人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题08角平分线的性质和判定(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题08角平分线的性质和判定(原卷版+解析)，共20页。


◎题型1：角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
例．(2023·广西玉林·八年级期末）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ）
A．∠CPO＝∠DOPB．PC＝PDC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD
变式1．(2023·辽宁辽阳·七年级期末）如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（ ）
A．18B．24C．36D．72
变式2．(2023·广西北海·八年级期末）如图，平分，垂直于E，，，则的面积为（ ）
A．7B．8C．9D．10
变式3．(2023·陕西榆林·七年级期末）如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线，于点E ，于点F，若DE＝3，AB＝7，BC＝9，求△ABC的面积．
◎题型2：作角平分线
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
例．(2023·河南洛阳·八年级期末）用直尺和圆规做的平分线时，下列哪个不是正确步骤（ ）
A．在射线、上，分别用圆规截取、，使
B．分别以点和点为圆心，适当长（大于线段长的一半）为半径用圆规做圆弧，在内，两弧相交于点
C．用直尺做直线
D．用直尺做射线
变式1 规在BC边上找一点D，使AD=BD，下列作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·山东聊城·一模）如图，已知，，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度数为（ ）
A．26°B．36°C．27°D．22°
变式3．(2023·江西省吉安市第二中学八年级期中）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D为AB中点，DEAC，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
(1)在图1中，作∠BAC的平分线AM；
(2)在图2中，作AC的中点F．
◎题型3：角平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
例．(2023·福建漳州·八年级期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
变式1．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在钝角中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．平分
变式2．(2023·安徽安庆·八年级期末）三角形内部到三边距离相等的点是（ ）
A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三内角平分线的交点D．三边上高的交点
变式3．（2023·江西·新余四中八年级期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，BE＝CD．
求证：
(1)Rt△BCERt△CBD；
(2)AF平分∠BAC．
◎题型4：角平分线的实际应用
例．（2023·湖南长沙·八年级期中）如图：AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ）
A．△ABC三条角平分线的交点位置B．△ABC三条高的交点位置
C．△ABC三边的中垂线的交点位置D．以上说法都不正确
变式1．(2023·海南华侨中学八年级期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DE=3，△ABC的面积为15，AB＝6，则AC的长是（ ）
A．8B．6C．5D．4
变式2．（2023·广西玉林·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的值是（ ）
A．3cmB．8cmC．6cmD．5cm
变式3．(2023·安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，平分，C，D分别在上，若，求证：．
专题08 角平分线的性质和判定
【思维导图】
◎题型1：角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
例．(2023·广西玉林·八年级期末）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ）
A．∠CPO＝∠DOPB．PC＝PDC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD
答案：A
【解析】
分析：
先根据角平分线的性质得出PC＝PD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质得出∠CPO＝∠DPO，OC＝OD．
【详解】
解：∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，
∴PC＝PD，故B正确；
在Rt△OCP与Rt△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP（HL），
∴∠CPO＝∠DPO，OC＝OD，故C、D正确．
不能得出∠CPO＝∠DOP，故A错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质，得出PC＝PD是解题的关键．
变式1．(2023·辽宁辽阳·七年级期末）如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（ ）
A．18B．24C．36D．72
答案：C
【解析】
分析：
过D作DF⊥AB于F，由角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式即可求出ΔBDE的面积．
【详解】
解：过D作DF⊥AB于F，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵BD平分∠ABC，CD＝6，
∴DF＝CD＝6，
∵点E为AB的中点，AB=24，
∴BE=12，
∴ΔBDE的面积＝BE⋅DF＝×12×6＝36，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
变式2．(2023·广西北海·八年级期末）如图，平分，垂直于E，，，则的面积为（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案：C
【解析】
分析：
过点D作DF⊥BA交BA延长于F，利用角平分线的性质求得DF=DE=3，即可用三角形面积公式求解．
【详解】
解：如图，过点D作DF⊥BA交BA延长于F，
∵平分，垂直于E，DF⊥BA交BA延长于F，
∴DF=DE=3，
∴S△ABD==×6×3=9，
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
变式3．(2023·陕西榆林·七年级期末）如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线，于点E ，于点F，若DE＝3，AB＝7，BC＝9，求△ABC的面积．
答案：24
【解析】
分析：
由BD是△ABC中∠ABC的平分线，于点E ，于点F，得到DE＝DF＝3，由即可得到答案．
【详解】
解：∵BD是△ABC中∠ABC的平分线，于点E ，于点F，
∴DE＝DF＝3，
∵AB＝7，BC＝9，
∴＝24，
即△ABC的面积是24．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
◎题型2：作角平分线
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
例．(2023·河南洛阳·八年级期末）用直尺和圆规做的平分线时，下列哪个不是正确步骤（ ）
A．在射线、上，分别用圆规截取、，使
B．分别以点和点为圆心，适当长（大于线段长的一半）为半径用圆规做圆弧，在内，两弧相交于点
C．用直尺做直线
D．用直尺做射线
答案：C
【解析】
分析：
根据作一个角的平分线的步骤判断即可．
【详解】
解：作∠AOB的平分线的步骤：
①在射线、上，分别用圆规截取、，使．
②分别以点和点为圆心，适当长（大于线段长的一半）为半径用圆规做圆弧，在内，两弧相交于点．
③用直尺做射线OC．
故选项A，B，D正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
变式1 规在BC边上找一点D，使AD=BD，下列作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据“要在BC边上找一点D，使AD=BD”知点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，据此求解即可．
【详解】
解：A、由作图知，AD⊥BC，不能得到AD=BD，故该选项不符合题意；
B、由作图知，AD平分∠BAC，不能得到AD=BD，故该选项不符合题意；
