人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练第十一章三角形章末检测卷(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练第十一章三角形章末检测卷(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（江苏省无锡市东林集团2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）已知三角形的两边长为5cm和10cm，则三角形第三边长可能是（ ）
A．4cmB．5cmC．12cmD．16cm
2．(2023·山东·青岛大学附属中学七年级期中）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）如图，BC⊥AE于点C，CDAB，∠DCB=40°，则∠A的度数是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
4．(2023·陕西延安·二模）如图，已知直线m//n，∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
5．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）一个多边形的内角和是外角的2倍，则这个多边形共有（ ）对角线
A．0条B．2条C．5条D．9条
6．（2023·云南普洱·一模）如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从五边形的同一个顶点出发，可以引出2条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，……，依此规律，从n边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为（ ）
A．nB．C．D．
7．(2023·山东烟台·中考真题）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
8．(2023·福建泉州·二模）如图，在正八边形的内部作等边三角形，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·福建·厦门双十中学七年级期末）在△ABC中，AD、AE、AF分别是它的高线、角平分线和中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在三角形ABC中，，，D是BC上一点，将三角形ABD沿AD翻折后得到三角形AED，边AE交射线BC于点F，若，则（ ）
A．120°B．135°C．110°D．150°
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．（2023·广东揭阳·七年级期末）木工师傅在做好门框后，为了防止变形常常按如图那样钉上两根斜拉的木板条，即图中的、两根木条，其数学依据是三角形的________．
12．(2023·四川省隆昌市第一中学七年级阶段练习）已知三角形的三边长分别为3，x，6，则三角形的周长y的取值范围是______．
13．(2023·全国·八年级课时练习）在一个多边形中，除其中一个内角外，其余内角的和为1105°，则这个多边形的边数为_______．
14．（2023·江西上饶·八年级阶段练习）设n边形A1A2……An中，有m个点B1，B2，……，Bm，（任何三点不在同一直线上）连接它们成一张互相毗邻的三角形网，称每个小三角形为一个“网眼”，如图是n＝6，m＝4 时的情形，此时有_______个“网眼”；对于一般情形，用含n，m的代数式表示，网中共有___个“网眼”．
三、解答题
15．(2023·重庆市朝阳中学七年级期末）在各个内角都相等的多边形中，一个内角等于一个外角的3倍，求这个多边形的边数和它的内角和．
16．（2023·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图，在△ABC中，CD，CE，CF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．
(1)写出图中所有相等的角和相等的线段，说明理由；
(2)当BF＝4cm，CD＝5cm时，求△ABC的面积．
17．(2023·全国·八年级课时练习）已知是的三边长．
（1）若满足，，试判断的形状；
（2）化简：
18．(2023·湖北襄阳·七年级期末）如图，．
(1)求证∶AB∥EF．
(2)若平分，，，求的度数．
19．（2023·广西·靖西市教学研究室八年级期末）（1）如图①，直线DE经过点A，DE∥BC．若∠B＝45°，∠C＝58°，那么∠DAB＝ ；∠EAC＝ ；∠BAC＝ ．(在空格上填写度数）
（2）求证：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°．
20．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC
(1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝ 度（直接写出答案）；
(2)请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．
21．（2023·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3．
（1）边BC的取值范围是 ；
（2）△ABD与△ACD的周长之差为 ；
（3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高．
22．(2023·安徽阜阳·八年级期末）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________.
(2)拓展应用：
有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话?
