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人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题11轴对称和画轴对称图形(人教版)(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题11轴对称和画轴对称图形(人教版)(原卷版+解析)，共34页。
◎考点题型1 轴对称图形的概念
1、轴对称图形
定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
备注：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
2、轴对称
（1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
备注：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
（2）轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
例．（内蒙古自治区呼伦贝尔市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）下面这些图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
变式1．(2023·河南南阳·七年级期末）下面关于2022年北京冬奥会的卡通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·内蒙古赤峰·八年级期末）下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
变式3．(2023·四川成都·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．全等多边形的对应边相等，对应角相等
B．正八边形的外角和大于正五边形的外角和
C．三角形的中线、角平分线，高线都在该三角形内部
D．两个图形成轴对称，它们的每组对应点连线段所在直线相交于同一点
◎考点题型2 轴对称和轴对称图形性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
例．（2023·安徽安庆·八年级期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·北京·八年级期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·陕西渭南·三模）如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
◎考点题型3 轴对称的折叠问题
例．(2023·山东威海·七年级期末）如图，在△ABC中，AB=10，BC=7，AC=6，沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．6B．7C．9D．10
变式1．(2023·山东聊城·八年级期末）如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·广西贵港·八年级期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处，若，则为（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·浙江衢州·七年级期末）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
◎考点题型4 对称轴
例．(2023·湖北荆州·八年级期末）下列图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·广东佛山·七年级期末）下面图形中，对称轴最少的是（ ）
A．正方形B．长与宽不相等的长方形C．等边三角形D．圆
变式2．(2023·湖南株洲·七年级期末）下列轴对称图形中，只有1条对称轴的是（ ）
A．等腰三角形B．正方形C．长方形D．圆
变式3．(2023·河北·新河县教师发展中心一模）如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，对称轴最多的是（ ）
A．三个视图都是B．主视图C．左视图D．俯视图
◎考点题型5 垂直平分线的概念和性质
概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
备注：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
例．(2023·陕西·交大附中分校八年级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（ ）
A．30°B．32°C．34°D．36°
变式1．(2023·河北沧州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若AD=3，△ACE的周长为13，则△ABC的周长为（ ）
A．18B．19C．26D．29
变式2．(2023·山东日照·八年级期末）如图，在△ABC中， AB＝5，AC＝12，BC＝13，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12B．13C．17D．25
变式3．(2023·河南平顶山·九年级期末）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点B坐标为，分别以点B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE，交x轴于点F，则点F的坐标是（ ）
A．B．C．D．
◎考点题型6 垂直平分线的判定
例．(2023·辽宁本溪·八年级期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
变式2．(2023·广西·梧州市第一中学三模）将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则线段BE与AC的关系是（ ）
A．B．C．且D．且平分
变式3．（2023·广东·梅州市学艺中学八年级期末）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE.下列结论不正确的是（ ）
A．OC垂直平分DEB．CE=OEC．∠DCO=∠ECOD．∠1=∠2
◎考点题型7 垂直平分线的实际应用
掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
例．(2023·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则∠BDC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
变式1．(2023·湖北宜昌·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
变式2．(2023·山东青岛·八年级期中）某公园的A，B，C处分别有海资船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（ ）
A．△ABC三边高线的交点处B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处
变式3．（2023·广东·深圳市龙岗区木棉湾实验学校八年级阶段练习）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点处B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处D．△ABC三条中线的交点处
◎考点题型8 垂线的作法
例．(2023·贵州贵阳·七年级期末）在如图所示的尺规作图中，与相等的线段是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
变式1．(2023·山东济南·七年级期末）如图，在中，P为边上的一点，分别以P、C为圆心，以大于一半为半径画弧，两弧交点连线交于E，已知，，则的周长是（ ）
A．6B．7C．9D．12
变式2．(2023·陕西西安·八年级期末）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·湖北荆州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=85°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（ ）
