人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题12等腰三角形和等边三角形(人教版)(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题12等腰三角形和等边三角形(人教版)(原卷版+解析)，共37页。


◎考点题型1 等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

备注：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
例．(2023·甘肃白银·七年级期末）已知等腰三角形的两边的长分别为3和6，则它的周长为（ ）
A．9B．12C．15D．12或15
变式1．(2023·河北邯郸·八年级期末）一个等腰三角形的两边长分别为3和，则这个三角形的周长是（ ）
A．B．
C．或D．或
变式2．(2023·河南许昌·八年级期末）一个等腰三角形的周长是11cm，底边长是3cm，则该等腰三角形的一腰长为（ ）
A．5cmB．3cm或4cmC．5cm或3cmD．4cm
变式3．(2023·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）若、为等腰三角形的两边，且满足，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．14C．10D．16或14
◎考点题型2 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
（2）等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
（3）等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
例．(2023·广东广州·八年级期末）如图，，点D在BC边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE的度数是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．30°
变式1．（2023·海南省直辖县级单位·九年级期中）如图，把绕着点A顺时针方向旋转，得到，点C刚好落在边上．则（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·河南周口·八年级期中）如图，△ABC≌△DBE，点A在DE边上，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．AB平分
变式3．(2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ）
A．32B．24C．16D．8
◎考点题型3 三线合一
例．(2023·河北沧州·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（ ）
A．105°B．95°C．85°D．75°
变式1．(2023·辽宁大连·八年级期末）在中，，D是中点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·湖北恩施·八年级期末）如图，，下列条件不能判定△ACD与△BCD全等的是（ ）
A．B．
C．D．点O是AB的中点
变式3．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥BC，连接AC，则∠BAD等于（ ）
A．60°B．100°C．110°D．120°
◎考点题型4 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”
注意：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；
判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。
例．(2023·河南安阳·八年级期末）如图，A，B两点在一个的正方形网格的格点上，每个小方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
变式1．(2023·云南昆明·八年级期末）如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在y轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的C点共有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
变式2．（2023·福建省建瓯市芝华中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，且∠ABO=60°，若P为坐标轴上的一点，则使△APB为等腰三角形的点P有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
变式3．(2023·河北唐山·七年级期中）如图，在△ABC中，．BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于点E、F，则线段EF和BE＋CF的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
◎考点题型5 作等腰三角形
例．(2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（ ）
A．B． C．D．
变式1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，根据作图痕迹，可知（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·山东临沂·八年级期中）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·湖北鄂州·八年级阶段练习）已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（ ）
A．4B．5C．6D．8
◎考点题型6 等腰三角形的性质和判定
例．(2023·山东济南·七年级期中）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝10，则△FBC的面积为（ ）
A．B．C．40D．48
变式1．(2023·广东·普宁市华美实验学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DEBC，交AB于点D，交AC于点E．若AB=6，AC=8，则△ADE的周长为（ ）
A．15B．14C．13D．12
变式2．(2023·广西玉林·八年级期末）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝ADB．AC平分∠BCDC．△BEC≌△DECD．AB＝BD
变式3．(2023·湖北孝感·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB＋BD＝BC，则∠BAC的度数为（ ）
A．74°B．69°C．65°D．60°
◎考点题型7等边三角形的性质和判定
等边三角形的判定：
（1）三边相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。
（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
例．(2023·河北保定·八年级期末）如图，在等边三角形DEF中，，点A在DF上，点B在DE上，且DA＝2，，，则CE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式1．(2023·浙江衢州·八年级期末）一辆汽车沿A地北偏东50°方向行驶5千米到达B地，再沿B地南偏东10°方向行驶5千米到达C地，则此时A、C两地相距（ ）千米
A．10B．5C．5D．5
变式2．(2023·广东广东·八年级期末）如图，在中，，CE垂直平分线段AD于E，且CD平分，，则（ ）．
