=m-2，
∴点F的坐标为（m-2，m-1），
∵点F在直线BC上，
∴，
解得m=4，
∴点E的坐标为（0，4）；
如图2，当点E在D点下方时，
同理可证△DME≌△ENF（AAS），
∴EN=DM=2-m，NF=ME=1，
∴点F的坐标为（2-m，m+1），
∵点F在直线BC上，
∴，
解得m=4，
∴点E的坐标为（0，-4）；
综上所述，在E点的运动过程中，当顶点F落在直线BC上时，点E的坐标为（0，4）或（0，-4）；
②由①得当点E在D点上方时，设点D的坐标为（0，m），则点F的坐标为（m-2，m-1），
∴点T的坐标为（，），即（，） ，
∴点T在直线上运动，
当点D在B点时，即m=6，此时T点的坐标为（，），
当点D运动到（0，2）时，即m=2，此时T点的坐标为（，），
∴当点D从点B运动到（0，2）时，点T从点（，）运动到点（，），
∴此过程点T的运动路径长为；
当点E在D点下方时，点F的坐标为（2-m，m+1），
∴点T的坐标为（，），即（，） ，
∴点T在直线上运动，
∴当点D从点（0，2）开始向下运动时，此时点T的坐标为（，） ，
∴当点D运动到点O时，即m=0时，此时T点的坐标为（，），
∴当点D从点（0，2）运动到（0，0）时，点T从点（，）运动到点（，）
∴此过程点T的运动路径长为；
∴整个过程中T点的运动路径长为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
5．如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线BC的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若的面积为，求点M的坐标．
②连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
答案：(1)；
(2)①点的坐标为，或，；②点的坐标为，或，．
分析：（1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式；
（2）①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，，所以，当即可，利用勾股定理建立方程即可求解．
【详解】（1）对于，
由得：，
．
由得：，解得，
，
点与点关于轴对称．
设直线的函数解析式为，
，解得，
直线的函数解析式为；
（2）①设点，则点，点，
过点作与点，
则，，
则的面积，解得，
故点的坐标为，或，；
②如图，当点在轴的左侧时，
点与点关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，，
，解得，
，，
当点在轴的右侧时，
同理可得，，
综上，点的坐标为，或，．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴、轴交于点、，且与直线：交于点．
(1)分别求出点、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)，，
(2)
(3)存在，或或
分析：（1）对于直线解析式，分别令与为求出与的值，确定出与B的坐标，联立两直线解析式求出的坐标即可；
（2）由三角形的面积公式可求点坐标，由待定系数法可求解析式；
（3）分为边和为对角线两种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求解
（1）解：分别与轴、轴交于点、，当时，；当时，；点坐标为，点坐标为，直线：与直线：交于点．，，，点坐标为；
（2）设点坐标为，的面积为，，，是线段上的点，，点，设直线解析式为：，，，直线解析式为：；
（3）存在，理由如下：若以为边，设点，如图，当四边形是菱形，，，，，，舍去，点，点；当四边形是菱形，，，，，舍去，，点，点；若为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，与互相垂直平分，点的纵坐标为，点，点坐标为；综上所述：点的坐标为或或故答案为：存在，点的坐标为或或
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点距离公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，，，，其中，满足．
(1)求点的坐标；
(2)如图，若点在射线上，且，求线段的长度；
(3)如图，点为线段的中点，点从点出发，沿运动到点停止，连接并延长交轴于点，过点作的垂线交射线于点，连接，，不妨设，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．
答案：(1)（6，6）
(2)7
(3)
分析：（1）由算术平方根和绝对值的非负性质得a-6=0，且b-6=0，则a=6，b=6，即可得出结论；
（2）过点M作MH⊥x轴于点H，由题意可知OH=m，AH=MH=-n，再由OH-AH=OA得m+n=6，然后由勾股定理即可解决问题；
（3）分两种情况，①当点P在线段BA的延长线上时，由题意可知AE=x，BE=6-x，易证△ECD≌QOD，得DE=DQ，再由线段垂直平分线的性质得PE=PQ，设AP=a，然后由勾股定理得（6-x）2+（6+a）2=（6+x）2+a2，则a=2x-3，进而由勾股定理得PD2=4x2+36，则PD＝2，即可解决问题；
②当点P在线段BA（包含点A）上时，同理得y＝2x2+18(0≤x≤)，即可得出结论．
（1）解：， ，且，，，；
（2）解：如图，过点作轴于点，由可知，，，，，由题意可知：，，，，，；
（3）解：分两种情况：如图，当点在线段的延长线上时，由题意可知：，，点为线段的中点，，在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE=,由可知，四边形是正方形，，，，≌，，∴EQ=2DE=2，，为线段的中垂线，，设，在中，由勾股定理得：，同理，，，整理得：， 由勾股定理得：，，；如图，当点在线段包含点上时，由①知：QE=2，，设，在中，由勾股定理得：，同理，，，整理得：， 由勾股定理得：，，，即：；综上所述，与的函数关系式为．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了算术平方根和绝对值的非负性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、正方形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键，注意分类讨论．
8．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，．
(1)请写出下列各点坐标：A（ ），D（ ）；
(2)如图1，求四边形ABDO的面积；
(3)如图2，点D与点P关于x轴对称，点H为直线上一动点，在直线上是否存在一点F，使以E、F、H、P四点为顶点构成的四边形是平行四边形（PE为边）？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)，
(2)
(3)存在，点F的坐标为或
分析：（1）先求出D点坐标，再由 ，求出A点坐标即可；
（2）过点B作BM⊥x轴，由S四边形ABDO＝S△AMO+S梯形BDOM求解即可；
（3）设F（a，a），分两种情况讨论；①当四边形EPHF为平行四边形时，，点F的坐标为；②当四边形EPFH是平行四边形时，，点F的坐标为．
【详解】（1）解：直线中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴OD＝1，
∵，
∴OA＝ ，
∴A（，0），
故答案为：（，0），（0，1）；
（2）解：将代入，得，
∴
联立，：，得，
则；
过点B作BM⊥x轴，则
；
（3）解：存在点F，使以E、F、H、P四点为顶点构成的四边形是平行四边形（PE为边），
理由如下：
由得
设
①当四边形EPHF为平行四边形时，
则，
∴，
∴点H的坐标为，
∴，
解得，
∴点F的坐标为；
②同理当四边形EPFH是平行四边形时，
则，∴，
∴点H的坐标为，
∴，
解得，
∴点F的坐标为；
综上所述，点F的坐标为或
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，平行四边形的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
9．如图，已知一次函数y＝﹣x+b的图象过点A（0，3），点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形OMPN的边上分别截取：OB＝OM，MC＝MP，OE＝ON，ND＝NP．
(1)求b的值；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形；
(3)在直线y＝﹣x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)见解析
(3)存在，或
分析：(1)根据待定系数法，可得b的值；
(2)根据矩形的判定与性质，可得PM与ON，PN与OM的关系，根据OB=OM，MC=MP，OE=ON，NO=NP，可得PC与OE，CM与NE，BM与ND，OB与PD的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得BE与CD，BC与 DE的关系，根据平行四边形的判定，可得答案；
(3)根据正方形的判定与性质，可得BE与BC的关系，CBM与EBO的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得OE与BM的关系，可得P点坐标间的关系，可得答案．
（1）
解：一次函数的图象过点，
，解得．
（2）
证明：轴于M，轴于N，
，
∴四边形是矩形，
，，，
，，
，，
又，，
，，，．
在和中，，
，
，
同理：，
∴四边形是平行四边形．
（3）
在直线上存在P点使四边形为正方形，设P点坐标为，要使四边形为正方形，需，且．
此时，，即需．
①当点P在第一象限时，由题意，，
．
点在直线上，
，解得．
②同理，当点P在第二象限时，，
，解得．
∴所求的P点坐标是或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质．
10．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）
(1)求直线的解析式；
(2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标；
(3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标
答案：(1)
(2)，
