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人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练难点特训(四)选填压轴50道(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练难点特训(四)选填压轴50道(原卷版+解析)，共77页。
A．1B．2C．3D．4
2．如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（ ）
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③GD＝CM；
④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．
A．①②③④B．①②C．③④D．①②④
3．如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．给出下列结论：
①；
②
③
④其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①②③④
4．如图，已知AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝45°，AD⊥BD，BD＝2，CD＝3，则AB长为（ ）
A．3B．2C．D．
5．已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG=．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②C．①③D．①②④
6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为平面直角坐标系内一点，，，则的值为（ ）
A．14B．C．或14D．或
7．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ）
①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④B．①④C．①②③D．②③④
9．如图所示，正方形ABCD的面积为12，是等边三角形，点E在正方形ABCD内，对角线AC上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）．
A．2B．C．4D．
10．如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，分别以AB，AC，BC为边向△ABC外作正方形ABED，正方形ACHI，正方形BCGF．直线ED，HI交于点J，过点F作KF // HI，交DE于点K，过点G作GM // DE，与HI，KF分别交于点M，L. 则四边形KLMJ的面积为（ ）
A．90B．100C．110D．120
12．如图，矩形ABCD的周长为1，连接矩形ABCD四条边中点得到四边形A1B1C1D1，再连接四边形A1B1C1D1四条边中点得到四边形A2B2C2D2，如此继续下去…，则四边形A10B10C10D10的周长为（ ）
A．（）5B．（）10C．（）5D．（）10
13．已知三角形的边长分别是5、7、8，则这个三角形的面积是（ ）
A．9B．C．10D．
14．如图，正方形中，为上一点，线段的垂直平分线交于，为垂足，交正方形的两边于、，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
15．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F是CB延长线上一点，AF⊥CF，垂足为F．下列结论：①∠ACF＝45°；②四边形ABCD的面积等于AC2；③CE＝2AF；④S△BCD＝S△ABF+S△ADE；其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
16．如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点为M，AF的中点为N，则线段MN的长为（ ）
A．B．C．D．
17．如图，在矩形中，，E为的中点，将沿着对折后得到，延长交于点F，连接并延长交于点H，连接，若，则下列说法：①；②四边形是平行四边形；③，其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
18．如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
19．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，则下列结论：①∠CBE＝15°； ②AE＝；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③④
20．如图，在矩形中，为的中点，过点且分别交于交于，点是的中点，且，OE=1，则下列结论：①；②；③四边形为菱形；④．其中正确的个数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
21．已知、是两个连续自然数，且，设，则下列对的表述中正确的是（ ）
A．总是偶数B．总是奇数
C．总是无理数D．有时是有理数，有时是无理数
22．如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，分别以点 A，C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点 D，连接 BD，CD．若 BD 的长为，则 CD 的最大值为( )
A．2B．C．D．
23．如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，Q是BC的中点，则PC+ PQ的最小值是（ ）
A．6B．3C．3D．6
24．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
25．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为___．
26．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线l上，且，，给出下列结论：①，②，③△COF的面积，④，其中正确的是______．
27．如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是______．
28．如图，分别以RtABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边ACD和ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S四边形BCDE＝1：7，中正确的是_____．
29．如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，则到的距离是______．
30．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
31．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为．则的值为______．
32．如图，在中，，，E，F分别为CA，CB上的点，，M，N分别为AF，BE的中点，若，则MN＝______．
33．如图，正方形中，为上一动点（不含、，连接交于，过作交于，过作于，连接，．下列结论：①；②；③平分；④，正确的是__（填序号）．
34．如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动的路径长为______．
35．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，为正整数，则点的坐标是______ ．
36．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC上两点，若∠DAE＝45°，∠ADE＝60°，则的值_______．
37．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边BC的中点，连接AE，若将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，则CF＝________．
38．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，DE平分∠ADC，点P在DE上，则AP+PB的最小值是 _____．
39．已知，如图：一张矩形纸片，，，为边上一动点，将矩形沿折叠，要使点落在上，则折痕的长度是________；若点落在上，则折痕与的位置关系是__________.若翻折后点的对应点是点，连接，则在点运动的过程中，的最小值是______.
40．如图，把一个矩形剪成①②③④四个部分能够重新拼成一个正方形，已知，则的长为__________．
41．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF=45°，BE=3，CF=4，则正方形的边长为__________．
42．我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为_________．
43．小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为 _____．
44．如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝9，AC＝11.5，则边BC的长为 _____．
45．如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为______．
46．如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点．
（1）用含x的式子表示线段的长是_____；
（2）结合图形，判断式子的最小值是____．
47．已知A，C两点坐标分别为和，平行四边形ABCD的一个内角为45°，点B在轴上，则点D的坐标为__________．
48．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为___．
49．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则的最小值为______．
50．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝2，BD•DC＝2，则AC＝_____．
难点特训（四）选填压轴50道
1．如图，点E是正方形外一点，连接和，过点A作垂线交于点P．若．下列结论：①；②；③点B到直线的距高为；④．则正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
分析：①易知AE＝AP，AB＝AD，所以只需证明∠EAB＝∠PAD即可用SAS说明△APD≌△AEB；
②易知∠AEB＝∠APD＝135°，则∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，所以EB⊥ED；
③在Rt△BEP中利用勾股定理求出BE值为，根据垂线段最短可知B到直线AE的距离小于；则③错误；
④要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2＝BH2+AH2即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°．
∴∠DAP+∠BAP＝90°．
又∠EAB+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠DAP．
又AE＝AP，
∴△APD≌△AEB（SAS）．
所以①正确；
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
即EB⊥ED，②正确；
在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝，
在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝．
∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为是错误的，
所以③错误；
在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝，
如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．
在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．
所以BH＝．
在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，
即AB2＝（）2+（）2＝，
所以S正方形ABCD＝．
所以④正确．
所以只有①和②、④的结论正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决复杂几何图形时要会分离图形，分离出对解决问题有价值的图形单独解决．
2．如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（ ）
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③GD＝CM；
④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．
A．①②③④B．①②C．③④D．①②④
答案：A
分析：①正确．如图1中，过点B作BK⊥GH于K．想办法证明Rt△BHK≌Rt△BHC（HL）可得结论．
②正确．分别证明∠GBH=45°，∠4=45°即可解决问题．
③正确．如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．首先证明MG=MD，再证明△BTM≌△MWG（AAS），推出MT=WG可得结论．
④正确．求出BT=2，TM=1，利用勾股定理即可判断．
【详解】解：如图1中，过点B作BK⊥GH于K．
∵B，G关于EF对称，
∴EB＝EG，
∴∠EBG＝∠EGB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴∠AGB＝∠EBG，
∴∠AGB＝∠BGK，
∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG，
∴△BAG≌△BKG（AAS），
∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，
∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），
∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故①正确，
∴∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝∠ABC＝45°，
过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R．
∵∠1＝∠2，
∴MQ＝MP，
∵∠MEQ＝∠MER，
∴MQ＝MR，
∴MP＝MR，
∴∠4＝∠MCP＝∠BCD＝45°，
∴∠GBH＝∠4，故②正确，
如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．
∵B，G关于EF对称，
∴BM＝MG，
∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM，
∴△MCB≌△MCD（SAS），
∴BM＝DM，
∴MG＝MD，
∵MW⊥DG，
∴WG＝WD，
∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°，
∴∠BMT+∠GMW＝90°，
∵∠GMW+∠MGW＝90°，
∴∠BMT＝∠MGW，
∵MB＝MG，
∴△BTM≌△MWG（AAS），
∴MT＝WG，
∵MC＝TM，DG＝2WG，
∴DG＝CM，故③正确，
∵AG＝1，DG＝2，
∴AD＝AB＝TM＝3，EM＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2，
∴BM＝，故④正确，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．给出下列结论：
①；
②
③
④其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①②③④
答案：C
分析：利用SAS证明△AGB≌△ACE，即可判断①；
证明∠BNM=∠MAE=90，即可判断②；
假设③成立，利用勾股定理对等式变形证得=，而与不一定相等，即可判断③；
利用勾股定理证得，从而证得结论④成立．
【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴AC=AG，AB=AE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△AGB和△ACE中，
∵，
∴△AGB≌△ACE(SAS)，
∴GB=CE，故①正确；
设BA、CE相交于点M，
∵△AGB≌△ACE，
∴∠GBA=∠CEA，
又∵∠BMN=∠EMA，
∴∠BNM=∠MAE=90，
∴，故②正确；
设正方形和正方形的边长分别为和,
∵为直角三角形，且为斜边，
∴，
假设成立，
则有，
整理得：，即，
∴，即，
∵与不一定相等，
∴假设不成立，故③不正确；
连接CG，BE，设BG、CE相交于N，
∵，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴，故④正确；
综上，①②④正确，
故选：C．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
4．如图，已知AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝45°，AD⊥BD，BD＝2，CD＝3，则AB长为（ ）
A．3B．2C．D．
答案：B
分析：过C作CM⊥AD于M，CN⊥BD交延长线于N，设AC=BC=x，则AB=x，求出MC=MD=CN=DN=3，根据S△ABC+S△BDC=S△ACD+S△ABD，证得AD=，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，列得（x）2=（）2+22，求出x即可．
【详解】解：过C作CM⊥AD于M，CN⊥BD交延长线于N，
设AC=BC=x，则AB=x，
∵∠ADC＝45°，AD⊥BD，
∴∠CDN=∠ADC＝45°，
∴MC=MD=CN=DN=3，
∵S△ABC+S△BDC=S△ACD+S△ABD，
∴
解得AD=，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
∴（x）2=（）2+22，
解得x=（负值舍去），
∴AB=x=2，
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确引出辅助线及掌握勾股定理是解题的关键．
5．已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG=．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②C．①③D．①②④
答案：D
【详解】解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE∥BF
故①正确；
②由①知四边形DEBF为平行四边形，
∵AD⊥BD E为边AB的中点，
∴DE=BE=AE，
