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人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题04三角形的有关模型问题(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题04三角形的有关模型问题(原卷版+解析)，共52页。
【思维导图】
◎考点1：多边形截角后的边数问题
例．(2023·全国·八年级）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8
变式1．（2023·全国·八年级专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5B．6C．7D．8
变式2．(2023·广西桂林·八年级期中）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）一个四边形截去一个角后内角个数是（ ）
A．3B．4C．5D．3、4、5
◎考点2：多边形的周长问题
例．(2023·上海·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（ ）
A．3B．6C．12D．16
变式1．（2023·黑龙江·桦南实验中学八年级期中）如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（ ）
A．14B．15C．16D．17
变式2．（2023·重庆市江津第五中学校八年级期中）如图，在菱形中，，则以为边的正方形的周长为( )
A．12B．8C．16D．20
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（ ）
A．34cmB．32cmC．30cmD．28cm
◎考点3:网格中多边形的面积问题
例．（2023·全国·八年级专题练习）某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是( )．
A．B．C．D．
变式1．（2023·全国·八年级专题练习）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（ ）
A．7B．7.5C．8D．8.5
变式2．（2023·河北·西安市长安区第十中学八年级阶段练习）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．25B．12.5C．9D．8.5
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
◎考点4：多或少算一个角的问题
例．（2023·全国·八年级专题练习）在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（ ）
A．9B．10C．11D．10或11
变式1．（2023·广东·惠州一中八年级期中）一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
变式2．（2023·云南·永善县墨翰中学八年级阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7B．7或9C．8或9D．7或8或9
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（ ）
A．5B．5或6C．6或7或8D．7或8或9
◎考点5：多边形截角后的内角和问题
例．（2023·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学八年级期中）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（ ）．
A．15或16B．15或16或17C．16或17或18D．17或18或19
变式1．（2023·全国·八年级阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10或11B．11或12或13C．11或12D．10或11或12
变式2．（2023·新疆师范大学附属中学八年级期中）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
变式3．（2023·青海·西宁市海湖中学八年级阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数不可能的是( )
A．10B．11C．12D．13
◎考点6：复杂图形的内角和问题
例．（2023·湖南怀化·八年级期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
变式1.（2023·全国·八年级专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．
◎考点7：双角平分线问题
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；依次这样下去，则的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图7，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式3．（2023·安徽·马鞍山市成功学校八年级期中）（1） 如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+∠A．
（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：
①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系；
②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系．
◎考点8：A字模型
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
变式1．（2012·江苏南通·中考真题）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）
A．360ºB．250ºC．180ºD．140º
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则________．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________．
◎考点9：8字模型
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为
A．B．C．D．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，OAB和OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M
（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 °；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．
变式3．（2023·山西临汾·七年级期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．
（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．
（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是________；
（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________．
◎考点10：燕尾角模型
例．(2023·全国·八年级课时练习）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．
变式1．(2023·全国·八年级专题练习）如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；
②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）
③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．
变式2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，（1）若、的三等分线交于点、，请用表示、；（2）若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，.
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.
◎考点11：角平分线和高相结合模型
例．(2023·全国·八年级）（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：
①∠CAE的度数；
②∠DAE的度数．
（2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．
（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．
专题4 三角形的有关模型问题
【思维导图】
◎考点1：多边形截角后的边数问题
例．(2023·全国·八年级）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8
答案：C
【解析】
分析：
实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】
解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选C
【点睛】
本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
变式1．（2023·全国·八年级专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5B．6C．7D．8
答案：D
【解析】
分析：
根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案．
【详解】
如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．
故选：．
【点睛】
本题考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条领边，边数增加．
变式2．(2023·广西桂林·八年级期中）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
答案：A
【解析】
【详解】
试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）一个四边形截去一个角后内角个数是（ ）
A．3B．4C．5D．3、4、5
答案：D
【解析】
【详解】
如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形，
故内角个数是为3、4或5.
故选D.
◎考点2：多边形的周长问题
例．(2023·上海·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（ ）
A．3B．6C．12D．16
答案：B
【解析】
分析：
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】
∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
变式1．（2023·黑龙江·桦南实验中学八年级期中）如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（ ）
A．14B．15C．16D．17
答案：B
【解析】
分析：
由垂直平分线的性质和三角形周长的意义可得解答．
【详解】
解：由DE为AC的垂直平分线可得：AC=2EC=8，AD=DC，
∴△ ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，
∵△ ABC的周长为23，即AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23-AC=23-8=15，即△ ABD的周长为15，
故选B ．
【点睛】
本题考查垂直平分线与三角形周长的综合应用，灵活运用垂直平分线的性质是解题关键．
变式2．（2023·重庆市江津第五中学校八年级期中）如图，在菱形中，，则以为边的正方形的周长为( )
A．12B．8C．16D．20
答案：C
【解析】
分析：
证明是等边三角形，得出，求正方形周长
【详解】
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴正方形的周长为.
