人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训(四)与勾股定理有关的压轴题(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训(四)与勾股定理有关的压轴题(原卷版+解析)，共57页。试卷主要包含了定义，如图1，在中等内容，欢迎下载使用。

1．如图1，在平面直角坐标系中，，且a，b满足．
(1)A、B坐标分别为A______，B______．
(2)P为x轴上一点，C为中点，，求的长．
(3)如图2，点E为第一象限一点，，以为斜边构造等腰直角，连，连接并延长交于点G，求证：．
2．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点，分别在x轴和y轴正半轴上，点C在第一象限，点为x轴上点A右侧一动点，且．
(1)若．
①求m，n的值；
②求点C的坐标．
(2)若的面积为35，且，直接写出与面积和的范围．
3．已知在中，，，点P在外，连接、，且．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，作的平分线交于点D，求的度数；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点E，在上取一点G，连接，若，，，求证：．
4．已知点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝OB，点C为AB的中点，．
(1)如图1，求点C的坐标；
(2)如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF＝45°，求证：EF2＝OE2+AF2；
(3)如图3，点D在y轴正半轴上运动，以AD为腰向下作等腰Rt△ADM，∠DAM＝90°，T为线段OA的中点，连DT并延长至点N，使DT＝TN，连MN，求MN的最小值．
5．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
6．如图，在平行四边形中，F为平行四边形内部一点，连接，，．
(1)如图1，交于点E，已知，，，，求的长；
(2)如图2，交于点E，且，G为上一点，作且，并以为斜边作等腰，连接，，求证：．
7．在中，，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．
(1)如图1，若，，，求点B到AE的距离；
(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；
(3)如图3，若，，将沿着AB翻折得，点H为的中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值．
8．如图1，在四边形中，，以为边作等边，与交于，与交于，连接且，.
(1)若，，求的长度；
(2)如图2，若，是的中点，过作的垂直平分线，交与，交于，连接．求证：；
(3)如图3，当、、共线，，是的中点，过作的垂直平分线，交于，连接交于，请直接写出的值．
9．（1）如图1，在中．点D，E，F分别在边上，，．求证；
（2）如图2．在中．，．点D，F分别是边上的动点．且．以DF为腰向右作等腰．使得，．连接．
①试猜想线段之间的数量关系，并说明理由．
②如图3．已知，点G是的中点，连接．求的最小值．
10．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且AB＝4，OB＝3．
(1)试判断△AOB的形状，并说明理由．
(2)点P是线段OA上一点，且PB－PA＝1，求点P的坐标；
(3)如图2，点C、点D分别为线段OB、BA上的动点，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值．
11．如图，等边中，点D在边上，经过点D的直线l与边相交于点E（点D和点E都不在的顶点上），点P在直线l上．
(1)若与关于直线对称，直线于点Q，请判断线段与的数量关系，并说明理由；
(2)若与关于某直线对称，
①若，求点P到边的距离；
②若，求此时线段的长度．
12．（1）如图1，平面直角坐标系中A(0，a)，B(a，0)(a>0)．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为 ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE， C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值?如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．
13．如图1，在中，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，交于点P，若，求证：A，O，D三点共线；
(3)如图3，在（2）的条件下，若于H，过点O作于E，，，求，的长度．
14．如图，在中，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的周长；
(2)问t为何值时，为以C为顶点的等腰三角形；
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为秒，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分．
15．在△ABC中，AB＝BC，∠B＝45°，AD为BC边上的高．
(1)如图1，若AD＝1，求线段CD的长度；
(2)如图2，点E，点F在AB边上，连接CE，CF分别交线段AD于点M，N,若点M为线段CE的中点，求证：；
(3)在（2）问条件下，若AC＝，点P为△ACF内一点且满足∠ACP＝∠CAD，当PQ+PA取最小值时直接写出S△CPQ的值．
