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人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题20分式方程和实际应用-原卷版+解析
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这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题20分式方程和实际应用-原卷版+解析，共18页。
◎考点题型1 分式方程的概念
分式方程：分母中含有未知数的方程
例．(2023·山东枣庄·八年级阶段练习）下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
变式1．(2023·河南南阳·八年级期中）给出以下方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式2．（2023·上海·八年级课时练习）方程 中，x为未知量，a,b为已知数，且a≠b，则这个方程是（ ）
A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程
变式3．(2023·全国·七年级课时练习）在下列方程中，关于x的分式方程的个数有( ).
① ②. ③④.⑤ ⑥.
A．2个B．3个C．4个D．5个
◎考点题型2 解分式方程
分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
例．(2023·陕西咸阳·八年级期末）解方程：．
变式1．(2023·江苏无锡·八年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
变式2．(2023·陕西汉中·八年级期末）解分式方程：．
变式3．(2023·重庆·西南大学附中七年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
◎考点题型3 根据解的情况求值
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
例．(2023·重庆八中八年级期末）关于x的分式方程有正整数解，则整数a的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．2
变式1．（2023·山东威海·八年级期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．且D．且
变式2．（2023·云南临沧·八年级期末）若整数a使关于x的不等式组，有且只有19个整数解，且使关于y的方程的解为非正数，则a的值是（ ）
A．或B．C．D．或
变式3．（2023·四川绵阳·二模）如果关于x的方程有正整数解，且关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m的值为整数，则符合条件的m的值有几个（ ）
A．0B．1C．2D．3
◎考点题型4 无解问题
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
例．(2023·四川宜宾·八年级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式1．(2023·山东青岛·八年级期末）若分式方程有增根，则（ ）
A．8B．6C．5D．4
变式2．(2023·江苏盐城·八年级期中）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．B．C．D．﹣3
变式3．(2023·黑龙江牡丹江·八年级期末）关于x的方程＝a－1无解，则a的值是（ ）
A．B．或 C．D．或
◎考点题型5 分式方程的实际应用
例．(2023·浙江杭州·七年级期末）为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，明信片的进价为6元/套，一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．
(1)求吉祥物钥匙扣和明信片的售价；
(2)为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售，某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，请问有几种购买方案．
变式1．（2023·黑龙江黑河·八年级期末）黑河市政府在道路改造过程中，某路段需要铺设一条长1000米的下水管道，现有甲乙两个施工队具备施工能力，政府工作人员分别到两个施工队了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工程队比乙工程队每天能多铺设10米；
信息二：甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设400米所用的天数相同．
根据以上信息完成下列问题：
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
(2)如果两工程队同时施工，要求完成该项工程的工期不超过10天，那么两工程队分配工程量（以整百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来．
变式2．(2023·河北承德·八年级期末）新年来临之际，某超市的儿童专柜用3000元购进一批儿童玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
(1)求第一次每件的进价为多少元？
(2)若两次购进的玩具售价均为65元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
变式3．(2023·河南南阳·八年级阶段练习）欧城物业为美化小区，要对面积为9600平方米的区域进行绿化，计划安排甲、乙两个园林队完成，已知甲园林队每天绿化面积是乙园林队每天绿化面积的2倍，并且甲、乙两园林队独立完成面积为800平方米区域的绿化时，甲园林队比乙园林队少用2天．求甲、乙两园林队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米．
专题20 分式方程和实际应用
【思维导图】
◎考点题型1 分式方程的概念
分式方程：分母中含有未知数的方程
例．(2023·山东枣庄·八年级阶段练习）下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
答案：A
分析：根据分式方程的定义，即可判断．
【详解】解：①是关于y的分式方程；②是关于x的分式方程；③是关于x的整式方程；④是关于x的整式方程；
所以关于x的分式方程共有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
变式1．(2023·河南南阳·八年级期中）给出以下方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，进行逐一判断即可．
【详解】解：中分母不含未知数，不是分式方程；
中分母含有未知数，是分式方程；
中分母含有未知数，是分式方程；
中分母不含未知数，不是分式方程，
共有两个是分式方程，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握定义并进行准确判断是解题的关键．
变式2．（2023·上海·八年级课时练习）方程 中，x为未知量，a,b为已知数，且a≠b，则这个方程是（ ）
A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程
答案：B
分析：根据分式方程、一元一次方程、二元一次方程、三元一次方程的定义进行判断.