A．50°B．45°C．35°D．30°
专题11 轴对称和垂直平分线
【思维导图】
◎考点题型1 轴对称图形的概念
1、轴对称图形
定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
备注：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
2、轴对称
（1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
备注：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
（2）轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
例．（内蒙古自治区呼伦贝尔市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）下面这些图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
变式1．(2023·河南南阳·七年级期末）下面关于2022年北京冬奥会的卡通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据中心对称图形和轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】
解：A.既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B.既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C.既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后能与自身重合．
变式2．(2023·内蒙古赤峰·八年级期末）下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案：B
【解析】
分析：
根据等腰三角形三线合一的性质，即可判断①；根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可判断②；根据等腰三角形的分类，即可判断③；根据等腰三角形的性质，即可判断④；根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对称，两边的图形能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，即可判断⑤等腰三角形一定是轴对称图形．
【详解】
解：①等腰三角形的顶角的角平分线、中线和高三线重合，故该项错误；
②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故该项正确；
③等腰三角形不一定是锐角三角形，故该项错误；
④等腰三角形两个底角相等，故该项正确；
⑤等腰三角形是轴对称图形，故该项正确．
综上可得：②、④、⑤正确
故选：B
【点睛】
本题考查了真假命题的判断、角平分线的性质、轴对称图形的定义、等腰三角形的性质与分类，熟练掌握相关定义与性质是解本题的关键．
变式3．(2023·四川成都·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．全等多边形的对应边相等，对应角相等
B．正八边形的外角和大于正五边形的外角和
C．三角形的中线、角平分线，高线都在该三角形内部
D．两个图形成轴对称，它们的每组对应点连线段所在直线相交于同一点
答案：A
【解析】
分析：
根据全等形，多边形的外角和，三角形的高线，中线，角平分线， 轴对称，分析选项即可．
【详解】
解：A. 全等多边形的对应边相等，对应角相等，说法正确，符合题意；
B. 正八边形的外角和大于正五边形的外角和，多边形的外角和为，故选项说法错误，不符合题意；
C. 三角形的中线、角平分线，高线都在该三角形内部，当三角形是钝角三角形时，三条高的交点，在三角形外部，故选项说法错误，不符合题意；
D. 两个图形成轴对称，它们的每组对应点连线段所在直线相交于同一点，若两个图形成轴对称，则它们的每组对应点连线段所在直线交于对称轴，但不是同一点，故选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查轴对称，多边形的外角和，三角形的高线，中线，角平分线，全等形，解题的关键是是理解掌握以上知识的定义及性质．
◎考点题型2 轴对称和轴对称图形性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
例．（2023·安徽安庆·八年级期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
变式1．(2023·北京·八年级期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解题．
【详解】
由第一次对折后中间有一个矩形，排除B、C；
由第二次折叠矩形正在折痕上，排除D；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是学生的立体思维能力及动手操作能力，关键是由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解答．
变式2．(2023·陕西渭南·三模）如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
利用平行线的性质和光的反射原理计算．
【详解】
解：入射光线垂直于水平光线，
它们的夹角为90°，虚线为法线，为入射角，
两水平线平行
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质、光的反射原理、入射角等于反射角等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
◎考点题型3 轴对称的折叠问题
例．(2023·山东威海·七年级期末）如图，在△ABC中，AB=10，BC=7，AC=6，沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．6B．7C．9D．10
答案：C
【解析】
分析：
根据折叠的性质可得，，将已知数据代入即可求解．
【详解】
解：∵沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在AB边上的点E处，
∴，，
∵AB=10，BC=7，AC=6，
∴△AED的周长为
．
故选C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
变式1．(2023·山东聊城·八年级期末）如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
由折叠可知：∠2=∠3，根据∠1+∠2+∠3=180°，可以得出∠3的度数，再根据平行线的性质可以求解．
【详解】
如图：由折叠可知：∠2=∠3，
又∵∠1+∠2+∠3=180°，
所以2∠3+∠1=180°，
2∠3=180°-50°，
∴∠3=65°，
在长方形ABCD中，
∴AD∥BC
∴∠AEF+∠3=180°，
∴∠AEF=180°-65°=115°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了长方形性质，折叠问题，以及平行线的性质，熟悉掌握折叠的性质，以及平行线的性质求角度是解题的关键．
变式2．(2023·广西贵港·八年级期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处，若，则为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由平行线的性质可得∠1＝∠B'AB＝42°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B'AC＝21°，即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴∠1＝∠B'AB＝42°，
∵将▱ABCD沿对角线AC折叠，
∴∠BAC＝∠B'AC＝21°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝117°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