C、由作图知，CA=CD，不能得到AD=BD，故该选项不符合题意；
D、由作图知，点D是线段AB垂直平分线与BC的交点，根据直角三角形斜边中线的性质知AD=BD，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查作图—基本作图，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图和性质．
变式2．(2023·山东聊城·一模）如图，已知，，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度数为（ ）
A．26°B．36°C．27°D．22°
答案：C
【解析】
分析：
根据尺规作图的痕迹可知：BC平分，结合，可得，进而即可求解．
【详解】
解：由图中尺规作图的痕迹可知：BC平分
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了尺规作角平分线以及平行线的性质，根据尺规作图的痕迹，得到BC平分是解题的关键．
变式3．(2023·江西省吉安市第二中学八年级期中）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D为AB中点，DEAC，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
(1)在图1中，作∠BAC的平分线AM；
(2)在图2中，作AC的中点F．
答案：(1)见解析
(2)见解析
【解析】
分析：
．
（1）由题意得，三角形ABC是等腰三角形，D为AB中点，DE∥AC，延长ED与BC交于点M，连接AM，即为∠BAC的平分线；
（2）由（1）可知，BC，AB得中点，连接CD，即可得三角形ABC得重心，点B与重心所在直线交AC与点F，即点F就是AC得中点．
(1)
解：由题意得，三角形ABC是等腰三角形，D为AB中点，DE∥AC，
延长ED与BC交于点M，连接AM，即为∠BAC的平分线，如图所示：
(2)
解：如图所示：由（1）可知，BC，AB得中点，连接CD，即可得三角形ABC得重心，点B与重心所在直线交AC与点F，即点F就是AC得中点．
【点睛】
本题考查了尺规作图，三角形得角平分线，中点，解题的关键是掌握这些知识点．
◎题型3：角平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
例．(2023·福建漳州·八年级期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
答案：A
【解析】
分析：
过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】
如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
变式1．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在钝角中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．平分
答案：D
【解析】
分析：
根据旋转可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，结合∠BAC=35°，可知∠BAE=35°，则可证得△CAB≌△EAB，即可作答．
【详解】
根据旋转的性质可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=70°-35°=35°，AC=AE，AB=AD，BC=DE，∠ABC=∠ADE，故A、B错误，
∴∠CAB=∠EAB，
∵AC=AE，AB=AB，
∴△CAB≌△EAB，
∴△EAB≌△EAD
∴∠BEA=∠DEA，
∴AE平分∠BED，故D正确，
∴AD+BE=AB+BE＞AE=AC，故C错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，求出∠BAE=35°是解答本题的关键．
变式2．(2023·安徽安庆·八年级期末）三角形内部到三边距离相等的点是（ ）
A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三内角平分线的交点D．三边上高的交点
答案：C
【解析】
分析：
根据角平分线的判定定理可得：到三角形三边距离相等的点应在三角形三个内角的角平分线上，即可得出结论．
【详解】
解：如图，
∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，
∴点O在∠A的平分线上，
同理可证：点O在∠B的平分线上，点O在∠C的平分线上，
即O是三条角平分线的交点，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，角平分线，垂直平分线，高等知识点，注意：三角形的三个角的平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
变式3．（2023·江西·新余四中八年级期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，BE＝CD．
求证：
(1)Rt△BCERt△CBD；
(2)AF平分∠BAC．
答案：(1)详见解析
(2)详见解析
【解析】
分析：
（1）根据高的定义求出∠BEC＝∠CDB＝90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，证得EF＝DF，利用角平分线性质逆定理即可得证．
(1)
证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCE和△CBD是直角三角形，
在Rt△BCE和Rt△CBD中，
，
∴Rt△BCERt△CBD（HL）；
(2)
解：∵Rt△BCERt△CBD，
∴CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，
∴CF＝BF，
∴CE﹣CF＝BD﹣BF，
∴EF＝DF，
又∵EFAB，DFAC，
∴点F在∠BAC的平分线上，
∴AF平分∠BAC．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质的逆定理是解题的关键．
◎题型4：角平分线的实际应用
例．（2023·湖南长沙·八年级期中）如图：AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ）
A．△ABC三条角平分线的交点位置B．△ABC三条高的交点位置
C．△ABC三边的中垂线的交点位置D．以上说法都不正确
答案：A
【解析】
分析：
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
【详解】
解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴加油站应该在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：A
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
变式1．(2023·海南华侨中学八年级期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DE=3，△ABC的面积为15，AB＝6，则AC的长是（ ）
A．8B．6C．5D．4
答案：D
【解析】
分析：
过点D作DF⊥AC，根据角平分线的性质得出DE＝DF＝3，根据三角形ABC的面积为15，求出AC的值即可．
【详解】
过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝3，
∴，
解得AC＝4．故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
变式2．（2023·广西玉林·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的值是（ ）
A．3cmB．8cmC．6cmD．5cm
答案：D
【解析】
分析：
过点D作，交AB于点E；根据角平分线的性质，得，结合垂线的性质，得，从而完成求解．
【详解】
如图，过点D作，交AB于点E
∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，
∴
∵且点D到AB的距离为3cm
∴
∵BC＝8cm
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，从而完成求解．
变式3．(2023·安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，平分，C，D分别在上，若，求证：．
答案：见解析
【解析】
分析：
如图，作辅助线，证明△PMC≌△PND，得到PM=PN，即可解决问题．
【详解】
证明：过P作PE⊥OA于点E，过P作PF⊥OB于点F，
则∠PEO=∠PFO=∠PFD=90°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠1=∠2，
在△POE和△POF中
，
≌，
∴PE=PF，
∵∠PCO+∠PDO=180°，∠PCO+∠PCE=180°，
∴∠PCE=∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
∴△PEC≌△PFD，
∴PC=PD．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线；牢固掌握定理是灵活运用、解题的基础和关键．