(3)以，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或，或
分析：（1）依题意求出点，坐标，求出，，求出点，的坐标，用待定系数法求解析式；
（2）设，则，由轴可得点的纵坐标为，代入一次函数可得点的横坐标为，表示出、，求出，根据，可得的值，即可得点的坐标；
（3）分两种情况：①为矩形的边时，②为矩形的对角线时，根据矩形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）一次函数，令，则，令，则，
，，即，，
将绕点顺时针旋转得，
，，
，，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为；
（2）设，则，
轴，
点的纵坐标为，
将代入一次函数得：，
，即点的横坐标为，
，，
，，
，
，
，
，
点的坐标为，；
（3）①为矩形的边时，如图，分别过点、作交直线于，作交直线于，在分别过点、作交直线于，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形，
，，点为线段的中点，
，，
将绕点顺时针旋转得，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
点为线段的中点，
，，
；
设直线的解析式为，则，
，
直线的解析式为，
，，
，
可设直线的解析式为，
将代入得，，
，
直线的解析式为，
联立直线得，
解得，
，；
综上，为矩形的边时，点的坐标为或，；
②为矩形的对角线时，如图，
，，
轴，
四边形为矩形，
轴，
点与点重合，
．
综上，以，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或，或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，中点坐标公式的运用，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，矩形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作等腰直角三角形ABC，．
(1)求直线BC的函数解析式；
(2)点P为线段AB上一动点，过点P作轴交BC于点Q．当时，求四边形APQC的面积及此时点P的坐标；
(3)如图2，将一次函数的图象向左平移2个单位长度得到直线l，点M和点N均在直线BC上运动，点G为直线l上一动点，若以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，直接写出MN的长度．
答案：(1)
(2)，P（，）；
(3)MN的长度为或．
分析：（1）过C作CH⊥x轴于H，求出OA＝2，OB＝1，证明△AOB≌△CHA（AAS），可得AH＝OB＝1，CH＝OA＝2，则C（−3，2），然后利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）设P（t，），则Q（t，），表示出PQ，根据PQ＝OB＝，列式求出t的值，进而可得P点坐标，然后根据计算即可；
（3）先求出直线l的解析式，然后设G（m，m＋2），M（r，），N（s，），求出MN＝，分情况讨论：（Ⅰ）若AG，MN为对角线，则AG，MN的中点重合，且AG＝MN，（Ⅱ）若GM，AN为对角线，则GM，AN的中点重合，且GM＝AN，（Ⅲ）若GN，AM为对角线，则GN，AM的中点重合，且GN＝AM，分别根据两点间距离公式和中点坐标列方程求解即可．
（1）
解：过C作CH⊥x轴于H，如图：
在y＝x＋1中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝−2，
∴A（−2，0），B（0，1），即：OA＝2，OB＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝90°−∠CAH＝∠ACH，AB＝AC，
∵∠AOB＝∠AHC＝90°，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AH＝OB＝1，CH＝OA＝2，
∴OH＝OA＋AH＝3，
∴C（−3，2），
设直线BC解析式为y＝kx＋b，
把B（0，1），C（−3，2）代入得：，
解得，
∴直线BC解析式为；
（2）
设P（t，），则Q（t，），
∴PQ＝，
∵PQ＝OB＝，
∴，
解得t＝，
∴P（，），
∴，
∵OA＝2，OB＝1，
∴AB＝，
∴，
∴；
（3）
将直线y＝x＋1向左平移2个单位所得直线l解析式为y＝（x＋2）＋1＝x＋2，A（－2，0），
设G（m，m＋2），M（r，），N（s，），
∴MN＝，
（Ⅰ）若AG，MN为对角线，则AG，MN的中点重合，且AG＝MN，
∴，
且③，
由②得：④，
由①④得：，
把代入③得：，
∴；
（Ⅱ）若GM，AN为对角线，则GM，AN的中点重合，且GM＝AN，
∴，
且，
同理解得：，
∴，
∴；
（Ⅲ）若GN，AM为对角线，则GN，AM的中点重合，且GN＝AM，
∴，
且，
同理解得：，
∴，
∴；
综上所述，以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，MN的长度为或．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，坐标与图形，勾股定理的应用，一次函数图象上点坐标的特征，一次函数图象的平移，矩形的性质，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是分类讨论思想与方程思想的应用．
12．已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
答案：(1)
(2)，或，
(3)存在，，，
分析：（1）设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可；
（2）设点的横坐标为，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
（3）按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式，
直线与轴，轴分别交于、两点，
，，
直线经过点，与轴交于点，
，
，
直线的解析式：；
（2）由题意可知，，
设点的横坐标为，
，
或．
，或，；
（3）设将沿着轴平移个单位长度得到△，
，
，，
设点坐标为，
①当为以、、、为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当时，即，
此时，即点在轴上，
且，
点与点重合，即．
当时，
，，
，
解得，
此时，即点在轴上，
且，
．
②当为以、、、为顶点的菱形对角线时，，即点在的垂直平分线上，且，关于对称，
当向左一移动，，，，
，
解得或（舍），
当向右移动时，，，，
，
解得（舍）或（舍），
，
．
综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为，，．
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线为交y轴于点，交x轴于点B，经过点且平行于y轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求点B的坐标；
(2)求的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当时，在第一象限找点C，使为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标．
答案：(1)（4，0）
(2)
(3)或或，或，
分析：（1）将代入得，即知，令得；
（2）根据题意得，，，可得的面积为；
（3）由，得，设，，而，可得，，，分三种情况：①若、为直角边，则，，即，可得，②若，为直角边，，得；③若，为直角边，，得，或，．
（1）解：将代入得：，，令得：，解得，；
（2），，，；即的面积为；
（3），，解得，，设，，而，，，，①若、为直角边，则，，，解得或（舍去），，②若，为直角边，则，，，解得（舍去）或，；③若，为直角边，则，，，解得或，，或，，综上所述，的坐标为：或或，或，．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．
14．如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
答案：(1)点C的坐标为
(2)
(3)存在，点Q的坐标为：，，，
分析：（1）由待定系数法求出直线的解析式为，然后联立直线与直线，即可求出点C的坐标；
（2）如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，求出直线的解析式为，则可求，进而由求解即可；
（3）由题意可知直线的解析式为，联立线与直线，求出，设，分三种情况，①当ED为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；②当EQ为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；③当EF为菱形对角线时，利用可得点Q坐标．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，由直线经过、两点可得：
，解得，
直线的解析式为，
又直线与直线交于点C，
，解得，
当时，则，
点C的坐标为；
（2）解：如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，根据两点之间“线段最短”可知，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，
直线与x轴的交点为，
又点D和点关于y轴对称，
点，
，
设直线的解析式为，可得，解得，
直线的解析式为，
令，则，得点，
，
又，，
，
，
；
（3）解：由题意可得直线的解析式为，
联立线与直线，即，解得，，
设，
①当ED为菱形对角线时，，
即，
解得，
；
②当EQ为菱形对角线时，，
，
，
解得或，
，；
③当EF为菱形对角线时，，
即，
解得，
，
综上：存在，点Q的坐标为：，，，．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质、菱形的判定与性质，分类讨论是解题的关键．
15．图1，已知一次函数图象分别与x，y轴交于点，两点．
(1)求该一次函数解析式；
(2)点P是该一次函数图象上一点，已知点P横坐标为1，y轴上有一动点Q，求的最小值及此时点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M是x轴上一动点，点N是该一次函数图象上一动点，当以A，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