【详解】解：由方程中，x为未知量，a,b为已知数，且a≠b可知：
A.方程分母中不含有未知数，不是分式方程，所以此选项错误；
B．方程只含有一个未知数x，并且未知数x的最高次数为1，所以这个方程是一元一次方程. 所以此选项正确；
C.方程只含有一个未知数，不是二元一次方程，所以此选项错误；
D.方程只含有一个未知数，不是三元一次方程，所以此选项错误；
故选B.
【点睛】本题考查了分式方程、一元一次方程、二元一次方程、三元一次方程的定义，掌握相关定义是解题的关键，这里要注意a,b为已知数，不是未知数，容易在这点上出错.
变式3．(2023·全国·七年级课时练习）在下列方程中，关于x的分式方程的个数有( ).
① ②. ③④.⑤ ⑥.
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案：B
分析：根据分式方程的定义:分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.
【详解】①、②、⑥的分母中不含有未知数,它们是整式方程,不是分式方程;
③、④、⑤的分母中含未知数x,故是分式方程.
所以B选项是正确的.
【点睛】本题考查了分式方程的定义.判断一个方程是否为分式方程,主要是依据分式方程的定义,也就是看分母中是否含有未知数(注意:仅仅是字母不行,必须是表示未知数的字母).
◎考点题型2 解分式方程
分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
例．(2023·陕西咸阳·八年级期末）解方程：．
答案：
分析：方程两边同时乘以后化为整式进行计算，最后记得检验．
【详解】解：去分母，得，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键在于求出解后记得检验．
变式1．(2023·江苏无锡·八年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
答案：(1)
(2)无解
分析：（1）方程两边同时乘以，得，再求解此方程，然后验根即可；
（2）方程两边同时乘，得，再求解此方程，然后验根即可．
（1）
方程两边同时乘以，得，
化简，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以．
（2）
方程两边同时乘，得
，
化简，得，
解得：，
经检验，是原分式方程的增根，
所以原分式方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的求解，掌握分式方程的一般解法是关键，分式方程要检验．
变式2．(2023·陕西汉中·八年级期末）解分式方程：．
答案：
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是注意要检验．
变式3．(2023·重庆·西南大学附中七年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
答案：(1)
(2)原方程无解
分析：（1）先去分母把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）先去分母把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
（1）
解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为
（2）
解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．
◎考点题型3 根据解的情况求值
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
例．(2023·重庆八中八年级期末）关于x的分式方程有正整数解，则整数a的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．2
答案：B
分析：将分式方程去分母得2-ax=x，解得x=，结合分式方程有正整数解，且x-2≠0，可得整数a=1．
【详解】解：分式方程去分母得2-ax=x，
整理得（a+1）x=2，
解得x=，
∵分式方程有正整数解，且x-2≠0，
∴整数a=1．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
变式1．（2023·山东威海·八年级期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．且D．且
答案：B
分析：先求出原方程的解，再根据分式方程的解为正数，可得到关于k的不等式组，即可求解．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：且．
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，根据题意得到关于k的不等式组是解题的关键．
变式2．（2023·云南临沧·八年级期末）若整数a使关于x的不等式组，有且只有19个整数解，且使关于y的方程的解为非正数，则a的值是（ ）
A．或B．C．D．或
答案：D
分析：解不等式组，根据有且只有19个整数解求出a的范围，再解方程，根据方程的解为非正数，求出a的范围，找出公共部分的整数a值即可．
【详解】解：解，得，
∵不等式组有且只有19个整数解，
∴，
解得：-13≤a＜-10，
解得y=-12-a，
∵方程的解为非正数，
∴-12-a≤0，
∴a≥-12．
∴，
∴-12≤a＜-10．
∵a为整数，
∴a=-12或-11．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，正确求得不等式组的解集是解题的关键．
变式3．（2023·四川绵阳·二模）如果关于x的方程有正整数解，且关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m的值为整数，则符合条件的m的值有几个（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：A
分析：先求出分式方程的解，然后再根据一元二次方程根的判别式可得m的范围，进而问题可求解．
【详解】解：去分母得﹣1﹣2（x﹣2）＝1﹣mx，