变式3．(2023·浙江衢州·七年级期末）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝59°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝59°，再由平角定义求出∠AEG即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1＝59°，
由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝59°，
∴∠AEG＝180°−59°−59°＝62°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．
◎考点题型4 对称轴
例．(2023·湖北荆州·八年级期末）下列图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可
【详解】
解：选项A一共有4条对称轴，故A不符合题意；
选项B一共有6条对称轴，故B不符合题意；
选项C一共有4条对称轴，故C不符合题意；
选项D一共有2条对称轴，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了找轴对称图形的对称轴，熟知对称轴的定义是解题的关键．
变式1．(2023·广东佛山·七年级期末）下面图形中，对称轴最少的是（ ）
A．正方形B．长与宽不相等的长方形C．等边三角形D．圆
答案：B
【解析】
分析：
根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】
解：A．正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
B．长与宽不相等的长方形是轴对称图形，有2条对称轴；
C．等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴；
D．圆是轴对称图形，有无数条对称轴．
∴长与宽不相等的长方形的对称轴最少．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的对称轴，熟知轴对称图形的对称轴的定义是解题的关键．
变式2．(2023·湖南株洲·七年级期末）下列轴对称图形中，只有1条对称轴的是（ ）
A．等腰三角形B．正方形C．长方形D．圆
答案：A
【解析】
分析：
根据轴对称图形的定义以及对称轴的作法分别得出即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【详解】
解：A．等腰三角形只有1条对称轴，故本选项符合题意；
B．正方形有4条对称轴，故本选项不符合题意；
C．长方形有2条对称轴，故本选项不符合题意；
D．圆有无数条对称轴，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是需要同学们分清轴对称及对称轴是两个不同的概念．
变式3．(2023·河北·新河县教师发展中心一模）如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，对称轴最多的是（ ）
A．三个视图都是B．主视图C．左视图D．俯视图
答案：D
【解析】
分析：
根据主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形，画出三视图，再判断即可．
【详解】
】解：三视图如图所示：
因为主视图和左视图只有一条对称轴，俯视图有4条对称轴，
所以对称轴最多的是俯视图．
故选：D．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，轴对称图形的对称轴，掌握三视图的画法是解答本题
的关键．
◎考点题型5 垂直平分线的概念和性质
概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
备注：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
例．(2023·陕西·交大附中分校八年级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（ ）
A．30°B．32°C．34°D．36°
答案：A
【解析】
分析：
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出ABC=70°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，则DBA=A=40°，通过计算即可得到答案．
【详解】
解：在△ABC中，AB＝AC，A＝40°，
∴ABC＝ACB＝70°，
∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴DA＝DB，
∴DBA＝A＝40°，
∴DBC＝30°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，三角形的内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
变式1．(2023·河北沧州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若AD=3，△ACE的周长为13，则△ABC的周长为（ ）
A．18B．19C．26D．29
答案：B
【解析】
分析：
由AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，易得AE=BE，又由△ACE的周长是13，可求得AC+BC=13，继而求得答案．
【详解】
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，AB=2AD=6，
∵△ACE的周长是13，
∴AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=13，
∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=6+13=19．
故选：B．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质．注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
变式2．(2023·山东日照·八年级期末）如图，在△ABC中， AB＝5，AC＝12，BC＝13，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12B．13C．17D．25
答案：C
【解析】
分析：
连接PC，根据垂直平分线的性质可得PB=PC，由三角形的边长关系可得PA+PC＞AC，于是可得△ABP的周长≥AB+AC，再代入求值即可；
【详解】
解：如图，连接PC，
∵EF垂直平分BC，点P在直线EF上，
∴PB=PC，
△PAC中，PA+PC＞AC，当点P在线段AC上时PA+PC=AC，
∴PA+PC≥AC，
∵△ABP的周长=AB+PB+PA=AB+PC+PA，
∴△ABP的周长≥AB+AC，
∵AB=5，AC=12，
∴△ABP周长的最小值是17，
故选： C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系；掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题关键．
变式3．(2023·河南平顶山·九年级期末）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点B坐标为，分别以点B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE，交x轴于点F，则点F的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
如图，过点B作BH⊥x轴于点H，设OA=AB=x，利用勾股定理求出x，可得结论．
【详解】
如图，过点B作BH⊥x轴于点H，设OA= AB= x．
∵B(6，2)，
BH=2， OH=6， AH=6- x，
在Rt△ABH中，则有x2 =22 +(6- x)2，
解得x=，
OA= AB= BC=，
∴A(，0)，
DE垂直平分线段BC，
FH=BC =，
OF= OH-FH=6-=，
∴F (，0)，
故选：A．
【点睛】
本题考查菱形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