∴四边形BEDF是菱形
故②正确；
③∵AG∥DB AD∥BG AD⊥BD，
∴AGBD为矩形，
∴AD=BG=BC，要使FG⊥AB，
则BF=BC=BG，不能证明BF=BC，
即FG⊥AB不恒成立，
故③不正确；
④由③知BC=BG，
∴S△BFG=．
∵F为CD中点，
∴S△FCG=S平行四边形ABCD，
∴S△BFG=，
故④正确．
故选择D．
6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为平面直角坐标系内一点，，，则的值为（ ）
A．14B．C．或14D．或
答案：D
分析：分当点C在x轴上方和点C在x轴下方两种情况，画出图形求解即可．
【详解】解：当点C在x轴上方时，如图1所示，作CD⊥x轴，
∵A点的坐标为（0，5），B的坐标为（-2，0），
∴OA=5，OB=2，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在△ABO和△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD=OA=5，CD=OB=2，
∴C点坐标为（-7，2），
∴ab=-7×2=-14；
当点C在x轴下方时，如图2所示，作CE⊥x轴，
与（1）证明方法一样可证得△ABO≌△BCE（AAS），
∴BE=OA=4，CE=OB=3，
∴OE=5-2=3，
∴C点坐标为（3，-2），
∴ab=3×（-2）=-6．
故选：D．
图1 图2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了分类讨论的思想、坐标与图形性质等知识．
7．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB＜OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，
∵AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，
∴AB＜OB，故③错误；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE=AB，
∴OE=BC，故④正确．
故选C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．
8．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ）
①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④B．①④C．①②③D．②③④
答案：A
分析：①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG＝CD＝AB，①正确；
②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，④正确；
③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，故①正确；
连接AE，
∵ABCE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
9．如图所示，正方形ABCD的面积为12，是等边三角形，点E在正方形ABCD内，对角线AC上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）．
A．2B．C．4D．
答案：B
分析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【详解】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．
10．如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．
【详解】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴Rt△BHC中，BH=CH= ，
∴HG=HC-GC=3-2=1，
∴Rt△BHG中，BG= ，
∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故选：D．
【点睛】本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点．注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，分别以AB，AC，BC为边向△ABC外作正方形ABED，正方形ACHI，正方形BCGF．直线ED，HI交于点J，过点F作KF // HI，交DE于点K，过点G作GM // DE，与HI，KF分别交于点M，L. 则四边形KLMJ的面积为（ ）
A．90B．100C．110D．120
答案：C
分析：先由勾股定理得出 ，在由正方形的性质推出四边形KLMJ， DGIA都是矩形，再由矩形的性质得出，延长AC至O，则CO⊥ML，可证 ，继而得出四边形COMH是矩形，可得，同理可得，四边形EKQB是矩形，，即可求解四边形KLMJ的面积．
【详解】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4
由勾股定理可得
四边形ABED， ACHI， BCGF都是正方形
四边形的四个角都是90°，四条边平行且相等
四边形KLMJ， DGIA都是矩形
延长AC至O，则CO⊥ML
四边形COMH是矩形
同理可得，四边形EKQB是矩形
四边形KLMJ的面积
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，熟练运用知识点是解题的关键．
12．如图，矩形ABCD的周长为1，连接矩形ABCD四条边中点得到四边形A1B1C1D1，再连接四边形A1B1C1D1四条边中点得到四边形A2B2C2D2，如此继续下去…，则四边形A10B10C10D10的周长为（ ）
A．（）5B．（）10C．（）5D．（）10
答案：A
分析：根据矩形ABCD的周长，四边形A2B2C2D2的周长、四边形A4B4C4D4的周长，找到规律即可解题．
【详解】解：顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，
连接AC，BD交于点O，
∵四边形A1B1C1D1是矩形ABCD的中点四边形，
∴A1B1的中点A2在AC上，A1D1的中点D2在BD上，
∴A2D2=AD，
同理A2B2=AB，B2C2=BC，C2D2=CD，
∴四边形A2B2C2D2的周长为四边形ABCD周长的一半，即为矩形ABCD周长的，
同理：四边形A4B4C4D4的周长为四边形A2B2C2D2周长的一半，即为矩形ABCD周长的，
……，
∴四边形A10B10C10D10周长为矩形ABCD周长的，
故选：A ．
【点睛】本题考查了中点四边形以及矩形的性质，找到连接矩形、菱形中点所得的中点四边形的周长为原四边形周长的一半是解题的关键．
13．已知三角形的边长分别是5、7、8，则这个三角形的面积是（ ）
A．9B．C．10D．
答案：D
分析：画出三角形的边长分别是作CD⊥AB于D，先由勾股定理计算出CD的长度，再根据面积公式计算即可．
【详解】如图：作CD⊥AB于D，
由勾股定理得： ，
即，
解得：，
∴，
∴△ABC的面积＝．
故选：D
【点睛】此题考查了勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．如图，正方形中，为上一点，线段的垂直平分线交于，为垂足，交正方形的两边于、，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
答案：B
分析：①过N作，则，先证明△BSN是等腰直角三角形，得出，再由，证明，得出，证出，即可得出；
②，是等腰直角三角形，，即可得出；
③假设成立，证明，得出，可判断③不一定成立；
④过P作的平行线交于K，证出，，即可得出结论．
【详解】解：①正确；过N作分别交、于S、T，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵线段的垂直平分线交于点N，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由①得：，是等腰直角三角形，，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
若，
则．
∵，
∴，
∴，显然不一定成立，故③错误；
过P作的平行线交于K，
∴．
∵垂直平，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点G，作于点H，
则，
由①得：，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等．
15．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F是CB延长线上一点，AF⊥CF，垂足为F．下列结论：①∠ACF＝45°；②四边形ABCD的面积等于AC2；③CE＝2AF；④S△BCD＝S△ABF+S△ADE；其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
答案：C
分析：证明≌，得出，正确；由，得出，正确；
证出，，正确；由，不能确定，不正确；即可得出答案．
【详解】解：∵∠CAE＝90°，AE＝AC，
∴∠E＝∠ACE＝45°，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACF＝∠E＝45°，①正确；
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
∴S四边形ABCD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝AC2，②正确；
∵△ABC≌△ADE，
∠ACB＝∠AEC＝45°，
∵∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴AC平分∠ECF，
过点A作AG⊥CG，垂足为点G，如图所示：
∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，
∴AF＝AG，
又∵AC＝AE，
∴∠CAG＝∠EAG＝45°，
∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴CG＝AG＝GE，
∴CE＝2AG，
∴CE＝2AF，③正确；
∵S△ABF+S△ADE＝S△ABF+S△ABC＝S△ACF，
不能确定S△ACF＝S△BCD，④不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
16．如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点为M，AF的中点为N，则线段MN的长为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：连接EM并延长交BC于点R，连接EN并延长交AB于点P，证明△BRM≌△HEM(AAS)，推出RM=EM，BR=EH=2，同理可得△APN≌△FEN，推出PN=EN，AP=EF=2，勾股定理求出PR，根据三角形中位线的定义及性质求出MN．
【详解】解：如图，连接EM并延长交BC于点R，连接EN并延长交AB于点P，
∵正方形EFGH在正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，
∴BCEH，
∴∠RBM=∠EHM，∠BRM=∠HEM，
∵BM=MH，
∴△BRM≌△HEM(AAS)，
∴RM=EM，BR=EH=2，
∵EFAB，
同理可得△APN≌△FEN，
∴PN=EN，AP=EF=2，
∴BP=AB-AP=6-2=4，
在Rt△BPR中，BP2+BR2=PR2，
∴42+22=PR2，
∴PR=2，
∵RM=EM，PN=EN，
∴MN是△PRE的中位线，
∴MN=PR=，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形及平移的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的定义和性质，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键．
17．如图，在矩形中，，E为的中点，将沿着对折后得到，延长交于点F，连接并延长交于点H，连接，若，则下列说法：①；②四边形是平行四边形；③，其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
答案：D
分析：由E是BC的中点，沿折叠后得到，利用证明，可得，判断①正确；根据， ，可得，可判断②正确，设，在中，根据勾股定理，列出方程，即可求出的值，即可可判断③．
【详解】解: 在矩形中，
∵ 是的中点，
∴，
∵由折叠可知：，
∴，
∴，
在和中
∴
∴
∴
∴，故①正确；
∵
∴,
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形, 故②正确；
设则，
在中:
∴
∴
∴, 故③正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形中的翻折的问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、等腰三角形性质等知识，解题的关键是熟练掌握翻折、勾股定理等知识．
18．如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：作AB的中点M，连接ME，过F点作，首先证得是等边三角形，再证明，从而得到，利用勾股定理求得DF的长度，从而得到DE的长度，再根据在中E是中点，从而计算出BC的长度．
【详解】如下图所示，作AB的中点M，连接ME，过F点作，垂足为N
在中，M是中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵M、E为中点，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，E是中点，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考虑直角三角形、等边三角形、全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形、等边三角形、全等三角形的相关知识．
19．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，则下列结论：①∠CBE＝15°； ②AE＝；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③④
答案：A
分析：用正方形的性质BC=CD，∠BCE=∠DCE=，结合CE共用，推出△CBE≌△CDE，得到∠CBE= ∠CDE=，判断①正确；
过D作DM⊥AC于M，根据AD＝CD＝，∠ADC=，得到∠ADM=∠CDM=∠ADC=，AM=CM=DM=AC，推出AC=AD=2，得到AM＝DM＝，∠EDM=∠CDM-∠CDE=，推出ME＝DM＝×＝1，得到AE＝+1，判定②正确；
结果CM=DM＝，EM＝1，推出CE＝CM﹣EM＝﹣1，得到S△DEC＝×（﹣1）×＝，判定③错误；
在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，根据BC＝CF，得到∠CBE＝∠F=∠CDE＝，根据∠CEG＝∠CBE+∠BCE=推出△CEG是等边三角形，得到∠CGE＝，CE＝GC，推出∠GCF＝∠CGE-∠F=，得到∠ECD＝GCF，根据CD=CE，推出△DEC≌△FGC，得到DE＝GF，根据EF＝EG+GF，推出EF＝CE+DE，判定④正确．
【详解】①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝．
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE＝，故①正确；
②过D作DM⊥AC于M，
∵AD=CD，
∴∠ADM=∠CDM=∠ADC=，AM=CM=AC，
∵∠ADC=，
∴DM=AC，
∴∠EDM=∠CDM-∠CDE=，
∵AD＝CD＝，
∴AC=AD=2，
∴AM＝DM＝，
∴ME＝DM＝×＝1，
∴AE＝+1，故②正确；
③∵CM=DM＝，EM＝1，
∴CE＝CM﹣EM＝﹣1，
∴S△DEC＝×（﹣1）×＝，故③错误；
④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝．
∴∠CEG＝．
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE＝，CE＝GC，
∴∠GCF＝∠CGE-∠F=，
∴∠ECD＝GCF．
在△DEC和△FGC中，
，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG+GF，
∴EF＝CE+DE，故④正确．
故正确的是①②④．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键．
20．如图，在矩形中，为的中点，过点且分别交于交于，点是的中点，且，OE=1，则下列结论：①；②；③四边形为菱形；④．其中正确的个数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
答案：B
分析：根据条件，OG是直角△AOE斜边上的中线，且△FOC△EOA，设BC=a，AC=2a，AO=OC=a，然后在直角三角形ABC，直角三角形AOE中利用勾股定理求出AB、AE等的长再逐一进行判断即可得．
【详解】解：∵EF⊥AC，G是AE的中点，
∴AG=OG=GE，
∴∠OAE=∠AOG=30°，
在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=AC=OC，
设BC=a，AC=2a，AO=OC=a，
∴，
在直角△AOE中，∠EAO=30°，
∴AE=2OE，
∴，即
∴OE=，AE=，
∴OG=，
∴CD=AB=3OG，故①正确；
OG=≠a=BC，故②错误；
连接AF、CE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ABCD，
∴∠DCA=∠BAC，
在△FOC与△EOA中，
，
∴△FOC△EOA，
∴OE=OF，
又∵AO=OC，EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形，故③正确；
∵=，=a•a=a2，
∴=，故④正确，
综上所述，结论正确的是①③④，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及菱形的判定的性质，正确理解图形中∠CAB=30°，从而确定BC、AB以及OA、OC之间的关系是关键．
21．已知、是两个连续自然数，且，设，则下列对的表述中正确的是（ ）
A．总是偶数B．总是奇数
C．总是无理数D．有时是有理数，有时是无理数
答案：B
分析：由题意可知，，，代入，根据非负数的算术平方根求解即可．
【详解】由题意可知，，，
而,
则，
由于是自然数，所以是奇数，
故选B
【点睛】本题考查了一个非负数的算术平方根，根据题意将，代入是解题的关键．
22．如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，分别以点 A，C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点 D，连接 BD，CD．若 BD 的长为，则 CD 的最大值为( )
A．2B．C．D．
答案：B
分析：如图，由题意知，是的垂直平分线，交于，在上，，，，由，可知，，分别在和中，用勾股定理求解与的值，比较后取最大值即可．
【详解】解：如图，由题意知，是的垂直平分线，交于，在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴的最大值为，