16．在中，，为内一点，连接，，延长到点，使得．
(1)如图1，延长到点，使得，连接，．若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2．若，试探究，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
17．在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得且(点，，逆时针排列)，则称点是线段的“关联点”如图1．点是线段的“关联点”．
(1)如图2，已知点，，点与点重合．
①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是___________；
②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是_______________．
(2)如图3，已知，．
①当点与点重合，点在线段上运动时(点不与点重合)，若点是线段的“关联点”，求证：；
②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长．
18．如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，点D是直线BC上一点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF．
(1)如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系 ；
(2)如图2，若点D在边CB的延长线上，上述结论是否还成立？并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，若EF经过BC中点G，∠EFC＝15°，DB﹣CE＝6，求△ABC的高．
八下期末难点特训（四）与勾股定理有关的压轴题
1．如图1，在平面直角坐标系中，，且a，b满足．
(1)A、B坐标分别为A______，B______．
(2)P为x轴上一点，C为中点，，求的长．
(3)如图2，点E为第一象限一点，，以为斜边构造等腰直角，连，连接并延长交于点G，求证：．
答案：(1)；
(2)9
(3)见解析
分析：(1)利用实数的非负性计算即可．
(2)过点C作于点D，证明，利用勾股定理计算即可．
(3)连接，，利用等腰三角形的三线合一证明即可．
【详解】（1）∵，，且a，b满足，
∴，
解得，
∴，．
故答案为：；．
（2）如图，过点C作于点D，
∵，，
∴；，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，，
∴；，，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了实数的非负性，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一性质是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点，分别在x轴和y轴正半轴上，点C在第一象限，点为x轴上点A右侧一动点，且．
(1)若．
①求m，n的值；
②求点C的坐标．
(2)若的面积为35，且，直接写出与面积和的范围．
答案：(1)①，②
(2)
分析：（1）①将整理为，即可求出m和n的值；②设，根据勾股定理，将长度分别表示出来，再根据，列出方程求解即可；
（2）设点，根据三角形的面积公式，将表示出来，根据勾股定理和，得出x，y，m，n之间的关系，最后根据的面积为35，得出，代入求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，即，
∴，
解得：．
②过点C作轴于点D，
由①可得，
∴，，，
设点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，即，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，
∴，
把代入得：，
解得：（舍），
∴，
∴点C的坐标为．
（2）根据题意得：点，，，
设点，
∴，，，，，，
，
∵，
∴，即，
整理得：，
∵，
∴，
整理得：，
把代入得：，
整理得：，
∴，
∴，
∵的面积为35，
∴，即，
把，代入得：，
整理得：，解得：，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴与面积和的范围为．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理，两点之间的距离公式，解题的关键是熟练掌握相关知识点，将各条线段的长度表示出来，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
3．已知在中，，，点P在外，连接、，且．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，作的平分线交于点D，求的度数；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点E，在上取一点G，连接，若，，，求证：．
答案：(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
分析：（1）先证明为等边三角形，可得，从而可得答案；
（2）证明，设，结合角平分线的定义可得，由等边对等角可得，再利用三角形的外角的性质可得答案；
（3）如图，过作于，证明，可得，设，则，，证明，，可得，，建立，求解，再证明，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