答案：(1)
(2)的最小值为，点
(3)点的坐标为，或，
分析：（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，根据两点之间的距离公式求的值，求出直线的函数解析式，进一步即可求出点坐标；
（3）设点，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线，分别列二元一次方程组，求解即可．
（1）
解：设一次函数的解析式：，
将点，代入解析式，
得，
解得，
一次函数解析式：；
（2）
将点横坐标1代入直线解析式，
得，
，
作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，如图所示：
则的长即为的最小值，
，
，
，
的最小值为，
设直线的解析式：，
代入点，点坐标，
，
解得，
直线的解析式：，
点；
（3）
设点，，
，，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：
①以，为对角线，
可得，
解得，
点坐标为，，
②以，为对角线，
可得，
解得，
点坐标为，，
③以，为对角线，
得，
解得，
点坐标为，，
综上，点的坐标为，或，．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，利用轴对称性质求最小值，平行四边形的判定等，本题综合性较强，难度较大．
16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于、C两点，直线与x轴、y轴交于B、C两点．
(1)求m的值及点B的坐标；
(2)如图2，将直线沿x轴正方向平移个单位长度得到直线MN，交x轴于M，交AC于N，求N点坐标及△AMN的面积；
(3)如图2，在（2）的条件下，动点Q在AC直线上，在y轴上是否存在点P，使以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)
(3)P（0，-2）或（0，4）．
分析：（1）把点A坐标代入，从而求得m，进而求得点B坐标；
（2）先求出M坐标，然后代入，进而联立直线AC和MN的解析式，从而求得N坐标，进而求得△AMN的面积；
（3）分为当MN为边时，即以点M、N、P、Q为顶点的四边形为▱MNQP或▱MNPQ时，根据平行四边形性质得出坐标间的关系，从而求得结果；当MN为对角线时，同样求得P点坐标．
（1）
解：把代入得，
， 则m=1，
∴，
令y=0，即：，
∴，
∴；
（2）
设直线MN的解析式为：，
∵ ，
∴
∴，
∴b=6，
∴，
由得，，
∴，
∴，
∴S△AMN=；
（3）
设，P（0，y），
当以点M、N、P、Q为顶点的四边形为▱MNQP时，
则 ， 解得： ，
∴P（0，-2），
当以点M、N、P、Q为顶点的四边形为▱MNPQ时，
则 ，
∴ ， ∴P（0，4），
当以点M、N、P、Q为顶点的四边形为▱MQNP时，
则，
∴ ， ∴P（0，-2），
综上所述：P（0，-2）或（0，4）．
【点睛】本题考查了一次函数点的坐标与解析式关系，一次函数图象的交点与其对应方程组的关系，二次根式的运算，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类以及较强计算能力．
17．如图，已知关于x轴的对称点A在直线：上，与直线：交于点B．
(1)求直线的解析式与点B的坐标；
(2)上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由；
(3)已知点，M、N是上两个动点，且（N在M的右侧），当的值最小时，直接写出点M、N的坐标；已知点E是平面内除原点外一点，点M、N、C、E组成的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标，若不存在，说明理由．
答案：(1)；
(2)或
(3)的坐标为或
分析：（1）根据轴对称的性质求得点的坐标，即可求得的解析式，进而联立直线解析即可求得交点的坐标；
（2）过作轴交直线于点，设直线的解析式为，待定系数法求解析式，进而设P(t,-2t+5)，则即，根据列出一元一次方程，解方程求解即可；
（3）过点D作l1的平行线，作C点关于l1的对称点C'，过点C'作ND的平行线交l1于M，过点C作CV⊥x轴交于V点，过点C'作C'U⊥x轴交于U点，设分别交轴于点S,T，根据对称性可知C'M=CM，CM＋ MN ＋ ND=C'M＋ MN+MRMN+C'R，进而求得的坐标，分三种情况讨论，①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴点关于轴的对称点
点A在直线：上，
直线：
与直线：交于点B．
联立
解得
（2）存在点P使得，理由如下：
过作轴交直线于点，如图，
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
则
设P(t,-2t+5)，则即
即
解得或
或
（3）如图，过点D作l1的平行线，作C点关于l1的对称点C'，过点C'作ND的平行线交l1于M，过点C作CV⊥x轴交于V点，过点C'作C'U⊥x轴交于U点，设分别交轴于点S,T
四边形MRDN是平行四边形，
ND=MR，
由对称性可知C'M=CM，
CM＋ MN ＋ ND=C'M＋ MN+MRMN+C'R，
当C'、M、R三点共线时，CM+MN+ND的值最小，
，令，得，令，得
，
∠BSO = 45°，
关于对称，
SU = C'U = SV = CV,
C(-1,-1),
C'U=SU=1,
设
设直线的解析式为
设直线的解析式为
解得
设，使得组成的四边形是平行四边形
①为对角线时，
解得
②为对角线时，
解得
③为对角线时，
解得
（不符合题意，舍）
综上所述，的坐标为或
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，平行四边形的性质，三角形的面积，待定系数法求解析式，求两直线的交点，平行四边形的性质，轴对称求线段和最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．
18．如图1，在直角坐标系中，直线y＝x+m与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且△AOB的面积是8．
（1）求m的值；
（2）如图2，直线y＝kx+3k（k＜0）交直线AB于点E，交x轴于点C，点D坐标是（0，﹣2），过D点作DF⊥CD交EC于F点，若∠AEC＝∠CDO，求点F的坐标；
（3）如图3，点P坐标是（﹣1，﹣2），若△ABO以2个单位/秒的速度向下平移，同时点P以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是t秒，若点P落在△ABO内部（不包含三角形的边），求t的取值范围．
答案：（1）m＝4；（2）F（﹣2，﹣5）；（3）．
分析：（1）由直线解析式可分别用m表示出A、B的坐标，利用△AOB的面积可得到关于m的方程，则可求得m的值；
（2）过F作FG⊥y轴于点G，可证得△CDF为等腰直角三角形，则可证得△CDO≌△DFG，则可求得FG和OG的长，可求得F点坐标；
（3）可分别求得点P落在AO边上和落在AB边上时的对应的时间，则可求得P在△ABO内部时t的取值范围．
【详解】解：（1）由题意可知A、B坐标分别为（﹣m，0）、（0，﹣m），
∴，解得m＝±4，
又∵B点在y轴正半轴，即m＞0，
∴m＝4；
（2）如图，作FG⊥y轴于G，由题意可知OC＝3，
设∠AEC＝∠CDO＝x°，
则∠FCO＝∠ACE＝135°﹣x°，∠OCD＝90°﹣x°，∠DCF＝135°﹣x°﹣（90°﹣x°）＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD＝DF，
∵∠OCD+∠ODC＝∠ODC+∠FDG＝90°，
∴∠OCD＝∠FDG，
在△CDO和△DFG中
，
∴△CDO≌△DFG（AAS），
∴OD＝FG＝2，DG＝CO＝3，
∴OG＝OD+DG＝5，
∴F（﹣2，﹣5）；
（3）当P点落在AO边上时，由题意得0﹣2t＝﹣2，解得t＝1；
当P点落在AB边上时，由题意得（﹣1﹣t）+m﹣2t＝﹣2，由（1）可知，m＝4，解得；
∴若点P落在△ABO内部（不包含三角形的边），则t的取值范围为．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及三角形的面积、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识，在（1）中用m表示出△AOB的面积是解题的关键，在（2）中构造三角形全等求得OG和FG的长是解题的关键，在（3）中确定出P点的极端位置时的t的值是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点，，点与关于轴对称．已知轴上一点，连接．
(1)求点，的坐标及直线的解析式；
(2)设面积的和，求的值；
(3)在求（2）中时，小海有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积不更快捷吗？”你认为小海的说法正确吗？请说明理由．
答案：(1)
(2)
(3)不正确，理由见解析
分析：（1）分别求出点B和点C坐标，再根据轴对称的性质求出点C′的坐标，再待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）分别求出△ABC的面积和四边形AODC′的面积，即可得到S的值；
（3）通过验证可知点B不在直线DC′上，从而可判断小海的说法．
【详解】（1）当时，，
点坐标为，
当时，，
解得，
点坐标为，
点与关于轴对称，
，
设直线的函数解析式：，
将点，代入解析式，
得，
解得，
直线的函数解析式：；
（2），，
，
，，，
，
；
（3）小海说法不正确，理由如下，
直线的函数解析式：，
当时，，
点不在直线上，
的面积与四边形的面积和的面积，
小海的说法不正确．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，三角形的面积等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称的性质是解题的关键．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，，对于点P和，给出如下定义：如果上存在三个点，使得以点P和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点P是的“平行连接点”．例如，图1中，C，P两点的坐标分别为，，上存在B，C和三个点，使得四边形PBDC是平行四边形，故点P是的“平行连接点”．