故选B．
【点睛】本题考查了垂直平分线，等边三角形的性质，含30°的直角三角形，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23．如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，Q是BC的中点，则PC+ PQ的最小值是（ ）
A．6B．3C．3D．6
答案：B
分析：连接AQ， AC，AP，由菱形的对称轴可知， ，从而当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小，根据题意可得△ABC是等边三角形，然后在Rt△ABQ中，由勾股定理，求出 即可．
【详解】解：如图，连接AQ， AC，AP，
由菱形的对称轴可知， ，
∴，
即当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小，
∵∠ABD＝30°，四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵点Q为BC的中点，
∴AQ⊥BC，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB＝BC＝6，
∵Q是BC的中点，
∴ ，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得：
，
即PC+ PQ的最小值是 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，菱形的性质和等边三角形的判定和性质，理解题意，当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小是解题的关键．
24．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：A
分析：①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，即可得到E为BC中点，再根据中位线定理得到AB=2OE，即AD=4OE ；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；③根据大角对大边进行计算求解即可得到答案；④过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N可以得到即可求得，由此求出即可得出结论．
【详解】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵CE＝BE＝2
∴E为BC的中点
∴OE为△ABC的中位线
∴OE=AB=1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB
∴BC=4OE
∴AD=4OE
∴①正确
Rt△EOC中，OC＝，
在Rt△OCD中，OD＝
BD＝2OD＝2
故②正确
在Rt△AOE中，∵AE是斜边
∴AE＞AO
∴AB＞AO
∴∠AOB＞∠ABO
∴∠AOB＞45°
∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°
∵OE=
∴∠BOE＞∠OBE
∵∠ACB=30°，∠EOC=90°
∴∠OEC=60°
∴∠OEB=120°
∴∠BOE +∠OBE=60°
∴∠BOE＞30°
∴③正确
过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N
∴PM=PN（角平分线的性质）
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC=，
∴
∴④正确
综上，正确的个数是4个
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积，角平分线的性质，三角形中位线定理，大角对大边等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
25．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为___．
答案：2
分析：连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，再根据三角形中位线定理得到EF＝DN，要使EF长度最大则需DN长度最大，然后结合图形解答即可．
【详解】解：连接DN、DB，如图所示，
在中，∠A＝90°，AB＝，AD＝2，
∴，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的中位线，熟练掌握勾股定理及中位线的性质是解题的关键．
26．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线l上，且，，给出下列结论：①，②，③△COF的面积，④，其中正确的是______．
答案：①③##③①
分析：由正方形的性质得出△OEF是等腰直角三角形，∠DOE＝45°，∠COE＝∠AOC＝90°，OA＝AB＝6，得出OE＝EF＝4，∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝45°，①正确，求出AE＝OA+OE＝6+4＝10，②错误；作FG⊥CO交CO延长线于G，连接DF交OE于M，作DH⊥AB于H，则OG＝FG＝OM＝OE＝2，AH＝DM＝DF＝OE＝2，DH＝AM＝OA+OM＝8，得出S△COF＝×6×2＝6，③正确；由勾股定理得出CF＝2，BD＝4，CF≠BD，④不正确；即可得出结论．
【详解】解：∵正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，
∴△OEF是等腰直角三角形，∠DOE＝45°，∠COE＝∠AOC＝90°，OA＝AB＝6，
∴，∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝45°，
∴ OE＝EF＝4，
故①正确，
∴AE＝OA+OE＝6+4＝10，
故②错误；
作FG⊥CO交CO延长线于G，连接DF交OE于M，作DH⊥AB于H，如图所示：
则∠ FMO＝∠MOG＝∠ G＝90°，∠AHD＝∠OAH＝∠DMO＝90°，
∴四边形MFGO是矩形，四边形AHDM是矩形，
∵∠MOF＝45°，
∴△MOF是等腰直角三角形，
∴MO＝MF，
∴四边形MFGO是正方形，
∴OG＝FG＝OM＝OE＝2，AH＝DM＝DF＝OE＝2，DH＝AM＝OA+OM＝6+2＝8，
∴S△COF＝×CO×FG＝6，
故③正确；
∵CG＝OC+OG＝6+2＝8，
∴CF＝，
∵BH＝AB﹣AH＝4，
∴BD＝，
∴CF≠BD，
故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】此题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
27．如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是______．
答案：##
分析：根据题意，在的运动过程中在以为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时、、三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可．
【详解】解：如图所示：过点作，交的延长线于点，
是定值，长度取最小值时，
在上时，
在边长为的菱形中，，为中点，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，找到当点在上，的长度最小是本题的关键．
28．如图，分别以RtABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边ACD和ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S四边形BCDE＝1：7，中正确的是_____．
答案：①②④
分析：由平行四边形的判定定理判断②，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断①，然后由三角形的三边关系判断③，最后由等边三角形的性质分别求出△ACD、△ACB、△ABE的面积，计算即可判断④．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，AC=CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF=AB，
∴BF∥CD，BF=CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，故②正确；
∴DF∥BC，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥DF，故①正确；
∵DA=CA，DF=BC，AB=BE，BC+AC>AB，
∴DA+DF>BE，故③错误；
设AC=x，则AB=2x，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，三角形三边关系，正确理解等边三角形的性质是解题的关键．
29．如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，则到的距离是______．
答案：
分析：作于，此时EG即为则E到DF的距离，根据矩形的性质和勾股定理进行解答即可．
【详解】四边形是矩形，
，，，
、分别是、的中点，
，，
，
的面积矩形的面积的面积的面积的面积
，
作于，如图所示：
则的面积，
，
即到的距离是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点到直线的距离问题，运用了矩形的性质和勾股定理，解决本题的关键是正确的作出辅助线．
30．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
答案：20
分析：由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.
31．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为．则的值为______．
答案：
分析：依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根，即可到的值．
【详解】解：∵AB=6，BC=8，
∴矩形ABCD的面积为48，
，
∴AO=DO==5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴，
∵ ，，
∴ ，即12=，
∴12 ，
∴，
∴
故答案：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分．
32．如图，在中，，，E，F分别为CA，CB上的点，，M，N分别为AF，BE的中点，若，则MN＝______．
答案：
分析：取AB的中点D，连接MD、ND，如图，先判断DM为△ABF的中位线，DN为△ABE的中位线得到DM=BF=2，DM∥BF，DN=AE=2，再证明AE⊥BF，则DM⊥DN，然后根据△DMN为等腰直角三角形确定MN的长．
【详解】解：取AB的中点D，连接MD、ND，如图，AE=1，
∵CA=CB，CE=CF，
∴BF=AE=1，
∵点M、N分别为AF、BE的中点，
∴DM为△ABF的中位线，DN为△ABE的中位线，
∴DM=BF=，DM∥BF，DN=AE=，DN∥AE，
∵AE⊥BF，
∴DM⊥DN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴MN=DM=．
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了等腰直角三角形的性质．
33．如图，正方形中，为上一动点（不含、，连接交于，过作交于，过作于，连接，．下列结论：①；②；③平分；④，正确的是__（填序号）．
答案：①②④
分析：连接，延长交于点．可证，进而可得，由此可得出；再由，即可得出；连接交于点，则，证明，即可得出，进而可得；过点作于点，交于点，由于是动点，的长度不确定，而是定值，即可得出不一定平分．
【详解】解：如图，连接，延长交于点．
∵为正方形的对角线
∴，
在和中
∴
∴，
∵， ，
∴
∵，
∴
∴
∴
故①正确；
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
故②正确；
连接交于点，则
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
故④正确．
过点作于点，交于点，是动点
∵的长度不确定，而是定值
∴不一定等于
不一定平分
故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
34．如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动的路径长为______．
答案：
分析：连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质可确定AB=PT，PB=ET，根据线段的和差关系和等边对等角确定∠TCE=45°，根据平行线的判定定理可确定，根据正方形的性质和三角形的中位线定理可确定，进而可确定点M的运动轨迹是OD，最后根据正方形的性质和勾股定理即可求出OD的长度．
【详解】解：如下图所示，连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．
∵△APE是等腰直角三角形，
．
∴∠APB+∠TPE=90°．
∵四边形ABCD是正方形，ET⊥BC，
∴∠ABP=90°，∠PTE=90°．
∴∠ABP=∠PTE，∠BAP+∠APB=90°．
∴∠BAP=∠TPE．
．
．
∵四边形ABCD是正方形，
．
．
∴BC-PC=PT-BC，即PB=CT．
．
∴∠TEC=∠TCE=45°．
∵正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，
∴O是AC的中点，∠DBC=45°．
∴∠DBC=∠TCE．
．
∵M是AE的中点，
∴OM是△ACE的中位线．
∴．
∴点M在直线OD上．
∵点P在BC边上移动，
∴点M的运动轨迹是OD．
∵正方形ABCD的边长是6，且AC，BD相交于点O，
∴AB=6，AD=6，O是BD的中点．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，平行线的判定定理，勾股定理，正确确定点M的运动轨迹是解题关键．
35．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，为正整数，则点的坐标是______ ．
答案：
分析：根据题意得出，，，如此下去，得到线段，，，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案．
【详解】解：点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；
，，
，如此下去，得到线段，，
，
由题意可得出线段每旋转次旋转一周，
，
点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在轴的负半轴上，
点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键．
36．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC上两点，若∠DAE＝45°，∠ADE＝60°，则的值_______．
答案：
分析：先由AB＝AC，∠BAC＝90°，得∠B＝∠ACB＝45°，将△ABD绕点A逆时针90°，得到△ACF，连接EF，则AF＝AD，CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，再证明△FAE≌△DAE，得∠AEF＝∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝75°，则∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEF＝30°，而∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，所以EF＝2CF，由勾股定理得CECF，则．
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝45°，∠ADE＝60°，
∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝75°，
将△ABD绕点A逆时针90°，得到△ACF，连接EF，则AF＝AD，CF＝BD，∠CAF＝∠BAD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠CAF+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
，
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴∠AEF＝∠AED＝75°，
∴∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEF＝30°，
∴EF＝2CF，
∴CECF，
∴，
∴的值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
37．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边BC的中点，连接AE，若将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，则CF＝________．
答案：####3.6
分析：连接BF，由四边形ABCD是矩形，得BC＝AD＝6，∠ABE＝90°，而E是边BC的中点，则EB＝ECBC＝3，所以AE5，由折叠得AF＝AB＝4，EF＝EB，EF＝EB＝EC，可证明∠BFC＝∠EFB＋∠EFC＝90°，由S△AFE＝S△ABE4×3＝6得S四边形ABEF＝12，则5BF＝12，得BF，再根据勾股定理求出CF的长即可．
【详解】解：如图，连接BF，∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，∠ABE＝90°，
∵E是边BC的中点，
∴EB＝ECBC＝3，
∴AE5，
由折叠得AF＝AB＝4，EF＝EB，
∴EF＝EB＝EC，
∴∠EFB＝∠EBF，∠EFC＝∠ECF，
∴2∠EFB+2∠EFC＝180°，
∴∠BFC＝∠EFB＋∠EFC＝90°，
∵S△AFE＝S△ABE4×3＝6，
∴S四边形ABEF＝6＋6＝12，
∵AE垂直平分BF，
∴S四边形ABEFAE•BF＝12，
∴5BF＝12，
∴BF，
∴CF，
故答案为：．
【点睛】此题考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、根据面积等式列方程求线段长度等知识与方法，证明∠BFC＝90°是解题的关键．
38．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，DE平分∠ADC，点P在DE上，则AP+PB的最小值是 _____．
答案：
分析：延长至，使，则，，即的最小值是．
【详解】解：延长至，使，
则，
平分，
，
，
，
，
即的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最小值问题，解题的关键是熟练运用轴对称的性质、角平分线的性质．
39．已知，如图：一张矩形纸片，，，为边上一动点，将矩形沿折叠，要使点落在上，则折痕的长度是________；若点落在上，则折痕与的位置关系是__________.若翻折后点的对应点是点，连接，则在点运动的过程中，的最小值是______.