A．10cmB．16cmC．24cmD．30cm
变式3．(2023·贵州贵阳·中考真题）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（ ）
A．5B．C．D．
◎考点题型8 含30°角的直角三角形
例．(2023·山东德州·八年级期末）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DEAB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A．10B．7C．5D．4
变式1．(2023·广东深圳·八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8B．1C．2D．4
变式2．(2023·河南驻马店·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式3．(2023·山东滨州·八年级期末）如图，在中，，则的面积为（ ）
A．20B．25C．50D．75
专题12 等腰三角形和等边三角形
【思维导图】
◎考点题型1 等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

备注：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
例．(2023·甘肃白银·七年级期末）已知等腰三角形的两边的长分别为3和6，则它的周长为（ ）
A．9B．12C．15D．12或15
答案：C
【解析】
分析：
根据三角形边的性质可知，这个等腰三角形的腰为6，即可得出答案．
【详解】
①若三角形的腰为3，则3+3=6，不能构成三角形，故排除此种情况；
②若三角形的腰为6，6-6<3<6+6，能构成三角形，故周长为：6+6+3=15；
故答案选择C．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义以及三角形边的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
变式1．(2023·河北邯郸·八年级期末）一个等腰三角形的两边长分别为3和，则这个三角形的周长是（ ）
A．B．
C．或D．或
答案：B
【解析】
分析：
没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【详解】
解：当三边是3，3，5时，3+3=6＜5，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三边是3，，时，符合三角形的三边关系，此时周长是，
∴这个三角形的周长是，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
变式2．(2023·河南许昌·八年级期末）一个等腰三角形的周长是11cm，底边长是3cm，则该等腰三角形的一腰长为（ ）
A．5cmB．3cm或4cmC．5cm或3cmD．4cm
答案：D
【解析】
分析：
由一个等腰三角形的周长是11cm，底边长是3cm，可得两腰之和，从而可得答案．
【详解】
解：∵一个等腰三角形的周长是11cm，底边长是3cm，
∴该等腰三角形的一腰长为：（cm），
故选D
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义，掌握“等腰三角形的两腰相等”是解本题的关键．
变式3．(2023·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）若、为等腰三角形的两边，且满足，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．14C．10D．16或14
答案：D
【解析】
分析：
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】
解：由题意得x-4=0，x-y+2=0，
解得x=4，y=6，
当4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、6，能组成三角形，
周长=4+4+6=14；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、6、6，能组成三角形，
周长=4+6+6=16；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据非负数的性质求出x、y的值是解题的关键，同时要分情况讨论．
◎考点题型2 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
（2）等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
（3）等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
例．(2023·广东广州·八年级期末）如图，，点D在BC边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE的度数是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．30°
答案：C
【解析】
分析：
根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EAD，于是可得∠DAC＝∠EAB，代入即可．
【详解】
解：△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠EAB＋∠BAD ＝∠DAC＋∠BAD，
∴∠DAC＝∠EAB＝50°，
∵AD＝AC
∴∠ADC＝∠C＝∠ADE＝
故选C．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
变式1．（2023·海南省直辖县级单位·九年级期中）如图，把绕着点A顺时针方向旋转，得到，点C刚好落在边上．则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由旋转的性质得到AC=，，再利用等腰三角形内角和180°解答即可．
【详解】
解：由旋转可知AC=，
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
变式2．（2023·河南周口·八年级期中）如图，△ABC≌△DBE，点A在DE边上，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．AB平分
答案：B
【解析】
分析：
根据全等三角形的性质得出AC＝DE，AB＝DB，∠ABC＝∠DBE，∠BAC＝∠BDE，求出∠ABD＝∠CBE，∠BAD＝∠BAC，再得出选项即可．
【详解】
A.∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC−∠ABE＝∠DBE−∠ABE，
∴∠ABD＝∠CBE，故A一定成立，不符合题意；
B.∵△ABC≌△DBE，
∴AC＝DE，AB＝DB，但不一定成立，故B符合题意；
C.∵△ABC≌△DBE，
∴，
∵，
又∵，，
∴，故C一定成立，不符合题意；
D.∵△ABC≌△DBE，
∴AB＝DB，∠BAC＝∠BDE，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴AB平分∠DAC，故D一定成立，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，能熟记全等三角形的对应角相等，对应边相等是解决问题的关键．
变式3．(2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ）
A．32B．24C．16D．8
答案：C
【解析】
分析：
根据，，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形的周长是2（AE+EF），即可求解．
【详解】
解∶∵，，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴FG=AE，AG=EF，