整理得（m﹣2）x＝﹣2，
解得x＝，
∵x为正整数，m为整数，
∴m＝0或m＝1，
而x≠2，即≠2，解得m≠1，
∴m＝0，
∵关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0，且，即，
∴符合条件的m的值有0个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元二次方程根的判别式，熟练掌握分式方程的解法及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
◎考点题型4 无解问题
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
例．(2023·四川宜宾·八年级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：先判断方程的这个增根为再把代入去分母后的方程中即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的分式方程有增根，
∴这个增根为：
，
去分母可得：
把代入
∴
解得：
故选B
【点睛】本题考查的是已知分式方程的增根求解参数的值，理解增根的含义是解本题的关键．
变式1．(2023·山东青岛·八年级期末）若分式方程有增根，则（ ）
A．8B．6C．5D．4
答案：A
分析：先去分母，然后根据分式方程的增根为代入求解即可．
【详解】解：由去分母得：，
∵分式方程有增根，即是方程的增根，
∴把代入得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．
变式2．(2023·江苏盐城·八年级期中）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．B．C．D．﹣3
答案：B
分析：首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣3＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：去分母，得：x﹣6﹣2m＝0，
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程，可得：m＝﹣．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
变式3．(2023·黑龙江牡丹江·八年级期末）关于x的方程＝a－1无解，则a的值是（ ）
A．B．或 C．D．或
答案：D
分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】解：方程去分母得：2a＝（a−1）（x−1），
整理得：（a−1）x＝3a−1，
当a−1＝0，即a＝1时，方程无解，
当x−1＝0时，即x＝1，方程也无解，
∴2a＝（a−1）（1−1）
解得：a＝0，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
◎考点题型5 分式方程的实际应用
例．(2023·浙江杭州·七年级期末）为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，明信片的进价为6元/套，一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．
(1)求吉祥物钥匙扣和明信片的售价；
(2)为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售，某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，请问有几种购买方案．
答案：(1)钥匙扣单价30元，明信片10元
(2)有2种购买方案
分析：（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为（x-20）元，由题意：顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个，由题意：商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
（1）
解：设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为（x-20）元，
由题意得：，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
则x-20=10，
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；
（2）
解：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个，
由题意得：（30×0.9-18）m+（10-6）n=80，
整理得：n=20-m，
∵m、n为正整数，
∴或，
∴有2种购买方案，
答：有2种购买方案．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
变式1．（2023·黑龙江黑河·八年级期末）黑河市政府在道路改造过程中，某路段需要铺设一条长1000米的下水管道，现有甲乙两个施工队具备施工能力，政府工作人员分别到两个施工队了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工程队比乙工程队每天能多铺设10米；
信息二：甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设400米所用的天数相同．
根据以上信息完成下列问题：
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
(2)如果两工程队同时施工，要求完成该项工程的工期不超过10天，那么两工程队分配工程量（以整百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来．
答案：(1)甲工程队每天能铺设60米，乙工程队每天能铺设50米
(2)分配方案有2种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米