答案： 垂直 4
分析：由折叠的性质和矩形的性质得出四边形是正方形，然后利用勾股定理即可求BE的长度；由折叠的性质即可得出若点落在上，则折痕与的位置关系；分析得出当在BD上时，的长度最小，然后利用即可求解．
【详解】如图，
由折叠的性质可知， ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴四边形是正方形，
，
；
若点落在上，根据折叠的性质可知，BE垂直平分，所以折痕与的位置关系是垂直；
如图，当在BD上时，的长度最小，
，
．
，
，
∴的最小值是4．
故答案为：，垂直，4．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，掌握矩形的性质，折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
40．如图，把一个矩形剪成①②③④四个部分能够重新拼成一个正方形，已知，则的长为__________．
答案：10
分析：根据图形可得，，，可证明，得出AE＝4，继续证明到四边形EGCF是平行四边形，得到EF＝CG，由正方形得，即可得到．
【详解】
解：如图，由矩形ABCD得：，，，，，
由正方形得：，，
∴，，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
即，
∴AE＝4，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∴EF＝CG，
由正方形得，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了图形的剪拼、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握相关知识点，理清图形变化前后的关系是解题的关键．
41．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF=45°，BE=3，CF=4，则正方形的边长为__________．
答案：6
分析：延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，证明△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF，设正方形边长为x，在Rt△CEF中应用勾股定理进行求解．
【详解】如图，延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，
在△ABG和△ADF中，，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠GAB＝∠GAE＝45°，
∴∠EAF＝∠GAE，
在△AEG和△AEF中，，
∴△AEG≌△AEF(SAS)，
∴GE＝EF，
设正方形边长为x，则BG＝DF＝x－4，GE＝EF＝x－1，CE＝x－3，
在Rt△CEF中，，
解得，，
∴正方形的边长为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，巧作辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
42．我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为_________．
答案：
分析：根据三角形中位线定理可得菱形EFGH，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得EH，利用勾股定理求出EN，可得EG．
【详解】解：如图，设两条对角线AC、BD的夹角为60°，
取四边的中点并连接起来，设AC与EH交于M，HF与EG交于N，
∴EH是三角形ABD的中位线，
∴EH=BD=2，EH∥BD，
同理，FG=BD=2，FG∥BD，EF=AC=2，EF∥AC，HG=AC=2，HG∥AC，
∴EH∥HG∥AC，EF=FG=HG=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵EH=BD=2，EH∥BD，
∴∠AOB=60°=∠AME，
∵FE∥AC，
∴∠FEH=∠AME=60°，
∴∠HEN=∠FEN=30°，
∴HN=EH=1，
∴EN==，
∴EG=，
∴较长的“中对线”长度为．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握其定理是解决此题关键．
43．小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为 _____．
答案：
分析：如图，作出辅助线，每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形，假设小直角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为a，找出等量关系，列二元一次方程组解出a、b，再由勾股定理算出原图中的小正方形边长．
【详解】解：如图，作辅助线，发现每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形，假设小直角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为a，由题意，得
，
解得：，
小正方形的边长为：a2 + b2，
故答案为：．
【点睛】此题考查了用勾股定理构造图形解决问题，解题的关键是作出辅助线，找到等量关系求解．
44．如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝9，AC＝11.5，则边BC的长为 _____．
答案：3
分析：延长BD到F，使得DF＝BD，连接CF，过点C作CH∥AB，BF于点H，则△BCF是等腰三角形，得出BC＝CF，再证明HF＝CH，EH＝CE，AC＝BH，求出DH、CH的长，最后由勾股定理求出CD的长与BC的长即可．
【详解】解：延长BD到F，使得DF＝BD，连接CF，如图所示：
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝CF，
过点C作CH∥AB，交BF于点H，
∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，
∴HF＝CH，
∵EB＝EA，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵CH∥AB，
∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，
∴∠CHE＝∠ECH，
∴EH＝CE，
∵EA＝EB，
∴AC＝BH，
∵BD＝9，AC＝11.5，
∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝11.5﹣9＝ ，
∴HF＝CH＝DF﹣DH＝BD﹣DF＝9﹣2.5＝ ，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：
在Rt△BCD中，由勾股定理得： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行的性质和判定，勾股定理的应用，能够在图中添加适合的辅助线是解决本题的关键．
45．如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为______．
答案：2
分析：过C作于点，根据正方形的性质易得，进而得到，，易得到是等腰直角三角形，进而求出，当E运动到时，CE最小，最小值即为CE的长度，此时EF最小值为，求出即可求解．
【详解】解：过C作于点，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当CE最小时，EF最小，
∴当E运动到时，CE最小，最小值即为CE的长度，此时EF最小值为．
∵，，
∴，
∴EF最小值为．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出是解答关键．
46．如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点．
（1）用含x的式子表示线段的长是_____；
（2）结合图形，判断式子的最小值是____．
答案： 5
分析：（1）直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据题意得出求PA+PB的最小值，作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出结果．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）由题意可得：，即为求PA+PB的最小值，
作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，如图所示：
PA+PB=AB’=，
即的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查距离最短问题、坐标系中两点之间的距离及轴对称的性质等，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
47．已知A，C两点坐标分别为和，平行四边形ABCD的一个内角为45°，点B在轴上，则点D的坐标为__________．
答案：(-3，2)#(-5，2)
分析：本题分两种情况讨论，过点C作CE⊥x轴于点E，在直角△BCE中，∠CBE＝45°，根据三角函数得到BE＝2，AE＝5，求得CD的长即可．
【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵A，C两点坐标分别为和，
∴，，
分两种情况进行讨论：
①如图1，当∠DAB＝45°时：
∴∠CBE＝45°，
∵CE＝2，
∴BE＝CEtan45°＝2，
∴，
∴点D的坐标为(2-5，2)，即(-3，2)；
②如图2，当∠CBA＝45°时：
∵CE＝2，
∴BE＝CEtan45°＝2，
∴，
∴点D的坐标为(2-7，2)，即(-5，2)；
∴由①②可知点D的坐标为：(-3，2)或(-5，2)．
故答案为：(-3，2)或(-5，2)
【点睛】本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，分两种情况进行讨论是正确解决本题的关键．
48．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为___．
答案：
分析：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴交x轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点G，得矩形ADHF，证明△AFC≌△OEB，根据矩形AOBC的面积＝AO•AC即可求出结论．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴交x轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点G，
∴HF＝AD，AF＝HD，
∵点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，
∴OD＝2，AD＝1，CH＝4，OE＝，
∴OA＝＝，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB＝AC，AC∥OB，
∴∠CAF＝∠CGO＝∠BOE，
∵∠AFC＝∠OEB＝90°，
∴△AFC≌△OEB （AAS），
∴CF＝BE，AF＝OE＝，
∵HF＝AD＝1，HC＝4，
∴CF＝BE＝CH﹣HF＝3，
∴AC＝＝，
∴矩形AOBC的面积＝AO•AC＝＝ ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
49．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则的最小值为______．
答案：
分析：由平行四边形的性质可知O是AC中点，EF最短也就是EO最短，故应该过O作BC的垂线OD，所以点E与点D重合时，OE长度最小．
【详解】解：如图，在中，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
当最短也就是最短，则过作的垂线，垂足为，
在中，，，
．
点与点重合时，长度最小，此时．
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质；熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短是解题的关键．
50．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝2，BD•DC＝2，则AC＝_____．
答案：＋1
分析：作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE＝CE．再利用勾股定理得到AB2＝AE2＋BE2，AD2＝AE2＋DE2，将两式相减整理得出AB2＝AD2＋BD•DC，进而求出AC．
【详解】解：如图，作AE⊥BC于E，
又∵AB＝AC，
∴BE＝CE．
根据勾股定理得，AB2＝AE2＋BE2，AD2＝AE2＋DE2，
两式相减得，AB2﹣AD2＝（AE2＋BE2）﹣（AE2＋DE2）＝BE2﹣DE2＝（BE＋DE）（BE﹣DE）＝BD•DC，
∴AB2＝AD2＋BD•DC＝22＋2＝4＋2，
∴AC＝AB＝＝＋1.
故答案为：＋1.