◎考点题型6 垂直平分线的判定
例．(2023·辽宁本溪·八年级期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由尺规作图可得，，由垂直平分线的判定可得，再根据等腰三角形，直角三角形的性质进行计算即可．
【详解】
解：如图，连接，，，
由作图可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，等腰三角形，直角三角形的性质等知识．理解和掌握尺规作图的原理是解题的关键．
变式1．(2023·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
答案：D
【解析】
分析：
根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
【详解】
因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．
变式2．(2023·广西·梧州市第一中学三模）将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则线段BE与AC的关系是（ ）
A．B．C．且D．且平分
答案：D
【解析】
分析：
由翻折得到AE=AB，CE=CB，再根据线段的垂直平分线的判定即可得到答案．
【详解】
解：∵ACE是由ABC翻折得到，
∴AE=AB,CE=CB
∴AC⊥BE且AC平分BE，
故选D．
【点睛】
此题考查矩形的性质，线段的垂直平分线的判定，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定．
变式3．（2023·广东·梅州市学艺中学八年级期末）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE.下列结论不正确的是（ ）
A．OC垂直平分DEB．CE=OEC．∠DCO=∠ECOD．∠1=∠2
答案：B
【解析】
分析：
先由SSS证△OCE≌△OCD，再利用全等三角形性质和线段垂直平分线的判定定理可判断正误．
【详解】
在△OCE和△OCD中，
△OCE≌△OCD（SSS），
∠1=∠2，∠DCO=∠ECO，
OC垂直平分DE.
故选项B错误.
故选：B．
【点睛】
本题考查了作角平分线，三角形全等的性质与判定，垂直平分线的判定，其中证明△OCE≌△OCD是解题的关键．
◎考点题型7 垂直平分线的实际应用
掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
例．(2023·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则∠BDC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
答案：D
【解析】
分析：
由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出∠A，由作图过程可得DM是AB的垂直平分线，得到AD＝BD，再根据等腰三角形的性质求出∠ABD，由三角形外角的性质即可求得∠BDC．
【详解】
解：∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝40°，
由作图过程可知：DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝40°＋40°＝80°，
故选D．
【点睛】
本题考查尺规作图的应用、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是正确识别尺规作图所作的是哪种图形，才能正确作答．
变式1．(2023·湖北宜昌·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
答案：C
【解析】
分析：
由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】
解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
变式2．(2023·山东青岛·八年级期中）某公园的A，B，C处分别有海资船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（ ）
A．△ABC三边高线的交点处B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处
答案：D
【解析】
分析：
根据三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，即可得到答案．
【详解】
要使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等
售票中心应建立在三个娱乐项目组成的三角形的三边的垂直平分线的交点处
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
变式3．（2023·广东·深圳市龙岗区木棉湾实验学校八年级阶段练习）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点处B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处D．△ABC三条中线的交点处
答案：A
【解析】
分析：
根据垂直平分线的性质判断即可；
【详解】
解：∵线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
∴△ABC三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等；
故选： A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，掌握其性质是解题关键．
◎考点题型8 垂线的作法
例．(2023·贵州贵阳·七年级期末）在如图所示的尺规作图中，与相等的线段是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
答案：B
【解析】
分析：
利用线段垂直平分线的性质判断即可．
【详解】
解：由作图可知，垂直平分线段，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质．
变式1．(2023·山东济南·七年级期末）如图，在中，P为边上的一点，分别以P、C为圆心，以大于一半为半径画弧，两弧交点连线交于E，已知，，则的周长是（ ）
A．6B．7C．9D．12
答案：C
【解析】
分析：
利用线段垂直平分线性质求得EP=EC，即可求得的周长．
【详解】
解：如下图，
∵由题意可知，MN垂直平分线段PC，
∴EP=EC，
∵，，
∴的周长∶PA+EP+EA=PA+EA+EC=PA+AC=3+6=9，
故选C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质及三角形的周长，理解并能运用线段垂直平分线的性质是解题的关键．
变式2．(2023·陕西西安·八年级期末）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由于，则点D为AB的垂直平分线与BC的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断．
【详解】
解：∵，
∴当时，，
∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质和作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
变式3．(2023·湖北荆州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=85°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（ ）
A．50°B．45°C．35°D．30°
答案：C
【解析】
分析：
根据内角和定理求得∠BAC=65°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=85°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=65°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=35°，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，根据等边对等角求角度，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