故选C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质以及正方形的周长公式，是较为常见的几何题目
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（ ）
A．34cmB．32cmC．30cmD．28cm
答案：C
【解析】
【详解】
图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，
所以正六边形的周长是正三角形的周长的,正六边形的周长为90×3×=180cm，
所以正六边形的边长是180÷6=30cm.
故选C.
◎考点3:网格中多边形的面积问题
例．（2023·全国·八年级专题练习）某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是( )．
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
【详解】
试题分析：运用面积公式、割补法求阴影部分面积，再与题目的要求比较．
解答：解：花坛面积为4m2，一半为2m2，
A、阴影部分面积为2×2÷2=2m2，
B、阴影部分面积为1×1+1×1÷2+1×2÷2=2.5m2，不符合要求；
C、阴影部分面积为1×1÷2×4=2m2，
D、把图中上面两个扇形移下来，刚回拼成两个小正方形，面积为2m2；
故选B．
考点: 组合图形的面积．
变式1．（2023·全国·八年级专题练习）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（ ）
A．7B．7.5C．8D．8.5
答案：A
【解析】
分析：
利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得．
【详解】
解：灰色三角形的面积为：4×4-×3×2-×1×4-×2×4=7，
故选：A．
【点睛】
本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．
变式2．（2023·河北·西安市长安区第十中学八年级阶段练习）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．25B．12.5C．9D．8.5
答案：B
【解析】
【详解】
试题分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．
试题解析：如图：
小方格都是边长为1的正方形，
∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25
S△AED=DE•AE=×1×2=1，
S△DCH=•CH•DH=×2×4=4，
S△BCG=BG•GC=×2×3=3，
S△AFB=FB•AF=×3×3=4．5．
S四边形ABCD=S□EFGH-S△AED-S△DCH-S△BCG-S△AFB=25-1-4-3-4．5=12．5．
故选B．
考点：三角形的面积．
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系．
【详解】
观察图形可得
∴，
故选：．
【点睛】
本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系．
◎考点4：多或少算一个角的问题
例．（2023·全国·八年级专题练习）在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（ ）
A．9B．10C．11D．10或11
答案：B
【解析】
分析：
设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．
【详解】
设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，
则(n-2)×180+x=1500，
(n-2)×180=8×180+60-x，
∵n-2为正整数，
∴60-x能被180整除，
又∵x＞0，
∴60-x=0，
∴(n-2)×180=8×180，
∴n=10，
故选B
【点睛】
本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．
变式1．（2023·广东·惠州一中八年级期中）一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
答案：D
【解析】
分析：
根据n边形的内角和是(n-2)•180°，可以得到内角和一定是180度的整数倍，即可求解．
【详解】
，
则正多边形的边数是8+1+2=11．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，掌握n边形的内角和公式(n-2)•180°是解题的关键．
变式2．（2023·云南·永善县墨翰中学八年级阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7B．7或9C．8或9D．7或8或9
答案：D
【解析】
分析：
求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】
解：设切去一角后的多边形为n边形．
则（n-2）•180°=1080°，
解得：n=8，
∵一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，
∴原多边形的边数可能为7或8或9，
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1、可能减少1或不变是解题的关键．
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（ ）
A．5B．5或6C．6或7或8D．7或8或9
答案：C
【解析】
分析：
利用多边形内角和公式：，得出截后的是几边形，分以下三种情况进行讨论：(1)不经过顶点，(2)经过一个顶点，(3)经过2个顶点，即可得出结果．
【详解】
解：设截后的多边形为边形
解得：
(1)顶点剪，则比原来边数多1
(2)过一个顶点剪，则和原来的边数相同
(3)过两个顶点剪，则比原来的边数少1
则原多边形的边数为6或7或8
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是多边形的内角和公式，正确的掌握多边形的内角和公式以及分情况进行讨论是解题的关键．
◎考点5：多边形截角后的内角和问题
例．（2023·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学八年级期中）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（ ）．
A．15或16B．15或16或17C．16或17或18D．17或18或19
答案：D
【解析】
分析：
因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．
【详解】
解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据题意得（n-2）•180°=2880°，
解得：n=18，
则多边形的边数是17，18，19．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．
变式1．（2023·全国·八年级阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10或11B．11或12或13C．11或12D．10或11或12
答案：D
【解析】
分析：
首先求出截角后的多边形边数，然后再根据切去的位置求原来的多边形边数．
【详解】
解：设截角后的多边形边数为n，
则有：（n-2）×180°=1620°，
解得：n=11，
如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加一条边，为12边形；
如图2，从角的一边中间部分，另一边与另一顶点连结点处截取一个角，边数不增也不减，是11边形；；
如图3，从另外两个顶点处切去一个角，边数减少1为10边形
∴可得原来多边形的边数为10或11或12：
故选D．
【点睛】
本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
变式2．（2023·新疆师范大学附属中学八年级期中）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
答案：B
【解析】
分析：
根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案．
【详解】
三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°，
①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件，