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了等腰三角形的性质，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
A．1B．2C．3D．4
2．如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（ ）
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③GD＝CM；
④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．
A．①②③④B．①②C．③④D．①②④
3．如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．给出下列结论：
①；
②
③
④其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①②③④
4．如图，已知AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝45°，AD⊥BD，BD＝2，CD＝3，则AB长为（ ）
A．3B．2C．D．
5．已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG=．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②C．①③D．①②④
6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为平面直角坐标系内一点，，，则的值为（ ）
A．14B．C．或14D．或
7．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ）
①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④B．①④C．①②③D．②③④
9．如图所示，正方形ABCD的面积为12，是等边三角形，点E在正方形ABCD内，对角线AC上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）．
A．2B．C．4D．
10．如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，分别以AB，AC，BC为边向△ABC外作正方形ABED，正方形ACHI，正方形BCGF．直线ED，HI交于点J，过点F作KF // HI，交DE于点K，过点G作GM // DE，与HI，KF分别交于点M，L. 则四边形KLMJ的面积为（ ）
A．90B．100C．110D．120
12．如图，矩形ABCD的周长为1，连接矩形ABCD四条边中点得到四边形A1B1C1D1，再连接四边形A1B1C1D1四条边中点得到四边形A2B2C2D2，如此继续下去…，则四边形A10B10C10D10的周长为（ ）
A．（）5B．（）10C．（）5D．（）10
13．已知三角形的边长分别是5、7、8，则这个三角形的面积是（ ）
A．9B．C．10D．
14．如图，正方形中，为上一点，线段的垂直平分线交于，为垂足，交正方形的两边于、，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
15．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F是CB延长线上一点，AF⊥CF，垂足为F．下列结论：①∠ACF＝45°；②四边形ABCD的面积等于AC2；③CE＝2AF；④S△BCD＝S△ABF+S△ADE；其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
16．如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点为M，AF的中点为N，则线段MN的长为（ ）
A．B．C．D．
17．如图，在矩形中，，E为的中点，将沿着对折后得到，延长交于点F，连接并延长交于点H，连接，若，则下列说法：①；②四边形是平行四边形；③，其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
18．如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
19．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，则下列结论：①∠CBE＝15°； ②AE＝；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③④
20．如图，在矩形中，为的中点，过点且分别交于交于，点是的中点，且，OE=1，则下列结论：①；②；③四边形为菱形；④．其中正确的个数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
21．已知、是两个连续自然数，且，设，则下列对的表述中正确的是（ ）
A．总是偶数B．总是奇数
C．总是无理数D．有时是有理数，有时是无理数
22．如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，分别以点 A，C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点 D，连接 BD，CD．若 BD 的长为，则 CD 的最大值为( )
A．2B．C．D．
23．如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，Q是BC的中点，则PC+ PQ的最小值是（ ）
A．6B．3C．3D．6
24．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
第II卷（非选择题）
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二、填空题
25．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为___．
26．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线l上，且，，给出下列结论：①，②，③△COF的面积，④，其中正确的是______．
27．如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是______．
28．如图，分别以RtABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边ACD和ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S四边形BCDE＝1：7，中正确的是_____．
29．如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，则到的距离是______．
30．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
31．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为．则的值为______．
32．如图，在中，，，E，F分别为CA，CB上的点，，M，N分别为AF，BE的中点，若，则MN＝______．
33．如图，正方形中，为上一动点（不含、，连接交于，过作交于，过作于，连接，．下列结论：①；②；③平分；④，正确的是__（填序号）．
34．如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动的路径长为______．
35．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，为正整数，则点的坐标是______ ．
36．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC上两点，若∠DAE＝45°，∠ADE＝60°，则的值_______．
37．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边BC的中点，连接AE，若将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，则CF＝________．
38．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，DE平分∠ADC，点P在DE上，则AP+PB的最小值是 _____．
39．已知，如图：一张矩形纸片，，，为边上一动点，将矩形沿折叠，要使点落在上，则折痕的长度是________；若点落在上，则折痕与的位置关系是__________.若翻折后点的对应点是点，连接，则在点运动的过程中，的最小值是______.
40．如图，把一个矩形剪成①②③④四个部分能够重新拼成一个正方形，已知，则的长为__________．
41．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF=45°，BE=3，CF=4，则正方形的边长为__________．
42．我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为_________．
43．小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为 _____．
44．如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝9，AC＝11.5，则边BC的长为 _____．
45．如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为______．
46．如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点．
（1）用含x的式子表示线段的长是_____；
（2）结合图形，判断式子的最小值是____．
47．已知A，C两点坐标分别为和，平行四边形ABCD的一个内角为45°，点B在轴上，则点D的坐标为__________．
48．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为___．
49．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则的最小值为______．
50．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝2，BD•DC＝2，则AC＝_____．
难点特训（四）选填压轴50道
1．如图，点E是正方形外一点，连接和，过点A作垂线交于点P．若．下列结论：①；②；③点B到直线的距高为；④．则正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
分析：①易知AE＝AP，AB＝AD，所以只需证明∠EAB＝∠PAD即可用SAS说明△APD≌△AEB；
②易知∠AEB＝∠APD＝135°，则∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，所以EB⊥ED；
③在Rt△BEP中利用勾股定理求出BE值为，根据垂线段最短可知B到直线AE的距离小于；则③错误；
④要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2＝BH2+AH2即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°．
∴∠DAP+∠BAP＝90°．
又∠EAB+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠DAP．
又AE＝AP，
∴△APD≌△AEB（SAS）．
所以①正确；
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
即EB⊥ED，②正确；
在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝，
在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝．
∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为是错误的，
所以③错误；
在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝，
如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．
在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．
所以BH＝．
在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，
即AB2＝（）2+（）2＝，
所以S正方形ABCD＝．
所以④正确．
所以只有①和②、④的结论正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决复杂几何图形时要会分离图形，分离出对解决问题有价值的图形单独解决．
2．如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（ ）
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③GD＝CM；
④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．
A．①②③④B．①②C．③④D．①②④
答案：A
分析：①正确．如图1中，过点B作BK⊥GH于K．想办法证明Rt△BHK≌Rt△BHC（HL）可得结论．
②正确．分别证明∠GBH=45°，∠4=45°即可解决问题．
③正确．如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．首先证明MG=MD，再证明△BTM≌△MWG（AAS），推出MT=WG可得结论．
④正确．求出BT=2，TM=1，利用勾股定理即可判断．
【详解】解：如图1中，过点B作BK⊥GH于K．
∵B，G关于EF对称，
∴EB＝EG，
∴∠EBG＝∠EGB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴∠AGB＝∠EBG，
∴∠AGB＝∠BGK，
∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG，
∴△BAG≌△BKG（AAS），
∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，
∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），
∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故①正确，
∴∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝∠ABC＝45°，
过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R．
∵∠1＝∠2，
∴MQ＝MP，
∵∠MEQ＝∠MER，
∴MQ＝MR，
∴MP＝MR，
∴∠4＝∠MCP＝∠BCD＝45°，
∴∠GBH＝∠4，故②正确，
如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．
∵B，G关于EF对称，
∴BM＝MG，
∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM，
∴△MCB≌△MCD（SAS），
∴BM＝DM，
∴MG＝MD，
∵MW⊥DG，
∴WG＝WD，
∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°，
∴∠BMT+∠GMW＝90°，
∵∠GMW+∠MGW＝90°，
∴∠BMT＝∠MGW，
∵MB＝MG，
∴△BTM≌△MWG（AAS），
∴MT＝WG，
∵MC＝TM，DG＝2WG，
∴DG＝CM，故③正确，
∵AG＝1，DG＝2，
∴AD＝AB＝TM＝3，EM＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2，
∴BM＝，故④正确，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．给出下列结论：
①；
②
③
④其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①②③④
答案：C
分析：利用SAS证明△AGB≌△ACE，即可判断①；
证明∠BNM=∠MAE=90，即可判断②；
假设③成立，利用勾股定理对等式变形证得=，而与不一定相等，即可判断③；
利用勾股定理证得，从而证得结论④成立．
【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴AC=AG，AB=AE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△AGB和△ACE中，
∵，
∴△AGB≌△ACE(SAS)，
∴GB=CE，故①正确；
设BA、CE相交于点M，
∵△AGB≌△ACE，
∴∠GBA=∠CEA，
又∵∠BMN=∠EMA，
∴∠BNM=∠MAE=90，
∴，故②正确；
设正方形和正方形的边长分别为和,
∵为直角三角形，且为斜边，
∴，
假设成立，
则有，
整理得：，即，
∴，即，
∵与不一定相等，
∴假设不成立，故③不正确；
连接CG，BE，设BG、CE相交于N，
∵，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴，故④正确；
综上，①②④正确，
故选：C．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
4．如图，已知AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝45°，AD⊥BD，BD＝2，CD＝3，则AB长为（ ）
A．3B．2C．D．
答案：B
分析：过C作CM⊥AD于M，CN⊥BD交延长线于N，设AC=BC=x，则AB=x，求出MC=MD=CN=DN=3，根据S△ABC+S△BDC=S△ACD+S△ABD，证得AD=，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，列得（x）2=（）2+22，求出x即可．
【详解】解：过C作CM⊥AD于M，CN⊥BD交延长线于N，
设AC=BC=x，则AB=x，
∵∠ADC＝45°，AD⊥BD，
∴∠CDN=∠ADC＝45°，
∴MC=MD=CN=DN=3，
∵S△ABC+S△BDC=S△ACD+S△ABD，
∴
解得AD=，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
∴（x）2=（）2+22，
解得x=（负值舍去），
∴AB=x=2，
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确引出辅助线及掌握勾股定理是解题的关键．
5．已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG=．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②C．①③D．①②④
答案：D
【详解】解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE∥BF
故①正确；
②由①知四边形DEBF为平行四边形，
∵AD⊥BD E为边AB的中点，
∴DE=BE=AE，