(1)如图2，当点C的坐标为时，
①点，，，中，是的“平行连接点”的是______；
②若是的“平行连接点”，请在图2中画出一个以点P和上的三个点为顶点的平行四边形，这个平行四边形对角线交点的纵坐标为______，m的取值范围为______；
(2)如图3，当点C的坐标为时，直线上存在的“平行连接点”，则k的取值范围为______．
答案：(1)①P1，P2；②1，-3＜m＜3
(2)k＜或k＞
分析：（1）①根据△ABC的“平行连接点”的定义利用图象法判断；
②平行四边形的对角线PB、AC相交于AC边上，可知交点的纵坐标为1；当m＝0时，满足题意；当m＞0时，此时需满足m＜3才符合题意；当m＜0时，需满足m＞-3符合题意；
（2）当直线y=kx-2与图中阴影部分有除点M和点N外的交点时，求出直线y=kx-2经过点M，点N时的k值可得结论．
（1）
解：（1）①由图可知A（0，1），B（3，2），C（3，1），E（1，1），
∵E，B，P1，C能组成平行四边形，
∴P1是△ABC的“平行连接点”，
∵A，B，P2，C能组成平行四边形，
∴P2是△ABC的“平行连接点”，
故答案为：P1，P2；
②当m=0时，OABC且OA=BC，满足题意；
当0＜m＜3时，AC上一定存在点E，使得EPCB是平行四边形，满足条件；
当-3＜m＜0时，AC上存在一点D，使得BDPA是平行四边形，满足条件，
∴m的取值范围为：-3＜m＜3，
故答案为：1，-3＜m＜3；作图如下：
（2）
如图，当直线y=kx-2与图中阴影部分有交点时（不包括点M，点N）满足条件，
当直线y=kx-2经过点M（-3，0）时，-3k-2=0，
解得k=，
当直线y=kx-2经过点N（5，1）时，5k-2=1，
解得k=，
观察图象可知，满足条件的k的值k＜或k＞．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，能将所求知识与平行四边形的性质和一次函数的图象及性质结合是解题的关键．
1．如图1所示，在平面直角坐标系中，已知点，，垂直y轴于点C，轴于点D．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点M，若，求点M的坐标；
(3)如图3，点P是第一象限内一动点，点Q是y轴正半轴上一动点，连接，，始终保持且，连接，N为线段中点，连接和，求证：的大小为定值．
2．如图，直线分别交轴、轴于、两点，直线分别交轴、轴于、两点．
(1)直接写出、、的坐标；
(2)当时，直线交直线于点，交直线于点，当时，求的值；
(3)如图2，直线交直线于点，当时，，求的值．
3．如图，平面直角坐标系中，直线分别交、轴于、两点，点为线段的中点．
(1)直接写出点的坐标______；
(2)如图1，点是轴正半轴上的一动点，过点作交轴正半轴于点，连接，点、分别是、的中点，连接，求的度数；
(3)如图2，点是轴上的一个动点，连接．把线段绕点逆时针旋转至线段，连接、．当的值最小时，求此时点的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是轴正半轴上一点，且．
(1)直接写出点的坐标为________，直线的解析式为________；
(2)设点在直线上，点在轴上，连接，以为边向右侧作正方形．
①在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标；
②点从点运动到点的过程中，正方形的对角线交点运动的路径长为________．
5．如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线BC的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若的面积为，求点M的坐标．
②连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴、轴交于点、，且与直线：交于点．
(1)分别求出点、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，，，，其中，满足．
(1)求点的坐标；
(2)如图，若点在射线上，且，求线段的长度；
(3)如图，点为线段的中点，点从点出发，沿运动到点停止，连接并延长交轴于点，过点作的垂线交射线于点，连接，，不妨设，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．
8．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，．
(1)请写出下列各点坐标：A（ ），D（ ）；
(2)如图1，求四边形ABDO的面积；
(3)如图2，点D与点P关于x轴对称，点H为直线上一动点，在直线上是否存在一点F，使以E、F、H、P四点为顶点构成的四边形是平行四边形（PE为边）？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知一次函数y＝﹣x+b的图象过点A（0，3），点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形OMPN的边上分别截取：OB＝OM，MC＝MP，OE＝ON，ND＝NP．
(1)求b的值；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形；
(3)在直线y＝﹣x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）
(1)求直线的解析式；
(2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标；
(3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作等腰直角三角形ABC，．
(1)求直线BC的函数解析式；
(2)点P为线段AB上一动点，过点P作轴交BC于点Q．当时，求四边形APQC的面积及此时点P的坐标；
(3)如图2，将一次函数的图象向左平移2个单位长度得到直线l，点M和点N均在直线BC上运动，点G为直线l上一动点，若以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，直接写出MN的长度．
12．已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线为交y轴于点，交x轴于点B，经过点且平行于y轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求点B的坐标；
(2)求的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当时，在第一象限找点C，使为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标．
14．如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
15．图1，已知一次函数图象分别与x，y轴交于点，两点．
(1)求该一次函数解析式；
(2)点P是该一次函数图象上一点，已知点P横坐标为1，y轴上有一动点Q，求的最小值及此时点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M是x轴上一动点，点N是该一次函数图象上一动点，当以A，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于、C两点，直线与x轴、y轴交于B、C两点．
(1)求m的值及点B的坐标；
(2)如图2，将直线沿x轴正方向平移个单位长度得到直线MN，交x轴于M，交AC于N，求N点坐标及△AMN的面积；
(3)如图2，在（2）的条件下，动点Q在AC直线上，在y轴上是否存在点P，使以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，已知关于x轴的对称点A在直线：上，与直线：交于点B．
(1)求直线的解析式与点B的坐标；
(2)上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由；
(3)已知点，M、N是上两个动点，且（N在M的右侧），当的值最小时，直接写出点M、N的坐标；已知点E是平面内除原点外一点，点M、N、C、E组成的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标，若不存在，说明理由．
18．如图1，在直角坐标系中，直线y＝x+m与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且△AOB的面积是8．
（1）求m的值；
（2）如图2，直线y＝kx+3k（k＜0）交直线AB于点E，交x轴于点C，点D坐标是（0，﹣2），过D点作DF⊥CD交EC于F点，若∠AEC＝∠CDO，求点F的坐标；
（3）如图3，点P坐标是（﹣1，﹣2），若△ABO以2个单位/秒的速度向下平移，同时点P以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是t秒，若点P落在△ABO内部（不包含三角形的边），求t的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点，，点与关于轴对称．已知轴上一点，连接．
(1)求点，的坐标及直线的解析式；
(2)设面积的和，求的值；
(3)在求（2）中时，小海有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积不更快捷吗？”你认为小海的说法正确吗？请说明理由．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，，对于点P和，给出如下定义：如果上存在三个点，使得以点P和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点P是的“平行连接点”．例如，图1中，C，P两点的坐标分别为，，上存在B，C和三个点，使得四边形PBDC是平行四边形，故点P是的“平行连接点”．
(1)如图2，当点C的坐标为时，
①点，，，中，是的“平行连接点”的是______；
②若是的“平行连接点”，请在图2中画出一个以点P和上的三个点为顶点的平行四边形，这个平行四边形对角线交点的纵坐标为______，m的取值范围为______；
(2)如图3，当点C的坐标为时，直线上存在的“平行连接点”，则k的取值范围为______．
八下期末难点特训（二）与一次函数有关的压轴题
1．如图1所示，在平面直角坐标系中，已知点，，垂直y轴于点C，轴于点D．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点M，若，求点M的坐标；