②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件，
③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件，
④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件，
∴符合条件的剪法是①③，
故选：B．
【点睛】
本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
变式3．（2023·青海·西宁市海湖中学八年级阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数不可能的是( )
A．10B．11C．12D．13
答案：D
【解析】
分析：
根据多边形内角公式求出截取一个角之后的多边形的边长，从而推出原来的多边形边数的可能性．
【详解】
解：根据多边形内角和公式，列式：，解得，
一个多边形截取一个角之后，有可能边数减少1，有可能边数不变，也有可能边数增加1，
∴原来的多边形边数可能是：12、11、10．
故选：D．
【点睛】
本题考查多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
◎考点6：复杂图形的内角和问题
例．（2023·湖南怀化·八年级期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
答案：0
【解析】
分析：
将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.
【详解】
如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，
∴=180°×2+360°=720°
如图2所示，将原六边形分成了四个三角形
∴=180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解.
变式1.（2023·全国·八年级专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________．
答案：
【解析】
分析：
（1）根据三角形内角和定理即可求得；
（2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得．
【详解】
解：（1）∵在中，，
在中，，
∴，
故答案为；
（2）如图，∵， ，
∴．
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
答案：900°
【解析】
分析：
根据多边形的内角和，可得答案．
【详解】
解：连EF，GI，如图
，
∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案为：900°．
【点睛】
本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．
答案：1080°
【解析】
分析：
连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．
【详解】
解：连KF，GI，如图，
∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．
故答案为：1080°．
【点睛】
本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
◎考点7：双角平分线问题
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
设，利用角平分线的性质得，再根据得，所以求解即可．
【详解】
解：设，则，
∵，
∴，
∵OB，OC平分和，
∴，即，解之得：，
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系进行求解．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；依次这样下去，则的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
答案：A
【解析】
分析：
根据角平分线的定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠PCE＝∠PBC＋∠P，于是得到（∠A＋∠ABC）＝∠PBC＋∠P＝∠ABC＋∠P，然后整理可得∠P＝∠A，同理得到结论．
【详解】
解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，
∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC＋∠P1，
∴（∠A＋∠ABC）＝∠P1BC＋∠P1＝∠ABC＋∠P1，
∴∠P1＝∠A＝×128°＝64°，
同理∠P2＝∠P1＝32°，
∴∠P6＝2°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图7，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
【解析】
分析：
先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：标注角度如图所示：
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°．
变式3．（2023·安徽·马鞍山市成功学校八年级期中）（1） 如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+∠A．
（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：
①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系；
②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系．
答案：（1）证明见解析；（2）①∠A=180°−2∠D，理由见解析；②∠A=2∠D，理由见解析
【解析】
分析：
（1）首先利用角平分线性质得出∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，再利用三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，据此进一步加以变形求证即可；
（2）①首先理由角平分线性质得出∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A−2(∠DBC+∠DCB)=-180°，据此进一步加以分析证明即可；②利用三角形外角性质可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分线性质得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再结合∠A+∠ABC=∠ACE进一步证明即可.
【详解】
（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)
=180°−(∠ABC+∠ACB)
=180°−(180°−∠A)
=180°−90°+∠A
=90°+∠A，
即：∠D=90°+∠A；
（2）①∠A=180°−2∠D，理由如下：
∵BD，CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，
∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=180°−(∠A+∠ACB)=180°−2∠DBC，
∠ACB=180°−(∠A+∠ABC)=180°−2∠DCB，
∴∠A+180°−2∠DBC+180°−2∠DCB=180°，
∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=−180°，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−∠D，
∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=∠A−2(180°−∠D)=−180°，
即：∠A−360°+2∠D=−180°，
∴2∠D=180°−∠A，
即：∠A=180°−2∠D；
②∠A=2∠D，理由如下：
∵∠DCE是△ABC的一个外角，
∴∠DCE=∠DBC+∠D，
∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DCE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，
∴∠A=2∠D.