∵，
∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF，
∴四边形的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
◎考点题型3 三线合一
例．(2023·河北沧州·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（ ）
A．105°B．95°C．85°D．75°
答案：A
【解析】
分析：
先利用等边三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质得出，再利用AE＝AD得出，最后利用三角形外角的性质即可求出∠DEC的度数．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴，
∵AE＝AD，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及外角的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．
变式1．(2023·辽宁大连·八年级期末）在中，，D是中点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，结合图形，利用各角之间的关系及三角形内角和定理即可得．
【详解】
解：∵，
∴△ABC为等腰三角形，
∵D是中点，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，
∴，，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．
变式2．(2023·湖北恩施·八年级期末）如图，，下列条件不能判定△ACD与△BCD全等的是（ ）
A．B．
C．D．点O是AB的中点
答案：C
【解析】
分析：
根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵，CD=CD，
∴A、可以利用边边边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意；
B、可以利用边角边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意；
C、不能判定△ACD与△BCD全等，故本选项符合题意；
D、因为点O是AB的中点，所以，可以利用边角边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
变式3．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥BC，连接AC，则∠BAD等于（ ）
A．60°B．100°C．110°D．120°
答案：D
【解析】
分析：
首先求出AB＝AC，然后证明△ABC和△ACD是等边三角形即可．
【详解】
解：∵E是BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∴AC＝AB＝BC＝CD＝DA，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，
∴∠BAC＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝120°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
◎考点题型4 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”
注意：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；
判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。
例．(2023·河南安阳·八年级期末）如图，A，B两点在一个的正方形网格的格点上，每个小方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
答案：D
【解析】
分析：
分两种情况：①AB为等腰三角形的底边，连接AB，作AB的垂直平分线，得到的格点C有6个符合要求；②AB为等腰三角形的一条腰，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，得到的格点C有4个；画出图形，即可得出结论．
【详解】
解：如图所示：
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有6个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有4个．
所以符合条件的点C共有10个．
故选：D．
【点睛】
此题考查了画等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，注意数形结合的解题思想．
变式1．(2023·云南昆明·八年级期末）如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在y轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的C点共有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
答案：C
【解析】
分析：
分三种情形，AB=AC，BA=BC，CA=CB，分别画图即可．
【详解】
解：如图，当AB=AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），
当BA=BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），
当CA=CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，
综上所述：符合条件的点C的个数有4个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，圆的定义，线段垂直平分线的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
变式2．（2023·福建省建瓯市芝华中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，且∠ABO=60°，若P为坐标轴上的一点，则使△APB为等腰三角形的点P有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
答案：B
【解析】
分析：
分类讨论：AB=AP时，AB=BP时，AP=BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
【详解】
①当AB=AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．
②当AB=BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB=AP时的x轴负半轴的点P重合．
③当AP=BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB=AP时的x轴负半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．
变式3．(2023·河北唐山·七年级期中）如图，在△ABC中，．BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于点E、F，则线段EF和BE＋CF的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
答案：C
【解析】
分析：
由平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBD=∠EDB，则ED=BE，同理可得DF=FC，则EF=BE+CF，可得答案．
【详解】
解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=BE，