（2）∵为等边三角形，
∴，
∵平分，设，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图，过作于，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，设，则，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，，
由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上基础几何知识是解本题的关键．
4．已知点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝OB，点C为AB的中点，．
(1)如图1，求点C的坐标；
(2)如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF＝45°，求证：EF2＝OE2+AF2；
(3)如图3，点D在y轴正半轴上运动，以AD为腰向下作等腰Rt△ADM，∠DAM＝90°，T为线段OA的中点，连DT并延长至点N，使DT＝TN，连MN，求MN的最小值．
答案：(1)
(2)见解析
(3)
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求出线段OA、OB，可得A、B两点坐标，由此即可求出线段AB的中点坐标．
（2）如图2中，连接OC，∵BC＝AC，∠AOB＝90°，∴OC＝CA，∠OCB＝∠CAF＝45°，将△ACF绕点C逆时针旋转90°可得△COM，点M正好在线段OB上．则OM＝AF，CM＝CF，∠MCO＝∠FCA．只要证明△ECM≌△ECF，推出EM＝EF，在Rt△MOE中，可得ME2＝OM2＋OE2，由此即可解决问题．
（3）如图3中，连接AN．作MG⊥OA于G．设D（0，a），求出M、N两点坐标，利用两点间的距离公式求出MN，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵OA＝OB，∠AOB＝90°，AB＝，
∴OA＝OB＝6，
∴A（6，0），B（0，6），
∵C为AB中点，
∴ ，
（2）如图2中，连接OC，
∵BC＝AC，∠AOB＝90°，
∴OC＝CA，∠OCB＝∠CAF＝45°，
将△ACF绕点C逆时针旋转90°可得△COM，点M正好在线段OB上．
则OM＝AF，CM＝CF，∠MCO＝∠FCA．
∵OC⊥AB，
∴∠OCA＝90°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ECO＋∠FCA＝∠ECO＋∠MCO＝45°，
∴∠MCO＝∠ECF，
在△ECM和△ECF中，
，
∴△ECM≌△ECF，
∴EM＝EF，
在Rt△MOE中，∵ME2＝OM2＋OE2，
又∵OM＝AF，EF＝EM，
∴EF2＝OE2＋AF2．
（3）如图3中，连接AN．作MG⊥OA于G．设D（0，a），
∵∠DAO＋∠MAG＝90°，∠MAG＋∠GMA＝90°，
∴∠DAO＝∠AMG，
∵AD＝AM，∠AOD＝∠AGM＝90°，
∴△DAO≌△AMG，
∴OD＝AG＝a，OA＝MG＝6，
∴M（6−a，−6），
∵OT＝TA，DT＝TN，∠DTO＝∠ATM，
∴△DTO≌△NTA，
∴∠DOT＝∠NAT＝90°，AN＝OD＝a，
∴N（6，−a），
∴MN＝ ，
∴a＝6时，MN有最小值．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
答案：（1）；（2）；（3）10，
分析：（1）把A、B两点坐标代入求解即可；
（2）把M、N两点代入，把根号下函数转化为顶点式即可求解；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，两点之间线段最短；作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，三角形中两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2），
∴当a=3时，Q[M，N]有最小值，最小值为：；
故最小值为：；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，
此时；
作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，AC-BC=AC-=，
在x轴上任取一点，，
即
故的最小值为：10m；的最大值为．
【点睛】本题主要考查的是根据给出的新定义求解最值问题，解答本题的关键是熟悉题意，掌握两点之间线段最短，以及三角形两边之差小于第三边的特性．
6．如图，在平行四边形中，F为平行四边形内部一点，连接，，．
(1)如图1，交于点E，已知，，，，求的长；
(2)如图2，交于点E，且，G为上一点，作且，并以为斜边作等腰，连接，，求证：．
答案：(1)3
(2)见解析
分析：（1）由等腰直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，证明，由全等三角形的性质得出，求出，则可得出答案；
（2）连接，设交于点，交于点．证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出结论．
（1）
解：，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
（2）
证明；如图，连接，设交于点，交于点．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．在中，，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．
(1)如图1，若，，，求点B到AE的距离；