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
◎考点8：A字模型
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．
【详解】
解：，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
变式1．（2012·江苏南通·中考真题）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）
A．360ºB．250ºC．180ºD．140º
答案：B
【解析】
分析：
根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．
【详解】
解：∵△ABC中，∠C=70°，
∴∠A+∠B=180°-∠C =110°，
∴∠1+∠2=360°-110°=250°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键.
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则________．
答案：61°
【解析】
分析：
先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．
【详解】
解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案为：61°．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________．
答案：
【解析】
分析：
根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】
解：如图
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
◎考点9：8字模型
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
答案：D
【解析】
分析：
利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】
∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
【详解】
∵如图可知，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
故选．
点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此题难度不大．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，OAB和OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M
（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 °；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．
答案：（1）；（2）；（3）
【解析】
分析：
（1）如图1，设交于，只要证明，推出，由，可得；
（2）如图2，设交于，只要证明，推出，由，可得；
（3）如图3，设交于，只要证明，推出，由，可得，可得；
【详解】
解：（1）如图1中，设交于
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
（2）如图2，设交于，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
（3）如图3，设交于，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定，三角形内角和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用“8字型”证明角相等．
变式3．（2023·山西临汾·七年级期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．
（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．
（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是________；
（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________．
答案：（1）见解析；（2）26°；（3）；（4）
【解析】
分析：
（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；
（2）设，，解方程即可得到答案；
（3）根据直线平分，平分的外角，得到
，从而可以得到180°，再根据∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D得到即可求解；
（4）连接PB，PD根据180°，180°得到360°，同理得到：360°，再根据180°，180°，，，即可求解.
【详解】
解：（1）180°，180°，
．
，
；
（2），分别平分，，设，，
则有，
，
（36°+16°）=26°
（3）直线平分，平分的外角，
，，
∴180°-，
∴180°
∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D
∴
∴
∴180°，
即90°．
（4）连接PB，PD
直线平分的外角，平分的外角，
，，
∵180°，180°
∴360°
同理得到：360°
∴720°
∴720°
∵180°，180°
∴360°，
180°-
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
◎考点10：燕尾角模型
例．(2023·全国·八年级课时练习）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．
答案：（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0
【解析】
分析：
（1）①根据题干中的等式直接计算即可；
②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入计算即可；
（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入计算可得；
②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入计算即可；
③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）计算可得；
④根据两个凹四边形ABOD和ABOC得到两个等式，联立可得结论．
【详解】
解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1
=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）
=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=∠BOC-（120°-50°）
=120°-35°
=85°；
②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=120°-（120°-50°）
=120°-21°
=99°；
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）
=180°-（∠BOC-∠C）
=180°-（120°-44°）
=142°；
④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，
∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，
联立得：∠B-∠C+2∠D=0．
【点睛】
本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质．
变式1．(2023·全国·八年级专题练习）如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；
②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）
③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．
答案：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70
【解析】
分析：
（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；
②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由②方法，进而可得答案．
【详解】
解：（1）连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．
故答案是：40；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB
∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；
③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，
∴(140﹣x)＋x＝77，
∴14﹣x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A为70°．
故答案是：70．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
变式2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，（1）若、的三等分线交于点、，请用表示、；（2）若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，.
答案：（1），；（2），.
【解析】
分析：
（1）根据三角形内角和可得，再根据、的三等分线交于点、，可得然后根据三角形内角和定理即可用含表示、；
（2）根据（1）中所体现的规律解答即可.
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵、的三等分线交于点、，
∴
∴，
；
（2）由（1）可知，
.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及角的n等分线的性质.熟练应用三角形内角和定理求角的度数是解题的关键.
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.
答案：.