(3)如图3，点P是第一象限内一动点，点Q是y轴正半轴上一动点，连接，，始终保持且，连接，N为线段中点，连接和，求证：的大小为定值．
答案：(1)见解析
(2)
(3)见解析
分析：（1）证明，得到，利用，即可得证；
（2）根据，分别求出直线的解析式，联立解析式，求出点的坐标即可；
（3）延长至点H，使，连接，设交于点G，可证得，从而得到，进而得到，再根据三角形外角的性质以及四边形内角和定理可得，从而得到，再由，可得，从而证得，可得到，从而得到是等腰直角三角形，即可．
【详解】（1）证明：点，，垂直y轴于点C，轴于点D，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时：，，
设直线的解析式为：，则：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为：，则：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立两个解析式得：，解得：，
∴；
（3）解：如图，延长至点H，使，连接，设交于点G，
∵N为线段中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴为定值．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，一次函数的图像和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
2．如图，直线分别交轴、轴于、两点，直线分别交轴、轴于、两点．
(1)直接写出、、的坐标；
(2)当时，直线交直线于点，交直线于点，当时，求的值；
(3)如图2，直线交直线于点，当时，，求的值．
答案：(1)A（−2，0）；B（0，−4）；D（0，2）
(2)
(3)
分析：（1）根据x、y轴上点的坐标的特征，可得A、B、D的坐标；
（2）将两直线解析式联立解方程，可得点M和N的横坐标，根据|，从而解决问题；
（3）过E作EM⊥y轴，交y轴于点M，过D作PD⊥CD交AB于点P，过P作PN⊥y轴于N，证明△DEM≌△PDN（AAS），得ME＝DN，DM＝PN，设E（a，b），则P（2−b，a＋2），代入函数表达式解方程即可．
（1）
解：对于y1＝−2x−4，令x＝0，则y＝−4；
y＝0，则，解得x＝−2，
∴A（−2，0），B（0，−4），
对于y2＝kx＋2（k≠-2），令x＝0，则y＝2，
∴D（0，2）．
（2）
解：∵S△OBM＝2S△ODN，OB＝4，OD＝2，
∴，
∴，
由得，
∴，
由得，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）
解：如图，过E作EM⊥y轴，交y轴于点M，过D作PD⊥CD交AB于点P，过P作PN⊥y轴于N，如图所示：
则在△PDE中，PD⊥CD，∠DEB＝45°，
∴∠DEP＝∠DPE，
∴DE＝DP，
∵PD⊥DE，
∴∠EDM＋∠PDN＝90°，
又∵∠EDM＋DEM＝90°，
∴∠DEM＝∠PDN，
∵在△DEM与△PDN中，
∴△DEM≌△PDN（AAS），
∴ME＝DN，DM＝PN，
设E（a，b），
∴ME＝−a，DM＝b−2，
∴PN＝DM＝b−2，ON＝DN−OD＝ME−OD＝−a−2，
∴P（2−b，a＋2），
∵E，P都在直线y1＝−2x−4上，
∴，
整理得：，
解得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了两直线的交点问题，函数与方程的关系，全等三角形的判定与性质等知识，构造等腰直角三角形利用k型全等，是解题的关键．
3．如图，平面直角坐标系中，直线分别交、轴于、两点，点为线段的中点．
(1)直接写出点的坐标______；
(2)如图1，点是轴正半轴上的一动点，过点作交轴正半轴于点，连接，点、分别是、的中点，连接，求的度数；
(3)如图2，点是轴上的一个动点，连接．把线段绕点逆时针旋转至线段，连接、．当的值最小时，求此时点的坐标．
答案：(1)（-2，2）
(2)135°
(3)T（-3，-1）
分析：（1）求出A、B点的坐标，再由中点坐标公式求出P点坐标即可；
（2）过点P作EF⊥x轴交于F点，过D点作DE⊥EF交于E点，过M点作MG⊥y轴交于G，可证明△PED≌△CFP（AAS），设C（x，0），则D（0，x+4），M（），求出GN=GM，可得∠GNM=45°，即可求∠MNO=135°；
（3）过点Q作RS⊥x轴，过点P作PR⊥RS交于点R，延长PQ，使PQ=QK，过点T作TS⊥RS交于S，作O点关于过点T垂直于x轴的直线的对称点O'，连接O'T，当O'、T、K三点共线时，PT+OT的值最小，最小值为KO'，可证明△PQR≌△QTS（AAS），设Q（t，0），则T（t-2，-t-2），O'（2t-4，0），K（2t+2，-2），求出直线Q'K的解析式为，再将T点坐标代入即可求t的值，从而求出T点坐标．
（1）
在y=x+4中，令x=0，则y=4，
∴B（0，4），
令y=0，则x=-4，
∴A（-4，0），
∵点P为线段AB的中点，，
∴P（-2，2），
故答案为：（-2，2）；
（2）
过点P作EF⊥x轴交于F点，过D点作DE⊥EF交于E点，过M点作MG⊥y轴交于G，
∵CP⊥PD，
∴∠CPD=90°，
∴∠EPD+∠FPC=90°，
∵∠EPD+∠EDP=90°，
∴∠FPC=∠EDP，
∵PF=ED=2，
∴△PED≌△CFP（ASA），
∴PE=FC，
设C（x，0），
∴FC=x+2，
∴EF=4+x，
∴D（0，x+4），
∵M是CD的中点，
∴M（），
∴，
∵N是OB的中点，
∴N（0，2），
∴GN=，
∴GN=GM，
∴∠GNM=45°，
∴∠MNO=135°；
（3）
过点Q作RS⊥x轴，过点P作PR⊥RS交于点R，延长PQ，使PQ=QK，
过点T作TS⊥RS交于S，
∵PQ=TQ，∠PQT=90°，
∴∠PTQ=45°，
∵Q点是PK的中点，TQ⊥QK，
∴TQ=PQ=KQ，
∴∠PTK=90°，PT=KT，
作O点关于过点T垂直于x轴的直线的对称点O'，连接O'T，
∴OT+PT=O'T+TK，
∴当O'、T、K三点共线时，PT+OT的值最小，最小值为KO'，
∴∠PQR+∠TQS=90°，
∵∠PQR+∠QPR=90°，
∴∠TQS=∠QPR，
∴△PQR≌△QTS（AAS），
∴PR=QS，RQ=TS，
设Q（t，0），
∴PR=t+2，RQ=2，
∴T（t-2，-t-2），
∴O'（2t-4，0），K（2t+2，-2），
设直线Q'K的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得t=-1，
∴T（-3，-1）．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是轴正半轴上一点，且．
(1)直接写出点的坐标为________，直线的解析式为________；
(2)设点在直线上，点在轴上，连接，以为边向右侧作正方形．
①在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标；
②点从点运动到点的过程中，正方形的对角线交点运动的路径长为________．
答案：(1)点C的坐标为（4，0），
(2)①（0，4）或（0，-4）；②
分析：（1）先求出AB的坐标，然后根据△ABC的面积求出AC的长即可求出C的坐标，然后用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）①分E在D上方和下方两种情况讨论求解即可；②分E在D上方和下方两种情况，确定点T的运动轨迹为线段，据此求解即可．
（1）
解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，6），
∴OB=6，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为（4，0），
设直线BC的解析式为，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为；
（2）
解：①∵在直线AB上，
∴，
∴点D的坐标为（-1，2）；
如图1所示，当点E在点D上方时，过点D作轴，过点E作EM⊥DM于M，过点F作FN⊥ME交ME延长线于N，
∴∠M=∠N=90°，
∴∠MDE+∠MED=90°，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=EF，∠DEF=90°，
∴∠MED+∠NEF=90°，
∴∠MDE=∠NEF，
∴△MDE≌△NEF（AAS），
∴NF=ME=1，EN=DM，
设E点坐标为（0，m），则OE=m，
∴MD=EN=m-2，
∴点F的坐标为（m-2，m-1），
∵点F在直线BC上，
∴，
解得m=4，
∴点E的坐标为（0，4）；
如图2，当点E在D点下方时，
同理可证△DME≌△ENF（AAS），
∴EN=DM=2-m，NF=ME=1，
∴点F的坐标为（2-m，m+1），
∵点F在直线BC上，
∴，
解得m=4，
∴点E的坐标为（0，-4）；
综上所述，在E点的运动过程中，当顶点F落在直线BC上时，点E的坐标为（0，4）或（0，-4）；
②由①得当点E在D点上方时，设点D的坐标为（0，m），则点F的坐标为（m-2，m-1），
∴点T的坐标为（，），即（，） ，
∴点T在直线上运动，
当点D在B点时，即m=6，此时T点的坐标为（，），
当点D运动到（0，2）时，即m=2，此时T点的坐标为（，），
∴当点D从点B运动到（0，2）时，点T从点（，）运动到点（，），
∴此过程点T的运动路径长为；
当点E在D点下方时，点F的坐标为（2-m，m+1），
∴点T的坐标为（，），即（，） ，
∴点T在直线上运动，
∴当点D从点（0，2）开始向下运动时，此时点T的坐标为（，） ，
∴当点D运动到点O时，即m=0时，此时T点的坐标为（，），
∴当点D从点（0，2）运动到（0，0）时，点T从点（，）运动到点（，）
∴此过程点T的运动路径长为；
∴整个过程中T点的运动路径长为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
5．如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线BC的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若的面积为，求点M的坐标．
②连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
答案：(1)；
(2)①点的坐标为，或，；②点的坐标为，或，．
分析：（1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式；