∴四边形BEDF是菱形
故②正确；
③∵AG∥DB AD∥BG AD⊥BD，
∴AGBD为矩形，
∴AD=BG=BC，要使FG⊥AB，
则BF=BC=BG，不能证明BF=BC，
即FG⊥AB不恒成立，
故③不正确；
④由③知BC=BG，
∴S△BFG=．
∵F为CD中点，
∴S△FCG=S平行四边形ABCD，
∴S△BFG=，
故④正确．
故选择D．
6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为平面直角坐标系内一点，，，则的值为（ ）
A．14B．C．或14D．或
答案：D
分析：分当点C在x轴上方和点C在x轴下方两种情况，画出图形求解即可．
【详解】解：当点C在x轴上方时，如图1所示，作CD⊥x轴，
∵A点的坐标为（0，5），B的坐标为（-2，0），
∴OA=5，OB=2，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在△ABO和△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD=OA=5，CD=OB=2，
∴C点坐标为（-7，2），
∴ab=-7×2=-14；
当点C在x轴下方时，如图2所示，作CE⊥x轴，
与（1）证明方法一样可证得△ABO≌△BCE（AAS），
∴BE=OA=4，CE=OB=3，
∴OE=5-2=3，
∴C点坐标为（3，-2），
∴ab=3×（-2）=-6．
故选：D．
图1 图2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了分类讨论的思想、坐标与图形性质等知识．
7．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB＜OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，
∵AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，
∴AB＜OB，故③错误；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE=AB，
∴OE=BC，故④正确．
故选C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．
8．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ）
①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④B．①④C．①②③D．②③④
答案：A
分析：①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG＝CD＝AB，①正确；
②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，④正确；
③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，故①正确；
连接AE，
∵ABCE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
9．如图所示，正方形ABCD的面积为12，是等边三角形，点E在正方形ABCD内，对角线AC上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）．
A．2B．C．4D．
答案：B
分析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【详解】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．
10．如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．
【详解】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴Rt△BHC中，BH=CH= ，
∴HG=HC-GC=3-2=1，
∴Rt△BHG中，BG= ，
∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故选：D．
【点睛】本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点．注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，分别以AB，AC，BC为边向△ABC外作正方形ABED，正方形ACHI，正方形BCGF．直线ED，HI交于点J，过点F作KF // HI，交DE于点K，过点G作GM // DE，与HI，KF分别交于点M，L. 则四边形KLMJ的面积为（ ）
A．90B．100C．110D．120
答案：C
分析：先由勾股定理得出 ，在由正方形的性质推出四边形KLMJ， DGIA都是矩形，再由矩形的性质得出，延长AC至O，则CO⊥ML，可证 ，继而得出四边形COMH是矩形，可得，同理可得，四边形EKQB是矩形，，即可求解四边形KLMJ的面积．
【详解】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4
由勾股定理可得
四边形ABED， ACHI， BCGF都是正方形
四边形的四个角都是90°，四条边平行且相等
四边形KLMJ， DGIA都是矩形
延长AC至O，则CO⊥ML
四边形COMH是矩形
同理可得，四边形EKQB是矩形
四边形KLMJ的面积
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，熟练运用知识点是解题的关键．
12．如图，矩形ABCD的周长为1，连接矩形ABCD四条边中点得到四边形A1B1C1D1，再连接四边形A1B1C1D1四条边中点得到四边形A2B2C2D2，如此继续下去…，则四边形A10B10C10D10的周长为（ ）
A．（）5B．（）10C．（）5D．（）10
答案：A
分析：根据矩形ABCD的周长，四边形A2B2C2D2的周长、四边形A4B4C4D4的周长，找到规律即可解题．
【详解】解：顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，
连接AC，BD交于点O，
∵四边形A1B1C1D1是矩形ABCD的中点四边形，
∴A1B1的中点A2在AC上，A1D1的中点D2在BD上，
∴A2D2=AD，
同理A2B2=AB，B2C2=BC，C2D2=CD，
∴四边形A2B2C2D2的周长为四边形ABCD周长的一半，即为矩形ABCD周长的，
同理：四边形A4B4C4D4的周长为四边形A2B2C2D2周长的一半，即为矩形ABCD周长的，
……，
∴四边形A10B10C10D10周长为矩形ABCD周长的，
故选：A ．
【点睛】本题考查了中点四边形以及矩形的性质，找到连接矩形、菱形中点所得的中点四边形的周长为原四边形周长的一半是解题的关键．
13．已知三角形的边长分别是5、7、8，则这个三角形的面积是（ ）
A．9B．C．10D．
答案：D
分析：画出三角形的边长分别是作CD⊥AB于D，先由勾股定理计算出CD的长度，再根据面积公式计算即可．
【详解】如图：作CD⊥AB于D，
由勾股定理得： ，
即，
解得：，
∴，
∴△ABC的面积＝．
故选：D
【点睛】此题考查了勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．如图，正方形中，为上一点，线段的垂直平分线交于，为垂足，交正方形的两边于、，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
答案：B
分析：①过N作，则，先证明△BSN是等腰直角三角形，得出，再由，证明，得出，证出，即可得出；
②，是等腰直角三角形，，即可得出；
③假设成立，证明，得出，可判断③不一定成立；
④过P作的平行线交于K，证出，，即可得出结论．
【详解】解：①正确；过N作分别交、于S、T，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵线段的垂直平分线交于点N，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由①得：，是等腰直角三角形，，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
若，
则．
∵，
∴，
∴，显然不一定成立，故③错误；
过P作的平行线交于K，
∴．
∵垂直平，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点G，作于点H，
则，
由①得：，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等．
15．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F是CB延长线上一点，AF⊥CF，垂足为F．下列结论：①∠ACF＝45°；②四边形ABCD的面积等于AC2；③CE＝2AF；④S△BCD＝S△ABF+S△ADE；其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
答案：C
分析：证明≌，得出，正确；由，得出，正确；
证出，，正确；由，不能确定，不正确；即可得出答案．
【详解】解：∵∠CAE＝90°，AE＝AC，
∴∠E＝∠ACE＝45°，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACF＝∠E＝45°，①正确；
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
∴S四边形ABCD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝AC2，②正确；
∵△ABC≌△ADE，
∠ACB＝∠AEC＝45°，
∵∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴AC平分∠ECF，
过点A作AG⊥CG，垂足为点G，如图所示：
∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，
∴AF＝AG，
又∵AC＝AE，
∴∠CAG＝∠EAG＝45°，
∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴CG＝AG＝GE，
∴CE＝2AG，
∴CE＝2AF，③正确；
∵S△ABF+S△ADE＝S△ABF+S△ABC＝S△ACF，
不能确定S△ACF＝S△BCD，④不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
16．如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点为M，AF的中点为N，则线段MN的长为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：连接EM并延长交BC于点R，连接EN并延长交AB于点P，证明△BRM≌△HEM(AAS)，推出RM=EM，BR=EH=2，同理可得△APN≌△FEN，推出PN=EN，AP=EF=2，勾股定理求出PR，根据三角形中位线的定义及性质求出MN．
【详解】解：如图，连接EM并延长交BC于点R，连接EN并延长交AB于点P，
∵正方形EFGH在正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，
∴BCEH，
∴∠RBM=∠EHM，∠BRM=∠HEM，
∵BM=MH，
∴△BRM≌△HEM(AAS)，
∴RM=EM，BR=EH=2，
∵EFAB，
同理可得△APN≌△FEN，
∴PN=EN，AP=EF=2，
∴BP=AB-AP=6-2=4，
在Rt△BPR中，BP2+BR2=PR2，
∴42+22=PR2，
∴PR=2，
∵RM=EM，PN=EN，
∴MN是△PRE的中位线，
∴MN=PR=，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形及平移的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的定义和性质，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键．
17．如图，在矩形中，，E为的中点，将沿着对折后得到，延长交于点F，连接并延长交于点H，连接，若，则下列说法：①；②四边形是平行四边形；③，其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
答案：D
分析：由E是BC的中点，沿折叠后得到，利用证明，可得，判断①正确；根据， ，可得，可判断②正确，设，在中，根据勾股定理，列出方程，即可求出的值，即可可判断③．
【详解】解: 在矩形中，
∵ 是的中点，
∴，
∵由折叠可知：，
∴，
∴，
在和中
∴
∴
∴
∴，故①正确；
∵
∴,
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形, 故②正确；
设则，
在中:
∴
∴
∴, 故③正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形中的翻折的问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、等腰三角形性质等知识，解题的关键是熟练掌握翻折、勾股定理等知识．
18．如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：作AB的中点M，连接ME，过F点作，首先证得是等边三角形，再证明，从而得到，利用勾股定理求得DF的长度，从而得到DE的长度，再根据在中E是中点，从而计算出BC的长度．
【详解】如下图所示，作AB的中点M，连接ME，过F点作，垂足为N
在中，M是中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵M、E为中点，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，E是中点，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考虑直角三角形、等边三角形、全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形、等边三角形、全等三角形的相关知识．
19．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，则下列结论：①∠CBE＝15°； ②AE＝；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③④
答案：A
分析：用正方形的性质BC=CD，∠BCE=∠DCE=，结合CE共用，推出△CBE≌△CDE，得到∠CBE= ∠CDE=，判断①正确；
过D作DM⊥AC于M，根据AD＝CD＝，∠ADC=，得到∠ADM=∠CDM=∠ADC=，AM=CM=DM=AC，推出AC=AD=2，得到AM＝DM＝，∠EDM=∠CDM-∠CDE=，推出ME＝DM＝×＝1，得到AE＝+1，判定②正确；
结果CM=DM＝，EM＝1，推出CE＝CM﹣EM＝﹣1，得到S△DEC＝×（﹣1）×＝，判定③错误；
在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，根据BC＝CF，得到∠CBE＝∠F=∠CDE＝，根据∠CEG＝∠CBE+∠BCE=推出△CEG是等边三角形，得到∠CGE＝，CE＝GC，推出∠GCF＝∠CGE-∠F=，得到∠ECD＝GCF，根据CD=CE，推出△DEC≌△FGC，得到DE＝GF，根据EF＝EG+GF，推出EF＝CE+DE，判定④正确．
【详解】①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝．
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE＝，故①正确；
②过D作DM⊥AC于M，
∵AD=CD，
∴∠ADM=∠CDM=∠ADC=，AM=CM=AC，
∵∠ADC=，
∴DM=AC，
∴∠EDM=∠CDM-∠CDE=，
∵AD＝CD＝，
∴AC=AD=2，
∴AM＝DM＝，
∴ME＝DM＝×＝1，
∴AE＝+1，故②正确；
③∵CM=DM＝，EM＝1，
∴CE＝CM﹣EM＝﹣1，
∴S△DEC＝×（﹣1）×＝，故③错误；
④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝．
∴∠CEG＝．
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE＝，CE＝GC，
∴∠GCF＝∠CGE-∠F=，
∴∠ECD＝GCF．
在△DEC和△FGC中，
，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG+GF，
∴EF＝CE+DE，故④正确．
故正确的是①②④．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键．
20．如图，在矩形中，为的中点，过点且分别交于交于，点是的中点，且，OE=1，则下列结论：①；②；③四边形为菱形；④．其中正确的个数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
答案：B
分析：根据条件，OG是直角△AOE斜边上的中线，且△FOC△EOA，设BC=a，AC=2a，AO=OC=a，然后在直角三角形ABC，直角三角形AOE中利用勾股定理求出AB、AE等的长再逐一进行判断即可得．
【详解】解：∵EF⊥AC，G是AE的中点，
∴AG=OG=GE，
∴∠OAE=∠AOG=30°，
在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=AC=OC，
设BC=a，AC=2a，AO=OC=a，
∴，
在直角△AOE中，∠EAO=30°，
∴AE=2OE，
∴，即
∴OE=，AE=，
∴OG=，
∴CD=AB=3OG，故①正确；
OG=≠a=BC，故②错误；
连接AF、CE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ABCD，
∴∠DCA=∠BAC，
在△FOC与△EOA中，
，
∴△FOC△EOA，
∴OE=OF，
又∵AO=OC，EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形，故③正确；
∵=，=a•a=a2，
∴=，故④正确，
综上所述，结论正确的是①③④，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及菱形的判定的性质，正确理解图形中∠CAB=30°，从而确定BC、AB以及OA、OC之间的关系是关键．
21．已知、是两个连续自然数，且，设，则下列对的表述中正确的是（ ）
A．总是偶数B．总是奇数
C．总是无理数D．有时是有理数，有时是无理数
答案：B
分析：由题意可知，，，代入，根据非负数的算术平方根求解即可．
【详解】由题意可知，，，
而,
则，
由于是自然数，所以是奇数，
故选B
【点睛】本题考查了一个非负数的算术平方根，根据题意将，代入是解题的关键．
22．如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，分别以点 A，C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点 D，连接 BD，CD．若 BD 的长为，则 CD 的最大值为( )
A．2B．C．D．
答案：B
分析：如图，由题意知，是的垂直平分线，交于，在上，，，，由，可知，，分别在和中，用勾股定理求解与的值，比较后取最大值即可．
【详解】解：如图，由题意知，是的垂直平分线，交于，在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴的最大值为，