【解析】
分析：
根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出
【详解】
解：由燕尾角的基本图形与结论可得，
①
②
是的平分线，是的平分线
，．
①-②得，．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．
◎考点13：角平分线和高相结合模型
例．(2023·全国·八年级）（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：
①∠CAE的度数；
②∠DAE的度数．
（2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．
（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．
答案：（1）①40°；②10°；（2）10°；（3）∠DFE＝（β﹣α），见解析
【解析】
分析：
（1）如图1中，求出∠BAD，∠BAE，根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD即可解决问题．
（2）如图2中，作AH⊥BC于H．利用（1）中结论，再证明∠DFE＝∠HAE即可．
（3）结论：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．由∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C）推出∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），由AH∥FD，推出∠DFE＝∠HAE，即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图（1）．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
而AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°；
（2）如图2中，作AH⊥BC于H．
由（1）可知∠HAE＝10°，
∵AH∥EF，
∴∠DFE＝∠HAE＝10°
（3）结论：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．理由如下：
如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．
∵∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C），
∴∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）
＝（∠B﹣∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE＝∠HAE，
∴∠DFE＝（β-α）．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质．
【思维导图】
◎考点1：多边形截角后的边数问题
例．(2023·全国·八年级）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8
变式1．（2023·全国·八年级专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5B．6C．7D．8
变式2．(2023·广西桂林·八年级期中）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）一个四边形截去一个角后内角个数是（ ）
A．3B．4C．5D．3、4、5
◎考点2：多边形的周长问题
例．(2023·上海·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（ ）
A．3B．6C．12D．16
变式1．（2023·黑龙江·桦南实验中学八年级期中）如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（ ）
A．14B．15C．16D．17
变式2．（2023·重庆市江津第五中学校八年级期中）如图，在菱形中，，则以为边的正方形的周长为( )
A．12B．8C．16D．20
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（ ）
A．34cmB．32cmC．30cmD．28cm
◎考点3:网格中多边形的面积问题
例．（2023·全国·八年级专题练习）某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是( )．
A．B．C．D．
变式1．（2023·全国·八年级专题练习）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（ ）
A．7B．7.5C．8D．8.5
变式2．（2023·河北·西安市长安区第十中学八年级阶段练习）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．25B．12.5C．9D．8.5
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
◎考点4：多或少算一个角的问题
例．（2023·全国·八年级专题练习）在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（ ）
A．9B．10C．11D．10或11
变式1．（2023·广东·惠州一中八年级期中）一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
变式2．（2023·云南·永善县墨翰中学八年级阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7B．7或9C．8或9D．7或8或9
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（ ）
A．5B．5或6C．6或7或8D．7或8或9
◎考点5：多边形截角后的内角和问题
例．（2023·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学八年级期中）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（ ）．
A．15或16B．15或16或17C．16或17或18D．17或18或19
变式1．（2023·全国·八年级阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10或11B．11或12或13C．11或12D．10或11或12
变式2．（2023·新疆师范大学附属中学八年级期中）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
变式3．（2023·青海·西宁市海湖中学八年级阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数不可能的是( )
A．10B．11C．12D．13
◎考点6：复杂图形的内角和问题
例．（2023·湖南怀化·八年级期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
变式1.（2023·全国·八年级专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．
◎考点7：双角平分线问题
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；依次这样下去，则的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图7，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式3．（2023·安徽·马鞍山市成功学校八年级期中）（1） 如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+∠A．
（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：
①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系；
②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系．
◎考点8：A字模型
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
变式1．（2012·江苏南通·中考真题）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）
A．360ºB．250ºC．180ºD．140º
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则________．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________．
◎考点9：8字模型
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为
A．B．C．D．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，OAB和OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M
（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 °；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．
变式3．（2023·山西临汾·七年级期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．
（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．
（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是________；
（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________．
◎考点10：燕尾角模型
例．(2023·全国·八年级课时练习）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．
变式1．(2023·全国·八年级专题练习）如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；
②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）
③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．
变式2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，（1）若、的三等分线交于点、，请用表示、；（2）若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，.
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.
◎考点11：角平分线和高相结合模型
例．(2023·全国·八年级）（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：
①∠CAE的度数；
②∠DAE的度数．
（2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．
（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．
专题4 三角形的有关模型问题
【思维导图】
◎考点1：多边形截角后的边数问题
例．(2023·全国·八年级）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8
答案：C
【解析】
分析：
实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】
解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选C
【点睛】
本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
变式1．（2023·全国·八年级专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5B．6C．7D．8
答案：D
【解析】
分析：
根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案．
【详解】
如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．
故选：．
【点睛】
本题考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条领边，边数增加．
变式2．(2023·广西桂林·八年级期中）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
答案：A
【解析】
【详解】
试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）一个四边形截去一个角后内角个数是（ ）
A．3B．4C．5D．3、4、5
答案：D
【解析】
【详解】
如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形，
故内角个数是为3、4或5.
故选D.
◎考点2：多边形的周长问题
例．(2023·上海·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（ ）
A．3B．6C．12D．16
答案：B
【解析】
分析：
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】
∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
变式1．（2023·黑龙江·桦南实验中学八年级期中）如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（ ）
A．14B．15C．16D．17
答案：B
【解析】
分析：
由垂直平分线的性质和三角形周长的意义可得解答．
【详解】
解：由DE为AC的垂直平分线可得：AC=2EC=8，AD=DC，
∴△ ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，
∵△ ABC的周长为23，即AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23-AC=23-8=15，即△ ABD的周长为15，
故选B ．
【点睛】
本题考查垂直平分线与三角形周长的综合应用，灵活运用垂直平分线的性质是解题关键．
变式2．（2023·重庆市江津第五中学校八年级期中）如图，在菱形中，，则以为边的正方形的周长为( )
A．12B．8C．16D．20
答案：C
【解析】
分析：
证明是等边三角形，得出，求正方形周长
【详解】
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴正方形的周长为.