(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；
(3)如图3，若，，将沿着AB翻折得，点H为的中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值．
答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
分析：（1）如图所示，过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，先证明∠ACF=∠GAB，即可证明△ABG≌△CAE得到BG=AE，由勾股定理得，再由，得到，则点B到AE的距离为；
（2）如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，先证明△AEB≌△HED得到AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，则∠HCD=∠HDC，AB∥DH，从而推出∠BAC=∠HDC=∠HCD，再证明CE是AH的垂直平分线，得到AC=HC，则∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，然后推出∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，即可证明△AFD≌△GFD（AAS），得到AF=GF，则CF=GF+CG=AF+DG；
（3）如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BE⊥BC，由翻折的性质可知，，，，然后证明，得到，则点在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，求出，由H是的中点，得到直线A关于点H的对称点在直线BE上，则要使△AHC的周长最小，则要最小，即最小，即当、C、H、三点共线时有最小值，如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，先证明，得到，由平行线之间的间距相等，得到，然后求出，再证明，求出，由此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，
∵AE⊥CF，AG⊥BG，
∴∠BAC=∠AGB=∠AEF=∠AEC=90°，∠AFC+∠ACF=90°，
∴∠FAE+∠AFE=90°，
∴∠ACF=∠GAB，
又∵AB=CA，
∴△ABG≌△CAE（AAS），
∴BG=AE，
在直角△AFC中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴点B到AE的距离为；
（2）解：如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，
∵FD平分∠AFC，
∴∠AFD=∠CFD，
∵E是BD的中点，
∴BE=DE，
又∵AE=HE，∠AEB=∠HED，
∴△AEB≌△HED（SAS），
∴AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，


∴∠HCD=∠HDC，
∴∠BAC=∠HDC=∠HCD，
∴∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，
∵∠GDC=∠GCD，∠FGD=∠GDC+∠GCD，
∴∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，
又∵FD=FD，∠AFD=∠GFD，
∴△AFD≌△GFD（AAS），
∴AF=GF，
∴CF=GF+CG=AF+DG；
（3）解：如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BE⊥BC，
由翻折的性质可知，，，，
∴，
又∵AB=AC，，
∴，
∴，
∴点在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，
∴，
∵H是的中点，
∴直线A关于点H的对称点在直线BE上，
∴，
∴要使△AHC的周长最小，则要最小，即最小，
∴当、C、H、三点共线时有最小值，
如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，
∵BE⊥BC，AF⊥BC，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，BC⊥BE，
∴,
∵平行线之间的间距相等，
∴
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴AB=2AF，
∴，
∴，
∴，
∵P在线段BC的垂直平分线上，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．如图1，在四边形中，，以为边作等边，与交于，与交于，连接且，.
(1)若，，求的长度；
(2)如图2，若，是的中点，过作的垂直平分线，交与，交于，连接．求证：；
(3)如图3，当、、共线，，是的中点，过作的垂直平分线，交于，连接交于，请直接写出的值．
答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
分析：（1）如图，先证明
如图，作交于 则 则 设 则 再求解 建立方程即可；
（2）如图，连接 设 再证明 证明从而可得结论；
（3）如图，由（1）（2）可得：是的垂直平分线，而共线，先证明 设 则 再分别求解 从而可得结论.
（1）
解：如图， ，是等边三角形，


如图，作交于 则
则 设 则



解得：
（2）
证明：如图，连接 设
垂直平分


为等边三角形，
是的垂直平分线，
而




，
而