分析：（1）设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设米，根据“甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设400米所用的天数相同”列出方程，即可求解；
（2）设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队米，根据“完成该项工程的工期不超过10天，”列出不等式组，即可求解．
（1）
解：设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设米，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解．
答：甲工程队每天能铺设60米，乙工程队每天能铺设50米；
（2）
解：设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队米，
由题意，得，解得，
取整数，
分配方案有2种．
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；
方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
变式2．(2023·河北承德·八年级期末）新年来临之际，某超市的儿童专柜用3000元购进一批儿童玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
(1)求第一次每件的进价为多少元？
(2)若两次购进的玩具售价均为65元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
答案：(1)第一次每件的进价为50元
(2)两次的总利润为1150元
分析：（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）根据总利润=总售价-总成本，列出算式，即可求解．
（1）
解：设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，
据题意得：
解得：x=50，
经检验：x=50是方程的解，且符合题意，
答：第一次每件的进价为50元；
（2）
（元）
答：两次的总利润为1150元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
变式3．(2023·河南南阳·八年级阶段练习）欧城物业为美化小区，要对面积为9600平方米的区域进行绿化，计划安排甲、乙两个园林队完成，已知甲园林队每天绿化面积是乙园林队每天绿化面积的2倍，并且甲、乙两园林队独立完成面积为800平方米区域的绿化时，甲园林队比乙园林队少用2天．求甲、乙两园林队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米．
答案：甲园林队每天能完成绿化的面积是400平方米，乙园林队每天能完成绿化的面积是200平方米
分析：设乙园林队每天能完成绿化的面积为x平方米，则甲园林队每天能完成绿化的面积为2x平方米，由题意：甲、乙两园林队独立完成面积为800平方米区域的绿化时，甲园林队比乙园林队少用2天．列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设乙园林队每天能完成绿化的面积为x平方米，则甲园林队每天能完成绿化的面积为2x平方米，
根据题意得： ，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×200＝400，
答：甲园林队每天能完成绿化的面积是400平方米，乙园林队每天能完成绿化的面积是200平方米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
◎考点题型1 分式方程的概念
分式方程：分母中含有未知数的方程
例．(2023·山东枣庄·八年级阶段练习）下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
变式1．(2023·河南南阳·八年级期中）给出以下方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式2．（2023·上海·八年级课时练习）方程 中，x为未知量，a,b为已知数，且a≠b，则这个方程是（ ）
A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程
变式3．(2023·全国·七年级课时练习）在下列方程中，关于x的分式方程的个数有( ).
① ②. ③④.⑤ ⑥.
A．2个B．3个C．4个D．5个
◎考点题型2 解分式方程
分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
例．(2023·陕西咸阳·八年级期末）解方程：．
变式1．(2023·江苏无锡·八年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
变式2．(2023·陕西汉中·八年级期末）解分式方程：．
变式3．(2023·重庆·西南大学附中七年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
◎考点题型3 根据解的情况求值
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
例．(2023·重庆八中八年级期末）关于x的分式方程有正整数解，则整数a的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．2
变式1．（2023·山东威海·八年级期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．且D．且
变式2．（2023·云南临沧·八年级期末）若整数a使关于x的不等式组，有且只有19个整数解，且使关于y的方程的解为非正数，则a的值是（ ）
A．或B．C．D．或
变式3．（2023·四川绵阳·二模）如果关于x的方程有正整数解，且关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m的值为整数，则符合条件的m的值有几个（ ）