23．(2023·江苏扬州·七年级期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EFBC交射线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．
(1)如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝30°，∠C＝70°，则∠BGE＝ °；
②若∠A＝60°，则∠BGE＝ °；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在线段DC上运动时，直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系.多边形的顶点数
4
5
6
7
8
……
从一个顶点出发的对角线的条数
1
2
3
4
5
……
①
多边形对角线的总条数
2
5
9
14
20
……
②
三角形章末检测卷
考试范围：第11章；考试时间：120分钟；满分150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（江苏省无锡市东林集团2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）已知三角形的两边长为5cm和10cm，则三角形第三边长可能是（ ）
A．4cmB．5cmC．12cmD．16cm
答案：C
【解析】
分析：
已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【详解】
解：设第三边的长为x cm，根据三角形的三边关系，
得10-5＜x＜10+5，即5＜x＜15．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，正确理解题意、熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
2．(2023·山东·青岛大学附属中学七年级期中）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据三角形作高的方法逐项判断即可．
【详解】
选项A作的是BC边上的高，不符合题意；
选项B作的是AB边上的高，符合题意；
选项C中三角板未过点C，故作的不是高，不符合题意；
选项D作的是AC边上的高，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形高的作法，作边AB边的高，应从顶点C向AB作垂线，垂足落在直线AB上，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．(2023·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）如图，BC⊥AE于点C，CDAB，∠DCB=40°，则∠A的度数是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
答案：C
【解析】
分析：
根据直角三角形两锐角互余可得，再根据两直线平行，内错角相等可得的度数，进而求即可．
【详解】
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形两锐角互余及平行线的性质，熟练掌握知识点且灵活运用是解题关键．
4．(2023·陕西延安·二模）如图，已知直线m//n，∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
答案：A
【解析】
分析：
如图，反向延长的一边与直线相交，先求解，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】
解：如图，反向延长的一边与直线相交，
∵m//n，∠2=35°，

，

故选A
【点睛】
本题考查的是对顶角的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质，作出适当的辅助线构建三角形是解本题的关键．
5．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）一个多边形的内角和是外角的2倍，则这个多边形共有（ ）对角线
A．0条B．2条C．5条D．9条
答案：D
【解析】
分析：
先根据该多边形的内角和是外角和2倍，可得出：（n-2）•180=360×2，求出多边形的边数n，再根据n边形对角线的总条数为：，求解即可．
【详解】
设这个多边形有n条边，由题意得：
(n−2)×180=360×2，
解得：n=6，
从这个多边形的对角线的条数是=9，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角以及多边形的对角线，解答本题的关键在于根据该多边形的内角和是外角和2倍，得出：（n-2）•180=360×2．
6．（2023·云南普洱·一模）如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从五边形的同一个顶点出发，可以引出2条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，……，依此规律，从n边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为（ ）
A．nB．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据题意可得从n边型的同一个顶点出发，可以引条对角线．
【详解】
解：∵从一个四边形的同一个顶点出发可以引出条对角线；
从五边形的同一个顶点出发，可以引出条对角线，
从六边形的同一个顶点出发，可以引出条对角线，
∴从n边型的同一个顶点出发，可以引条对角线，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了图形类的规律题，解题的关键在于能够根据题意得到规律求解．
7．(2023·山东烟台·中考真题）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
答案：C
【解析】
分析：
设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．
【详解】
解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x+3x＝180°，
解得：x＝45°，
360°÷45°＝8（边），
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．
8．(2023·福建泉州·二模）如图，在正八边形的内部作等边三角形，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据正多边形的内角=，可以求出的度数，根据等边三角形性质可知，从而可以求出∠BCQ的度数．
【详解】
因为正八边形的内角=，
所以，
因为三角形CDQ是等边三角形，
所以，
所以，
故选 C．
【点睛】
本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形内角公式是解题关键．
9．(2023·福建·厦门双十中学七年级期末）在△ABC中，AD、AE、AF分别是它的高线、角平分线和中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据中线定义可判定A，根据当高AD与边AC重合时，则可判定B；根据垂直线段最短可判定C；根据中线定义可知BC=2BF，利用等高的三角形面积与底的关系可判定D．