故选C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质以及正方形的周长公式，是较为常见的几何题目
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（ ）
A．34cmB．32cmC．30cmD．28cm
答案：C
【解析】
【详解】
图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，
所以正六边形的周长是正三角形的周长的,正六边形的周长为90×3×=180cm，
所以正六边形的边长是180÷6=30cm.
故选C.
◎考点3:网格中多边形的面积问题
例．（2023·全国·八年级专题练习）某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是( )．
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
【详解】
试题分析：运用面积公式、割补法求阴影部分面积，再与题目的要求比较．
解答：解：花坛面积为4m2，一半为2m2，
A、阴影部分面积为2×2÷2=2m2，
B、阴影部分面积为1×1+1×1÷2+1×2÷2=2.5m2，不符合要求；
C、阴影部分面积为1×1÷2×4=2m2，
D、把图中上面两个扇形移下来，刚回拼成两个小正方形，面积为2m2；
故选B．
考点: 组合图形的面积．
变式1．（2023·全国·八年级专题练习）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（ ）
A．7B．7.5C．8D．8.5
答案：A
【解析】
分析：
利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得．
【详解】
解：灰色三角形的面积为：4×4-×3×2-×1×4-×2×4=7，
故选：A．
【点睛】
本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．
变式2．（2023·河北·西安市长安区第十中学八年级阶段练习）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．25B．12.5C．9D．8.5
答案：B
【解析】
【详解】
试题分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．
试题解析：如图：
小方格都是边长为1的正方形，
∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25
S△AED=DE•AE=×1×2=1，
S△DCH=•CH•DH=×2×4=4，
S△BCG=BG•GC=×2×3=3，
S△AFB=FB•AF=×3×3=4．5．
S四边形ABCD=S□EFGH-S△AED-S△DCH-S△BCG-S△AFB=25-1-4-3-4．5=12．5．
故选B．
考点：三角形的面积．
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系．
【详解】
观察图形可得
∴，
故选：．
【点睛】
本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系．
◎考点4：多或少算一个角的问题
例．（2023·全国·八年级专题练习）在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（ ）
A．9B．10C．11D．10或11
答案：B
【解析】
分析：
设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．
【详解】
设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，
则(n-2)×180+x=1500，
(n-2)×180=8×180+60-x，
∵n-2为正整数，
∴60-x能被180整除，
又∵x＞0，
∴60-x=0，
∴(n-2)×180=8×180，
∴n=10，
故选B
【点睛】
本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．
变式1．（2023·广东·惠州一中八年级期中）一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
答案：D
【解析】
分析：
根据n边形的内角和是(n-2)•180°，可以得到内角和一定是180度的整数倍，即可求解．
【详解】
，
则正多边形的边数是8+1+2=11．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，掌握n边形的内角和公式(n-2)•180°是解题的关键．
变式2．（2023·云南·永善县墨翰中学八年级阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7B．7或9C．8或9D．7或8或9
答案：D
【解析】
分析：
求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】
解：设切去一角后的多边形为n边形．
则（n-2）•180°=1080°，
解得：n=8，
∵一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，
∴原多边形的边数可能为7或8或9，
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1、可能减少1或不变是解题的关键．
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（ ）
A．5B．5或6C．6或7或8D．7或8或9
答案：C
【解析】
分析：
利用多边形内角和公式：，得出截后的是几边形，分以下三种情况进行讨论：(1)不经过顶点，(2)经过一个顶点，(3)经过2个顶点，即可得出结果．
【详解】
解：设截后的多边形为边形
解得：
(1)顶点剪，则比原来边数多1
(2)过一个顶点剪，则和原来的边数相同
(3)过两个顶点剪，则比原来的边数少1
则原多边形的边数为6或7或8
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是多边形的内角和公式，正确的掌握多边形的内角和公式以及分情况进行讨论是解题的关键．
◎考点5：多边形截角后的内角和问题
例．（2023·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学八年级期中）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（ ）．
A．15或16B．15或16或17C．16或17或18D．17或18或19
答案：D
【解析】
分析：
因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．
【详解】
解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据题意得（n-2）•180°=2880°，
解得：n=18，
则多边形的边数是17，18，19．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．
变式1．（2023·全国·八年级阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10或11B．11或12或13C．11或12D．10或11或12
答案：D
【解析】
分析：
首先求出截角后的多边形边数，然后再根据切去的位置求原来的多边形边数．
【详解】
解：设截角后的多边形边数为n，
则有：（n-2）×180°=1620°，
解得：n=11，
如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加一条边，为12边形；
如图2，从角的一边中间部分，另一边与另一顶点连结点处截取一个角，边数不增也不减，是11边形；；
如图3，从另外两个顶点处切去一个角，边数减少1为10边形
∴可得原来多边形的边数为10或11或12：
故选D．
【点睛】
本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
变式2．（2023·新疆师范大学附属中学八年级期中）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
答案：B
【解析】
分析：
根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案．
【详解】
三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°，
①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件，
②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件，
③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件，
④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件，
∴符合条件的剪法是①③，
故选：B．
【点睛】
本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
变式3．（2023·青海·西宁市海湖中学八年级阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数不可能的是( )
A．10B．11C．12D．13
答案：D
【解析】
分析：
根据多边形内角公式求出截取一个角之后的多边形的边长，从而推出原来的多边形边数的可能性．
【详解】
解：根据多边形内角和公式，列式：，解得，
一个多边形截取一个角之后，有可能边数减少1，有可能边数不变，也有可能边数增加1，
∴原来的多边形边数可能是：12、11、10．
故选：D．
【点睛】
本题考查多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
◎考点6：复杂图形的内角和问题
例．（2023·湖南怀化·八年级期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
答案：0
【解析】
分析：
将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.