（3）
解：如图，由（1）（2）可得：是的垂直平分线，而共线，

，

为等边三角形，


设 则


垂直平分


【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，熟练的掌握并应用以上知识解题是关键.
9．（1）如图1，在中．点D，E，F分别在边上，，．求证；
（2）如图2．在中．，．点D，F分别是边上的动点．且．以DF为腰向右作等腰．使得，．连接．
①试猜想线段之间的数量关系，并说明理由．
②如图3．已知，点G是的中点，连接．求的最小值．
答案：（1）证明见解析；（2）①，理由见解析；②
分析：（1）证明，即可证明结论；
（2）①根据，得到：，再根据，即可得解；
②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接，，证明，利用对应边相等，和线段的转化，得到：，进而得到，根据对称得到：，当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）①．
理由如下：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接，，
∵，，
同（1）可得：，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴E点在射线上运动，
∵G点与N的关于对称，
∴，
∴，
∴当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∵点G是的中点，，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
∴，的最小值为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题．本题的综合性强，难度较大，解题的关键是添加辅助线，构造三角形全等，以及利用轴对称解决线段和最小问题．
10．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且AB＝4，OB＝3．
(1)试判断△AOB的形状，并说明理由．
(2)点P是线段OA上一点，且PB－PA＝1，求点P的坐标；
(3)如图2，点C、点D分别为线段OB、BA上的动点，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值．
答案：(1)△AOB是直角三角形，证明见解析
(2)P (，0)
(3)
分析：（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）作BD⊥OA于D，设PA=x，则BP=x+1，利用面解法求出BE的长，在Rt△BEP中利用勾股定理求出x的值即可求解；
（3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，利用SAS证明△HOC≌△OBD，得OD=HC，则当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长．
【详解】（1）解：△AOB是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下：
∵A（5，0），
∴OA=5，
∴AB2+OB2=42+32=25=52=OA2，
∴△AOB是以OA为斜边的直角三角形；
（2）解：如图，作BE⊥OA于E，设PA=x，则BP=x+1，
∵S△AOB＝BO•AB＝OA•BE，
∴，
∴OE=，
∴PE=5--x=-x，
在Rt△BEP中，
(x+1)2=(-x)2+()2，
解得x=
∴OP=5-=，
∴P(，0)；
（3）解：如图，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，
∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，
又∵OC=DB，
在△HOC和△OBD中
，
∴△HOC≌△OBD（SAS），
∴OD=HC，
∴AC+OD=AC+HC，
∴要使AC+OD最小，则AC+CH最小，
∴当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长，
分别过点B，H作BE⊥x轴于E，HF⊥x轴于F，则OB=OH=3，
∵S△AOB＝BO•AB＝OA•BE，
∴，
∴，
∵∠HFO=∠HDB=∠OEB=90°，
∴∠HOF+∠OHF=90°，∠HOF+∠BOE=90°，
∴∠OHF=∠BOE，
在△OHF与△BOE中，
，
∴△OHF≌△BOE（AAS），
∴OF=BE=，HF=OE=，
∵H在第二象限，
∴H（-，）；
∴，
即AC+OD有最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．如图，等边中，点D在边上，经过点D的直线l与边相交于点E（点D和点E都不在的顶点上），点P在直线l上．
(1)若与关于直线对称，直线于点Q，请判断线段与的数量关系，并说明理由；
(2)若与关于某直线对称，
①若，求点P到边的距离；
②若，求此时线段的长度．
答案：(1)BQ=3AQ；
(2)①2；②2
分析：（1）利用等边三角形的性质，对称原理，证明四边形ABCP是菱形，后利用30°角的性质解答即可；
（2）①根据图形的对称性，确定AP在线段BC的垂直平分线上，根据题目的特点，推证即可；
②与关于某直线对称，且A，P在对称轴上，A，P一定在线段BC的垂直平分线上，设AP与BC的交点为Q，利用勾股定理，30°角的性质，计算即可．
（1）
与的数量关系是：BQ=3AQ；理由如下：
如图，∵与关于直线对称，直线于点Q，是等边三角形，
∴AB=BC=CP=PA，
∴四边形ABCP是菱形，
∴AP∥BC，
∴∠QAP=∠B=60°，
∴∠APQ=30°，