【详解】
解：A、∵在△ABC中，AF是△ABC的中线，∴BF=CF，正确，故此选项不符合题意；
B、∵在△ABC中，AD是△ABC的高，当高AD与边AC重合时，如图，则，故错误，故此选项符合题意；
C、∵在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是角平分线，根据垂直线段最短，∴AD≤AE，正确，故此选项不符合题意；
D、∵在△ABC中，AF是△ABC的中线，∴BC=2BF，∵S△ABC=，S△ABF=，∴，正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的高、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义与性质是解题的关键．
10．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在三角形ABC中，，，D是BC上一点，将三角形ABD沿AD翻折后得到三角形AED，边AE交射线BC于点F，若，则（ ）
A．120°B．135°C．110°D．150°
答案：A
【解析】
分析：
由得到∠FDE＝∠C＝60°，由折叠的性质知∠DEF＝∠B＝30°，得到∠DFE＝180°－∠FDE－∠DEF＝90°，由外角的性质得∠ADC＋60°＝∠ADE＝∠BDA，∠ADB＋∠ADC＝180°，进一步求得∠ADC＝60°，进一步求得∠BDA．
【详解】
解：∵，
∴ ∠FDE＝∠C＝60°，
∵三角形ABD沿AD翻折后得到三角形AED，
∴∠DEF＝∠B＝30°，
∴∠DFE＝180°－∠FDE－∠DEF＝90°，
∵∠ADC＋60°＝∠ADE＝∠BDA，∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＋60°＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠BDA＝∠ADC＋60°＝120°,
故选：A
【点睛】
此题考查了折叠的性质，平行线性质，外角的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．（2023·广东揭阳·七年级期末）木工师傅在做好门框后，为了防止变形常常按如图那样钉上两根斜拉的木板条，即图中的、两根木条，其数学依据是三角形的________．
答案：稳定性
【解析】
分析：
三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
【详解】
解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点睛】
本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题．
12．(2023·四川省隆昌市第一中学七年级阶段练习）已知三角形的三边长分别为3，x，6，则三角形的周长y的取值范围是______．
答案：
【解析】
分析：
根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】
解：∵三角形的三边长分别为3、x、6，
∴第三边的取值为6-3＜x＜6+3，即3＜x＜9，
∵三角形的周长y=3+6+x=9+x，12＜9+x＜18，
∴12故答案为：12＜y＜18．
【点睛】
此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边．
13．(2023·全国·八年级课时练习）在一个多边形中，除其中一个内角外，其余内角的和为1105°，则这个多边形的边数为_______．
答案：9
【解析】
分析：
n边形的内角和为（n-2）×180°，即多边形的内角和为180°的整数倍，用1105°除以180°，所得余数和去掉的一个内角互补．
【详解】
解：∵1105°÷180°=6…25°，
∴去掉的内角为180°-25°=155°，
设这个多边形为n边形，
则（n-2）×180°=1105°+155°，
解得n=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的内角和为180°的整数倍，求多边形去掉的一个内角度数．
14．（2023·江西上饶·八年级阶段练习）设n边形A1A2……An中，有m个点B1，B2，……，Bm，（任何三点不在同一直线上）连接它们成一张互相毗邻的三角形网，称每个小三角形为一个“网眼”，如图是n＝6，m＝4 时的情形，此时有_______个“网眼”；对于一般情形，用含n，m的代数式表示，网中共有___个“网眼”．
答案： 12 2m＋n－2
【解析】
分析：
通过观察图形即可得到答案；先得到“网眼”中所有三角形的内角和，根据三角形的内角和为180°，可得三角形的个数．
【详解】
通过观察图形，可知当n=6,m=4时，共有12个“网眼”；
∵每个网眼都是三角形，设三角形个数为x，
∴它们的内角总和为，
又∵每个内点Bi处的内角和为360°，m个内点的所有内角和为，
又∵n边形的内角和为(n－2)180°，
∴360m＋(n－2)180＝180x，
∴x＝2m＋n－2．
故答案为：12；2m＋n－2．
【点睛】
本题考查图形的变化规律，根据三角形内角总和得到三角形的个数是解题的关键．
三、解答题
15．(2023·重庆市朝阳中学七年级期末）在各个内角都相等的多边形中，一个内角等于一个外角的3倍，求这个多边形的边数和它的内角和．
答案：这个多边形的边数为8；其内角和为1080°
【解析】
分析：
根据题意可设这个内角为x则与它相邻的外角度数为，根据题意可列方程，求出其内角的度数，以及外角的度数，进而可求其边数，以及内角和的度数．
【详解】
解析：∵在这个正多边形中，一个内角等于与它相邻的一个外角的3倍，则可设这个内角为x则与它相邻的外角度数为：，
由题意可知：，
解得x=135°，
则与它相邻的外角度数为 45°，
∵360°÷45°=8，
∴这个多边形的边数为8，其内角和为8×135°=1080°．
【点睛】
本题考查多边形的内角和，多边形的外角和，以及列方程解决实际问题，能够熟练地转化多边形的内、外角是解决本题关键．
16．（2023·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图，在△ABC中，CD，CE，CF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．
(1)写出图中所有相等的角和相等的线段，说明理由；
(2)当BF＝4cm，CD＝5cm时，求△ABC的面积．
答案：(1)图中所有相等的角：∠BCE＝∠ACE，∠CDB＝∠ADC＝90°
相等的线段为：BF＝AF．理由见解析
(2)20cm2
【解析】
分析：
（1）根据角平分线定义、三角形的高线和三角形的中线定义解决问题即可；
（2）根据三角形的面积公式列式求解即可．
(1)
解：图中所有相等的角：∠BCE＝∠ACE，∠CDB＝∠ADC＝90°，
相等的线段为：BF＝AF．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠BCE＝∠ACE．
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝∠ADC＝90°．
∵CF是△ABC的中线，
∴BF＝AF．
(2)
解：∵BF＝AF，BF＝4cm，CD＝5cm，
∴BA＝2BF＝2×4＝8cm，.