A．0B．1C．2D．3
◎考点题型4 无解问题
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
例．(2023·四川宜宾·八年级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式1．(2023·山东青岛·八年级期末）若分式方程有增根，则（ ）
A．8B．6C．5D．4
变式2．(2023·江苏盐城·八年级期中）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．B．C．D．﹣3
变式3．(2023·黑龙江牡丹江·八年级期末）关于x的方程＝a－1无解，则a的值是（ ）
A．B．或 C．D．或
◎考点题型5 分式方程的实际应用
例．(2023·浙江杭州·七年级期末）为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，明信片的进价为6元/套，一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．
(1)求吉祥物钥匙扣和明信片的售价；
(2)为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售，某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，请问有几种购买方案．
变式1．（2023·黑龙江黑河·八年级期末）黑河市政府在道路改造过程中，某路段需要铺设一条长1000米的下水管道，现有甲乙两个施工队具备施工能力，政府工作人员分别到两个施工队了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工程队比乙工程队每天能多铺设10米；
信息二：甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设400米所用的天数相同．
根据以上信息完成下列问题：
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
(2)如果两工程队同时施工，要求完成该项工程的工期不超过10天，那么两工程队分配工程量（以整百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来．
变式2．(2023·河北承德·八年级期末）新年来临之际，某超市的儿童专柜用3000元购进一批儿童玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
(1)求第一次每件的进价为多少元？
(2)若两次购进的玩具售价均为65元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
变式3．(2023·河南南阳·八年级阶段练习）欧城物业为美化小区，要对面积为9600平方米的区域进行绿化，计划安排甲、乙两个园林队完成，已知甲园林队每天绿化面积是乙园林队每天绿化面积的2倍，并且甲、乙两园林队独立完成面积为800平方米区域的绿化时，甲园林队比乙园林队少用2天．求甲、乙两园林队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米．
专题20 分式方程和实际应用
【思维导图】
◎考点题型1 分式方程的概念
分式方程：分母中含有未知数的方程
例．(2023·山东枣庄·八年级阶段练习）下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
答案：A
分析：根据分式方程的定义，即可判断．
【详解】解：①是关于y的分式方程；②是关于x的分式方程；③是关于x的整式方程；④是关于x的整式方程；
所以关于x的分式方程共有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
变式1．(2023·河南南阳·八年级期中）给出以下方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，进行逐一判断即可．
【详解】解：中分母不含未知数，不是分式方程；
中分母含有未知数，是分式方程；
中分母含有未知数，是分式方程；
中分母不含未知数，不是分式方程，
共有两个是分式方程，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握定义并进行准确判断是解题的关键．
变式2．（2023·上海·八年级课时练习）方程 中，x为未知量，a,b为已知数，且a≠b，则这个方程是（ ）
A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程
答案：B
分析：根据分式方程、一元一次方程、二元一次方程、三元一次方程的定义进行判断.
【详解】解：由方程中，x为未知量，a,b为已知数，且a≠b可知：
A.方程分母中不含有未知数，不是分式方程，所以此选项错误；
B．方程只含有一个未知数x，并且未知数x的最高次数为1，所以这个方程是一元一次方程. 所以此选项正确；
C.方程只含有一个未知数，不是二元一次方程，所以此选项错误；
D.方程只含有一个未知数，不是三元一次方程，所以此选项错误；
故选B.
【点睛】本题考查了分式方程、一元一次方程、二元一次方程、三元一次方程的定义，掌握相关定义是解题的关键，这里要注意a,b为已知数，不是未知数，容易在这点上出错.
变式3．(2023·全国·七年级课时练习）在下列方程中，关于x的分式方程的个数有( ).
① ②. ③④.⑤ ⑥.
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案：B
分析：根据分式方程的定义:分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.
【详解】①、②、⑥的分母中不含有未知数,它们是整式方程,不是分式方程;
③、④、⑤的分母中含未知数x,故是分式方程.
所以B选项是正确的.
【点睛】本题考查了分式方程的定义.判断一个方程是否为分式方程,主要是依据分式方程的定义,也就是看分母中是否含有未知数(注意:仅仅是字母不行,必须是表示未知数的字母).