同理DF=FC，
∴ED+DF=BE+FC，
即EF=BE+FC，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定，利用平行线的性质及角平分线的定义得到ED=BE和DF=FC是解题的关键．
◎考点题型5 作等腰三角形
例．(2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（ ）
A．B． C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由题意，PA＝PC，由此判断即可．
【详解】
解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，
∴PA＝PC，
∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC，
故选：C．
【点睛】
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
变式1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，根据作图痕迹，可知（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出．
【详解】
解：∵AB=AC，
∴．
由作图痕迹可知BC=BD，
∴．
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC=BD是解答本题的关键．
变式2．（2023·山东临沂·八年级期中）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
由作图知AB=BD，，由三角形内角和，∠BAD=∠BDA，利用两角的差求即可∠DAC=．
【详解】
∵由作图知AB=BD，，
∴∠BAD=∠BDA=，
∴∠DAC=．
故选：B．
【点睛】
本题考查尺规作图，由图得结论，利用三角形内角和求出底角，会计算角的和差是解题关键．
变式3．(2023·湖北鄂州·八年级阶段练习）已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（ ）
A．4B．5C．6D．8
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析：根据等腰三角形的性质，要使△AOB等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点，当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现交点．
解：①作OA的垂直平分线，交坐标轴于两个点；
②以O为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于四个点；
③以A为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于两个点．
如图所示，显然这样的点有8个．
故选D．
考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
◎考点题型6 等腰三角形的性质和判定
例．(2023·山东济南·七年级期中）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝10，则△FBC的面积为（ ）
A．B．C．40D．48
答案：A
【解析】
分析：
求出∠ABD=∠ACF，根据ASA证△ABD≌△ACF，推出AD=AF，得出AB=AC=2AD=2AF，求出AF长，求出AB、AC长，根据三角形的面积公式得出△FBC的面积等于BF×AC，代入求出即可．
【详解】
解：∵CE⊥BD，
∴∠BEF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF=90°，
∴∠FAC=∠BAD=90°，∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴AD=AF，
∵AB=AC，D为AC中点，
∴AB=AC=2AD=2AF，
∵BF=AB+AF=10，
∴3AF=10，
∴AF=，
∴AB=AC=2AF=，
∴△FBC的面积是×BF×AC=×10×=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的应用，关键是求出AF=AD，主要考查学生运用性质进行计算的能力．
变式1．(2023·广东·普宁市华美实验学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DEBC，交AB于点D，交AC于点E．若AB=6，AC=8，则△ADE的周长为（ ）
A．15B．14C．13D．12
答案：B
【解析】
分析：
根据角平分线的定义得到∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，平行线的性质得到∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，等量代换得到∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，根据等腰三角形的判定定理得到BD=FD，CE=FE，即可得到结论．
【详解】
解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，
∵，
∴∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，
∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，
∴BD=FD，CE=FE，
∵AB=6，AC=8，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=6+8=14．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，角形分线的性质，平行线的性质，证明BD=FD，CE=FE是解本题的关键．
变式2．(2023·广西玉林·八年级期末）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝ADB．AC平分∠BCDC．△BEC≌△DECD．AB＝BD
答案：D
【解析】
分析：
由四边形ABCD中，AC垂直平分BD，根据垂直平分线的性质，可得△ABD与△BCD是等腰三角形，继而求得答案．
【详解】
解：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，故A正确；
∴AC平分∠BCD，故B正确；
在△BEC和△DEC中，
，
∴△BEC≌△DEC（SSS），故C正确；
AB不一定等于BD，故D错误．
故选：D．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
变式3．(2023·湖北孝感·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB＋BD＝BC，则∠BAC的度数为（ ）
A．74°B．69°C．65°D．60°
答案：B
【解析】
分析：
连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而可得∠DAC＝∠C，由等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB＝74°，由外角的性质和三角形内角和定理可求解．
【详解】
解：如图，连接AD，
∵边AC的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，
∴CD＝AB，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝74°，
∴∠C＝37°，
∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．
◎考点题型7等边三角形的性质和判定
等边三角形的判定：