（2）①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，，所以，当即可，利用勾股定理建立方程即可求解．
【详解】（1）对于，
由得：，
．
由得：，解得，
，
点与点关于轴对称．
设直线的函数解析式为，
，解得，
直线的函数解析式为；
（2）①设点，则点，点，
过点作与点，
则，，
则的面积，解得，
故点的坐标为，或，；
②如图，当点在轴的左侧时，
点与点关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，，
，解得，
，，
当点在轴的右侧时，
同理可得，，
综上，点的坐标为，或，．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴、轴交于点、，且与直线：交于点．
(1)分别求出点、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)，，
(2)
(3)存在，或或
分析：（1）对于直线解析式，分别令与为求出与的值，确定出与B的坐标，联立两直线解析式求出的坐标即可；
（2）由三角形的面积公式可求点坐标，由待定系数法可求解析式；
（3）分为边和为对角线两种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求解
（1）解：分别与轴、轴交于点、，当时，；当时，；点坐标为，点坐标为，直线：与直线：交于点．，，，点坐标为；
（2）设点坐标为，的面积为，，，是线段上的点，，点，设直线解析式为：，，，直线解析式为：；
（3）存在，理由如下：若以为边，设点，如图，当四边形是菱形，，，，，，舍去，点，点；当四边形是菱形，，，，，舍去，，点，点；若为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，与互相垂直平分，点的纵坐标为，点，点坐标为；综上所述：点的坐标为或或故答案为：存在，点的坐标为或或
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点距离公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，，，，其中，满足．
(1)求点的坐标；
(2)如图，若点在射线上，且，求线段的长度；
(3)如图，点为线段的中点，点从点出发，沿运动到点停止，连接并延长交轴于点，过点作的垂线交射线于点，连接，，不妨设，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．
答案：(1)（6，6）
(2)7
(3)
分析：（1）由算术平方根和绝对值的非负性质得a-6=0，且b-6=0，则a=6，b=6，即可得出结论；
（2）过点M作MH⊥x轴于点H，由题意可知OH=m，AH=MH=-n，再由OH-AH=OA得m+n=6，然后由勾股定理即可解决问题；
（3）分两种情况，①当点P在线段BA的延长线上时，由题意可知AE=x，BE=6-x，易证△ECD≌QOD，得DE=DQ，再由线段垂直平分线的性质得PE=PQ，设AP=a，然后由勾股定理得（6-x）2+（6+a）2=（6+x）2+a2，则a=2x-3，进而由勾股定理得PD2=4x2+36，则PD＝2，即可解决问题；
②当点P在线段BA（包含点A）上时，同理得y＝2x2+18(0≤x≤)，即可得出结论．
（1）解：， ，且，，，；
（2）解：如图，过点作轴于点，由可知，，，，，由题意可知：，，，，，；
（3）解：分两种情况：如图，当点在线段的延长线上时，由题意可知：，，点为线段的中点，，在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE=,由可知，四边形是正方形，，，，≌，，∴EQ=2DE=2，，为线段的中垂线，，设，在中，由勾股定理得：，同理，，，整理得：， 由勾股定理得：，，；如图，当点在线段包含点上时，由①知：QE=2，，设，在中，由勾股定理得：，同理，，，整理得：， 由勾股定理得：，，，即：；综上所述，与的函数关系式为．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了算术平方根和绝对值的非负性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、正方形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键，注意分类讨论．
8．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，．
(1)请写出下列各点坐标：A（ ），D（ ）；
(2)如图1，求四边形ABDO的面积；
(3)如图2，点D与点P关于x轴对称，点H为直线上一动点，在直线上是否存在一点F，使以E、F、H、P四点为顶点构成的四边形是平行四边形（PE为边）？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)，
(2)
(3)存在，点F的坐标为或
分析：（1）先求出D点坐标，再由 ，求出A点坐标即可；
（2）过点B作BM⊥x轴，由S四边形ABDO＝S△AMO+S梯形BDOM求解即可；
（3）设F（a，a），分两种情况讨论；①当四边形EPHF为平行四边形时，，点F的坐标为；②当四边形EPFH是平行四边形时，，点F的坐标为．
【详解】（1）解：直线中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴OD＝1，
∵，
∴OA＝ ，
∴A（，0），
故答案为：（，0），（0，1）；
（2）解：将代入，得，
∴
联立，：，得，
则；
过点B作BM⊥x轴，则
；
（3）解：存在点F，使以E、F、H、P四点为顶点构成的四边形是平行四边形（PE为边），
理由如下：
由得
设
①当四边形EPHF为平行四边形时，
则，
∴，
∴点H的坐标为，
∴，
解得，
∴点F的坐标为；
②同理当四边形EPFH是平行四边形时，
则，∴，
∴点H的坐标为，
∴，
解得，
∴点F的坐标为；
综上所述，点F的坐标为或
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，平行四边形的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
9．如图，已知一次函数y＝﹣x+b的图象过点A（0，3），点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形OMPN的边上分别截取：OB＝OM，MC＝MP，OE＝ON，ND＝NP．
(1)求b的值；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形；
(3)在直线y＝﹣x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)见解析
(3)存在，或
分析：(1)根据待定系数法，可得b的值；
(2)根据矩形的判定与性质，可得PM与ON，PN与OM的关系，根据OB=OM，MC=MP，OE=ON，NO=NP，可得PC与OE，CM与NE，BM与ND，OB与PD的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得BE与CD，BC与 DE的关系，根据平行四边形的判定，可得答案；
(3)根据正方形的判定与性质，可得BE与BC的关系，CBM与EBO的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得OE与BM的关系，可得P点坐标间的关系，可得答案．
（1）
解：一次函数的图象过点，
，解得．
（2）
证明：轴于M，轴于N，
，
∴四边形是矩形，
，，，
，，
，，
又，，
，，，．
在和中，，
，
，
同理：，
∴四边形是平行四边形．
（3）
在直线上存在P点使四边形为正方形，设P点坐标为，要使四边形为正方形，需，且．
此时，，即需．
①当点P在第一象限时，由题意，，
．
点在直线上，
，解得．
②同理，当点P在第二象限时，，
，解得．
∴所求的P点坐标是或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质．
10．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）
(1)求直线的解析式；
(2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标；
(3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标
答案：(1)
(2)，
(3)以，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或，或
分析：（1）依题意求出点，坐标，求出，，求出点，的坐标，用待定系数法求解析式；
（2）设，则，由轴可得点的纵坐标为，代入一次函数可得点的横坐标为，表示出、，求出，根据，可得的值，即可得点的坐标；
（3）分两种情况：①为矩形的边时，②为矩形的对角线时，根据矩形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）一次函数，令，则，令，则，
，，即，，
将绕点顺时针旋转得，
，，
，，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为；
（2）设，则，
轴，
点的纵坐标为，
将代入一次函数得：，
，即点的横坐标为，
，，
，，
，
，
，
，
点的坐标为，；
（3）①为矩形的边时，如图，分别过点、作交直线于，作交直线于，在分别过点、作交直线于，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形，
，，点为线段的中点，
，，
将绕点顺时针旋转得，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
点为线段的中点，
，，
；
设直线的解析式为，则，
，
直线的解析式为，
，，
，
可设直线的解析式为，
将代入得，，
，
直线的解析式为，
联立直线得，
解得，
，；
综上，为矩形的边时，点的坐标为或，；
②为矩形的对角线时，如图，
，，
轴，
四边形为矩形，
轴，
点与点重合，
．
综上，以，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或，或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，中点坐标公式的运用，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，矩形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作等腰直角三角形ABC，．