◎考点题型2 解分式方程
分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
例．(2023·陕西咸阳·八年级期末）解方程：．
答案：
分析：方程两边同时乘以后化为整式进行计算，最后记得检验．
【详解】解：去分母，得，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键在于求出解后记得检验．
变式1．(2023·江苏无锡·八年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
答案：(1)
(2)无解
分析：（1）方程两边同时乘以，得，再求解此方程，然后验根即可；
（2）方程两边同时乘，得，再求解此方程，然后验根即可．
（1）
方程两边同时乘以，得，
化简，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以．
（2）
方程两边同时乘，得
，
化简，得，
解得：，
经检验，是原分式方程的增根，
所以原分式方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的求解，掌握分式方程的一般解法是关键，分式方程要检验．
变式2．(2023·陕西汉中·八年级期末）解分式方程：．
答案：
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是注意要检验．
变式3．(2023·重庆·西南大学附中七年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
答案：(1)
(2)原方程无解
分析：（1）先去分母把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）先去分母把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
（1）
解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为
（2）
解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．
◎考点题型3 根据解的情况求值
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
例．(2023·重庆八中八年级期末）关于x的分式方程有正整数解，则整数a的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．2
答案：B
分析：将分式方程去分母得2-ax=x，解得x=，结合分式方程有正整数解，且x-2≠0，可得整数a=1．
【详解】解：分式方程去分母得2-ax=x，
整理得（a+1）x=2，
解得x=，
∵分式方程有正整数解，且x-2≠0，
∴整数a=1．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
变式1．（2023·山东威海·八年级期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．且D．且
答案：B
分析：先求出原方程的解，再根据分式方程的解为正数，可得到关于k的不等式组，即可求解．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：且．
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，根据题意得到关于k的不等式组是解题的关键．
变式2．（2023·云南临沧·八年级期末）若整数a使关于x的不等式组，有且只有19个整数解，且使关于y的方程的解为非正数，则a的值是（ ）
A．或B．C．D．或
答案：D
分析：解不等式组，根据有且只有19个整数解求出a的范围，再解方程，根据方程的解为非正数，求出a的范围，找出公共部分的整数a值即可．
【详解】解：解，得，
∵不等式组有且只有19个整数解，
∴，
解得：-13≤a＜-10，
解得y=-12-a，
∵方程的解为非正数，
∴-12-a≤0，
∴a≥-12．
∴，
∴-12≤a＜-10．
∵a为整数，
∴a=-12或-11．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，正确求得不等式组的解集是解题的关键．
变式3．（2023·四川绵阳·二模）如果关于x的方程有正整数解，且关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m的值为整数，则符合条件的m的值有几个（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：A
分析：先求出分式方程的解，然后再根据一元二次方程根的判别式可得m的范围，进而问题可求解．
【详解】解：去分母得﹣1﹣2（x﹣2）＝1﹣mx，
整理得（m﹣2）x＝﹣2，
解得x＝，
∵x为正整数，m为整数，
∴m＝0或m＝1，
而x≠2，即≠2，解得m≠1，
∴m＝0，
∵关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0，且，即，
∴符合条件的m的值有0个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元二次方程根的判别式，熟练掌握分式方程的解法及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
◎考点题型4 无解问题
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
例．(2023·四川宜宾·八年级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：先判断方程的这个增根为再把代入去分母后的方程中即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的分式方程有增根，
∴这个增根为：
，
去分母可得：
把代入
∴
解得：
故选B
【点睛】本题考查的是已知分式方程的增根求解参数的值，理解增根的含义是解本题的关键．
变式1．(2023·山东青岛·八年级期末）若分式方程有增根，则（ ）
A．8B．6C．5D．4
答案：A
分析：先去分母，然后根据分式方程的增根为代入求解即可．
【详解】解：由去分母得：，
∵分式方程有增根，即是方程的增根，
∴把代入得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．
变式2．(2023·江苏盐城·八年级期中）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．B．C．D．﹣3
答案：B
分析：首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣3＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：去分母，得：x﹣6﹣2m＝0，
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程，可得：m＝﹣．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
变式3．(2023·黑龙江牡丹江·八年级期末）关于x的方程＝a－1无解，则a的值是（ ）
A．B．或 C．D．或
答案：D