◎考点题型1 轴对称图形的概念
1、轴对称图形
定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
备注：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
2、轴对称
（1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
备注：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
（2）轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
例．（内蒙古自治区呼伦贝尔市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）下面这些图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
变式1．(2023·河南南阳·七年级期末）下面关于2022年北京冬奥会的卡通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·内蒙古赤峰·八年级期末）下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
变式3．(2023·四川成都·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．全等多边形的对应边相等，对应角相等
B．正八边形的外角和大于正五边形的外角和
C．三角形的中线、角平分线，高线都在该三角形内部
D．两个图形成轴对称，它们的每组对应点连线段所在直线相交于同一点
◎考点题型2 轴对称和轴对称图形性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
例．（2023·安徽安庆·八年级期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·北京·八年级期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·陕西渭南·三模）如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
◎考点题型3 轴对称的折叠问题
例．(2023·山东威海·七年级期末）如图，在△ABC中，AB=10，BC=7，AC=6，沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．6B．7C．9D．10
变式1．(2023·山东聊城·八年级期末）如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·广西贵港·八年级期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处，若，则为（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·浙江衢州·七年级期末）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
◎考点题型4 对称轴
例．(2023·湖北荆州·八年级期末）下列图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·广东佛山·七年级期末）下面图形中，对称轴最少的是（ ）
A．正方形B．长与宽不相等的长方形C．等边三角形D．圆
变式2．(2023·湖南株洲·七年级期末）下列轴对称图形中，只有1条对称轴的是（ ）
A．等腰三角形B．正方形C．长方形D．圆
变式3．(2023·河北·新河县教师发展中心一模）如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，对称轴最多的是（ ）
A．三个视图都是B．主视图C．左视图D．俯视图
◎考点题型5 垂直平分线的概念和性质
概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
备注：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
例．(2023·陕西·交大附中分校八年级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（ ）
A．30°B．32°C．34°D．36°
变式1．(2023·河北沧州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若AD=3，△ACE的周长为13，则△ABC的周长为（ ）
A．18B．19C．26D．29
变式2．(2023·山东日照·八年级期末）如图，在△ABC中， AB＝5，AC＝12，BC＝13，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12B．13C．17D．25
变式3．(2023·河南平顶山·九年级期末）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点B坐标为，分别以点B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE，交x轴于点F，则点F的坐标是（ ）
A．B．C．D．
◎考点题型6 垂直平分线的判定
例．(2023·辽宁本溪·八年级期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
变式2．(2023·广西·梧州市第一中学三模）将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则线段BE与AC的关系是（ ）
A．B．C．且D．且平分
变式3．（2023·广东·梅州市学艺中学八年级期末）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE.下列结论不正确的是（ ）
A．OC垂直平分DEB．CE=OEC．∠DCO=∠ECOD．∠1=∠2
◎考点题型7 垂直平分线的实际应用
掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
例．(2023·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则∠BDC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
变式1．(2023·湖北宜昌·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
变式2．(2023·山东青岛·八年级期中）某公园的A，B，C处分别有海资船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（ ）
A．△ABC三边高线的交点处B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处
变式3．（2023·广东·深圳市龙岗区木棉湾实验学校八年级阶段练习）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点处B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处D．△ABC三条中线的交点处
◎考点题型8 垂线的作法
例．(2023·贵州贵阳·七年级期末）在如图所示的尺规作图中，与相等的线段是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
变式1．(2023·山东济南·七年级期末）如图，在中，P为边上的一点，分别以P、C为圆心，以大于一半为半径画弧，两弧交点连线交于E，已知，，则的周长是（ ）
A．6B．7C．9D．12
变式2．(2023·陕西西安·八年级期末）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·湖北荆州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=85°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（ ）
A．50°B．45°C．35°D．30°
专题11 轴对称和垂直平分线
【思维导图】