【详解】
如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，
∴=180°×2+360°=720°
如图2所示，将原六边形分成了四个三角形
∴=180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解.
变式1.（2023·全国·八年级专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________．
答案：
【解析】
分析：
（1）根据三角形内角和定理即可求得；
（2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得．
【详解】
解：（1）∵在中，，
在中，，
∴，
故答案为；
（2）如图，∵， ，
∴．
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
答案：900°
【解析】
分析：
根据多边形的内角和，可得答案．
【详解】
解：连EF，GI，如图
，
∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案为：900°．
【点睛】
本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．
答案：1080°
【解析】
分析：
连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．
【详解】
解：连KF，GI，如图，
∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．
故答案为：1080°．
【点睛】
本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
◎考点7：双角平分线问题
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
设，利用角平分线的性质得，再根据得，所以求解即可．
【详解】
解：设，则，
∵，
∴，
∵OB，OC平分和，
∴，即，解之得：，
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系进行求解．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；依次这样下去，则的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
答案：A
【解析】
分析：
根据角平分线的定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠PCE＝∠PBC＋∠P，于是得到（∠A＋∠ABC）＝∠PBC＋∠P＝∠ABC＋∠P，然后整理可得∠P＝∠A，同理得到结论．
【详解】
解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，
∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC＋∠P1，
∴（∠A＋∠ABC）＝∠P1BC＋∠P1＝∠ABC＋∠P1，
∴∠P1＝∠A＝×128°＝64°，
同理∠P2＝∠P1＝32°，
∴∠P6＝2°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图7，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
【解析】
分析：
先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：标注角度如图所示：
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°．
变式3．（2023·安徽·马鞍山市成功学校八年级期中）（1） 如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+∠A．
（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：
①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系；
②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系．
答案：（1）证明见解析；（2）①∠A=180°−2∠D，理由见解析；②∠A=2∠D，理由见解析
【解析】
分析：
（1）首先利用角平分线性质得出∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，再利用三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，据此进一步加以变形求证即可；
（2）①首先理由角平分线性质得出∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A−2(∠DBC+∠DCB)=-180°，据此进一步加以分析证明即可；②利用三角形外角性质可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分线性质得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再结合∠A+∠ABC=∠ACE进一步证明即可.
【详解】
（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)
=180°−(∠ABC+∠ACB)
=180°−(180°−∠A)
=180°−90°+∠A
=90°+∠A，
即：∠D=90°+∠A；
（2）①∠A=180°−2∠D，理由如下：
∵BD，CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，
∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=180°−(∠A+∠ACB)=180°−2∠DBC，
∠ACB=180°−(∠A+∠ABC)=180°−2∠DCB，
∴∠A+180°−2∠DBC+180°−2∠DCB=180°，
∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=−180°，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−∠D，
∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=∠A−2(180°−∠D)=−180°，
即：∠A−360°+2∠D=−180°，
∴2∠D=180°−∠A，
即：∠A=180°−2∠D；
②∠A=2∠D，理由如下：
∵∠DCE是△ABC的一个外角，
∴∠DCE=∠DBC+∠D，
∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DCE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，
∴∠A=2∠D.