∴S△ABC＝BA•CD
＝×8×5
＝20cm2．
【点睛】
此题考查了三角形的角平分线、中线和高线，三角形的面积等知识，熟记概念是解题的关键．
17．(2023·全国·八年级课时练习）已知是的三边长．
（1）若满足，，试判断的形状；
（2）化简：
答案：（1）是等边三角形；（2）
【解析】
分析：
（1）由性质可得a=b，b=c，故为等边三角形．
（2）根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定正负，再由绝对值性质去绝对值计算即可．
【详解】
（1）∵
∴且
∴
∴是等边三角形．
（2）∵是的三边长
∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0
原式=
=
=
【点睛】
本题考查了三角形三条边的关系以及绝对值化简，根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定绝对值内数值正负是解题的关键．
18．(2023·湖北襄阳·七年级期末）如图，．
(1)求证∶AB∥EF．
(2)若平分，，，求的度数．
答案：(1)见解析
(2)30°
【解析】
分析：
（1）根据，可得∠2=∠DFE，即可求证；
（2）根据AB∥EF，可得∠B=∠CEF，再由，可得∠A+∠B=∠DEF+∠CEF，从而得到∠ACB=60°，进而得到∠BCD=30°，然后根据三角形外角的性质，即可求解．
(1)
证明：∵，∠1+∠DFE=180°，
∴∠2=∠DFE，
∴AB∥EF；
(2)
解：∵AB∥EF，
∴∠B=∠CEF，
∵，
∴∠A+∠B=∠DEF+∠CEF，
∵，
∴∠A+∠B=∠DEF+∠CEF=180°-∠BED=120°，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=60°，
∵平分，
∴∠BCD=30°，
∵∠BED=∠BCD+∠EDF，
∴∠EDF=30°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理和外角的性质，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形的内角和定理和外角的性质是解题的关键．
19．（2023·广西·靖西市教学研究室八年级期末）（1）如图①，直线DE经过点A，DE∥BC．若∠B＝45°，∠C＝58°，那么∠DAB＝ ；∠EAC＝ ；∠BAC＝ ．(在空格上填写度数）
（2）求证：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°．
答案：（1）45°；58°；77°
（2）见解析
【解析】
分析：
（1）通过平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可分别求出：，．由图可知：，可求出：．
（2）过点A作，通过平行线的性质，可得：，
所以．
【详解】
（1）解：，，
，
，
故答案是：45°，58°，77°；
（2）证明：过点A作
，
【点睛】
本题主要考查知识点为，平行线的性质．即：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
20．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC
(1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝ 度（直接写出答案）；
(2)请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．
答案：(1)70
(2)见解析
【解析】
分析：
（1）利用三角形的外角性质可求出∠BDC的度数，结合∠BCD＝∠BDC可得出∠BCD的度数，再在△BCD中，利用三角形内角和定理可求出∠B的度数；
（2）在△ABE中，利用三角形内角和定理可得出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B，在△BCD中，利用三角形内角和定理及∠BCD＝∠BDC可得出2∠BDC＝180°﹣∠B，进而可得出∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．
(1)
解：∵∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，
∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝55°，
∴∠BCD＝∠BDC＝55°．
在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
故答案为：70；
(2)
解：在△ABE中，∠EAB+∠AEB+∠B＝180°，
∴∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B．
在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∠BCD＝∠BDC，
∴2∠BDC＝180°﹣∠B，
∴∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）利用三角形的外角性质，求出∠BDC的度数；（2）利用三角形内角和定理，找出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B及2∠BDC＝180°﹣∠B．
21．（2023·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3．
（1）边BC的取值范围是 ；
（2）△ABD与△ACD的周长之差为 ；
（3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高．
答案：（1）；（2）；（3）．
【解析】
分析：
（1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；
（2）根据三角形中线将△ABD与△ACD的周长之差转换为和的差即可得出答案；
（3）设AC边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵△ABC中AB=5，AC=3，
∴，
即，
故答案为：；
（2）∵△ABD的周长为，
△ACD的周长为，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴，
∴-()=，
故答案为：；
（3）设AC边上的高为，
根据题意得：,
即，
解得．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键．
22．(2023·安徽阜阳·八年级期末）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________.