∴AP=2AQ，
∴BQ=AB+AQ=AP+AQ =3AQ．
（2）
①∵与关于某直线对称，且A，P在对称轴上，
∴A，P一定在线段BC的垂直平分线上，设AP与BC的交点为F，如图，
∴∠BAP=∠PAC=30°，∠BFP=90°，
∵AE=PE，
∴∠APE=∠PAE=30°，
∴∠PEC=60°，
∵∠ECD=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∵PD=PE，
∴∠PCB=∠PCA=∠PBC=∠PBA =∠PAB= 30°，
∴PF=BP，PA=PB=PC，
∴点P到三角形各边的距离相等，
∵BP=4，
∴PF=2，
∴点P到边的距离为2；
②∵与关于某直线对称，且A，P在对称轴上，
∴A，P一定在线段BC的垂直平分线上，设AP与BC的交点为Q，如图，
设PQ=y，BD=x，
∵CD=2BD，
∴CD=2x，BC=3x，QC=，DQ=2BD-==，
∵
∴，
∴PC=xy，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴x=2或x=-2（舍去），
∴CD=4，PD=2，
∴∠PCD =∠PCE= 30°，
∴PE=PD=2．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，轴对称，菱形的判定，勾股定理，30°角的性质，熟练掌握轴对称，三角形的相似是解题的关键．
12．（1）如图1，平面直角坐标系中A(0，a)，B(a，0)(a>0)．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为 ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE， C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值?如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．
答案：（1）；（2）；（3）是定值，．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，分别表示△AOB和△CDB的面积，根据△AOB的面积为2即可得出结论；
（2）连接AC，作DM⊥BC，与BC交于M，证明△ACO≌△DCM可得OE=CO=DM=MB，设它们为m，从而可得OB=3m，借助勾股定理和线段的和差分别表示AD和BD，即可得出它们的比值；
（3）作DN⊥OB，交y轴与N，证△ACO≌△DCM和△COF≌△DNF全等，借助全等三角形的性质和线段的和差可得，由此可得结论．
【详解】解：（1）∵A(0，a)，B(a，0)，
∴AO=OB=a，∠ABO=45°，AB=，
∵C为线段AB的中点，
∴，
∵CD⊥x轴，
∴∠CDB=90°，∠DCB=90°-∠ABO=45°，
∴DC=BD，
∵，
∴，
∵△AOB的面积为2，即，
∴，
故答案为：；
（2）如下图连接AC，
∵C与E关于原点对称，
∴CO=OE，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠B=45°，AO⊥CB，
∴∠EAO+∠AEC=90°，AC=AE，
∴∠CAO=∠EAO，
∵AE⊥CD，
∴∠BCD+∠AEC=90°，
∴∠CAO=∠EAO=∠BCD，
∵∠ADC=∠BCD+∠B，∠CAB=∠CAO+∠OAB,
∴∠ADC=∠CAB，
∴AC=CD，
作DM⊥BC，与BC交于M，
∴∠DMC=90°，
∴∠MDB=∠B=45°，
∴DM=MB，
在△ACO和△DCM中，
∵，
∴△ACO≌△DCM（AAS）,
∴OE=CO=DM=MB，
∵OB＝3OE，
设OE=CO=DM=MB=m，
∵OB＝3OE，
∴OA=OB=3m，
∴，
∴，
∴；
（3）是定值，
作DN⊥OB，交y轴与N，
∴∠DNB=∠BOE=∠BOC=90°，
∴∠DBN+∠NBD=90°，
∵△BDE为等腰直角三角形，
∴∠DBN+∠OBE=90°，BD=BE，
∴∠NBD=∠OBE，
在△NBD和△OEB中
∵,
∴△NBD≌△OEB（AAS），
∴ND=OB=OC，NB=OE，
在△COF和△DNF中
∵
∴△COF≌△DNF（AAS），
∴NF=OF，
∴,,
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形，全等三角形的性质和判定等．能正确作出辅助线，构造全等三角形建立线段之间的联系是解题关键．
13．如图1，在中，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，交于点P，若，求证：A，O，D三点共线；
(3)如图3，在（2）的条件下，若于H，过点O作于E，，，求，的长度．
答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)，
分析：（1）由“”可证≌，可得；
（2）由≌得，，从而得出，，根据和进一步得出结论；
（3）作于F，作于G，设，根据，，从而，设，，则，根据，表示各边，并求出和，根据列出方程，从而求得k，进一步求得结果．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴≌，
∴；
（2）证明：由（1）知：≌，
∴，，
∴，
即：.
∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴A，O，D三点共线；
（3）解：如图，
作于F，作于G，
设，
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，
∵，，
∴，
∴，
设，，，
∴，
解得，
∴，，
在和中，由勾股定理得，
，，且，
∴，
解得，
∴，，，，
∴.