（1）三边相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。
（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
例．(2023·河北保定·八年级期末）如图，在等边三角形DEF中，，点A在DF上，点B在DE上，且DA＝2，，，则CE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：D
【解析】
分析：
由等边三角形的性质得三个角都是60°，三边相等，证明△ADB≌△CFA（AAS），再根据全等三角形的性质得出DA＝CF，即可得出答案．
【详解】
解：∵∠CAB＝60°，
∴∠FAC+∠DAB＝120°，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠D＝∠F＝60°，DF＝DE＝EF，
∴∠FAC+∠FCA＝120°，
∴∠DAB＝∠FCA，
在△ADB和△CFA中，
，
∴△ADB≌△CFA（AAS），
∴DA＝CF＝2，
∵EF＝6，
∴CE＝EF﹣CF＝6﹣2＝4，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
变式1．(2023·浙江衢州·八年级期末）一辆汽车沿A地北偏东50°方向行驶5千米到达B地，再沿B地南偏东10°方向行驶5千米到达C地，则此时A、C两地相距（ ）千米
A．10B．5C．5D．5
答案：D
【解析】
分析：
根据平行线的性质得到∠ABE=∠FAB=50°，求得∠ABC=60°，推出△ABC是等边三角形，于是得到AC=AB=5千米．
【详解】
解：如图，
∵∠FAB=50°，AF∥BE，
∴∠ABE=∠FAB=50°，
∵∠CBE=10°，
∴∠ABC=60°，
∵AB=BC=5千米，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=5千米，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
变式2．(2023·广东广东·八年级期末）如图，在中，，CE垂直平分线段AD于E，且CD平分，，则（ ）．
A．10cmB．16cmC．24cmD．30cm
答案：B
【解析】
分析：
根据线段垂直平分线的性质得到CA＝CD，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠DCE，求出∠ABC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【详解】
解：∵CE垂直平分线段AD，
∴CA＝CD，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∵CA＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝16cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，求出∠ABC＝30°是解题的关键．
变式3．(2023·贵州贵阳·中考真题）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（ ）
A．5B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据同圆半径相等可得为等腰三角形，又因为，可得为等边三角形，即可求得BE的长．
【详解】
连接OE，如图所示：
∵，点为线段的中点，
∴，
∵以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，
∴，
∴,
∴为等边三角形，
即，
故选：A．
【点睛】
本题考查了同圆半径相等，一个角为的等腰三角形，解题的关键是判断出为等边三角形．
◎考点题型8 含30°角的直角三角形
例．(2023·山东德州·八年级期末）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DEAB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A．10B．7C．5D．4
答案：D
【解析】
分析：
过点D作DG⊥AC于G，先根据等角对等边求出DE=AE=8，再由三角形外角的性质求出∠DEC=30°，即可推出DG=4，由平行线的性质得到∠BAC=30°，可推出∠BAD=∠DAC，再由角平分线的性质即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，过点D作DG⊥AC于G，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DEG=∠ADE+∠DAE=30°，AE=DE=8，
∴，
∵DEAB，
∴∠BAC=∠DEG=30°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=15°，
∴∠BAD=∠DAC，
又∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴DF=DG=4，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
变式1．(2023·广东深圳·八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8B．1C．2D．4
答案：A
【解析】
分析：
根据含30度角所对的直角 边等于斜边的一半求解即可．
【详解】
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AB=2AC=2×4=8，
故选：A．
【点睛】
本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
变式2．(2023·河南驻马店·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】
分析：
由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB = 30°，运用直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半可得CD=AD=BD，再利用角平分线的性质定理CD=DE=BD，从而可求得结论．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴DA= DB，
∴∠B=∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠B=∠CAD=∠DAB，
又∵∠C= 90°，
∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD = 30°，
∴CD=AD=BD，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD=DE=BD，
∵BC=6，
∴CD=DE=2；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，掌握含30°角的直角三角形性质和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
变式3．(2023·山东滨州·八年级期末）如图，在中，，则的面积为（ ）
A．20B．25C．50D．75
答案：B
【解析】
分析：
过点C作CD⊥AB于D，先利用等腰三角形的性质与内角和定理求得∠A=30°，再利用含30度角的直角三角形性质求出CD长，即三角形面积公式求解．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB于D，如图，
∵AB=AC=10，
∴∠ACB=∠B=75°，
∴∠A=30°，
∵CD⊥AB于D，∴∠ADC=90°，
∴CD=AC=×10=5，
∴S△ABC=，
故选：B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形性质，三角形面积，作AB边高构造特殊直角三角形是解题的关键．