(2)拓展应用：
有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话?
答案：(1)①，②
(2)他们一共通了2850次电话
【解析】
分析：
（1）根据前面5个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案；
（2）将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，再结合（1）的结论即可得．
(1)
解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
归纳类推得：当多边形的顶点数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为（其中，且n为整数），
故答案为：，．
(2)
解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，
则，
答：他们一共通了2850次电话．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线条数问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
23．(2023·江苏扬州·七年级期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EFBC交射线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．
(1)如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝30°，∠C＝70°，则∠BGE＝ °；
②若∠A＝60°，则∠BGE＝ °；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在线段DC上运动时，直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系.
答案：(1)①50；②60；③∠BGE=90°-∠A
(2)∠BGE=∠A
【解析】
分析：
（1）①根据角平分线的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解；
②根据三角形内角和定理先求出∠ABC +∠C，再利用角平分线的性质和平行线的性质即可求解；
③由②即可推出数量关系；
（2）根据题意作出图形，即可求解．
(1)
①∠ABC = 30°，BD平分∠ABC，
∠CBD =15°，
EFBC，∠C＝70°，
∠CEF = ∠C= 70°，∠EFG =∠CBD = 15°，
EG平分∠CEF，
∠FEG = ∠DEG= 35°，
∠BGE =∠EFG +∠FEG = 50°；
故答案为：50°；
②∠A =60°，
∠ABC + ∠C= 180°-∠A = 120°，
EFBC，
∠C=∠DEF，∠EFG=∠CBD，
∠ABC + ∠DEF = 120°，
BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
∠CBD=∠ABC，∠FEG=∠DEF，
∠CBD+∠FEG=∠ABC+∠DEF=60°，
∠EFG + ∠FEG= 60°，
∠BGE =∠EFG + ∠FEG = 60°；
故答案为：60°；
③∠ABC + ∠C= 180°-∠A，EFBC，
∠C= ∠DEF，
∠ABC +∠DEF = 180°-∠A，
BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
∠CBD=∠ABC，∠FEG=∠DEF，
∠CBD+∠FEG=∠ABC+∠DEF；
(2)
若GE交BC于点H，
由（1）知，∠1=∠ABC，∠2＝∠CEF，
EFBC，
∠CEF = 180°-∠C，
∠2=∠3=(180°-∠C)，
∠1+∠A +∠BDA = 180°，∠3 + ∠BGE + ∠EDG= 180°，且∠BDA =∠EDG，
∠3 +∠BGE =∠1 +∠A，∠BGE =∠1 +∠A-∠3，
即∠BGE=∠ABC+∠A- （∠180°-∠C）
=∠ABC+∠A-90°+∠C
=（∠ABC+ ∠C）)+ ∠A - 90°
=(180°-∠A)+ ∠A- 90°
=90°-∠A+ ∠A－ 90°
=∠A．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
多边形的顶点数
4
5
6
7
8
……
从一个顶点出发的对角线的条数
1
2
3
4
5
……
①
多边形对角线的总条数
2
5
9
14
20
……
②