故选B．
【点睛】本题考查了垂直平分线，等边三角形的性质，含30°的直角三角形，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23．如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，Q是BC的中点，则PC+ PQ的最小值是（ ）
A．6B．3C．3D．6
答案：B
分析：连接AQ， AC，AP，由菱形的对称轴可知， ，从而当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小，根据题意可得△ABC是等边三角形，然后在Rt△ABQ中，由勾股定理，求出 即可．
【详解】解：如图，连接AQ， AC，AP，
由菱形的对称轴可知， ，
∴，
即当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小，
∵∠ABD＝30°，四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵点Q为BC的中点，
∴AQ⊥BC，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB＝BC＝6，
∵Q是BC的中点，
∴ ，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得：
，
即PC+ PQ的最小值是 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，菱形的性质和等边三角形的判定和性质，理解题意，当点 、 、 三点共线时，PC+ PQ最小是解题的关键．
24．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：A
分析：①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，即可得到E为BC中点，再根据中位线定理得到AB=2OE，即AD=4OE ；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；③根据大角对大边进行计算求解即可得到答案；④过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N可以得到即可求得，由此求出即可得出结论．
【详解】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵CE＝BE＝2
∴E为BC的中点
∴OE为△ABC的中位线
∴OE=AB=1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB
∴BC=4OE
∴AD=4OE
∴①正确
Rt△EOC中，OC＝，
在Rt△OCD中，OD＝
BD＝2OD＝2
故②正确
在Rt△AOE中，∵AE是斜边
∴AE＞AO
∴AB＞AO
∴∠AOB＞∠ABO
∴∠AOB＞45°
∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°
∵OE=
∴∠BOE＞∠OBE
∵∠ACB=30°，∠EOC=90°
∴∠OEC=60°
∴∠OEB=120°
∴∠BOE +∠OBE=60°
∴∠BOE＞30°
∴③正确
过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N
∴PM=PN（角平分线的性质）
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC=，
∴
∴④正确
综上，正确的个数是4个
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积，角平分线的性质，三角形中位线定理，大角对大边等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
25．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为___．
答案：2
分析：连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，再根据三角形中位线定理得到EF＝DN，要使EF长度最大则需DN长度最大，然后结合图形解答即可．
【详解】解：连接DN、DB，如图所示，
在中，∠A＝90°，AB＝，AD＝2，
∴，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的中位线，熟练掌握勾股定理及中位线的性质是解题的关键．
26．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线l上，且，，给出下列结论：①，②，③△COF的面积，④，其中正确的是______．
答案：①③##③①
分析：由正方形的性质得出△OEF是等腰直角三角形，∠DOE＝45°，∠COE＝∠AOC＝90°，OA＝AB＝6，得出OE＝EF＝4，∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝45°，①正确，求出AE＝OA+OE＝6+4＝10，②错误；作FG⊥CO交CO延长线于G，连接DF交OE于M，作DH⊥AB于H，则OG＝FG＝OM＝OE＝2，AH＝DM＝DF＝OE＝2，DH＝AM＝OA+OM＝8，得出S△COF＝×6×2＝6，③正确；由勾股定理得出CF＝2，BD＝4，CF≠BD，④不正确；即可得出结论．
【详解】解：∵正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，
∴△OEF是等腰直角三角形，∠DOE＝45°，∠COE＝∠AOC＝90°，OA＝AB＝6，
∴，∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝45°，
∴ OE＝EF＝4，
故①正确，
∴AE＝OA+OE＝6+4＝10，
故②错误；
作FG⊥CO交CO延长线于G，连接DF交OE于M，作DH⊥AB于H，如图所示：
则∠ FMO＝∠MOG＝∠ G＝90°，∠AHD＝∠OAH＝∠DMO＝90°，
∴四边形MFGO是矩形，四边形AHDM是矩形，
∵∠MOF＝45°，
∴△MOF是等腰直角三角形，
∴MO＝MF，
∴四边形MFGO是正方形，
∴OG＝FG＝OM＝OE＝2，AH＝DM＝DF＝OE＝2，DH＝AM＝OA+OM＝6+2＝8，
∴S△COF＝×CO×FG＝6，
故③正确；
∵CG＝OC+OG＝6+2＝8，
∴CF＝，
∵BH＝AB﹣AH＝4，
∴BD＝，
∴CF≠BD，
故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】此题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
27．如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是______．
答案：##
分析：根据题意，在的运动过程中在以为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时、、三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可．
【详解】解：如图所示：过点作，交的延长线于点，
是定值，长度取最小值时，
在上时，
在边长为的菱形中，，为中点，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，找到当点在上，的长度最小是本题的关键．
28．如图，分别以RtABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边ACD和ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S四边形BCDE＝1：7，中正确的是_____．
答案：①②④
分析：由平行四边形的判定定理判断②，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断①，然后由三角形的三边关系判断③，最后由等边三角形的性质分别求出△ACD、△ACB、△ABE的面积，计算即可判断④．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，AC=CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF=AB，
∴BF∥CD，BF=CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，故②正确；
∴DF∥BC，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥DF，故①正确；
∵DA=CA，DF=BC，AB=BE，BC+AC>AB，
∴DA+DF>BE，故③错误；
设AC=x，则AB=2x，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，三角形三边关系，正确理解等边三角形的性质是解题的关键．
29．如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，则到的距离是______．
答案：
分析：作于，此时EG即为则E到DF的距离，根据矩形的性质和勾股定理进行解答即可．
【详解】四边形是矩形，
，，，
、分别是、的中点，
，，
，
的面积矩形的面积的面积的面积的面积
，
作于，如图所示：
则的面积，
，
即到的距离是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点到直线的距离问题，运用了矩形的性质和勾股定理，解决本题的关键是正确的作出辅助线．
30．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
答案：20
分析：由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.
31．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为．则的值为______．
答案：
分析：依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根，即可到的值．
【详解】解：∵AB=6，BC=8，
∴矩形ABCD的面积为48，
，
∴AO=DO==5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴，
∵ ，，
∴ ，即12=，
∴12 ，
∴，
∴
故答案：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分．
32．如图，在中，，，E，F分别为CA，CB上的点，，M，N分别为AF，BE的中点，若，则MN＝______．
答案：
分析：取AB的中点D，连接MD、ND，如图，先判断DM为△ABF的中位线，DN为△ABE的中位线得到DM=BF=2，DM∥BF，DN=AE=2，再证明AE⊥BF，则DM⊥DN，然后根据△DMN为等腰直角三角形确定MN的长．
【详解】解：取AB的中点D，连接MD、ND，如图，AE=1，
∵CA=CB，CE=CF，
∴BF=AE=1，
∵点M、N分别为AF、BE的中点，
∴DM为△ABF的中位线，DN为△ABE的中位线，
∴DM=BF=，DM∥BF，DN=AE=，DN∥AE，
∵AE⊥BF，
∴DM⊥DN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴MN=DM=．
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了等腰直角三角形的性质．
33．如图，正方形中，为上一动点（不含、，连接交于，过作交于，过作于，连接，．下列结论：①；②；③平分；④，正确的是__（填序号）．
答案：①②④
分析：连接，延长交于点．可证，进而可得，由此可得出；再由，即可得出；连接交于点，则，证明，即可得出，进而可得；过点作于点，交于点，由于是动点，的长度不确定，而是定值，即可得出不一定平分．
【详解】解：如图，连接，延长交于点．
∵为正方形的对角线
∴，
在和中
∴
∴，
∵， ，
∴
∵，
∴
∴
∴
故①正确；
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
故②正确；
连接交于点，则
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
故④正确．
过点作于点，交于点，是动点
∵的长度不确定，而是定值
∴不一定等于
不一定平分
故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
34．如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动的路径长为______．
答案：
分析：连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质可确定AB=PT，PB=ET，根据线段的和差关系和等边对等角确定∠TCE=45°，根据平行线的判定定理可确定，根据正方形的性质和三角形的中位线定理可确定，进而可确定点M的运动轨迹是OD，最后根据正方形的性质和勾股定理即可求出OD的长度．
【详解】解：如下图所示，连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．
∵△APE是等腰直角三角形，
．
∴∠APB+∠TPE=90°．
∵四边形ABCD是正方形，ET⊥BC，
∴∠ABP=90°，∠PTE=90°．
∴∠ABP=∠PTE，∠BAP+∠APB=90°．
∴∠BAP=∠TPE．
．
．
∵四边形ABCD是正方形，
．
．
∴BC-PC=PT-BC，即PB=CT．
．
∴∠TEC=∠TCE=45°．
∵正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，
∴O是AC的中点，∠DBC=45°．
∴∠DBC=∠TCE．
．
∵M是AE的中点，
∴OM是△ACE的中位线．
∴．
∴点M在直线OD上．
∵点P在BC边上移动，
∴点M的运动轨迹是OD．
∵正方形ABCD的边长是6，且AC，BD相交于点O，
∴AB=6，AD=6，O是BD的中点．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，平行线的判定定理，勾股定理，正确确定点M的运动轨迹是解题关键．
35．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，为正整数，则点的坐标是______ ．
答案：
分析：根据题意得出，，，如此下去，得到线段，，，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案．
【详解】解：点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；
，，
，如此下去，得到线段，，
，
由题意可得出线段每旋转次旋转一周，
，
点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在轴的负半轴上，
点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键．
36．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC上两点，若∠DAE＝45°，∠ADE＝60°，则的值_______．
答案：
分析：先由AB＝AC，∠BAC＝90°，得∠B＝∠ACB＝45°，将△ABD绕点A逆时针90°，得到△ACF，连接EF，则AF＝AD，CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，再证明△FAE≌△DAE，得∠AEF＝∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝75°，则∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEF＝30°，而∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，所以EF＝2CF，由勾股定理得CECF，则．
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝45°，∠ADE＝60°，
∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝75°，
将△ABD绕点A逆时针90°，得到△ACF，连接EF，则AF＝AD，CF＝BD，∠CAF＝∠BAD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠CAF+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
，
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴∠AEF＝∠AED＝75°，
∴∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEF＝30°，
∴EF＝2CF，
∴CECF，
∴，
∴的值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
37．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边BC的中点，连接AE，若将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，则CF＝________．
答案：####3.6
分析：连接BF，由四边形ABCD是矩形，得BC＝AD＝6，∠ABE＝90°，而E是边BC的中点，则EB＝ECBC＝3，所以AE5，由折叠得AF＝AB＝4，EF＝EB，EF＝EB＝EC，可证明∠BFC＝∠EFB＋∠EFC＝90°，由S△AFE＝S△ABE4×3＝6得S四边形ABEF＝12，则5BF＝12，得BF，再根据勾股定理求出CF的长即可．
【详解】解：如图，连接BF，∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，∠ABE＝90°，
∵E是边BC的中点，
∴EB＝ECBC＝3，
∴AE5，
由折叠得AF＝AB＝4，EF＝EB，
∴EF＝EB＝EC，
∴∠EFB＝∠EBF，∠EFC＝∠ECF，
∴2∠EFB+2∠EFC＝180°，
∴∠BFC＝∠EFB＋∠EFC＝90°，
∵S△AFE＝S△ABE4×3＝6，
∴S四边形ABEF＝6＋6＝12，
∵AE垂直平分BF，
∴S四边形ABEFAE•BF＝12，
∴5BF＝12，
∴BF，
∴CF，
故答案为：．
【点睛】此题考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、根据面积等式列方程求线段长度等知识与方法，证明∠BFC＝90°是解题的关键．
38．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，DE平分∠ADC，点P在DE上，则AP+PB的最小值是 _____．
答案：
分析：延长至，使，则，，即的最小值是．
【详解】解：延长至，使，
则，
平分，
，
，
，
，
即的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最小值问题，解题的关键是熟练运用轴对称的性质、角平分线的性质．
39．已知，如图：一张矩形纸片，，，为边上一动点，将矩形沿折叠，要使点落在上，则折痕的长度是________；若点落在上，则折痕与的位置关系是__________.若翻折后点的对应点是点，连接，则在点运动的过程中，的最小值是______.