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，根据面积法求得线段间关系．
14．如图，在中，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的周长；
(2)问t为何值时，为以C为顶点的等腰三角形；
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为秒，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分．
答案：(1)7＋（cm）
(2)t为3s，5.4s时，为以C为顶点的等腰三角形
(3)t为2或6秒
分析：（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）因为AB与CB已知，由勾股定理得AC＝4 cm，要让△BCP为等腰三角形，有两种情况，点P在AC边上或者点P在AB边上，只要保证PC=BC就可以．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t−3，t＋2t−3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t−4，AQ＝2t−8，t−4＋2t−8＝6．
【详解】（1）解：如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB＝（cm），
∴△ABP的周长为：AP＋PB＋AB＝2＋5＋＝7＋（cm）．
（2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，则CD=2.4cm，

在Rt△PCD中，PD＝＝=1.8（cm），
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9−3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s，5.4s时，△BCP为等腰三角形
（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t−3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t＋2t−3＝3，
∴t＝2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t−4，AQ＝2t−8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t−4＋2t−8＝6，
∴t＝6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【点睛】此题考查了，勾股定理，等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，综合运用以上知识并能分类讨论是解题的关键．
15．在△ABC中，AB＝BC，∠B＝45°，AD为BC边上的高．
(1)如图1，若AD＝1，求线段CD的长度；
(2)如图2，点E，点F在AB边上，连接CE，CF分别交线段AD于点M，N,若点M为线段CE的中点，求证：；
(3)在（2）问条件下，若AC＝，点P为△ACF内一点且满足∠ACP＝∠CAD，当PQ+PA取最小值时直接写出S△CPQ的值．
答案：(1)﹣1
(2)见解析
(3)
分析：（1）证明AD＝BD＝1，求出AB＝BC＝，可得结论；
（2）如图2中，延长AM到T，使得AM＝MT，连接CT，BT．证明△AME≌△TMC（SAS），推出AE＝CT，∠MAE＝∠MTC＝45°，推出AB∥CT，再证明AN＝AF，BF＝CT＝CD，可得结论；
（3）如图3中，过点A作AR⊥CE于点R．证明∠PCF＝∠PCA＝22.5°，作点Q关于CP的对称点J（点J在CF上，连接PJ．由PA+PQ＝PA+PJ≥AR，推出当A，P，J共线，且垂直CF时，PA+PQ的值最小，由此可得结论．
(1)
解：如图1中，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴AD＝BD＝1，
∴AB＝＝＝，
∵BC＝AB＝，
∴CD＝BC﹣BD＝﹣1；
(2)
证明：如图2中，延长AM到T，连接CT．
在△AME和∠TMC中，
，
∴△AME≌△TMC（SAS），
∴AE＝CT，∠MAE＝∠MTC＝45°，
∴AB∥CT，
∵BF＝AE，
∴BF＝CT，
∴四边形BFCT是平行四边形，
∴CF∥BT，
∵∠CDT＝90°，∠DTC＝45°，
∴∠DCT＝∠DTC＝45°，
∴DT＝DC，CT＝BF＝，
∵AD＝BD，
∴BC＝AT，
∵BC＝AB，
∴AB＝AT，
∴∠ABT＝∠ATB，
∵FN∥BT，
∴∠AFN＝∠ABT，∠ANF＝∠ATB，
∴∠AFN＝∠ANF，
∴AN＝AF，
∴AB＝AF+BF＝AN+CD；
(3)
解：如图3中，过点A作AR⊥CE于点R．
由（2）可知，AF＝AN，
∵∠AFN＝45°，
∴∠AFN＝∠ANF＝67.5°，
∵∠ANF＝∠CND＝67.5°，∠NDC＝90°，
∴∠DCN＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵BA＝BC，∠B＝45°，
∴∠BCA＝∠BAC＝67.5°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝22.5°，∠ACF＝∠ACB﹣∠DCN＝45°，
∵AC＝，AR⊥CF，
∴AR＝CR＝1，
∵∠ACP＝∠DAC＝22.5°，
∴∠PCF＝∠PCA＝22.5°，
作点Q关于CP的对称点J（点J在CF上，连接PJ．
∵PA+PQ＝PA+PJ≥AR，
∴当A，P，J共线，且垂直CF时，PA+PQ的值最小，
此时PQ⊥AC，CQ＝CR＝1，AQ＝AC﹣CQ＝﹣1，PQ＝AQ＝﹣1，