分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】解：方程去分母得：2a＝（a−1）（x−1），
整理得：（a−1）x＝3a−1，
当a−1＝0，即a＝1时，方程无解，
当x−1＝0时，即x＝1，方程也无解，
∴2a＝（a−1）（1−1）
解得：a＝0，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
◎考点题型5 分式方程的实际应用
例．(2023·浙江杭州·七年级期末）为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，明信片的进价为6元/套，一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．
(1)求吉祥物钥匙扣和明信片的售价；
(2)为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售，某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，请问有几种购买方案．
答案：(1)钥匙扣单价30元，明信片10元
(2)有2种购买方案
分析：（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为（x-20）元，由题意：顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个，由题意：商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
（1）
解：设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为（x-20）元，
由题意得：，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
则x-20=10，
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；
（2）
解：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个，
由题意得：（30×0.9-18）m+（10-6）n=80，
整理得：n=20-m，
∵m、n为正整数，
∴或，
∴有2种购买方案，
答：有2种购买方案．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
变式1．（2023·黑龙江黑河·八年级期末）黑河市政府在道路改造过程中，某路段需要铺设一条长1000米的下水管道，现有甲乙两个施工队具备施工能力，政府工作人员分别到两个施工队了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工程队比乙工程队每天能多铺设10米；
信息二：甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设400米所用的天数相同．
根据以上信息完成下列问题：
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
(2)如果两工程队同时施工，要求完成该项工程的工期不超过10天，那么两工程队分配工程量（以整百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来．
答案：(1)甲工程队每天能铺设60米，乙工程队每天能铺设50米
(2)分配方案有2种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米
分析：（1）设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设米，根据“甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设400米所用的天数相同”列出方程，即可求解；
（2）设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队米，根据“完成该项工程的工期不超过10天，”列出不等式组，即可求解．
（1）
解：设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设米，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解．
答：甲工程队每天能铺设60米，乙工程队每天能铺设50米；
（2）
解：设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队米，
由题意，得，解得，
取整数，
分配方案有2种．
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；
方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
变式2．(2023·河北承德·八年级期末）新年来临之际，某超市的儿童专柜用3000元购进一批儿童玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
(1)求第一次每件的进价为多少元？
(2)若两次购进的玩具售价均为65元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
答案：(1)第一次每件的进价为50元
(2)两次的总利润为1150元
分析：（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）根据总利润=总售价-总成本，列出算式，即可求解．
（1）
解：设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，
据题意得：
解得：x=50，
经检验：x=50是方程的解，且符合题意，
答：第一次每件的进价为50元；
（2）
（元）
答：两次的总利润为1150元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
变式3．(2023·河南南阳·八年级阶段练习）欧城物业为美化小区，要对面积为9600平方米的区域进行绿化，计划安排甲、乙两个园林队完成，已知甲园林队每天绿化面积是乙园林队每天绿化面积的2倍，并且甲、乙两园林队独立完成面积为800平方米区域的绿化时，甲园林队比乙园林队少用2天．求甲、乙两园林队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米．
答案：甲园林队每天能完成绿化的面积是400平方米，乙园林队每天能完成绿化的面积是200平方米
分析：设乙园林队每天能完成绿化的面积为x平方米，则甲园林队每天能完成绿化的面积为2x平方米，由题意：甲、乙两园林队独立完成面积为800平方米区域的绿化时，甲园林队比乙园林队少用2天．列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设乙园林队每天能完成绿化的面积为x平方米，则甲园林队每天能完成绿化的面积为2x平方米，
根据题意得： ，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×200＝400，
答：甲园林队每天能完成绿化的面积是400平方米，乙园林队每天能完成绿化的面积是200平方米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
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