◎考点题型1 轴对称图形的概念
1、轴对称图形
定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
备注：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
2、轴对称
（1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
备注：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
（2）轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
例．（内蒙古自治区呼伦贝尔市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）下面这些图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
变式1．(2023·河南南阳·七年级期末）下面关于2022年北京冬奥会的卡通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据中心对称图形和轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】
解：A.既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B.既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C.既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后能与自身重合．
变式2．(2023·内蒙古赤峰·八年级期末）下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案：B
【解析】
分析：
根据等腰三角形三线合一的性质，即可判断①；根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可判断②；根据等腰三角形的分类，即可判断③；根据等腰三角形的性质，即可判断④；根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对称，两边的图形能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，即可判断⑤等腰三角形一定是轴对称图形．
【详解】
解：①等腰三角形的顶角的角平分线、中线和高三线重合，故该项错误；
②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故该项正确；
③等腰三角形不一定是锐角三角形，故该项错误；
④等腰三角形两个底角相等，故该项正确；
⑤等腰三角形是轴对称图形，故该项正确．
综上可得：②、④、⑤正确
故选：B
【点睛】
本题考查了真假命题的判断、角平分线的性质、轴对称图形的定义、等腰三角形的性质与分类，熟练掌握相关定义与性质是解本题的关键．
变式3．(2023·四川成都·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．全等多边形的对应边相等，对应角相等
B．正八边形的外角和大于正五边形的外角和
C．三角形的中线、角平分线，高线都在该三角形内部
D．两个图形成轴对称，它们的每组对应点连线段所在直线相交于同一点
答案：A
【解析】
分析：
根据全等形，多边形的外角和，三角形的高线，中线，角平分线， 轴对称，分析选项即可．
【详解】
解：A. 全等多边形的对应边相等，对应角相等，说法正确，符合题意；
B. 正八边形的外角和大于正五边形的外角和，多边形的外角和为，故选项说法错误，不符合题意；
C. 三角形的中线、角平分线，高线都在该三角形内部，当三角形是钝角三角形时，三条高的交点，在三角形外部，故选项说法错误，不符合题意；
D. 两个图形成轴对称，它们的每组对应点连线段所在直线相交于同一点，若两个图形成轴对称，则它们的每组对应点连线段所在直线交于对称轴，但不是同一点，故选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查轴对称，多边形的外角和，三角形的高线，中线，角平分线，全等形，解题的关键是是理解掌握以上知识的定义及性质．
◎考点题型2 轴对称和轴对称图形性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
例．（2023·安徽安庆·八年级期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
变式1．(2023·北京·八年级期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解题．
【详解】
由第一次对折后中间有一个矩形，排除B、C；
由第二次折叠矩形正在折痕上，排除D；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是学生的立体思维能力及动手操作能力，关键是由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解答．
变式2．(2023·陕西渭南·三模）如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
利用平行线的性质和光的反射原理计算．
【详解】
解：入射光线垂直于水平光线，
它们的夹角为90°，虚线为法线，为入射角，
两水平线平行
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质、光的反射原理、入射角等于反射角等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
◎考点题型3 轴对称的折叠问题
例．(2023·山东威海·七年级期末）如图，在△ABC中，AB=10，BC=7，AC=6，沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．6B．7C．9D．10
答案：C
【解析】
分析：
根据折叠的性质可得，，将已知数据代入即可求解．
【详解】
解：∵沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在AB边上的点E处，
∴，，
∵AB=10，BC=7，AC=6，
∴△AED的周长为
．
故选C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
变式1．(2023·山东聊城·八年级期末）如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
由折叠可知：∠2=∠3，根据∠1+∠2+∠3=180°，可以得出∠3的度数，再根据平行线的性质可以求解．
【详解】
如图：由折叠可知：∠2=∠3，
又∵∠1+∠2+∠3=180°，
所以2∠3+∠1=180°，
2∠3=180°-50°，
∴∠3=65°，
在长方形ABCD中，
∴AD∥BC
∴∠AEF+∠3=180°，
∴∠AEF=180°-65°=115°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了长方形性质，折叠问题，以及平行线的性质，熟悉掌握折叠的性质，以及平行线的性质求角度是解题的关键．
变式2．(2023·广西贵港·八年级期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处，若，则为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由平行线的性质可得∠1＝∠B'AB＝42°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B'AC＝21°，即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴∠1＝∠B'AB＝42°，
∵将▱ABCD沿对角线AC折叠，
∴∠BAC＝∠B'AC＝21°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝117°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
变式3．(2023·浙江衢州·七年级期末）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝59°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝59°，再由平角定义求出∠AEG即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1＝59°，