答案： 垂直 4
分析：由折叠的性质和矩形的性质得出四边形是正方形，然后利用勾股定理即可求BE的长度；由折叠的性质即可得出若点落在上，则折痕与的位置关系；分析得出当在BD上时，的长度最小，然后利用即可求解．
【详解】如图，
由折叠的性质可知， ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴四边形是正方形，
，
；
若点落在上，根据折叠的性质可知，BE垂直平分，所以折痕与的位置关系是垂直；
如图，当在BD上时，的长度最小，
，
．
，
，
∴的最小值是4．
故答案为：，垂直，4．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，掌握矩形的性质，折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
40．如图，把一个矩形剪成①②③④四个部分能够重新拼成一个正方形，已知，则的长为__________．
答案：10
分析：根据图形可得，，，可证明，得出AE＝4，继续证明到四边形EGCF是平行四边形，得到EF＝CG，由正方形得，即可得到．
【详解】
解：如图，由矩形ABCD得：，，，，，
由正方形得：，，
∴，，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
即，
∴AE＝4，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∴EF＝CG，
由正方形得，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了图形的剪拼、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握相关知识点，理清图形变化前后的关系是解题的关键．
41．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF=45°，BE=3，CF=4，则正方形的边长为__________．
答案：6
分析：延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，证明△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF，设正方形边长为x，在Rt△CEF中应用勾股定理进行求解．
【详解】如图，延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，
在△ABG和△ADF中，，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠GAB＝∠GAE＝45°，
∴∠EAF＝∠GAE，
在△AEG和△AEF中，，
∴△AEG≌△AEF(SAS)，
∴GE＝EF，
设正方形边长为x，则BG＝DF＝x－4，GE＝EF＝x－1，CE＝x－3，
在Rt△CEF中，，
解得，，
∴正方形的边长为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，巧作辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
42．我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为_________．
答案：
分析：根据三角形中位线定理可得菱形EFGH，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得EH，利用勾股定理求出EN，可得EG．
【详解】解：如图，设两条对角线AC、BD的夹角为60°，
取四边的中点并连接起来，设AC与EH交于M，HF与EG交于N，
∴EH是三角形ABD的中位线，
∴EH=BD=2，EH∥BD，
同理，FG=BD=2，FG∥BD，EF=AC=2，EF∥AC，HG=AC=2，HG∥AC，
∴EH∥HG∥AC，EF=FG=HG=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵EH=BD=2，EH∥BD，
∴∠AOB=60°=∠AME，
∵FE∥AC，
∴∠FEH=∠AME=60°，
∴∠HEN=∠FEN=30°，
∴HN=EH=1，
∴EN==，
∴EG=，
∴较长的“中对线”长度为．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握其定理是解决此题关键．
43．小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为 _____．
答案：
分析：如图，作出辅助线，每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形，假设小直角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为a，找出等量关系，列二元一次方程组解出a、b，再由勾股定理算出原图中的小正方形边长．
【详解】解：如图，作辅助线，发现每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形，假设小直角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为a，由题意，得
，
解得：，
小正方形的边长为：a2 + b2，
故答案为：．
【点睛】此题考查了用勾股定理构造图形解决问题，解题的关键是作出辅助线，找到等量关系求解．
44．如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝9，AC＝11.5，则边BC的长为 _____．
答案：3
分析：延长BD到F，使得DF＝BD，连接CF，过点C作CH∥AB，BF于点H，则△BCF是等腰三角形，得出BC＝CF，再证明HF＝CH，EH＝CE，AC＝BH，求出DH、CH的长，最后由勾股定理求出CD的长与BC的长即可．
【详解】解：延长BD到F，使得DF＝BD，连接CF，如图所示：
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝CF，
过点C作CH∥AB，交BF于点H，
∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，
∴HF＝CH，
∵EB＝EA，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵CH∥AB，
∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，
∴∠CHE＝∠ECH，
∴EH＝CE，
∵EA＝EB，
∴AC＝BH，
∵BD＝9，AC＝11.5，
∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝11.5﹣9＝ ，
∴HF＝CH＝DF﹣DH＝BD﹣DF＝9﹣2.5＝ ，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：
在Rt△BCD中，由勾股定理得： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行的性质和判定，勾股定理的应用，能够在图中添加适合的辅助线是解决本题的关键．
45．如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为______．
答案：2
分析：过C作于点，根据正方形的性质易得，进而得到，，易得到是等腰直角三角形，进而求出，当E运动到时，CE最小，最小值即为CE的长度，此时EF最小值为，求出即可求解．
【详解】解：过C作于点，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当CE最小时，EF最小，
∴当E运动到时，CE最小，最小值即为CE的长度，此时EF最小值为．
∵，，
∴，
∴EF最小值为．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出是解答关键．
46．如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点．
（1）用含x的式子表示线段的长是_____；
（2）结合图形，判断式子的最小值是____．
答案： 5
分析：（1）直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据题意得出求PA+PB的最小值，作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出结果．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）由题意可得：，即为求PA+PB的最小值，
作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，如图所示：
PA+PB=AB’=，
即的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查距离最短问题、坐标系中两点之间的距离及轴对称的性质等，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
47．已知A，C两点坐标分别为和，平行四边形ABCD的一个内角为45°，点B在轴上，则点D的坐标为__________．
答案：(-3，2)#(-5，2)
分析：本题分两种情况讨论，过点C作CE⊥x轴于点E，在直角△BCE中，∠CBE＝45°，根据三角函数得到BE＝2，AE＝5，求得CD的长即可．
【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵A，C两点坐标分别为和，
∴，，
分两种情况进行讨论：
①如图1，当∠DAB＝45°时：
∴∠CBE＝45°，
∵CE＝2，
∴BE＝CEtan45°＝2，
∴，
∴点D的坐标为(2-5，2)，即(-3，2)；
②如图2，当∠CBA＝45°时：
∵CE＝2，
∴BE＝CEtan45°＝2，
∴，
∴点D的坐标为(2-7，2)，即(-5，2)；
∴由①②可知点D的坐标为：(-3，2)或(-5，2)．
故答案为：(-3，2)或(-5，2)
【点睛】本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，分两种情况进行讨论是正确解决本题的关键．
48．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为___．
答案：
分析：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴交x轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点G，得矩形ADHF，证明△AFC≌△OEB，根据矩形AOBC的面积＝AO•AC即可求出结论．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴交x轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点G，
∴HF＝AD，AF＝HD，
∵点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，
∴OD＝2，AD＝1，CH＝4，OE＝，
∴OA＝＝，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB＝AC，AC∥OB，
∴∠CAF＝∠CGO＝∠BOE，
∵∠AFC＝∠OEB＝90°，
∴△AFC≌△OEB （AAS），
∴CF＝BE，AF＝OE＝，
∵HF＝AD＝1，HC＝4，
∴CF＝BE＝CH﹣HF＝3，
∴AC＝＝，
∴矩形AOBC的面积＝AO•AC＝＝ ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
49．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则的最小值为______．
答案：
分析：由平行四边形的性质可知O是AC中点，EF最短也就是EO最短，故应该过O作BC的垂线OD，所以点E与点D重合时，OE长度最小．
【详解】解：如图，在中，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
当最短也就是最短，则过作的垂线，垂足为，
在中，，，
．
点与点重合时，长度最小，此时．
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质；熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短是解题的关键．
50．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝2，BD•DC＝2，则AC＝_____．
答案：＋1
分析：作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE＝CE．再利用勾股定理得到AB2＝AE2＋BE2，AD2＝AE2＋DE2，将两式相减整理得出AB2＝AD2＋BD•DC，进而求出AC．
【详解】解：如图，作AE⊥BC于E，
又∵AB＝AC，
∴BE＝CE．
根据勾股定理得，AB2＝AE2＋BE2，AD2＝AE2＋DE2，
两式相减得，AB2﹣AD2＝（AE2＋BE2）﹣（AE2＋DE2）＝BE2﹣DE2＝（BE＋DE）（BE﹣DE）＝BD•DC，
∴AB2＝AD2＋BD•DC＝22＋2＝4＋2，
∴AC＝AB＝＝＋1.
故答案为：＋1.
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了等腰三角形的性质，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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