∴S△CPQ＝•CQ•PQ＝．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16．在中，，为内一点，连接，，延长到点，使得．
(1)如图1，延长到点，使得，连接，．若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2．若，试探究，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
答案：(1)见详解
(2)，证明过程见详解
分析：（1）证明由全等三角形的性质得出，证出，即可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长到，使，连接，，由（1）得，，由勾股定理的逆定理证出，得出，再由勾股定理得出结论．
【详解】（1）在和中，
，
，
，
，
．
（2）由题意补全图形如下：
延长到，使，连接，，
，，
，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，勾股定理和它的逆定理，证出是解本题的关键．
17．在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得且(点，，逆时针排列)，则称点是线段的“关联点”如图1．点是线段的“关联点”．
(1)如图2，已知点，，点与点重合．
①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是___________；
②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是_______________．
(2)如图3，已知，．
①当点与点重合，点在线段上运动时(点不与点重合)，若点是线段的“关联点”，求证：；
②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长．
答案：(1)①；②
(2)①证明过程见详解；②
分析：（1）①点与点重合，则点，点是线段中点，则，根据“关联点”的定义，即可求解；
②点，“关联点”点，根据“关联点”的定义，即可求解；
（2）①证明，推出，可得结论；
②分别证明M在平行于OA的直线上和平行于x轴的直线上运动，当P、Q分别于A、B重合时，四边形是平行四边形，进而可证四边形是菱形，然后找出线段的“关联点”形成的区域求解即可．
【详解】（1）解：①点，，点与点重合，点是线段中点，
∴，，
∴，
根据“关联点”的定义可知，且(点，，逆时针排列)，
如图所示，连接，作线段的垂直平分线，且点，点，
∴，点，，在一条直线上，不满足，故点不是线段的“关联点”；
∵，，，
∴，且，，
∴，，
∴点是线段的“关联点”，
故答案为：；
②∵点，“关联点”点，
∴，且，
使得，连接，，，如图所示，
∴点，“关联点”点，则点的坐标为，即点与点重合，
故答案为：．
（2）解：①如图中，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，
过上点Q作交于P，则是等边三角形，
同①可证，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
如图，当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点”形成的区域是边长为4的菱形．
∴当点P，Q分别在线段，上运动时，线段的“关联点”M形成的区域的周长为16．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中动点与图像变换的综合，掌握“关联点”的定义，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
18．如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，点D是直线BC上一点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF．
(1)如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系 ；
(2)如图2，若点D在边CB的延长线上，上述结论是否还成立？并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，若EF经过BC中点G，∠EFC＝15°，DB﹣CE＝6，求△ABC的高．
答案：(1)CE=CD－CF
(2)成立，理由见详解
(3)6
分析：（1）在CD截取CG＝CE，证明，进而得出结果；
（2）证明方法同（1）；
（3）在CB上截取CH＝CE，作GN⊥AC于N，作FM⊥AC于M，由（1）可知：，设CN＝a，表示出CG＝2a，，可推出：，，，得出，，设CM＝x，得出，，，由得，进而得出，由可得出，从而得出，进而求得三角形ABC的高．
（1）
解：如图1
在CD截取CG＝CE
∵△ABC和△DEF是等边三角形
∴，，DE＝EF
∴△CEG是等边三角形
∴，GE＝CE
∴∠DEF＝∠CEG
∴∠CEF＝∠DEG
∴
∴CF＝DG
∵
∴
故答案是：
（2）
解：如图2，
仍然成立，理由如下：
在CD上截取CG＝CE
由（1）知：
∴CF＝DG
∵
∴
（3）
解：如图3，
在CB上截取CH＝CE，作GN⊥AC于N，作FM⊥AC于M
由（1）知：△CEH是等边三角形，
∴，，
由（2）知：
∵
∴
即：
设CN＝a，
∵
∴CG＝2a，
∵，
∴
∴△EGN是等腰直角三角形，
∴
∴
设CM＝x，
∵
∴，
∴
∴△EFM是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴
∴
∵G为BC中点
∴
∵
∴
∴
∴
由等积法可得：
∴
∴△ABC的高是为6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，截长补短的解题思路，解决问题的关键是较强计算能力．