由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝59°，
∴∠AEG＝180°−59°−59°＝62°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．
◎考点题型4 对称轴
例．(2023·湖北荆州·八年级期末）下列图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可
【详解】
解：选项A一共有4条对称轴，故A不符合题意；
选项B一共有6条对称轴，故B不符合题意；
选项C一共有4条对称轴，故C不符合题意；
选项D一共有2条对称轴，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了找轴对称图形的对称轴，熟知对称轴的定义是解题的关键．
变式1．(2023·广东佛山·七年级期末）下面图形中，对称轴最少的是（ ）
A．正方形B．长与宽不相等的长方形C．等边三角形D．圆
答案：B
【解析】
分析：
根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】
解：A．正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
B．长与宽不相等的长方形是轴对称图形，有2条对称轴；
C．等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴；
D．圆是轴对称图形，有无数条对称轴．
∴长与宽不相等的长方形的对称轴最少．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的对称轴，熟知轴对称图形的对称轴的定义是解题的关键．
变式2．(2023·湖南株洲·七年级期末）下列轴对称图形中，只有1条对称轴的是（ ）
A．等腰三角形B．正方形C．长方形D．圆
答案：A
【解析】
分析：
根据轴对称图形的定义以及对称轴的作法分别得出即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【详解】
解：A．等腰三角形只有1条对称轴，故本选项符合题意；
B．正方形有4条对称轴，故本选项不符合题意；
C．长方形有2条对称轴，故本选项不符合题意；
D．圆有无数条对称轴，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是需要同学们分清轴对称及对称轴是两个不同的概念．
变式3．(2023·河北·新河县教师发展中心一模）如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，对称轴最多的是（ ）
A．三个视图都是B．主视图C．左视图D．俯视图
答案：D
【解析】
分析：
根据主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形，画出三视图，再判断即可．
【详解】
】解：三视图如图所示：
因为主视图和左视图只有一条对称轴，俯视图有4条对称轴，
所以对称轴最多的是俯视图．
故选：D．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，轴对称图形的对称轴，掌握三视图的画法是解答本题
的关键．
◎考点题型5 垂直平分线的概念和性质
概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
备注：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
例．(2023·陕西·交大附中分校八年级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（ ）
A．30°B．32°C．34°D．36°
答案：A
【解析】
分析：
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出ABC=70°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，则DBA=A=40°，通过计算即可得到答案．
【详解】
解：在△ABC中，AB＝AC，A＝40°，
∴ABC＝ACB＝70°，
∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴DA＝DB，
∴DBA＝A＝40°，
∴DBC＝30°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，三角形的内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
变式1．(2023·河北沧州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若AD=3，△ACE的周长为13，则△ABC的周长为（ ）
A．18B．19C．26D．29
答案：B
【解析】
分析：
由AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，易得AE=BE，又由△ACE的周长是13，可求得AC+BC=13，继而求得答案．
【详解】
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，AB=2AD=6，
∵△ACE的周长是13，
∴AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=13，
∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=6+13=19．
故选：B．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质．注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
变式2．(2023·山东日照·八年级期末）如图，在△ABC中， AB＝5，AC＝12，BC＝13，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12B．13C．17D．25
答案：C
【解析】
分析：
连接PC，根据垂直平分线的性质可得PB=PC，由三角形的边长关系可得PA+PC＞AC，于是可得△ABP的周长≥AB+AC，再代入求值即可；
【详解】
解：如图，连接PC，
∵EF垂直平分BC，点P在直线EF上，
∴PB=PC，
△PAC中，PA+PC＞AC，当点P在线段AC上时PA+PC=AC，
∴PA+PC≥AC，
∵△ABP的周长=AB+PB+PA=AB+PC+PA，
∴△ABP的周长≥AB+AC，
∵AB=5，AC=12，
∴△ABP周长的最小值是17，
故选： C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系；掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题关键．
变式3．(2023·河南平顶山·九年级期末）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点B坐标为，分别以点B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE，交x轴于点F，则点F的坐标是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
如图，过点B作BH⊥x轴于点H，设OA=AB=x，利用勾股定理求出x，可得结论．
【详解】
如图，过点B作BH⊥x轴于点H，设OA= AB= x．
∵B(6，2)，
BH=2， OH=6， AH=6- x，
在Rt△ABH中，则有x2 =22 +(6- x)2，
解得x=，
OA= AB= BC=，
∴A(，0)，
DE垂直平分线段BC，
FH=BC =，
OF= OH-FH=6-=，
∴F (，0)，
故选：A．
【点睛】
本题考查菱形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
◎考点题型6 垂直平分线的判定
例．(2023·辽宁本溪·八年级期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由尺规作图可得，，由垂直平分线的判定可得，再根据等腰三角形，直角三角形的性质进行计算即可．