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
◎考点8：A字模型
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．
【详解】
解：，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
变式1．（2012·江苏南通·中考真题）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）
A．360ºB．250ºC．180ºD．140º
答案：B
【解析】
分析：
根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．
【详解】
解：∵△ABC中，∠C=70°，
∴∠A+∠B=180°-∠C =110°，
∴∠1+∠2=360°-110°=250°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键.
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则________．
答案：61°
【解析】
分析：
先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．
【详解】
解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案为：61°．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________．
答案：
【解析】
分析：
根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】
解：如图
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
◎考点9：8字模型
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
答案：D
【解析】
分析：
利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】
∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
【详解】
∵如图可知，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
故选．
点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此题难度不大．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，OAB和OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M
（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 °；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．
答案：（1）；（2）；（3）
【解析】
分析：
（1）如图1，设交于，只要证明，推出，由，可得；
（2）如图2，设交于，只要证明，推出，由，可得；
（3）如图3，设交于，只要证明，推出，由，可得，可得；
【详解】
解：（1）如图1中，设交于
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
（2）如图2，设交于，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
（3）如图3，设交于，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定，三角形内角和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用“8字型”证明角相等．
变式3．（2023·山西临汾·七年级期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．
（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．
（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是________；
（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________．
答案：（1）见解析；（2）26°；（3）；（4）
【解析】
分析：
（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；
（2）设，，解方程即可得到答案；
（3）根据直线平分，平分的外角，得到
，从而可以得到180°，再根据∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D得到即可求解；
（4）连接PB，PD根据180°，180°得到360°，同理得到：360°，再根据180°，180°，，，即可求解.
【详解】
解：（1）180°，180°，
．
，
；
（2），分别平分，，设，，
则有，
，
（36°+16°）=26°
（3）直线平分，平分的外角，
，，
∴180°-，
∴180°
∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D
∴
∴
∴180°，
即90°．
（4）连接PB，PD
直线平分的外角，平分的外角，
，，
∵180°，180°
∴360°
同理得到：360°
∴720°
∴720°
∵180°，180°
∴360°，
180°-
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
◎考点10：燕尾角模型
例．(2023·全国·八年级课时练习）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．
答案：（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0
【解析】
分析：
（1）①根据题干中的等式直接计算即可；
②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入计算即可；
（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入计算可得；
②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入计算即可；
③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）计算可得；
④根据两个凹四边形ABOD和ABOC得到两个等式，联立可得结论．
【详解】
解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1
=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）
=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=∠BOC-（120°-50°）
=120°-35°
=85°；
②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=120°-（120°-50°）
=120°-21°
=99°；
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）
=180°-（∠BOC-∠C）
=180°-（120°-44°）
=142°；
④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，
∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，
联立得：∠B-∠C+2∠D=0．
【点睛】
本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质．
变式1．(2023·全国·八年级专题练习）如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；
②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）
③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．
答案：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70
【解析】
分析：
（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；
②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由②方法，进而可得答案．
【详解】
解：（1）连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．
故答案是：40；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB
∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；
③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，
∴(140﹣x)＋x＝77，
∴14﹣x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A为70°．
故答案是：70．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
变式2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，（1）若、的三等分线交于点、，请用表示、；（2）若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，.
答案：（1），；（2），.
【解析】
分析：
（1）根据三角形内角和可得，再根据、的三等分线交于点、，可得然后根据三角形内角和定理即可用含表示、；
（2）根据（1）中所体现的规律解答即可.
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵、的三等分线交于点、，
∴
∴，
；
（2）由（1）可知，
.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及角的n等分线的性质.熟练应用三角形内角和定理求角的度数是解题的关键.
变式3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.
答案：.
【解析】
分析：
根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出
【详解】
解：由燕尾角的基本图形与结论可得，
①
②
是的平分线，是的平分线
，．
①-②得，．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．
◎考点13：角平分线和高相结合模型
例．(2023·全国·八年级）（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：
①∠CAE的度数；
②∠DAE的度数．
（2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．
（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．
答案：（1）①40°；②10°；（2）10°；（3）∠DFE＝（β﹣α），见解析
【解析】
分析：
（1）如图1中，求出∠BAD，∠BAE，根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD即可解决问题．
（2）如图2中，作AH⊥BC于H．利用（1）中结论，再证明∠DFE＝∠HAE即可．
（3）结论：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．由∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C）推出∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），由AH∥FD，推出∠DFE＝∠HAE，即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图（1）．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
而AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°；
（2）如图2中，作AH⊥BC于H．
由（1）可知∠HAE＝10°，
∵AH∥EF，
∴∠DFE＝∠HAE＝10°
（3）结论：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．理由如下：
如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．
∵∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C），
∴∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）
＝（∠B﹣∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE＝∠HAE，
∴∠DFE＝（β-α）．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质．
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