(1)求直线BC的函数解析式；
(2)点P为线段AB上一动点，过点P作轴交BC于点Q．当时，求四边形APQC的面积及此时点P的坐标；
(3)如图2，将一次函数的图象向左平移2个单位长度得到直线l，点M和点N均在直线BC上运动，点G为直线l上一动点，若以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，直接写出MN的长度．
答案：(1)
(2)，P（，）；
(3)MN的长度为或．
分析：（1）过C作CH⊥x轴于H，求出OA＝2，OB＝1，证明△AOB≌△CHA（AAS），可得AH＝OB＝1，CH＝OA＝2，则C（−3，2），然后利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）设P（t，），则Q（t，），表示出PQ，根据PQ＝OB＝，列式求出t的值，进而可得P点坐标，然后根据计算即可；
（3）先求出直线l的解析式，然后设G（m，m＋2），M（r，），N（s，），求出MN＝，分情况讨论：（Ⅰ）若AG，MN为对角线，则AG，MN的中点重合，且AG＝MN，（Ⅱ）若GM，AN为对角线，则GM，AN的中点重合，且GM＝AN，（Ⅲ）若GN，AM为对角线，则GN，AM的中点重合，且GN＝AM，分别根据两点间距离公式和中点坐标列方程求解即可．
（1）
解：过C作CH⊥x轴于H，如图：
在y＝x＋1中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝−2，
∴A（−2，0），B（0，1），即：OA＝2，OB＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝90°−∠CAH＝∠ACH，AB＝AC，
∵∠AOB＝∠AHC＝90°，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AH＝OB＝1，CH＝OA＝2，
∴OH＝OA＋AH＝3，
∴C（−3，2），
设直线BC解析式为y＝kx＋b，
把B（0，1），C（−3，2）代入得：，
解得，
∴直线BC解析式为；
（2）
设P（t，），则Q（t，），
∴PQ＝，
∵PQ＝OB＝，
∴，
解得t＝，
∴P（，），
∴，
∵OA＝2，OB＝1，
∴AB＝，
∴，
∴；
（3）
将直线y＝x＋1向左平移2个单位所得直线l解析式为y＝（x＋2）＋1＝x＋2，A（－2，0），
设G（m，m＋2），M（r，），N（s，），
∴MN＝，
（Ⅰ）若AG，MN为对角线，则AG，MN的中点重合，且AG＝MN，
∴，
且③，
由②得：④，
由①④得：，
把代入③得：，
∴；
（Ⅱ）若GM，AN为对角线，则GM，AN的中点重合，且GM＝AN，
∴，
且，
同理解得：，
∴，
∴；
（Ⅲ）若GN，AM为对角线，则GN，AM的中点重合，且GN＝AM，
∴，
且，
同理解得：，
∴，
∴；
综上所述，以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，MN的长度为或．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，坐标与图形，勾股定理的应用，一次函数图象上点坐标的特征，一次函数图象的平移，矩形的性质，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是分类讨论思想与方程思想的应用．
12．已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
答案：(1)
(2)，或，
(3)存在，，，
分析：（1）设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可；
（2）设点的横坐标为，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
（3）按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式，
直线与轴，轴分别交于、两点，
，，
直线经过点，与轴交于点，
，
，
直线的解析式：；
（2）由题意可知，，
设点的横坐标为，
，
或．
，或，；
（3）设将沿着轴平移个单位长度得到△，
，
，，
设点坐标为，
①当为以、、、为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当时，即，
此时，即点在轴上，
且，
点与点重合，即．
当时，
，，
，
解得，
此时，即点在轴上，
且，
．
②当为以、、、为顶点的菱形对角线时，，即点在的垂直平分线上，且，关于对称，
当向左一移动，，，，
，
解得或（舍），
当向右移动时，，，，
，
解得（舍）或（舍），
，
．
综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为，，．
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线为交y轴于点，交x轴于点B，经过点且平行于y轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求点B的坐标；
(2)求的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当时，在第一象限找点C，使为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标．
答案：(1)（4，0）
(2)
(3)或或，或，
分析：（1）将代入得，即知，令得；
（2）根据题意得，，，可得的面积为；
（3）由，得，设，，而，可得，，，分三种情况：①若、为直角边，则，，即，可得，②若，为直角边，，得；③若，为直角边，，得，或，．
（1）解：将代入得：，，令得：，解得，；
（2），，，；即的面积为；
（3），，解得，，设，，而，，，，①若、为直角边，则，，，解得或（舍去），，②若，为直角边，则，，，解得（舍去）或，；③若，为直角边，则，，，解得或，，或，，综上所述，的坐标为：或或，或，．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．
14．如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
答案：(1)点C的坐标为
(2)
(3)存在，点Q的坐标为：，，，
分析：（1）由待定系数法求出直线的解析式为，然后联立直线与直线，即可求出点C的坐标；
（2）如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，求出直线的解析式为，则可求，进而由求解即可；
（3）由题意可知直线的解析式为，联立线与直线，求出，设，分三种情况，①当ED为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；②当EQ为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；③当EF为菱形对角线时，利用可得点Q坐标．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，由直线经过、两点可得：
，解得，
直线的解析式为，
又直线与直线交于点C，
，解得，
当时，则，
点C的坐标为；
（2）解：如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，根据两点之间“线段最短”可知，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，
直线与x轴的交点为，
又点D和点关于y轴对称，
点，
，
设直线的解析式为，可得，解得，
直线的解析式为，
令，则，得点，
，
又，，
，
，
；
（3）解：由题意可得直线的解析式为，
联立线与直线，即，解得，，
设，
①当ED为菱形对角线时，，
即，
解得，
；
②当EQ为菱形对角线时，，
，
，
解得或，
，；
③当EF为菱形对角线时，，
即，
解得，
，
综上：存在，点Q的坐标为：，，，．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质、菱形的判定与性质，分类讨论是解题的关键．
15．图1，已知一次函数图象分别与x，y轴交于点，两点．
(1)求该一次函数解析式；
(2)点P是该一次函数图象上一点，已知点P横坐标为1，y轴上有一动点Q，求的最小值及此时点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M是x轴上一动点，点N是该一次函数图象上一动点，当以A，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
答案：(1)
(2)的最小值为，点
(3)点的坐标为，或，
分析：（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，根据两点之间的距离公式求的值，求出直线的函数解析式，进一步即可求出点坐标；
（3）设点，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线，分别列二元一次方程组，求解即可．
（1）
解：设一次函数的解析式：，
将点，代入解析式，
得，
解得，
一次函数解析式：；
（2）
将点横坐标1代入直线解析式，
得，
，
作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，如图所示：
则的长即为的最小值，
，
，
，
的最小值为，
设直线的解析式：，
代入点，点坐标，
，
解得，
直线的解析式：，
点；
（3）
设点，，
，，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：
①以，为对角线，
可得，
解得，
点坐标为，，
②以，为对角线，
可得，
解得，
点坐标为，，
③以，为对角线，
得，
解得，
点坐标为，，
综上，点的坐标为，或，．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，利用轴对称性质求最小值，平行四边形的判定等，本题综合性较强，难度较大．
16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于、C两点，直线与x轴、y轴交于B、C两点．
(1)求m的值及点B的坐标；
(2)如图2，将直线沿x轴正方向平移个单位长度得到直线MN，交x轴于M，交AC于N，求N点坐标及△AMN的面积；
(3)如图2，在（2）的条件下，动点Q在AC直线上，在y轴上是否存在点P，使以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)