【详解】
解：如图，连接，，，
由作图可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，等腰三角形，直角三角形的性质等知识．理解和掌握尺规作图的原理是解题的关键．
变式1．(2023·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
答案：D
【解析】
分析：
根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
【详解】
因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．
变式2．(2023·广西·梧州市第一中学三模）将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则线段BE与AC的关系是（ ）
A．B．C．且D．且平分
答案：D
【解析】
分析：
由翻折得到AE=AB，CE=CB，再根据线段的垂直平分线的判定即可得到答案．
【详解】
解：∵ACE是由ABC翻折得到，
∴AE=AB,CE=CB
∴AC⊥BE且AC平分BE，
故选D．
【点睛】
此题考查矩形的性质，线段的垂直平分线的判定，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定．
变式3．（2023·广东·梅州市学艺中学八年级期末）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE.下列结论不正确的是（ ）
A．OC垂直平分DEB．CE=OEC．∠DCO=∠ECOD．∠1=∠2
答案：B
【解析】
分析：
先由SSS证△OCE≌△OCD，再利用全等三角形性质和线段垂直平分线的判定定理可判断正误．
【详解】
在△OCE和△OCD中，
△OCE≌△OCD（SSS），
∠1=∠2，∠DCO=∠ECO，
OC垂直平分DE.
故选项B错误.
故选：B．
【点睛】
本题考查了作角平分线，三角形全等的性质与判定，垂直平分线的判定，其中证明△OCE≌△OCD是解题的关键．
◎考点题型7 垂直平分线的实际应用
掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
例．(2023·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则∠BDC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
答案：D
【解析】
分析：
由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出∠A，由作图过程可得DM是AB的垂直平分线，得到AD＝BD，再根据等腰三角形的性质求出∠ABD，由三角形外角的性质即可求得∠BDC．
【详解】
解：∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝40°，
由作图过程可知：DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝40°＋40°＝80°，
故选D．
【点睛】
本题考查尺规作图的应用、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是正确识别尺规作图所作的是哪种图形，才能正确作答．
变式1．(2023·湖北宜昌·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
答案：C
【解析】
分析：
由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】
解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
变式2．(2023·山东青岛·八年级期中）某公园的A，B，C处分别有海资船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（ ）
A．△ABC三边高线的交点处B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处
答案：D
【解析】
分析：
根据三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，即可得到答案．
【详解】
要使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等
售票中心应建立在三个娱乐项目组成的三角形的三边的垂直平分线的交点处
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
变式3．（2023·广东·深圳市龙岗区木棉湾实验学校八年级阶段练习）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点处B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处D．△ABC三条中线的交点处
答案：A
【解析】
分析：
根据垂直平分线的性质判断即可；
【详解】
解：∵线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
∴△ABC三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等；
故选： A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，掌握其性质是解题关键．
◎考点题型8 垂线的作法
例．(2023·贵州贵阳·七年级期末）在如图所示的尺规作图中，与相等的线段是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
答案：B
【解析】
分析：
利用线段垂直平分线的性质判断即可．
【详解】
解：由作图可知，垂直平分线段，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质．
变式1．(2023·山东济南·七年级期末）如图，在中，P为边上的一点，分别以P、C为圆心，以大于一半为半径画弧，两弧交点连线交于E，已知，，则的周长是（ ）
A．6B．7C．9D．12
答案：C
【解析】
分析：
利用线段垂直平分线性质求得EP=EC，即可求得的周长．
【详解】
解：如下图，
∵由题意可知，MN垂直平分线段PC，
∴EP=EC，
∵，，
∴的周长∶PA+EP+EA=PA+EA+EC=PA+AC=3+6=9，
故选C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质及三角形的周长，理解并能运用线段垂直平分线的性质是解题的关键．
变式2．(2023·陕西西安·八年级期末）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由于，则点D为AB的垂直平分线与BC的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断．
【详解】
解：∵，
∴当时，，
∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质和作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
变式3．(2023·湖北荆州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=85°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（ ）
A．50°B．45°C．35°D．30°
答案：C
【解析】
分析：
根据内角和定理求得∠BAC=65°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=85°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=65°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=35°，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，根据等边对等角求角度，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
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