(3)P（0，-2）或（0，4）．
分析：（1）把点A坐标代入，从而求得m，进而求得点B坐标；
（2）先求出M坐标，然后代入，进而联立直线AC和MN的解析式，从而求得N坐标，进而求得△AMN的面积；
（3）分为当MN为边时，即以点M、N、P、Q为顶点的四边形为▱MNQP或▱MNPQ时，根据平行四边形性质得出坐标间的关系，从而求得结果；当MN为对角线时，同样求得P点坐标．
（1）
解：把代入得，
， 则m=1，
∴，
令y=0，即：，
∴，
∴；
（2）
设直线MN的解析式为：，
∵ ，
∴
∴，
∴b=6，
∴，
由得，，
∴，
∴，
∴S△AMN=；
（3）
设，P（0，y），
当以点M、N、P、Q为顶点的四边形为▱MNQP时，
则 ， 解得： ，
∴P（0，-2），
当以点M、N、P、Q为顶点的四边形为▱MNPQ时，
则 ，
∴ ， ∴P（0，4），
当以点M、N、P、Q为顶点的四边形为▱MQNP时，
则，
∴ ， ∴P（0，-2），
综上所述：P（0，-2）或（0，4）．
【点睛】本题考查了一次函数点的坐标与解析式关系，一次函数图象的交点与其对应方程组的关系，二次根式的运算，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类以及较强计算能力．
17．如图，已知关于x轴的对称点A在直线：上，与直线：交于点B．
(1)求直线的解析式与点B的坐标；
(2)上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由；
(3)已知点，M、N是上两个动点，且（N在M的右侧），当的值最小时，直接写出点M、N的坐标；已知点E是平面内除原点外一点，点M、N、C、E组成的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标，若不存在，说明理由．
答案：(1)；
(2)或
(3)的坐标为或
分析：（1）根据轴对称的性质求得点的坐标，即可求得的解析式，进而联立直线解析即可求得交点的坐标；
（2）过作轴交直线于点，设直线的解析式为，待定系数法求解析式，进而设P(t,-2t+5)，则即，根据列出一元一次方程，解方程求解即可；
（3）过点D作l1的平行线，作C点关于l1的对称点C'，过点C'作ND的平行线交l1于M，过点C作CV⊥x轴交于V点，过点C'作C'U⊥x轴交于U点，设分别交轴于点S,T，根据对称性可知C'M=CM，CM＋ MN ＋ ND=C'M＋ MN+MRMN+C'R，进而求得的坐标，分三种情况讨论，①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴点关于轴的对称点
点A在直线：上，
直线：
与直线：交于点B．
联立
解得
（2）存在点P使得，理由如下：
过作轴交直线于点，如图，
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
则
设P(t,-2t+5)，则即
即
解得或
或
（3）如图，过点D作l1的平行线，作C点关于l1的对称点C'，过点C'作ND的平行线交l1于M，过点C作CV⊥x轴交于V点，过点C'作C'U⊥x轴交于U点，设分别交轴于点S,T
四边形MRDN是平行四边形，
ND=MR，
由对称性可知C'M=CM，
CM＋ MN ＋ ND=C'M＋ MN+MRMN+C'R，
当C'、M、R三点共线时，CM+MN+ND的值最小，
，令，得，令，得
，
∠BSO = 45°，
关于对称，
SU = C'U = SV = CV,
C(-1,-1),
C'U=SU=1,
设
设直线的解析式为
设直线的解析式为
解得
设，使得组成的四边形是平行四边形
①为对角线时，
解得
②为对角线时，
解得
③为对角线时，
解得
（不符合题意，舍）
综上所述，的坐标为或
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，平行四边形的性质，三角形的面积，待定系数法求解析式，求两直线的交点，平行四边形的性质，轴对称求线段和最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．
18．如图1，在直角坐标系中，直线y＝x+m与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且△AOB的面积是8．
（1）求m的值；
（2）如图2，直线y＝kx+3k（k＜0）交直线AB于点E，交x轴于点C，点D坐标是（0，﹣2），过D点作DF⊥CD交EC于F点，若∠AEC＝∠CDO，求点F的坐标；
（3）如图3，点P坐标是（﹣1，﹣2），若△ABO以2个单位/秒的速度向下平移，同时点P以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是t秒，若点P落在△ABO内部（不包含三角形的边），求t的取值范围．
答案：（1）m＝4；（2）F（﹣2，﹣5）；（3）．
分析：（1）由直线解析式可分别用m表示出A、B的坐标，利用△AOB的面积可得到关于m的方程，则可求得m的值；
（2）过F作FG⊥y轴于点G，可证得△CDF为等腰直角三角形，则可证得△CDO≌△DFG，则可求得FG和OG的长，可求得F点坐标；
（3）可分别求得点P落在AO边上和落在AB边上时的对应的时间，则可求得P在△ABO内部时t的取值范围．
【详解】解：（1）由题意可知A、B坐标分别为（﹣m，0）、（0，﹣m），
∴，解得m＝±4，
又∵B点在y轴正半轴，即m＞0，
∴m＝4；
（2）如图，作FG⊥y轴于G，由题意可知OC＝3，
设∠AEC＝∠CDO＝x°，
则∠FCO＝∠ACE＝135°﹣x°，∠OCD＝90°﹣x°，∠DCF＝135°﹣x°﹣（90°﹣x°）＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD＝DF，
∵∠OCD+∠ODC＝∠ODC+∠FDG＝90°，
∴∠OCD＝∠FDG，
在△CDO和△DFG中
，
∴△CDO≌△DFG（AAS），
∴OD＝FG＝2，DG＝CO＝3，
∴OG＝OD+DG＝5，
∴F（﹣2，﹣5）；
（3）当P点落在AO边上时，由题意得0﹣2t＝﹣2，解得t＝1；
当P点落在AB边上时，由题意得（﹣1﹣t）+m﹣2t＝﹣2，由（1）可知，m＝4，解得；
∴若点P落在△ABO内部（不包含三角形的边），则t的取值范围为．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及三角形的面积、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识，在（1）中用m表示出△AOB的面积是解题的关键，在（2）中构造三角形全等求得OG和FG的长是解题的关键，在（3）中确定出P点的极端位置时的t的值是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点，，点与关于轴对称．已知轴上一点，连接．
(1)求点，的坐标及直线的解析式；
(2)设面积的和，求的值；
(3)在求（2）中时，小海有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积不更快捷吗？”你认为小海的说法正确吗？请说明理由．
答案：(1)
(2)
(3)不正确，理由见解析
分析：（1）分别求出点B和点C坐标，再根据轴对称的性质求出点C′的坐标，再待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）分别求出△ABC的面积和四边形AODC′的面积，即可得到S的值；
（3）通过验证可知点B不在直线DC′上，从而可判断小海的说法．
【详解】（1）当时，，
点坐标为，
当时，，
解得，
点坐标为，
点与关于轴对称，
，
设直线的函数解析式：，
将点，代入解析式，
得，
解得，
直线的函数解析式：；
（2），，
，
，，，
，
；
（3）小海说法不正确，理由如下，
直线的函数解析式：，
当时，，
点不在直线上，
的面积与四边形的面积和的面积，
小海的说法不正确．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，三角形的面积等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称的性质是解题的关键．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，，对于点P和，给出如下定义：如果上存在三个点，使得以点P和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点P是的“平行连接点”．例如，图1中，C，P两点的坐标分别为，，上存在B，C和三个点，使得四边形PBDC是平行四边形，故点P是的“平行连接点”．
(1)如图2，当点C的坐标为时，
①点，，，中，是的“平行连接点”的是______；
②若是的“平行连接点”，请在图2中画出一个以点P和上的三个点为顶点的平行四边形，这个平行四边形对角线交点的纵坐标为______，m的取值范围为______；
(2)如图3，当点C的坐标为时，直线上存在的“平行连接点”，则k的取值范围为______．
答案：(1)①P1，P2；②1，-3＜m＜3
(2)k＜或k＞
分析：（1）①根据△ABC的“平行连接点”的定义利用图象法判断；
②平行四边形的对角线PB、AC相交于AC边上，可知交点的纵坐标为1；当m＝0时，满足题意；当m＞0时，此时需满足m＜3才符合题意；当m＜0时，需满足m＞-3符合题意；
（2）当直线y=kx-2与图中阴影部分有除点M和点N外的交点时，求出直线y=kx-2经过点M，点N时的k值可得结论．
（1）
解：（1）①由图可知A（0，1），B（3，2），C（3，1），E（1，1），
∵E，B，P1，C能组成平行四边形，
∴P1是△ABC的“平行连接点”，
∵A，B，P2，C能组成平行四边形，
∴P2是△ABC的“平行连接点”，
故答案为：P1，P2；
②当m=0时，OABC且OA=BC，满足题意；
当0＜m＜3时，AC上一定存在点E，使得EPCB是平行四边形，满足条件；
当-3＜m＜0时，AC上存在一点D，使得BDPA是平行四边形，满足条件，
∴m的取值范围为：-3＜m＜3，
故答案为：1，-3＜m＜3；作图如下：
（2）
如图，当直线y=kx-2与图中阴影部分有交点时（不包括点M，点N）满足条件，
当直线y=kx-2经过点M（-3，0）时，-3k-2=0，
解得k=，
当直线y=kx-2经过点N（5，1）时，5k-2=1，
解得k=，
观察图象可知，满足条件的k的值k＜或k＞．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，能将所求知识与平行四边形的性质和一次函数的图象及性质结合是解题的关键．
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